Vrai/Faux : Théorèmes de convergence

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les théorèmes de convergence, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$, avec $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = 3$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ converge vers $3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est l'application directe du théorème des gendarmes : si $(u_n)$ est encadrée par deux suites convergeant vers la même limite, alors $(u_n)$ converge aussi vers cette limite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : encadrer une suite par deux autres convergeant vers la même limite force la convergence de la suite encadrée vers cette limite commune.
Conclusion : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par le théorème des gendarmes, $(u_n)$ converge vers $3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée par $10$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ converge vers $10$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le théorème de la limite monotone garantit que $(u_n)$ converge, mais pas nécessairement vers $10$. La limite est inférieure ou égale au majorant.
Par exemple, $u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$ est croissante, majorée par $10$, mais converge vers $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « majorant » et « limite » : le théorème de la limite monotone affirme l'existence d'une limite finie $\ell \leqslant 10$, sans préciser sa valeur.
$u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$ est croissante, majorée par $10$ et converge vers $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Une suite croissante majorée converge vers une limite $\ell$ qui est inférieure ou égale au majorant, mais n'est pas nécessairement égale à ce majorant.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leqslant v_n$.

Affirmation : Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est le théorème de comparaison pour la divergence : si $u_n \leqslant v_n$ et $u_n \to +\infty$, alors $v_n$ est minorée par une suite tendant vers $+\infty$, donc $v_n \to +\infty$ également.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour montrer qu'une suite tend vers $+\infty$, il suffit de la minorer par une suite tendant elle-même vers $+\infty$.
Comme $u_n \leqslant v_n$ et $u_n \to +\infty$, $v_n$ tend aussi vers $+\infty$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par le théorème de comparaison, si $u_n \leqslant v_n$ et $u_n \to +\infty$, alors $v_n \to +\infty$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_n = \dfrac{\sin(n)}{n}$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ converge vers $0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour tout $n \geqslant 1$, $-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1$, donc $-\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}$.
Comme $-\dfrac{1}{n} \to 0$ et $\dfrac{1}{n} \to 0$, par le théorème des gendarmes, $u_n \to 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de penser que $\sin(n)$ empêche la convergence. En fait, $\sin(n)$ est borné, donc divisé par $n \to +\infty$, le quotient tend vers $0$.
Encadrement : $-\dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{\sin(n)}{n} \leqslant \dfrac{1}{n}$ ; les bornes tendent vers $0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par encadrement, $\dfrac{\sin(n)}{n} \to 0$ quand $n \to +\infty$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite définie sur $\mathbb{N}$, et $(v_n)$ la suite définie par $v_n = u_n + (-1)^n$.

Affirmation : Si $(v_n)$ converge, alors $(u_n)$ converge.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Considérons $u_n = (-1)^{n+1}$ : alors $v_n = u_n + (-1)^n = -(-1)^n + (-1)^n = 0$, qui converge vers $0$. Pourtant, $(u_n)$ oscille entre $-1$ et $1$ et ne converge pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : la convergence d'une somme n'entraîne pas celle de chacun des termes. La compensation de deux suites oscillantes peut produire une suite convergente.
Contre-exemple : avec $u_n = (-1)^{n+1}$, $(v_n)$ est nulle (donc converge), mais $(u_n)$ ne converge pas.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Si $u_n = (-1)^{n+1}$, alors $v_n = 0$ converge, mais $(u_n)$ ne converge pas.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite définie sur $\mathbb{N}$ telle que pour tout $n$, $|u_n - 7| \leqslant \dfrac{2}{n+1}$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ converge vers $7$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'inégalité donne $-\dfrac{2}{n+1} \leqslant u_n - 7 \leqslant \dfrac{2}{n+1}$, soit $7 - \dfrac{2}{n+1} \leqslant u_n \leqslant 7 + \dfrac{2}{n+1}$.
Comme $\dfrac{2}{n+1} \to 0$, le théorème des gendarmes donne $u_n \to 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : encadrer $|u_n - \ell|$ par une suite tendant vers $0$ équivaut à dire que $u_n$ tend vers $\ell$.
Ici $|u_n - 7| \to 0$, donc $u_n \to 7$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'écart $|u_n - 7|$ est majoré par une suite qui tend vers $0$, donc $u_n \to 7$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Théorèmes de convergence

