Milieu et angle : similitude et rapport d’aires

[enonce]
On considère un triangle $ABC$ tel que $AB = 6$ cm, $BC = 12$ cm et $AC = 9$ cm.
On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $D$ le point de $[AC]$ tel que $\widehat{AID} = \widehat{ACB}$.

Triangle ABC avec I milieu de AB et D sur AC, angles AID et ACB marqués

Calculer les longueurs $AD$ et $ID$, puis le rapport $\dfrac{\text{Aire}(AID)}{\text{Aire}(ACB)}$.
[/enonce]

[etape]
Pourquoi les triangles $AID$ et $ACB$ sont-ils semblables ?
[qcm]
[option correct="true"]Ils ont l'angle en $A$ commun et $\widehat{AID} = \widehat{ACB}$ (hypothèse) : deux paires d'angles égaux[/option]
[option]Leurs côtés sont proportionnels[/option]
[option]Ils sont tous les deux rectangles[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'angle $\widehat{DAI}$ est commun aux deux triangles (c'est l'angle en $A$). De plus, $\widehat{AID} = \widehat{ACB}$ par hypothèse. Deux paires d'angles égaux suffisent : les triangles $AID$ et $ACB$ sont semblables (1er cas de similitude).[/reponse]
[reponse motif="Leurs côtés sont proportionnels"]On ne connaît pas encore $AD$ et $ID$. On ne peut pas vérifier la proportionnalité avant d'avoir démontré la similitude.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont tous les deux rectangles"]Rien dans l'énoncé n'indique que ces triangles sont rectangles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Chercher deux paires d'angles égaux entre les triangles $AID$ et $ACB$. L'un des angles est partagé par les deux triangles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer le coefficient de similitude $k$ pour passer du triangle $ACB$ au triangle $AID$. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[k]]
[math id="k" attendu="\dfrac{1}{3}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les correspondances sont $A \leftrightarrow A$, $I \leftrightarrow C$, $D \leftrightarrow B$.
$k = \dfrac{AI}{AC} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="3"]$k = 3$ correspondrait au passage du petit triangle vers le grand. Pour passer de $ACB$ (grand) à $AID$ (petit), c'est l'inverse : $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{2}"]$\dfrac{1}{2}$ serait le rapport $\dfrac{AI}{AB}$. Mais le côté homologue de $AI$ dans le triangle $ACB$ est $AC$, pas $AB$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Identifier les côtés homologues. L'angle en $A$ est commun et $\widehat{AID} = \widehat{ACB}$, donc $I \leftrightarrow C$. Le côté $AI$ est homologue au côté $AC$.[/reponse]
[aide essai="2"]$I \leftrightarrow C$ (même angle), donc $k = \dfrac{AI}{AC}$. $I$ est le milieu de $[AB]$, donc $AI = 3$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = \dfrac{AI}{AC} = \dfrac{3}{9}$. Simplifier.[/aide]
[/math]
[solution]
$k = \dfrac{AI}{AC} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire la longueur $AD$ : [[ad]]
[math id="ad" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$D \leftrightarrow B$, donc $\dfrac{AD}{AB} = k$, soit $AD = \dfrac{1}{3} \times 6 = 2$ cm.[/reponse]
[reponse motif="3"]Attention, $AD = k \times AB = \dfrac{1}{3} \times 6$, pas $\dfrac{1}{3} \times 9$. Le côté homologue de $AD$ est $AB$, pas $AC$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$AD$ est homologue à $AB$, donc $AD = k \times AB$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{AD}{AB} = k$, donc $AD = k \times AB$.[/aide]
[aide essai="3"]$AD = \dfrac{1}{3} \times 6 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$AD = k \times AB = \dfrac{1}{3} \times 6 = 2$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $ID$ : [[did]]
[math id="did" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$ID$ est homologue à $CB$, donc $\dfrac{ID}{CB} = k$, soit $ID = \dfrac{1}{3} \times 12 = 4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="2"]Vérifier quel côté est homologue à $ID$. Comme $I \leftrightarrow C$ et $D \leftrightarrow B$, le côté $ID$ est homologue au côté $CB = 12$, pas à $AB = 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$I \leftrightarrow C$ et $D \leftrightarrow B$, donc $ID$ est homologue à $CB$. Utiliser $ID = k \times CB$.[/reponse]
[aide essai="2"]$I \leftrightarrow C$ et $D \leftrightarrow B$, donc $ID$ est homologue à $CB = 12$.[/aide]
[aide essai="3"]$ID = \dfrac{1}{3} \times 12 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$ID = k \times CB = \dfrac{1}{3} \times 12 = 4$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le rapport des aires $\dfrac{\text{Aire}(AID)}{\text{Aire}(ACB)}$. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[raire]]
[math id="raire" attendu="\dfrac{1}{9}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le rapport des aires est le carré du coefficient de similitude :

$\dfrac{\text{Aire}(AID)}{\text{Aire}(ACB)} = k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$

L'aire du triangle $AID$ est $9$ fois plus petite que celle du triangle $ACB$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{3}"]Le rapport des aires est $k^2$, pas $k$. Il faut mettre $\dfrac{1}{3}$ au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le rapport des aires de deux triangles semblables est le carré du coefficient de similitude : $k^2$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le rapport des aires est $k^2$ pour des triangles semblables.[/aide]
[aide essai="3"]$k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{\text{Aire}(AID)}{\text{Aire}(ACB)} = k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$.
[/solution]
[/etape]

Configuration en noeud de papillon

[enonce]
Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $E$. On sait que $(AB) \parallel (CD)$.
On donne : $EA = 4$ cm, $EB = 3$ cm, $EC = 6$ cm et $AB = 5$ cm.