[enonce]
Ce QCM avancé porte sur les théorèmes de convergence : théorème des gendarmes, théorèmes de comparaison, convergence monotone et recherche de la limite par point fixe. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $u_n = \dfrac{2 + (-1)^n}{n}$ pour $n \geqslant 1$. La limite quand $n \to +\infty$ vaut :
[qcm]
[option]n'existe pas (oscillation)[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour tout $n \geqslant 1$, $-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1$, donc $1 \leqslant 2 + (-1)^n \leqslant 3$. En divisant par $n > 0$ :
$\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{3}{n}$.
Or $\dfrac{1}{n} \to 0$ et $\dfrac{3}{n} \to 0$, donc d'après le théorème des gendarmes, $\lim u_n = 0$.[/reponse]
[reponse motif="n'existe pas (oscillation)"]Non.
Le numérateur oscille (entre $1$ et $3$), mais on divise ensuite par $n$ qui tend vers $+\infty$. L'amplitude des oscillations est écrasée vers $0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1$ est la borne inférieure de $2 + (-1)^n$, mais elle est ensuite divisée par $n$ qui tend vers $+\infty$. La fraction tend vers $0$, pas vers $1$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ est la valeur moyenne de $2 + (-1)^n$, mais ce numérateur est divisé par $n$ qui croît sans borne. Le quotient s'écrase vers $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Encadrer $u_n$ entre $\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{3}{n}$, deux suites qui tendent vers $0$, et appliquer le théorème des gendarmes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $10$. On peut affirmer que :
[qcm]
[option]$\lim u_n = 10$[/option]
[option]$\lim u_n = +\infty$[/option]
[option correct="true"]$(u_n)$ converge vers une limite $\ell \leqslant 10$[/option]
[option]$(u_n)$ converge vers $u_0$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
D'après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée converge vers une limite finie. Le majorant $10$ donne une borne supérieure pour la limite : $\ell \leqslant 10$, mais cette limite n'est en général pas $10$ exactement (le majorant peut être strictement plus grand que la limite).[/reponse]
[reponse motif="$\lim u_n = 10$"]Non.
$10$ est un majorant, pas nécessairement la limite. Par exemple, $u_n = 5 - \dfrac{1}{n+1}$ est majorée par $10$ mais converge vers $5$.[/reponse]
[reponse motif="$\lim u_n = +\infty$"]Non.
Une suite majorée ne peut pas tendre vers $+\infty$ : tous ses termes restent inférieurs au majorant. Le théorème de convergence monotone garantit ici une limite finie.[/reponse]
[reponse motif="$(u_n)$ converge vers $u_0$"]Non.
Si la suite est croissante (au sens strict), tous les termes suivants $u_0$ sont supérieurs à $u_0$. La limite est donc supérieure ou égale à $u_0$, mais en général distincte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
D'après le théorème de convergence monotone, une suite croissante et majorée converge vers une limite finie, plus petite ou égale au majorant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une suite $(u_n)$ vérifie $u_n \geqslant n - 5$ pour tout entier $n$. On peut conclure :
[qcm]
[option]$(u_n)$ converge[/option]
[option]$(u_n)$ est bornée[/option]
[option correct="true"]$\lim u_n = +\infty$[/option]
[option]on ne peut rien dire[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La suite minorante $v_n = n - 5$ tend vers $+\infty$ (car $\lim n = +\infty$ et $-5$ est constant). D'après le théorème de comparaison, si $u_n \geqslant v_n$ et $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$(u_n)$ converge"]Non.
$(u_n)$ ne peut pas converger : ses termes deviennent arbitrairement grands (puisqu'elle est minorée par $n - 5$ qui tend vers $+\infty$).[/reponse]
[reponse motif="$(u_n)$ est bornée"]Non.
Une suite minorée par $n - 5$ ne peut pas être majorée : les termes $u_n$ deviennent aussi grands que voulu.[/reponse]
[reponse motif="on ne peut rien dire"]Non.
Le théorème de comparaison s'applique : si $u_n \geqslant v_n$ avec $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Théorème de comparaison : si $u_n \geqslant v_n$ et $v_n \to +\infty$, alors $u_n \to +\infty$. Vérifier la limite de la minorante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. On admet que $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \geqslant 0$. Alors $\ell$ vaut :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$\sqrt{2}$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$-1$ ou $2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $u_{n+1}$ converge aussi vers $\ell$ et, par continuité, $\sqrt{u_n + 2}$ converge vers $\sqrt{\ell + 2}$.
On obtient donc $\ell = \sqrt{\ell + 2}$, soit $\ell^2 = \ell + 2$ (avec $\ell \geqslant 0$). Cette équation s'écrit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, soit $(\ell - 2)(\ell + 1) = 0$ : $\ell = 2$ ou $\ell = -1$. Comme $\ell \geqslant 0$, on garde $\ell = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$\ell = 0$ donnerait $0 = \sqrt{0 + 2} = \sqrt{2}$, ce qui est faux. La valeur initiale $u_0 = 0$ ne se conserve pas pour la limite.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}$"]Non.
$\sqrt{2}$ correspond à $u_1 = \sqrt{0 + 2}$, c'est-à-dire le terme suivant $u_0$. Ce n'est pas la limite, mais juste le deuxième terme de la suite.[/reponse]
[reponse motif="$-1$ ou $2$"]Non.
Les deux racines de $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ sont effectivement $-1$ et $2$, mais la condition $\ell \geqslant 0$ (puisque $u_n \geqslant 0$ pour tout $n$) impose de retenir uniquement la solution positive.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver la limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ qui converge, résoudre l'équation de point fixe $\ell = f(\ell)$, puis trier les solutions selon les contraintes (signe, encadrement).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}(u_n + 4)$. On admet que $(u_n)$ est croissante et majorée par $4$. Sa limite vaut :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$+\infty$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La suite est croissante et majorée par $4$ : par le théorème de convergence monotone, elle admet une limite finie $\ell$. À la limite, l'égalité $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}(u_n + 4)$ donne $\ell = \dfrac{1}{2}(\ell + 4)$, soit $2\ell = \ell + 4$, donc $\ell = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$0$ est la valeur de $u_0$, pas la limite. Comme la suite est croissante, sa limite est strictement supérieure à $u_0$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ correspondrait à un point fixe différent. Vérifier l'équation : $\ell = \dfrac{1}{2}(\ell + 4)$ équivaut à $2\ell = \ell + 4$, donc $\ell = 4$ et non $\ell = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
La suite est majorée par $4$, donc sa limite (qui existe) est finie et inférieure ou égale à $4$. Elle ne peut pas tendre vers $+\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le théorème de convergence monotone garantit l'existence de la limite. Pour la calculer, résoudre l'équation de point fixe $\ell = \dfrac{1}{2}(\ell + 4)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang. On suppose que $\lim u_n = +\infty$. On peut conclure :
[qcm]
[option]$\lim v_n = 0$[/option]
[option]$(v_n)$ est nécessairement bornée[/option]
[option]$\lim v_n$ peut valoir n'importe quel réel[/option]
[option correct="true"]$\lim v_n = +\infty$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
D'après le théorème de comparaison, si $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$. Comme $v_n$ est au-dessus d'une suite qui devient arbitrairement grande, $v_n$ devient lui aussi arbitrairement grand.[/reponse]
[reponse motif="$\lim v_n = 0$"]Non.
Si $v_n \geqslant u_n$ et $u_n \to +\infty$, alors $v_n$ ne peut pas tendre vers $0$ : elle est forcée de croître au moins aussi vite que $u_n$.[/reponse]
[reponse motif="$(v_n)$ est nécessairement bornée"]Non.
Au contraire, $v_n$ est non bornée : elle dépasse tout réel à partir d'un certain rang puisqu'elle est plus grande qu'une suite qui tend vers $+\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$\lim v_n$ peut valoir n'importe quel réel"]Non.
La contrainte $v_n \geqslant u_n$ avec $u_n \to +\infty$ force $v_n \to +\infty$. Aucun réel fini ne peut être limite de $(v_n)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Théorème de comparaison : si $u_n \leqslant v_n$ et $u_n \to +\infty$, alors $v_n \to +\infty$ aussi (la suite « majorante » suit la « minorante » vers l'infini).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Problème récapitulatif sur les suites

Soit la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0=\dfrac{1}{2} $ et, pour tout entier naturel $ n $ :

$ u_{n+1} = \dfrac{2u_n}{u_n+1} $

Partie A

Calculer $ u_1 $ et $ u_2 $.
On considère la fonction $ f $ définie sur $ ]-1~;~+\infty[ $ par :

$ f(x)= \dfrac{2x}{x+1} $

Étudier les variations de la fonction $ f $ sur $ ]-1~;~+\infty[ $.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté la droite $ d $ d'équation $ y=x $ et la courbe $ \mathscr{C_f} $ représentative de $ f $.
1. Construire, sur ce graphique, les points $ A_0 $, $ A_1 $ et $ A_2 $ situés sur l'axe des abscisses et dont les abscisses sont respectivement $ u_0 $, $ u_1 $ et $ u_2 $ (laisser apparents les traits de construction).
2. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $ (u_n) $.

Partie B

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $ n $ :
  
  $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 $
2. En déduire que la suite $ (u_n) $ est convergente.
On définit la suite $ (v_n) $ pour tout entier naturel $ n $ par :

$ v_n= \dfrac{1}{u_n} - 1 $
1. Montrer que la suite $ (v_n) $ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Déterminer, pour tout entier naturel $ n $, l'expression de $ v_n $ puis l'expression de $ u_n $ en fonction de $ n $.
3. En déduire la limite de la suite $ (u_n) $.

Partie C

Soit $ a $ un réel strictement positif. Expliquer pourquoi il existe un entier naturel $ p $ tel que, pour tout entier naturel $ n $ supérieur ou égal à $ p $ : $ 1 - u_n < a $.
Compléter la fonction Python ci-dessous pour qu'elle retourne la plus petite valeur de $ n $ telle que $ 1 - u_n < a $, où $ a $ est un réel strictement positif passé en argument.
```
def rang(a):
    u = 1/2
    n = 0
    while ...
        u = ...
        n = ...
    return ...
```

Corrigé

Partie A

On applique la formule de récurrence.

$ u_{1}=\dfrac{2u_{0}}{u_{0}+1}=\dfrac{2\times \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{2}{3} $

$ u_{2}=\dfrac{2u_{1}}{u_{1}+1}=\dfrac{2\times \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}+1}=\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{4}{3}\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{5} $
La fonction $ f $ est dérivable sur $ ]-1~;~+\infty[ $ et :

$ f^{\prime}(x) =\dfrac{2(x+1) - 2x}{(x+1)^{2}}=\dfrac{2}{(x+1)^{2}} $

Comme $ (x+1)^2 > 0 $ sur $ ]-1~;~+\infty[ $, $ f^{\prime} $ est strictement positive sur cet intervalle, donc $ f $ est strictement croissante sur $ ]-1~;~+\infty[ $.
1. Construction graphique des premiers termes de la suite :
2. La suite $ (u_n) $ semble croissante et convergente vers $ 1 $.

Partie B

1. Initialisation.
  
  Montrons que $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_0 \leqslant u_{1} \leqslant 1 $.
  
  On a $ u_0 = \dfrac{1}{2} $ et $ u_1 = \dfrac{2}{3} $.
  
  Comme $ \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{2}{3} \leqslant 1 $, la propriété est vraie au rang $ 0 $.
  
  Hérédité.
  
  Supposons que la propriété $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 $ est vraie pour un certain entier naturel $ n $ et démontrons que la propriété est alors vraie au rang $ n+1 $.
  
  Si $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 $, alors comme $ f $ est croissante sur $ ]-1~;~+\infty[ $ :
  
  $ f\left( \dfrac{1}{2}\right) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(1) $
  
  Or $ f\left( \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2\times \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1} = \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{2}{3} $, $ f(u_n)=u_{n+1} $, $ f(u_{n+1})=u_{n+2} $ et $ f(1)=\dfrac{2}{2}=1 $ donc :
  
  $ \dfrac{2}{3} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1 $
  
  et comme $ \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{2}{3} $ :
  
  $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1 $
  
  La propriété est donc vraie au rang $ n+1 $.
  