L'aire du triangle $ABE$ est $4$ cm². Calculer $ED$, $CD$ et l'aire du triangle $CDE$.
[/enonce]

[etape]
Pourquoi les triangles $ABE$ et $CDE$ sont-ils semblables ?
[qcm]
[option correct="true"]Les angles $\widehat{AEB}$ et $\widehat{CED}$ sont opposés par le sommet, et les angles $\widehat{BAE}$ et $\widehat{DCE}$ sont alternes-internes car $(AB) \parallel (CD)$[/option]
[option]Les côtés des deux triangles sont proportionnels[/option]
[option]Les deux triangles ont un angle droit en $E$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les angles $\widehat{AEB}$ et $\widehat{CED}$ sont égaux (opposés par le sommet en $E$). Comme $(AB) \parallel (CD)$, les angles $\widehat{BAE}$ et $\widehat{DCE}$ sont alternes-internes, donc égaux. Deux paires d'angles égaux suffisent : les triangles sont semblables.[/reponse]
[reponse motif="Les côtés des deux triangles sont proportionnels"]On ne connaît pas encore $ED$ et $CD$, donc on ne peut pas vérifier la proportionnalité. Il faut d'abord justifier la similitude par les angles.[/reponse]
[reponse motif="Les deux triangles ont un angle droit en $E$"]Rien n'indique que l'angle en $E$ est droit. Les droites se coupent en $E$ sans former nécessairement un angle droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Observer les angles en $E$ (que dire de deux angles opposés par le sommet ?) et les angles formés par les parallèles $(AB)$ et $(CD)$ coupées par la sécante $(AC)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $ABE$ et $CDE$ sont semblables. Quel sommet du triangle $CDE$ est homologue du sommet $A$ ?
[[homologue]]
[select id="homologue"]
[option correct="true"]$C$[/option]
[option]$D$[/option]
[option]$E$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\widehat{BAE} = \widehat{DCE}$ (alternes-internes), donc $A$ et $C$ portent des angles égaux : ils sont homologues. De même $B \leftrightarrow D$, et $E \leftrightarrow E$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le sommet homologue est celui qui porte l'angle égal. Quel angle du triangle $CDE$ est égal à l'angle en $A$ du triangle $ABE$ ?[/reponse]
[aide essai="2"]$\widehat{BAE} = \widehat{DCE}$ (angles alternes-internes). Les sommets portant ces angles sont homologues.[/aide]
[aide essai="3"]L'angle en $A$ est égal à l'angle en $C$, donc $A \leftrightarrow C$.[/aide]
[/select]
[/etape]

[etape]
Calculer le coefficient de similitude $k$ pour passer du triangle $ABE$ au triangle $CDE$. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[k]]
[math id="k" attendu="\dfrac{3}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les correspondances sont $A \leftrightarrow C$ et $E \leftrightarrow E$, donc :
$k = \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{2}{3}"]Attention au sens : pour passer de $ABE$ à $CDE$, on divise le côté de $CDE$ par le côté homologue de $ABE$, soit $\dfrac{EC}{EA}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$k = \dfrac{\text{côté de } CDE}{\text{côté homologue de } ABE}$. Utiliser les côtés $EC$ et $EA$.[/reponse]
[aide essai="2"]$A \leftrightarrow C$ et $E \leftrightarrow E$, donc le côté $EA$ de $ABE$ est homologue au côté $EC$ de $CDE$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{6}{4}$. Simplifier.[/aide]
[/math]
[solution]
$k = \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire la longueur $ED$ : [[ed]]
[math id="ed" attendu="\dfrac{9}{2}"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$B \leftrightarrow D$ et $E \leftrightarrow E$, donc $\dfrac{ED}{EB} = k$, soit $ED = \dfrac{3}{2} \times 3 = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="2"]Attention, $\dfrac{EB}{k} = \dfrac{3}{\dfrac{3}{2}} = 2$ : c'est le calcul inverse. Il faut multiplier $EB$ par $k$, car $CDE$ est le plus grand triangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$ED$ est homologue à $EB$, donc $ED = k \times EB$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{ED}{EB} = k$, donc $ED = k \times EB$.[/aide]
[aide essai="3"]$ED = \dfrac{3}{2} \times 3 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$ED = k \times EB = \dfrac{3}{2} \times 3 = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $CD$ : [[cd]]
[math id="cd" attendu="\dfrac{15}{2}"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$AB$ et $CD$ sont des côtés homologues, donc $\dfrac{CD}{AB} = k$, soit $CD = \dfrac{3}{2} \times 5 = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{10}{3}"]C'est le calcul avec le rapport inversé. Pour passer de $ABE$ à $CDE$, on multiplie par $k = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$CD$ est homologue à $AB$, donc $CD = k \times AB$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{CD}{AB} = k$, donc $CD = k \times AB$.[/aide]
[aide essai="3"]$CD = \dfrac{3}{2} \times 5 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$CD = k \times AB = \dfrac{3}{2} \times 5 = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
L'aire du triangle $ABE$ est $4$ cm². Calculer l'aire du triangle $CDE$ : [[aire]]
[math id="aire" attendu="9"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le rapport des aires est $k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$.

$\text{Aire}(CDE) = \dfrac{9}{4} \times 4 = 9$ cm²

[/reponse]
[reponse motif="6"]$6 = \dfrac{3}{2} \times 4$ : attention, le rapport des aires est $k^2$, pas $k$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le rapport des aires de deux triangles semblables est le carré du coefficient de similitude : $k^2$. Multiplier l'aire de $ABE$ par $k^2$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le rapport des aires est $k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$.[/aide]
[aide essai="3"]$k^2 = \dfrac{9}{4}$, donc $\text{Aire}(CDE) = \dfrac{9}{4} \times 4 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$\text{Aire}(CDE) = k^2 \times \text{Aire}(ABE) = \dfrac{9}{4} \times 4 = 9$ cm².
[/solution]
[/etape]

Ombre portée sous un lampadaire

[enonce]
Une personne mesurant $1{,}50$ m se trouve à $7$ m du pied d'un lampadaire de $5$ m de hauteur.

Lampadaire éclairant une personne et projetant son ombre au sol

Calculer la longueur de l'ombre de cette personne.
[/enonce]