  Conclusion.
  
  La propriété $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 $ est vraie au rang $ 0 $ et elle est héréditaire ; par conséquent, elle est vraie pour tout entier naturel $ n $.
2. D'après la question précédente, la suite $ (u_n) $ est croissante et majorée par $ 1 $, donc elle est convergente (théorème de convergence monotone).
1. Pour montrer que la suite $ (v_n) $ est géométrique, on montre qu'il existe une constante $ q $ telle que, pour tout entier naturel $ n $, $ v_{n+1} = q\,v_n $.
  
  $ \begin{aligned}v_{n+1}&=\dfrac{1}{u_{n+1}} - 1\\ &=\dfrac{u_{n}+1}{2u_{n}} - 1\\ &=\dfrac{u_{n}+1 - 2u_{n}}{2u_{n}}\\ &=\dfrac{1 - u_{n}}{2u_{n}}\\ &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1 - u_{n}}{u_{n}}\\ &=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{u_{n}} - 1\right) \\ &=\dfrac{1}{2}v_{n}\end{aligned} $
  
  Donc la suite $ (v_n) $ est une suite géométrique de raison $ q=\dfrac{1}{2} $.
  
  Son premier terme est $ v_0 = \dfrac{1}{u_0} - 1 = 2 - 1 = 1 $.
2. On en déduit que, pour tout entier naturel $ n $ :
  
  $ v_n = v_0\,q^n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^n = \dfrac{1}{2^n} $
  
  De la relation $ v_n= \dfrac{1}{u_n} - 1 $, on déduit :
  
  $ \dfrac{1}{u_n} = v_n + 1 $
  $ u_n = \dfrac{1}{v_n + 1} $
  
  donc :
  
  $ \begin{aligned} u_n&=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2^{n}}+1}\\ &=\dfrac{1}{\dfrac{1+2^{n}}{2^{n}}}\\ &=\dfrac{2^{n}}{1+2^n}\end{aligned} $
3. Comme $ -1 < \dfrac{1}{2} < 1 $ :
  
  $ \lim\limits_{n\to +\infty }v_{n}=\lim\limits_{n\to +\infty }\left( \dfrac{1}{2}\right)^{n}=0 $ (limite d'une suite géométrique).
  
  Comme $ u_n = \dfrac{1}{v_n + 1} $, on en déduit (par somme et par quotient) que la suite $ (u_n) $ converge vers $ \dfrac{1}{0+1} = 1 $.

Partie C

Soit $ a>0 $.

D'après la définition de la limite, dire que la suite $ (u_n) $ converge vers $ 1 $ signifie qu'il existe un entier naturel $ p $ à partir duquel $ -a < u_n - 1 < a $ pour tout entier naturel $ n \geqslant p $.

Or l'inégalité $ -a < u_n - 1 $ est équivalente à $ 1 - u_n < a $.

def rang(a):
    u = 1/2
    n = 0
    while 1 - u >= a:
        u = 2*u/(u+1)
        n = n + 1
    return n

Suites – Récurrence – Limite

Soit la suite $ (u_n) $ définie pour tout entier $ n \geqslant 1 $ par :

$ u_n=\dfrac{1}{3^1}+\dfrac{2}{3^2}+\dots+\dfrac{n}{3^n} $

Partie A

Calculer $ u_1 $, $ u_2 $ et $ u_3 $. À l'aide d'une calculatrice, déterminer une valeur approchée de $ u_{100} $ à $ 10^{-3} $ près.
Quel est le sens de variation de la suite $ (u_n) $ ? Justifier la réponse.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $ n $ non nul, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant n $.
Déduire de la question précédente un majorant de $ u_n $.
Prouver que la suite $ (u_n) $ est convergente.

Partie B

Dans la suite de l'exercice, on notera $ l $ la limite de la suite $ (u_n) $.

Démontrer que pour tout entier naturel $ n $, $ 3^{n+1} > n(n+1)^2 $.
Pour tout entier naturel $ n $ non nul, on pose $ v_n=u_n+\dfrac{1}{n} $. Montrer que la suite $ (v_n) $ est décroissante.
Démontrer que la suite $ (v_n) $ est convergente. Quelle est sa limite ?
Déterminer un encadrement de $ l $ d'amplitude $ 10^{-2} $.

Corrigé

Partie A

On calcule les premiers termes.

$ u_1 = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333 $
$ u_2 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{3}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}556 $
$ u_3 = \dfrac{5}{9} + \dfrac{3}{27} = \dfrac{15}{27} + \dfrac{3}{27} = \dfrac{18}{27} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667 $

À l'aide d'une calculatrice, on trouve $ u_{100} \approx 0{,}749 $ à $ 10^{-3} $ près.
Pour tout entier $ n \geqslant 1 $ :

$ u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{3^{n+1}} $

Comme $ n+1 > 0 $ et $ 3^{n+1} > 0 $, on a $ u_{n+1} - u_n > 0 $.

La suite $ (u_n) $ est donc strictement croissante.
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $ n \geqslant 1 $, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant n $.

Initialisation : pour $ n=1 $, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^1 = 1{,}5 \geqslant 1 $ ; pour $ n=2 $, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4} = 2{,}25 \geqslant 2 $. La propriété est vraie aux rangs $ 1 $ et $ 2 $.

Hérédité : supposons que pour un entier $ n \geqslant 2 $, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant n $. Alors :

$ \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1} = \dfrac{3}{2} \times \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant \dfrac{3}{2}\,n = n + \dfrac{n}{2} $

Comme $ n \geqslant 2 $, on a $ \dfrac{n}{2} \geqslant 1 $, donc $ n + \dfrac{n}{2} \geqslant n + 1 $. Ainsi $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1} \geqslant n+1 $ et la propriété est héréditaire à partir du rang $ 2 $.

Conclusion : la propriété est vraie au rang $ 2 $ et héréditaire à partir de ce rang, donc vraie pour tout $ n \geqslant 2 $ ; comme elle est aussi vraie au rang $ 1 $, on a pour tout entier naturel $ n $ non nul, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant n $.
De l'inégalité $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant n $, on déduit en divisant par $ 3^n > 0 $ :

$ \dfrac{1}{2^n} \geqslant \dfrac{n}{3^n} $

Donc pour tout $ k \geqslant 1 $, $ \dfrac{k}{3^k} \leqslant \dfrac{1}{2^k} $. En sommant de $ k=1 $ à $ n $ :

$ u_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{3^k} \leqslant \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^k} $

La somme de droite est celle des $ n $ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $ \dfrac{1}{2} $ et de raison $ \dfrac{1}{2} $ :

$ \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^k} = \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant 1 $

On en déduit que $ u_n \leqslant 1 $ pour tout $ n \geqslant 1 $.

$ 1 $ est donc un majorant de la suite $ (u_n) $.
La suite $ (u_n) $ est croissante (d'après la question 2) et majorée par $ 1 $ (d'après la question 4). D'après le théorème de convergence monotone, la suite $ (u_n) $ est convergente.

Partie B

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $ n $, $ 3^{n+1} > n(n+1)^2 $.

Initialisation : pour $ n=0 $, $ 3^{1} = 3 > 0 = 0 \times 1^2 $. La propriété est vraie au rang $ 0 $.

Hérédité : supposons la propriété vraie pour un entier $ n \geqslant 0 $. On veut montrer que $ 3^{n+2} > (n+1)(n+2)^2 $.

On a $ 3^{n+2} = 3 \times 3^{n+1} $.

On compare $ 3\times n(n+1)^2 $ à $ (n+1)(n+2)^2 $. Comme $ n+1 > 0 $, cela revient à comparer $ 3n(n+1) $ et $ (n+2)^2 $ :

$ 3n(n+1) - (n+2)^2 = 3n^2 + 3n - n^2 - 4n - 4 = 2n^2 - n - 4 $

Le trinôme $ 2n^2 - n - 4 $ a pour discriminant $ \Delta = 1 + 32 = 33 $, et pour racines $ \dfrac{1 \pm \sqrt{33}}{4} $. La plus grande racine vaut environ $ 1{,}69 $. Donc pour $ n \geqslant 2 $, $ 2n^2 - n - 4 > 0 $, soit $ 3n(n+1) > (n+2)^2 $ et $ 3\,n(n+1)^2 > (n+1)(n+2)^2 $.

Ainsi, pour $ n \geqslant 2 $ :

$ 3^{n+2} = 3 \times 3^{n+1} > 3\,n(n+1)^2 > (n+1)(n+2)^2 $

La propriété est donc héréditaire à partir du rang $ 2 $.

Vérification aux rangs $ 0 $, $ 1 $ et $ 2 $ :

Pour $ n=0 $ : $ 3 > 0 $.

Pour $ n=1 $ : $ 9 > 1\times 4 = 4 $.

Pour $ n=2 $ : $ 27 > 2\times 9 = 18 $.

Conclusion : la propriété est vraie pour $ n \in \{0, 1, 2\} $ et elle est héréditaire à partir de $ n=2 $. Donc pour tout entier naturel $ n $, $ 3^{n+1} > n(n+1)^2 $.
On a $ v_n = u_n + \dfrac{1}{n} $ pour $ n \geqslant 1 $.

$ v_{n+1} - v_n = (u_{n+1} - u_n) + \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n} = \dfrac{n+1}{3^{n+1}} + \dfrac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \dfrac{n+1}{3^{n+1}} - \dfrac{1}{n(n+1)} $

En réduisant au même dénominateur $ n(n+1)\,3^{n+1} $ :

$ v_{n+1} - v_n = \dfrac{n(n+1)^2 - 3^{n+1}}{n(n+1)\,3^{n+1}} $

D'après la question 1, $ 3^{n+1} > n(n+1)^2 $, donc le numérateur est strictement négatif. Le dénominateur est strictement positif.

Ainsi $ v_{n+1} - v_n < 0 $ : la suite $ (v_n) $ est strictement décroissante.
La suite $ (v_n) $ est décroissante. De plus, pour tout $ n \geqslant 1 $, $ v_n = u_n + \dfrac{1}{n} > 0 $ : elle est minorée par $ 0 $.

D'après le théorème de convergence monotone, la suite $ (v_n) $ est convergente.

Comme $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0 $ et $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l $, on a par somme :

$ \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = l + 0 = l $

La limite de $ (v_n) $ est donc $\mathbf{l}$.
La suite $ (u_n) $ est croissante et converge vers $ l $, donc $ u_n \leqslant l $ pour tout $ n \geqslant 1 $.

La suite $ (v_n) $ est décroissante et converge vers $ l $, donc $ v_n \geqslant l $ pour tout $ n \geqslant 1 $.