[etape]
Pourquoi les triangles $LHS$ et $PAS$ sont-ils semblables ?
[qcm]
[option correct="true"]Le lampadaire et la personne sont verticaux, donc $(LH) \parallel (PA)$ : c'est une configuration de Thalès[/option]
[option]Les deux triangles sont rectangles et ont des côtés proportionnels[/option]
[option]Les deux triangles ont les mêmes longueurs[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les droites $(LH)$ et $(PA)$ sont toutes les deux perpendiculaires au sol, donc elles sont parallèles. Les droites $(LP)$ et $(HA)$ se coupent en $S$ : c'est une configuration de Thalès, et les triangles $LHS$ et $PAS$ sont semblables.[/reponse]
[reponse motif="Les deux triangles sont rectangles et ont des côtés proportionnels"]On ne connaît pas encore toutes les longueurs. La justification rigoureuse repose sur le parallélisme de $(LH)$ et $(PA)$, qui crée une configuration de Thalès.[/reponse]
[reponse motif="Les deux triangles ont les mêmes longueurs"]Les deux triangles n'ont pas les mêmes longueurs (le lampadaire mesure $5$ m, la personne $1{,}50$ m). Chercher plutôt une propriété d'angles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Observer que le lampadaire et la personne sont tous les deux verticaux (perpendiculaires au sol). Que peut-on en déduire sur les droites $(LH)$ et $(PA)$ ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On note $x$ la longueur de l'ombre $AS$ (en mètres). En utilisant l'égalité des rapports dans les triangles semblables, calculer $x$ : [[ombre]]
[math id="ombre" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\dfrac{LH}{PA} = \dfrac{HS}{AS}$, soit $\dfrac{5}{1{,}5} = \dfrac{7 + x}{x}$.
En effectuant le produit en croix : $5x = 1{,}5(7 + x) = 10{,}5 + 1{,}5x$.
D'où $3{,}5x = 10{,}5$, soit $x = 3$.
L'ombre mesure 3 m.[/reponse]
[reponse motif="7"]La longueur de l'ombre n'est pas la distance entre la personne et le lampadaire. Poser l'équation avec les rapports des côtés homologues.[/reponse]
[reponse motif="2.1"]Le rapport $\dfrac{LH}{PA}$ correspond au rapport $\dfrac{HS}{AS}$ (bases complètes des triangles), pas au rapport $\dfrac{HA}{AS}$. Attention, $HS = 7 + x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Écrire l'égalité des rapports $\dfrac{LH}{PA} = \dfrac{HS}{AS}$ avec $HS = 7 + x$ et $AS = x$, puis résoudre.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{5}{1{,}5} = \dfrac{7 + x}{x}$. Effectuer le produit en croix pour isoler $x$.[/aide]
[aide essai="3"]$5x = 1{,}5 \times (7 + x) = 10{,}5 + 1{,}5x$. Regrouper les termes en $x$.[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{5}{1{,}5} = \dfrac{7 + x}{x}$ donne $5x = 10{,}5 + 1{,}5x$, soit $3{,}5x = 10{,}5$, d'où $x = 3$ m.
[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire la distance totale entre le pied du lampadaire et l'extrémité de l'ombre : [[total]]
[math id="total" attendu="10"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$HS = HA + AS = 7 + 3 = 10$ m.[/reponse]
[reponse motif="7"]C'est la distance entre le lampadaire et la personne seulement. Il faut y ajouter la longueur de l'ombre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]La distance totale $HS$ est la somme de la distance lampadaire-personne et de la longueur de l'ombre.[/reponse]
[aide essai="2"]$HS = HA + AS$.[/aide]
[aide essai="3"]$HS = 7 + 3 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$HS = 7 + 3 = 10$ m.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le coefficient de similitude $k$ pour passer du petit triangle $PAS$ au grand triangle $LHS$. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[coeff]]
[math id="coeff" attendu="\dfrac{10}{3}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$k = \dfrac{LH}{PA} = \dfrac{5}{1{,}5} = \dfrac{10}{3}$, ou de façon équivalente $k = \dfrac{HS}{AS} = \dfrac{10}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{3}{10}"]C'est l'inverse : $\dfrac{3}{10}$ serait le coefficient pour passer du grand triangle au petit. Pour aller du petit au grand, c'est $\dfrac{10}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le coefficient $k$ est le rapport entre un côté du grand triangle et le côté homologue du petit triangle.[/reponse]
[aide essai="2"]$k = \dfrac{LH}{PA}$ ou $k = \dfrac{HS}{AS}$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = \dfrac{5}{1{,}5}$. Multiplier numérateur et dénominateur par $2$ pour éliminer la virgule.[/aide]
[/math]
[solution]
$k = \dfrac{LH}{PA} = \dfrac{5}{1{,}5} = \dfrac{10}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
La personne s'éloigne et se place à $14$ m du pied du lampadaire. Calculer la nouvelle longueur de son ombre : [[ombre2]]
[math id="ombre2" attendu="6"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Même méthode avec la nouvelle distance :
$\dfrac{5}{1{,}5} = \dfrac{14 + x}{x}$, soit $\dfrac{10}{3} = \dfrac{14 + x}{x}$.
D'où $10x = 3(14 + x) = 42 + 3x$, soit $7x = 42$, et $x = 6$ m.
En doublant la distance au lampadaire ($7 \to 14$), l'ombre a aussi doublé ($3 \to 6$).[/reponse]
[reponse motif="3"]La longueur de l'ombre change quand la personne se déplace. Il faut reposer l'équation avec la nouvelle distance.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Même méthode qu'avant avec $HA = 14$ m : $\dfrac{5}{1{,}5} = \dfrac{14 + x}{x}$. Résoudre cette nouvelle équation.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{10}{3} = \dfrac{14 + x}{x}$. Effectuer le produit en croix.[/aide]
[aide essai="3"]$10x = 3(14 + x) = 42 + 3x$, soit $7x = 42$.[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{10}{3} = \dfrac{14 + x}{x}$ donne $10x = 42 + 3x$, soit $7x = 42$, d'où $x = 6$ m.
[/solution]
[/etape]

QCM : Reconnaître des triangles semblables

[enonce]
Ce QCM porte sur la reconnaissance de triangles semblables. Pour chaque question, choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère le triangle $ABC$ tel que $\widehat{A} = 50°$, $\widehat{B} = 70°$ et le triangle $DEF$ tel que $\widehat{D} = 60°$, $\widehat{E} = 50°$.

Deux triangles ABC et DEF avec les angles marqués

Quelle est la bonne correspondance entre les sommets homologues ?
[qcm]
[option]$A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$[/option]
[option]Les angles ne sont pas dans le même ordre, donc les triangles ne sont pas semblables[/option]
[option correct="true"]$A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow F$, $C \leftrightarrow D$[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître les longueurs[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule le troisième angle de chaque triangle.
$\widehat{C} = 180° - 50° - 70° = 60°$ et $\widehat{F} = 180° - 60° - 50° = 70°$.
Les angles égaux sont : $\widehat{A} = \widehat{E} = 50°$, $\widehat{B} = \widehat{F} = 70°$ et $\widehat{C} = \widehat{D} = 60°$.[/reponse]
[reponse motif="$A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$"]Non.
La correspondance alphabétique ne donne pas les bons sommets homologues.
Il faut associer les sommets qui portent les angles de même mesure : par exemple, $\widehat{A} = 50°$ et $\widehat{D} = 60°$ ne sont pas égaux.[/reponse]
[reponse motif="Les angles ne sont pas dans le même ordre, donc les triangles ne sont pas semblables"]Non.
L'ordre dans lequel les angles sont listés ne compte pas pour la similitude.
Calcule le troisième angle de chaque triangle et compare les valeurs.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître les longueurs"]Non.
Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit de vérifier que deux paires d'angles sont de même mesure (1er cas de similitude).
Calcule les troisièmes angles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule le troisième angle de chaque triangle, puis associe les sommets portant les angles de même mesure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 3$ cm, $BC = 5$ cm et $AC = 7$ cm.
Le triangle $DEF$ a pour côtés $DE = 6$ cm, $EF = 10$ cm et $DF = 14$ cm.

Ces triangles sont-ils semblables ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui, avec un coefficient de similitude $k = 2$[/option]
[option]Oui, avec un coefficient de similitude $k = \dfrac{1}{2}$[/option]
[option]Non, car les différences entre côtés correspondants ne sont pas constantes[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître les angles[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On range les côtés par ordre croissant et on calcule les rapports :
$\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{6}{3} = 2$, $\dfrac{EF}{BC} = \dfrac{10}{5} = 2$, $\dfrac{DF}{AC} = \dfrac{14}{7} = 2$.
Les trois rapports sont égaux, donc les triangles sont semblables avec $k = 2$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, avec un coefficient de similitude $k = \dfrac{1}{2}$"]Pas tout à fait.
Les triangles sont bien semblables, mais le coefficient de similitude de $ABC$ vers $DEF$ est le rapport d'un côté de $DEF$ sur le côté homologue de $ABC$, pas l'inverse.
Recalcule $\dfrac{DE}{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car les différences entre côtés correspondants ne sont pas constantes"]Non.
La similitude se vérifie par l'égalité des rapports entre côtés homologues, pas par l'égalité des différences.
Compare les rapports $\dfrac{DE}{AB}$, $\dfrac{EF}{BC}$ et $\dfrac{DF}{AC}$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître les angles"]Non.
Connaître les longueurs des trois côtés de chaque triangle suffit pour conclure (2e cas de similitude).
Si les trois rapports entre côtés rangés par ordre croissant sont égaux, les triangles sont semblables.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compare les rapports entre côtés homologues rangés par ordre croissant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans le triangle $RST$, le point $M$ est sur $[RS]$ et le point $N$ est sur $[RT]$, avec $(MN) \parallel (ST)$.

Configuration de Thalès : triangle RST avec M sur RS et N sur RT, (MN) parallèle à (ST)

Quels sont les sommets homologues entre les triangles $RMN$ et $RST$ ?
[qcm]
[option]$R \leftrightarrow S$, $M \leftrightarrow T$, $N \leftrightarrow R$[/option]
[option]$R \leftrightarrow T$, $M \leftrightarrow S$, $N \leftrightarrow R$[/option]
[option]Les triangles $RMN$ et $RST$ ne sont pas semblables[/option]
[option correct="true"]$R \leftrightarrow R$, $M \leftrightarrow S$, $N \leftrightarrow T$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Comme $(MN) \parallel (ST)$, les triangles $RMN$ et $RST$ sont semblables (configuration de Thalès).
L'angle $\widehat{R}$ est commun aux deux triangles, $\widehat{RMN} = \widehat{RST}$ et $\widehat{RNM} = \widehat{RTS}$ (angles correspondants).
Donc $R \leftrightarrow R$, $M \leftrightarrow S$ et $N \leftrightarrow T$.[/reponse]
[reponse motif="$R \leftrightarrow S$, $M \leftrightarrow T$, $N \leftrightarrow R$"]Non.
Le sommet $R$ est commun aux deux triangles : il est homologue à lui-même.
Les sommets homologues portent les angles de même mesure.[/reponse]
[reponse motif="$R \leftrightarrow T$, $M \leftrightarrow S$, $N \leftrightarrow R$"]Non.
Le sommet $R$ est commun aux deux triangles et ne peut pas correspondre à $T$.
Repère l'angle commun pour trouver la bonne correspondance.[/reponse]
[reponse motif="Les triangles $RMN$ et $RST$ ne sont pas semblables"]Non.
La configuration de Thalès (une droite parallèle à un côté d'un triangle) produit toujours deux triangles semblables.
Les triangles $RMN$ et $RST$ partagent l'angle $\widehat{R}$ et ont leurs angles correspondants égaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans une configuration de Thalès, l'angle au sommet est commun et les angles correspondants sont égaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $\widehat{B} = 30°$.
Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$ avec $\widehat{E} = 60°$.

Ces triangles sont-ils semblables ?
[qcm]
[option]Oui, car ils sont tous les deux rectangles[/option]
[option correct="true"]Oui, avec $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow F$, $C \leftrightarrow E$[/option]
[option]Non, car $\widehat{B} = 30°$ et $\widehat{E} = 60°$ ne sont pas égaux[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître les longueurs[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule les angles manquants :
$\widehat{C} = 180° - 90° - 30° = 60°$ et $\widehat{F} = 180° - 90° - 60° = 30°$.
Les angles égaux sont : $\widehat{A} = \widehat{D} = 90°$, $\widehat{B} = \widehat{F} = 30°$ et $\widehat{C} = \widehat{E} = 60°$.
Les triangles sont semblables avec $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow F$, $C \leftrightarrow E$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car ils sont tous les deux rectangles"]Pas tout à fait.
Deux triangles rectangles ne sont pas automatiquement semblables : il faut aussi que leurs angles aigus soient égaux deux à deux.
Calcule les troisièmes angles de chaque triangle pour vérifier.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $\widehat{B} = 30°$ et $\widehat{E} = 60°$ ne sont pas égaux"]Non.
Ce n'est pas parce que $\widehat{B} \neq \widehat{E}$ que les triangles ne sont pas semblables. Les sommets homologues ne sont pas forcément dans l'ordre alphabétique.
Calcule tous les angles et cherche les paires de même mesure.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître les longueurs"]Non.
Il suffit de vérifier que deux paires d'angles sont de même mesure pour conclure.
Calcule le troisième angle de chaque triangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule les angles manquants de chaque triangle et compare les valeurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $PQR$ a pour côtés $PQ = 3$ cm, $QR = 5$ cm et $PR = 7$ cm.
Le triangle $STU$ a pour côtés $ST = 6$ cm, $TU = 10$ cm et $SU = 15$ cm.