On a donc, pour tout entier $ n \geqslant 1 $ :

$ u_n \leqslant l \leqslant v_n $

L'amplitude de cet encadrement est $ v_n - u_n = \dfrac{1}{n} $. Pour avoir une amplitude inférieure ou égale à $ 10^{-2} $, il faut $ \dfrac{1}{n} \leqslant 10^{-2} $, soit $ n \geqslant 100 $.

Pour $ n = 100 $, avec la calculatrice :

$ u_{100} \approx 0{,}749 $
$ v_{100} = u_{100} + \dfrac{1}{100} \approx 0{,}759 $

Un encadrement de $ l $ d'amplitude $ 10^{-2} $ est donc :

$ 0{,}749 \leqslant l \leqslant 0{,}759 $

Récurrence et encadrement

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}= \sqrt{u_n+2}$.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $1 \leqslant u_n \leqslant 2$.
Quel est le sens de variation de la suite $(u_n)$ ? Justifier.
La suite $(u_n)$ est-elle convergente ?

Corrigé

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $1 \leqslant u_n \leqslant 2$.

Initialisation : $u_0 = 1$ donc $1 \leqslant u_0 \leqslant 2$. La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons que $1 \leqslant u_n \leqslant 2$ pour un certain entier naturel $n$ (hypothèse de récurrence). Alors :
$3 \leqslant u_n + 2 \leqslant 4$
La fonction racine carrée étant croissante sur $[0;+\infty[$ :
$\sqrt{3} \leqslant \sqrt{u_n + 2} \leqslant \sqrt{4}$
c'est-à-dire $\sqrt{3} \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.

Comme $1 \leqslant \sqrt{3}$, on obtient finalement :
$1 \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$
La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $\mathbf{1 \leqslant u_n \leqslant 2}$.
On calcule les premières valeurs de $u_n$ (arrondies à $10^{-2}$ près) :

$n$ $0$ $1$ $2$ $3$

$u_n$ $1$ $1{,}73$ $1{,}93$ $1{,}98$

On conjecture que la suite $(u_n)$ est croissante. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \geqslant u_n$.

Initialisation : $u_0 = 1$ et $u_1 = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ donc $u_1 \geqslant u_0$. La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons que $u_{n+1} \geqslant u_n$ pour un certain entier naturel $n$ (hypothèse de récurrence). Alors :
$u_{n+1} + 2 \geqslant u_n + 2$
La fonction racine carrée étant croissante sur $[0;+\infty[$ :
$\sqrt{u_{n+1} + 2} \geqslant \sqrt{u_n + 2}$
c'est-à-dire $u_{n+2} \geqslant u_{n+1}$.
La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \geqslant u_n$. La suite $(u_n)$ est donc croissante.
La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ (d'après la question 1). D'après le théorème de convergence monotone, elle est donc convergente et sa limite $\ell$ vérifie $1 \leqslant \ell \leqslant 2$.

Suites – Bac S Amérique du Nord 2013

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = \sqrt{2 u_n}$

On considère l'algorithme suivant :

Variables :	$n$ est un entier naturel
	$u$ est un réel positif
Initialisation :	Demander la valeur de $n$
	Affecter à $u$ la valeur $1$
Traitement :	Pour $i$ variant de $1$ à $n$ :
	$\quad$Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2 u}$
	Fin de Pour
Sortie :	Afficher $u$

Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
Que permet de calculer cet algorithme ?
Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.

$n$ $1$ $5$ $10$ $15$ $20$

Valeur affichée $1{,}4142$ $1{,}9571$ $1{,}9986$ $1{,}9999$ $1{,}9999$

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $(u_n)$ ?

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n \leqslant 2$.
2. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
3. Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \ln u_n - \ln 2$.

Démontrer que la suite $(v_n)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = -\ln 2$.
Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n > 1{,}999$.

Variables :	$n$ est un entier naturel
	$u$ est un réel
Initialisation :	Affecter à $n$ la valeur $0$
	Affecter à $u$ la valeur $1$
Traitement :	...
Sortie :	...

Corrigé

1. On fait tourner l'algorithme pour $n = 3$ :
  $u_1 = \sqrt{2 \times 1} = \sqrt{2} \approx 1{,}4142$
  $u_2 = \sqrt{2 \times \sqrt{2}} \approx \sqrt{2{,}8284} \approx 1{,}6818$
  $u_3 = \sqrt{2 u_2} \approx \sqrt{3{,}3636} \approx 1{,}8340$
  L'algorithme affiche donc environ $1{,}8340$.
2. Cet algorithme calcule le terme $u_n$ de la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 u_n}$.
3. Au vu des valeurs, la suite $(u_n)$ semble croissante et converger vers $2$.
1. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n \leqslant 2$.
  Soit $P_n$ la propriété « $0 < u_n \leqslant 2$ ».
  Initialisation : Pour $n = 0$, $u_0 = 1$ et $0 < 1 \leqslant 2$, donc $P_0$ est vraie.
  Hérédité : Supposons $P_n$ vraie pour un entier $n$ fixé, soit $0 < u_n \leqslant 2$.
  Alors $0 < 2 u_n \leqslant 4$, d'où en composant par la fonction racine carrée (croissante sur $[0 ; +\infty[$) :
  $0 < \sqrt{2 u_n} \leqslant \sqrt{4} = 2$, c'est-à-dire $0 < u_{n+1} \leqslant 2$.
  $P_{n+1}$ est donc vraie.
  Conclusion : pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n \leqslant 2$.
2. Étudions le signe de $u_{n+1} - u_n$. Pour tout entier $n$ :
  $u_{n+1}^2 - u_n^2 = 2 u_n - u_n^2 = u_n (2 - u_n)$
  D'après la question précédente, $u_n > 0$ et $2 - u_n \geqslant 0$, donc $u_{n+1}^2 - u_n^2 \geqslant 0$, soit $u_{n+1}^2 \geqslant u_n^2$.
  Comme $u_n > 0$ et $u_{n+1} > 0$, on en déduit $u_{n+1} \geqslant u_n$.
  La suite $(u_n)$ est donc croissante.
3. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$. D'après le théorème de la convergence monotone, elle converge.