Ces triangles sont-ils semblables ?
[qcm]
[option]Oui, car $k = 2$[/option]
[option]Oui, car $k = 3$[/option]
[option correct="true"]Non, car les trois rapports ne sont pas tous égaux[/option]
[option]Non, car les côtés ne sont pas rangés dans le même ordre[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On range les côtés par ordre croissant et on calcule les rapports :
$\dfrac{ST}{PQ} = \dfrac{6}{3} = 2$, $\dfrac{TU}{QR} = \dfrac{10}{5} = 2$, mais $\dfrac{SU}{PR} = \dfrac{15}{7} \approx 2{,}14$.
Les trois rapports ne sont pas égaux, donc les triangles ne sont pas semblables.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $k = 2$"]Non.
Attention, il faut vérifier les trois rapports entre côtés homologues, pas seulement deux.
Compare aussi $\dfrac{SU}{PR}$ avec les autres rapports.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $k = 3$"]Non.
Le rapport $\dfrac{15}{5} = 3$ mélange des côtés qui ne sont pas homologues.
Il faut ranger les côtés par ordre croissant puis comparer les rapports correspondants.[/reponse]
[reponse motif="Non, car les côtés ne sont pas rangés dans le même ordre"]Non.
La conclusion est correcte, mais le raisonnement est faux : l'ordre de présentation ne compte pas.
Pour conclure, il faut comparer les rapports entre côtés rangés par ordre croissant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Range les côtés de chaque triangle par ordre croissant, puis calcule les trois rapports correspondants.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ a pour angles $\widehat{A} = 35°$ et $\widehat{B} = 80°$.
Le triangle $DEF$ a pour angles $\widehat{D} = 65°$ et $\widehat{F} = 35°$.

Quel est le côté homologue de $[BC]$ dans le triangle $DEF$ ?
[qcm]
[option]$[EF]$[/option]
[option correct="true"]$[DE]$[/option]
[option]$[DF]$[/option]
[option]Les triangles ne sont pas semblables[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule les angles manquants : $\widehat{C} = 180° - 35° - 80° = 65°$ et $\widehat{E} = 180° - 65° - 35° = 80°$.
Les correspondances sont : $A \leftrightarrow F$ ($35°$), $B \leftrightarrow E$ ($80°$), $C \leftrightarrow D$ ($65°$).
Le côté $[BC]$ est opposé à $\widehat{A} = 35°$. Le côté opposé à $\widehat{F} = 35°$ dans $DEF$ est $[DE]$.[/reponse]
[reponse motif="$[EF]$"]Non.
Le côté $[EF]$ est opposé à $\widehat{D} = 65°$, qui correspond à $\widehat{C}$, pas à $\widehat{A}$.
Les côtés homologues sont opposés aux angles de même mesure.[/reponse]
[reponse motif="$[DF]$"]Non.
Le côté $[DF]$ est opposé à $\widehat{E} = 80°$, qui correspond à $\widehat{B}$.
Le côté homologue de $[BC]$ doit être opposé à l'angle correspondant à $\widehat{A} = 35°$.[/reponse]
[reponse motif="Les triangles ne sont pas semblables"]Non.
Calcule le troisième angle de chaque triangle : $\widehat{C} = 65°$ et $\widehat{E} = 80°$.
Les deux triangles ont bien les mêmes angles ($35°$, $65°$, $80°$) et sont donc semblables.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Commence par trouver les correspondances entre sommets (via les angles de même mesure), puis identifie les côtés opposés aux angles homologues.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Configurations de triangles semblables

[enonce]
Pour chaque affirmation, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Dans le triangle $ABC$, le point $M$ est sur le segment $[AB]$ et le point $N$ est sur le segment $[AC]$, avec $(MN) \parallel (BC)$.
On donne $AM = 3$ cm et $AB = 5$ cm.

Configuration de Thalès dans un triangle ABC avec M sur AB et N sur AC, (MN) parallèle à (BC)

Affirmation : Le coefficient de similitude pour passer du triangle $AMN$ au triangle $ABC$ est $\dfrac{5}{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables car $(MN) \parallel (BC)$ (configuration de Thalès).
Le coefficient de similitude de $AMN$ vers $ABC$ est le rapport des côtés homologues :
$k = \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{5}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans une configuration de Thalès, le coefficient de similitude est le rapport des côtés homologues.
Pour passer du petit triangle $AMN$ au grand triangle $ABC$ :
$k = \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{5}{3}$.
Comme $k > 1$, le triangle $ABC$ est bien un agrandissement de $AMN$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le coefficient de $AMN$ vers $ABC$ est $k = \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{5}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $E$, et $(AB) \parallel (CD)$.

Configuration en papillon : les droites (AC) et (BD) se coupent en E avec (AB) parallèle à (CD)

Affirmation : Les triangles $ABE$ et $DCE$ sont semblables.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est une configuration de Thalès « en papillon ».
Les triangles $ABE$ et $DCE$ ont deux paires d'angles égaux :
les angles en $E$ sont opposés par le sommet (donc égaux), et les droites parallèles $(AB)$ et $(CD)$ créent des angles alternes-internes égaux.
Deux paires d'angles égaux suffisent pour conclure à la similitude.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : quand deux droites se coupent et qu'une paire de côtés est parallèle, on obtient une configuration de Thalès « en papillon ».
Les angles en $E$ sont égaux (opposés par le sommet), et $(AB) \parallel (CD)$ crée des angles alternes-internes égaux.
Les triangles $ABE$ et $DCE$ sont donc semblables.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Configuration de Thalès en papillon : les triangles $ABE$ et $DCE$ ont deux paires d'angles égaux.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère un triangle $PQR$ de côtés $PQ = 4$ cm, $QR = 6$ cm et $PR = 8$ cm, et un triangle $STU$ de côtés $ST = 6$ cm, $TU = 8$ cm et $SU = 12$ cm.

Deux triangles PQR (4, 6, 8) et STU (6, 8, 12) côte à côte

Affirmation : Les triangles $PQR$ et $STU$ sont semblables.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On range les côtés par ordre croissant :
$PQR$ : $4$, $6$, $8$ et $STU$ : $6$, $8$, $12$.
Les rapports sont : $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$, $\dfrac{8}{6} \approx 1{,}33$ et $\dfrac{12}{8} = 1{,}5$.
Le deuxième rapport est différent des deux autres : les côtés ne sont pas proportionnels.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, on pourrait croire à tort que les côtés sont proportionnels en ne vérifiant que certains rapports.
Les rapports ordonnés sont : $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$, $\dfrac{8}{6} \approx 1{,}33$ et $\dfrac{12}{8} = 1{,}5$.
Le rapport $\dfrac{8}{6}$ est différent : les côtés ne sont pas tous proportionnels.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le rapport $\dfrac{8}{6} \approx 1{,}33$ diffère de $1{,}5$ : pas de proportionnalité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. La hauteur issue de $C$ coupe le côté $[AB]$ en $H$.

Triangle ABC rectangle en C avec la hauteur CH

Affirmation : Les triangles $ACH$ et $ABC$ sont semblables.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les deux triangles ont en commun l'angle $\widehat{A}$.
De plus, le triangle $ACH$ a un angle droit en $H$ (car $CH$ est une hauteur) et le triangle $ABC$ a un angle droit en $C$.
Deux paires d'angles égaux suffisent pour conclure que $ACH$ et $ABC$ sont semblables.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre « avoir un angle commun » et « être semblable ». Ici il y a bien deux paires d'angles égaux.
L'angle $\widehat{A}$ est commun aux deux triangles.
L'angle $\widehat{AHC} = 90°$ (hauteur) et $\widehat{ACB} = 90°$ (rectangle en $C$).
Deux paires d'angles égaux : les triangles sont semblables.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les triangles $ACH$ et $ABC$ partagent l'angle $\widehat{A}$ et ont chacun un angle droit.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans le triangle $ABC$, $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ avec $(MN) \parallel (BC)$. On donne $AM = 3$ cm et $AB = 5$ cm.

Affirmation : Le rapport des aires $\dfrac{\text{Aire}(AMN)}{\text{Aire}(ABC)} = \dfrac{3}{5}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le coefficient de similitude de $AMN$ vers $ABC$ est $k = \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{5}{3}$.
Le rapport des aires est $k^2 = \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 = \dfrac{25}{9}$, donc :
$\dfrac{\text{Aire}(AMN)}{\text{Aire}(ABC)} = \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{9}{25}$, et non $\dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre le rapport des longueurs et le rapport des aires.
Le rapport des longueurs homologues est $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{5}$, mais le rapport des aires est le carré de ce rapport :
$\dfrac{\text{Aire}(AMN)}{\text{Aire}(ABC)} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le rapport des aires est $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}$, pas $\dfrac{3}{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux triangles semblables ont toujours leurs côtés homologues parallèles deux à deux.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Des côtés homologues parallèles, c'est le cas particulier de l'homothétie.
Deux triangles semblables peuvent être orientés de façon quelconque, avec des côtés qui ne sont pas parallèles du tout.
Par exemple, on peut pivoter un triangle semblable de $45°$ : les côtés ne sont plus parallèles, mais la similitude est conservée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, la similitude concerne les angles et les proportions, pas l'orientation dans le plan.
Les côtés parallèles sont une propriété spécifique de l'homothétie, pas de la similitude en général.
Deux triangles semblables peuvent être tournés l'un par rapport à l'autre, sans aucun côté parallèle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Des côtés parallèles deux à deux ne sont garantis que dans le cas d'une homothétie, pas pour toute similitude.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Reconnaître des triangles semblables

[enonce]
Pour chaque affirmation, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère un triangle de côtés $3$ cm, $5$ cm et $7$ cm et un triangle de côtés $6$ cm, $10$ cm et $14$ cm.

Affirmation : Ces deux triangles sont semblables.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On classe les côtés par ordre croissant et on calcule les rapports :
$\dfrac{6}{3} = 2$, $\dfrac{10}{5} = 2$, $\dfrac{14}{7} = 2$.
Les trois rapports sont égaux, donc les côtés sont proportionnels et les triangles sont semblables.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention, pour vérifier la similitude par les côtés, il faut comparer les rapports des côtés rangés par ordre croissant.
Ici : $\dfrac{6}{3} = 2$, $\dfrac{10}{5} = 2$, $\dfrac{14}{7} = 2$.
Les trois rapports sont tous égaux à $2$, les côtés sont proportionnels : les triangles sont bien semblables.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les rapports $\dfrac{6}{3} = \dfrac{10}{5} = \dfrac{14}{7} = 2$ sont tous égaux.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère un triangle de côtés $4$ cm, $6$ cm et $9$ cm et un triangle de côtés $8$ cm, $12$ cm et $16$ cm.

Affirmation : Ces deux triangles sont semblables.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule les trois rapports :
$\dfrac{8}{4} = 2$, $\dfrac{12}{6} = 2$, mais $\dfrac{16}{9} \approx 1{,}78$.
Le troisième rapport n'est pas égal aux deux premiers. Les côtés ne sont pas proportionnels, les triangles ne sont pas semblables.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne suffit pas que deux rapports soient égaux, il faut vérifier les trois.
$\dfrac{8}{4} = 2$, $\dfrac{12}{6} = 2$, mais $\dfrac{16}{9} \approx 1{,}78$.
Le dernier rapport est différent des autres : les côtés ne sont pas proportionnels et les triangles ne sont pas semblables.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le rapport $\dfrac{16}{9} \approx 1{,}78$ diffère des deux autres ($2$), donc les côtés ne sont pas proportionnels.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ vérifie $\widehat{A} = 50°$ et $\widehat{B} = 65°$. Le triangle $DEF$ vérifie $\widehat{D} = 65°$ et $\widehat{F} = 65°$.

Affirmation : Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule les angles manquants :
$\widehat{C} = 180° - 50° - 65° = 65°$ et $\widehat{E} = 180° - 65° - 65° = 50°$.
Les angles du triangle $ABC$ sont $50°$, $65°$, $65°$ et ceux de $DEF$ sont $65°$, $50°$, $65°$.
On retrouve deux paires d'angles égaux : $\widehat{A} = \widehat{E} = 50°$ et $\widehat{B} = \widehat{D} = 65°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de croire que les angles doivent se correspondre dans le même ordre.
En calculant les angles manquants : $\widehat{C} = 65°$ et $\widehat{E} = 50°$.
Les triangles ont les mêmes trois angles ($50°$, $65°$, $65°$), même si les lettres ne se correspondent pas dans l'ordre alphabétique.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les deux triangles ont les mêmes angles ($50°$, $65°$, $65°$), donc ils sont semblables.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le triangle $GHI$ vérifie $\widehat{G} = 45°$ et $\widehat{H} = 75°$. Le triangle $JKL$ vérifie $\widehat{J} = 45°$ et $\widehat{K} = 55°$.