Pour tout entier naturel $n$ :
$v_{n+1} = \ln u_{n+1} - \ln 2 = \ln \sqrt{2 u_n} - \ln 2 = \dfrac{1}{2} \ln(2 u_n) - \ln 2$
$v_{n+1} = \dfrac{1}{2} (\ln 2 + \ln u_n) - \ln 2 = \dfrac{1}{2} \ln u_n - \dfrac{1}{2} \ln 2 = \dfrac{1}{2}(\ln u_n - \ln 2) = \dfrac{1}{2} v_n$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = \ln u_0 - \ln 2 = \ln 1 - \ln 2 = -\ln 2$.
Pour tout entier naturel $n$ :

$v_n = -\ln 2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

Comme $v_n = \ln u_n - \ln 2$, on a $\ln u_n = v_n + \ln 2$, puis :

$u_n = \mathrm{e}^{v_n + \ln 2} = 2 \, \mathrm{e}^{v_n} = 2 \, \mathrm{e}^{-\ln 2 \times (1/2)^n}$
Comme $\left|\dfrac{1}{2}\right| < 1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$.
Par continuité de la fonction exponentielle, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 2 \, \mathrm{e}^0 = 2$.

Algorithme complété :

Variables :	$n$ est un entier naturel
	$u$ est un réel
Initialisation :	Affecter à $n$ la valeur $0$
	Affecter à $u$ la valeur $1$
Traitement :	Tant que $u \leqslant 1{,}999$
	$\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2 u}$
	$\quad$ Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
	Fin Tant que
Sortie :	Afficher $n$

Suites – Bac S Liban 2013

On considère la suite numérique $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

$\left\{ \begin{array}{l} v_0 = 1 \\ v_{n+1} = \dfrac{9}{6 - v_n} \end{array} \right.$

Partie A

On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

Algorithme N° 1

Variables :	$v$ est un réel
	$i$ et $n$ sont des entiers naturels
Début :	Lire $n$
	$v$ prend la valeur $1$
	Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire
	$\quad v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$
	Fin pour
	Afficher $v$

Algorithme N° 2

Variables :	$v$ est un réel
	$i$ et $n$ sont des entiers naturels
Début :	Lire $n$
	Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire
	$\quad v$ prend la valeur $1$
	$\quad$ Afficher $v$
	$\quad v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$
	Fin pour

Algorithme N° 3

Variables :	$v$ est un réel
	$i$ et $n$ sont des entiers naturels
Début :	Lire $n$
	$v$ prend la valeur $1$
	Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire
	$\quad$ Afficher $v$
	$\quad v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$
	Fin pour

Pour $n = 10$, on obtient l'affichage suivant :

$1$ $1{,}800$ $2{,}143$ $2{,}333$ $2{,}455$ $2{,}538$ $2{,}600$ $2{,}647$ $2{,}684$ $2{,}714$

Pour $n = 100$, les derniers termes affichés sont :

$2{,}967$ $2{,}968$ $2{,}968$ $2{,}968$ $2{,}969$ $2{,}969$ $2{,}969$ $2{,}970$ $2{,}970$ $2{,}970$

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $(v_n)$ ?
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 < v_n < 3$.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} - v_n = \dfrac{(3 - v_n)^2}{6 - v_n}$. La suite $(v_n)$ est-elle monotone ?
3. Démontrer que la suite $(v_n)$ est convergente.

Partie B

Recherche de la limite de la suite $(v_n)$.

On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

$w_n = \dfrac{1}{v_n - 3}$

Démontrer que $(w_n)$ est une suite arithmétique de raison $-\dfrac{1}{3}$.
En déduire l'expression de $w_n$, puis celle de $v_n$ en fonction de $n$.
Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.