Affirmation : Les triangles $GHI$ et $JKL$ sont semblables.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule les troisièmes angles :
$\widehat{I} = 180° - 45° - 75° = 60°$ et $\widehat{L} = 180° - 45° - 55° = 80°$.
Les angles de $GHI$ sont $45°$, $75°$, $60°$ et ceux de $JKL$ sont $45°$, $55°$, $80°$.
La seule paire commune est $45°$, ce qui ne suffit pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « un angle en commun » et « deux paires d'angles égaux ».
Les angles de $GHI$ sont $45°$, $75°$, $60°$ et ceux de $JKL$ sont $45°$, $55°$, $80°$.
Un seul angle est commun ($45°$), il en faut au moins deux pour conclure à la similitude.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Ces triangles n'ont qu'un seul angle commun ($45°$), ce qui ne suffit pas.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère un triangle de côtés $5$ cm, $7$ cm et $10$ cm et un triangle de côtés $10$ cm, $14$ cm et $18$ cm.

Affirmation : Ces deux triangles sont semblables.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule les trois rapports :
$\dfrac{10}{5} = 2$, $\dfrac{14}{7} = 2$, mais $\dfrac{18}{10} = 1{,}8$.
Le troisième rapport est différent : les côtés ne sont pas proportionnels.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, les deux premiers rapports ($2$ et $2$) peuvent donner l'impression que les côtés sont proportionnels, mais il faut vérifier les trois rapports.
$\dfrac{18}{10} = 1{,}8 \neq 2$ : les côtés ne sont pas tous proportionnels.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le rapport $\dfrac{18}{10} = 1{,}8$ est différent de $2$ : pas de proportionnalité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ vérifie $\widehat{A} = 60°$, $AB = 4$ cm et $AC = 6$ cm. Le triangle $DEF$ vérifie $\widehat{D} = 60°$, $DE = 6$ cm et $DF = 9$ cm.

$Deux triangles avec un angle de 60^{\circ} compris entre deux côtés proportionnels$

Affirmation : Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'angle $\widehat{A} = \widehat{D} = 60°$ est compris entre les côtés $[AB]$, $[AC]$ d'une part et $[DE]$, $[DF]$ d'autre part.
Les rapports sont : $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$ et $\dfrac{DF}{AC} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$.
Un angle égal compris entre deux côtés proportionnels : c'est le 3e cas de similitude.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le 3e cas de similitude dit que deux triangles ayant un angle de même mesure compris entre deux côtés proportionnels sont semblables.
Ici $\widehat{A} = \widehat{D} = 60°$, et les côtés qui forment cet angle vérifient $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{DF}{AC} = 1{,}5$.
Les conditions sont réunies.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par le 3e cas de similitude : angle égal ($60°$) compris entre côtés proportionnels (rapport $1{,}5$).
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Propriétés des triangles semblables

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les triangles semblables, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Deux triangles équilatéraux sont toujours semblables.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux à $60°$. Deux triangles équilatéraux ont donc leurs angles deux à deux égaux, quelle que soit leur taille.
Ils sont toujours semblables.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont égaux deux à deux.
Un triangle équilatéral a toujours trois angles de $60°$, donc deux triangles équilatéraux ont automatiquement les mêmes angles.
Ils sont semblables, même s'ils n'ont pas la même taille.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Tous les triangles équilatéraux ont trois angles de $60°$, ils sont donc toujours semblables.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux triangles rectangles sont toujours semblables.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un angle droit commun ne donne qu'une seule paire d'angles égaux.
Pour que deux triangles soient semblables, il faut deux paires d'angles égaux.
Par exemple, un triangle rectangle avec un angle de $30°$ et un autre avec un angle de $45°$ ne sont pas semblables.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, avoir un angle droit en commun ne suffit pas.
Il faut que deux paires d'angles soient égales pour conclure à la similitude.
Un triangle rectangle avec des angles $90°$, $30°$, $60°$ et un autre avec des angles $90°$, $45°$, $45°$ n'ont qu'un seul angle en commun : ils ne sont pas semblables.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Un seul angle commun ($90°$) ne suffit pas pour la similitude.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour démontrer que deux triangles sont semblables par les angles, il suffit de vérifier que deux paires d'angles sont égales.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La somme des angles d'un triangle vaut toujours $180°$.
Si deux paires d'angles sont égales, la troisième paire l'est automatiquement.
Il est donc inutile de vérifier les trois paires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre « nécessaire » et « suffisant ».
Puisque la somme des angles d'un triangle vaut $180°$, le troisième angle est déterminé par les deux autres.
Deux paires d'angles égaux entrainent donc automatiquement l'égalité de la troisième paire.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Deux paires d'angles égaux suffisent, car le troisième angle se déduit des deux autres.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec $\widehat{A} = \widehat{D}$ et $\widehat{B} = \widehat{E}$.

Affirmation : Les côtés $[BC]$ et $[DE]$ sont des côtés homologues.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les côtés homologues sont les côtés opposés aux angles égaux.
Le côté $[BC]$ est opposé à $\widehat{A}$, il est donc homologue au côté opposé à $\widehat{D}$, c'est-à-dire $[EF]$.
Le côté $[DE]$ est opposé à $\widehat{F}$, il est homologue à $[AB]$ (opposé à $\widehat{C}$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre les sommets et les côtés homologues.
Les côtés homologues sont ceux qui sont opposés aux angles égaux, pas ceux qui portent les mêmes lettres.
$[BC]$ est opposé à $\widehat{A}$, donc homologue de $[EF]$ (opposé à $\widehat{D}$).
$[DE]$ est opposé à $\widehat{F}$, donc homologue de $[AB]$ (opposé à $\widehat{C}$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $[BC]$ est homologue à $[EF]$ (tous deux opposés aux angles égaux $\widehat{A} = \widehat{D}$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux triangles isocèles sont toujours semblables.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un triangle isocèle a deux angles égaux, mais la valeur de ces angles peut varier.
Un triangle isocèle avec des angles $80°$, $50°$, $50°$ et un autre avec des angles $40°$, $70°$, $70°$ n'ont aucune paire d'angles en commun.
La propriété « isocèle » ne détermine pas la forme du triangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Contrairement aux triangles équilatéraux, les triangles isocèles n'ont pas tous la même forme.
L'angle au sommet peut prendre n'importe quelle valeur entre $0°$ et $180°$.
Par exemple, un triangle isocèle très « aplati » ($160°$, $10°$, $10°$) et un triangle isocèle « pointu » ($20°$, $80°$, $80°$) ne sont pas du tout semblables.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Des triangles isocèles peuvent avoir des angles très différents et ne pas être semblables.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans une configuration de Thalès, les deux triangles formés sont semblables.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Dans une configuration de Thalès, les droites parallèles créent des angles correspondants égaux.
Les deux triangles ont donc deux paires d'angles égaux (plus l'angle commun au sommet), ce qui garantit la similitude.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : dans une configuration de Thalès, une droite parallèle à un côté d'un triangle coupe les deux autres côtés.
Les angles correspondants créés par cette droite parallèle sont égaux.
Les deux triangles ont donc leurs angles deux à deux égaux : ils sont semblables.
Le coefficient de similitude est le rapport des côtés parallèles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les droites parallèles dans une configuration de Thalès garantissent l'égalité des angles, donc la similitude.
[/solution]
[/etape]

Triangles semblables dans un rectangle

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB = 6$ cm et $BC = 10$ cm. Le point $M$ est sur le segment $[BC]$ tel que $BM = 4$ cm. La droite $(AM)$ coupe la droite $(DC)$ en $E$.

Rectangle ABCD avec M sur BC et droite AM prolongée jusqu'au point E sur la droite DC

Démontrer que les triangles $ABM$ et $ECM$ sont semblables.
Calculer le coefficient de similitude pour passer de $ABM$ à $ECM$.
En déduire la longueur $EC$.
Calculer le rapport $\dfrac{\text{Aire}(ECM)}{\text{Aire}(ABM)}$.

Corrigé

L'angle $\widehat{ABM}$ est un angle droit (angle du rectangle en $B$).
Les droites $(DC)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires (côtés du rectangle), donc l'angle $\widehat{ECM} = 90°$.
De plus, les angles $\widehat{AMB}$ et $\widehat{EMC}$ sont opposés par le sommet, donc de même mesure.
Les triangles $ABM$ et $ECM$ ont deux angles de même mesure : ils sont semblables.
Les sommets homologues sont : $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow C$ et $M \leftrightarrow M$.
On calcule d'abord $CM$ :
$CM = BC - BM = 10 - 4 = 6$ cm
Le coefficient de similitude est :
$k = \dfrac{CM}{BM} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$
On en déduit la longueur $EC$ :
$EC = k \times AB = \dfrac{3}{2} \times 6$

$EC = 9$ cm
Le rapport des aires est le carré du coefficient de similitude :
$\dfrac{\text{Aire}(ECM)}{\text{Aire}(ABM)} = k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$

$\mathbf{\dfrac{\text{Aire}(ECM)}{\text{Aire}(ABM)} = \dfrac{9}{4}}$

Pour réviser : Démontrer que deux triangles sont semblables par les angles

Hauteur d’un immeuble par ombre portée

Par une journée ensoleillée, un poteau vertical de $2$ m de hauteur projette une ombre de $1{,}5$ m sur le sol. Au même moment, un immeuble voisin projette une ombre de $12$ m sur le sol.

Schéma : un poteau de 2 m avec une ombre de 1,5 m et un immeuble de hauteur inconnue avec une ombre de 12 m

(La figure n'est pas à l'échelle.)

Expliquer pourquoi la situation fait apparaitre deux triangles semblables.
Calculer le coefficient de similitude.
En déduire la hauteur $h$ de l'immeuble.

Corrigé

Les rayons du soleil sont parallèles. Le poteau et l'immeuble sont verticaux, donc perpendiculaires au sol. On obtient deux triangles rectangles :
- le triangle formé par le poteau, son ombre et le rayon de soleil ;
- le triangle formé par l'immeuble, son ombre et le rayon de soleil.
Ces deux triangles ont chacun un angle droit (au pied du poteau et au pied de l'immeuble) et le même angle formé par les rayons du soleil avec le sol. Ils ont donc deux angles de même mesure et sont semblables.
Le coefficient de similitude est le rapport des ombres :
$k = \dfrac{12}{1{,}5} = 8$
La hauteur de l'immeuble est :
$h = k \times 2 = 8 \times 2$

$h = 16$ m

Pour réviser : Calculer une longueur inconnue avec des triangles semblables

Longueur inconnue dans une configuration de Thalès

Dans un triangle $ABC$, on a $AB = 10$ cm, $AC = 8$ cm et $BC = 12$ cm. Le point $M$ est sur le segment $[AB]$ tel que $AM = 4$ cm. La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $N$.

Triangle ABC avec M sur AB, N sur AC, droite MN parallèle à BC

Démontrer que les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables.
Calculer le coefficient de similitude.
En déduire les longueurs $MN$ et $AN$.

Corrigé

Les triangles $AMN$ et $ABC$ partagent l'angle commun $\widehat{A}$.
Comme $(MN) \parallel (BC)$ et $(AB)$ est une sécante, les angles correspondants sont égaux :
$\widehat{AMN} = \widehat{ABC}$
Les triangles $AMN$ et $ABC$ ont deux angles de même mesure, ils sont donc semblables.
(On reconnait ici une configuration de Thalès : $(MN) \parallel (BC)$ dans le triangle $ABC$.)
Les sommets homologues sont : $A \leftrightarrow A$, $M \leftrightarrow B$ et $N \leftrightarrow C$.
Le coefficient de similitude est :
$k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$
On en déduit les longueurs :
$MN = k \times BC = \dfrac{2}{5} \times 12 = \dfrac{24}{5} = 4{,}8$ cm
$AN = k \times AC = \dfrac{2}{5} \times 8 = \dfrac{16}{5} = 3{,}2$ cm

$MN = 4{,}8$ cm et $AN = 3{,}2$ cm

Pour réviser : Calculer une longueur inconnue avec des triangles semblables