Corrigé

Partie A

C'est l'algorithme N° 3 qui convient.
L'algorithme N° 1 n'affiche que $v_n$ (le dernier terme calculé, après la boucle). L'algorithme N° 2 réinitialise $v$ à $1$ à chaque itération : il affiche donc toujours $1$. Seul l'algorithme N° 3 initialise $v$ à $v_0 = 1$ puis, à chaque tour, affiche d'abord le terme courant avant de calculer le terme suivant.
D'après les valeurs affichées, on peut conjecturer que la suite $(v_n)$ est croissante et qu'elle converge vers $3$.
1. On démontre par récurrence la propriété $P_n$ : « $0 < v_n < 3$ ».
  Initialisation : pour $n = 0$, $v_0 = 1$ et $0 < 1 < 3$, donc $P_0$ est vraie.
  Hérédité : supposons $P_n$ vraie pour un entier $n$ fixé, soit $0 < v_n < 3$.
  Alors $-3 < -v_n < 0$, puis $3 < 6 - v_n < 6$, d'où $6 - v_n > 0$.
  En passant à l'inverse (la fonction $x \mapsto 1/x$ est décroissante sur $]0 ; +\infty[$) :
  $\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{6 - v_n} < \dfrac{1}{3}$
  En multipliant par $9$ :
  $\dfrac{3}{2} < \dfrac{9}{6 - v_n} < 3$
  c'est-à-dire $\dfrac{3}{2} < v_{n+1} < 3$. Comme $0 < \dfrac{3}{2}$, on a bien $0 < v_{n+1} < 3$ : $P_{n+1}$ est vraie.
  Conclusion : pour tout entier naturel $n$, $0 < v_n < 3$.
2. Pour tout entier naturel $n$ :
  $v_{n+1} - v_n = \dfrac{9}{6 - v_n} - v_n = \dfrac{9 - v_n (6 - v_n)}{6 - v_n} = \dfrac{9 - 6 v_n + v_n^2}{6 - v_n} = \dfrac{(3 - v_n)^2}{6 - v_n}$
  Comme $0 < v_n < 3$, on a $6 - v_n > 0$ et $(3 - v_n)^2 \geqslant 0$ (avec égalité seulement si $v_n = 3$, ce qui est exclu). Donc $v_{n+1} - v_n > 0$ : la suite $(v_n)$ est strictement croissante.
3. La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par $3$. D'après le théorème de la convergence monotone, elle converge. On note $\ell$ sa limite ; d'après 3.a, $0 < \ell \leqslant 3$.

Partie B

Pour tout entier naturel $n$ :
$w_{n+1} = \dfrac{1}{v_{n+1} - 3} = \dfrac{1}{\dfrac{9}{6 - v_n} - 3} = \dfrac{1}{\dfrac{9 - 3(6 - v_n)}{6 - v_n}} = \dfrac{6 - v_n}{9 - 18 + 3 v_n} = \dfrac{6 - v_n}{3 v_n - 9} = \dfrac{6 - v_n}{3(v_n - 3)}$
On décompose le numérateur : $6 - v_n = -(v_n - 3) + 3$, donc :
$w_{n+1} = \dfrac{-(v_n - 3) + 3}{3(v_n - 3)} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{v_n - 3} = w_n - \dfrac{1}{3}$
La suite $(w_n)$ est donc arithmétique de raison $r = -\dfrac{1}{3}$.
Le premier terme est $w_0 = \dfrac{1}{v_0 - 3} = \dfrac{1}{1 - 3} = -\dfrac{1}{2}$.
On en déduit $w_n = w_0 + n r = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{n}{3} = -\dfrac{2 n + 3}{6}$.
Comme $w_n = \dfrac{1}{v_n - 3}$, on a $v_n - 3 = \dfrac{1}{w_n}$, d'où :

$v_n = 3 + \dfrac{1}{w_n} = 3 - \dfrac{6}{2 n + 3}$
On a $\lim\limits_{n \to +\infty} (2 n + 3) = +\infty$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{6}{2 n + 3} = 0$. On en déduit :

$\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 3$

Suites – Bac S Polynésie 2013

Exercice 4 (5 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et telle que, pour tout entier naturel $n$,

$u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1 + 2u_n}$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n < 1$.
1. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
2. Démontrer que la suite $(u_n)$ converge.
Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$.
1. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 3.
2. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n + 1}$.
4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Corrigé

On détaille les calculs étape par étape.

1. Calcul des premiers termes. Avec $u_0 = \dfrac{1}{2}$ :
  $u_1 = \dfrac{3 \times \tfrac{1}{2}}{1 + 2 \times \tfrac{1}{2}} = \dfrac{\tfrac{3}{2}}{2} = \dfrac{3}{4}$
  $u_2 = \dfrac{3 \times \tfrac{3}{4}}{1 + 2 \times \tfrac{3}{4}} = \dfrac{\tfrac{9}{4}}{\tfrac{5}{2}} = \dfrac{9}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{9}{10}$
2. Soit $P_n$ la proposition : « $u_n > 0$ ».
  - Initialisation : $u_0 = \dfrac{1}{2} > 0$, donc $P_0$ est vraie.
  - Hérédité : supposons $u_n > 0$ pour un entier $n$. Alors $3u_n > 0$ et $1 + 2u_n > 1 > 0$. Le quotient de deux réels strictement positifs est strictement positif, donc $u_{n+1} > 0$. $P_{n+1}$ est vraie.
  - Conclusion : par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n < 1$.
1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
  $u_{n+1} - u_n = \dfrac{3u_n}{1 + 2u_n} - u_n = \dfrac{3u_n - u_n(1 + 2u_n)}{1 + 2u_n} = \dfrac{2u_n - 2u_n^2}{1 + 2u_n} = \dfrac{2u_n(1 - u_n)}{1 + 2u_n}$
  D'après la question 1.b, $u_n > 0$ et, par hypothèse, $1 - u_n > 0$. De plus $1 + 2u_n > 0$. Ainsi $u_{n+1} - u_n > 0$.
  La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.
2. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 1, donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite $\ell$ avec $\ell \leqslant 1$.
Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$.
1. On calcule $v_{n+1}$ :
  $v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{1 - u_{n+1}} = \dfrac{\tfrac{3u_n}{1 + 2u_n}}{1 - \tfrac{3u_n}{1 + 2u_n}} = \dfrac{\tfrac{3u_n}{1 + 2u_n}}{\tfrac{1 + 2u_n - 3u_n}{1 + 2u_n}} = \dfrac{3u_n}{1 - u_n} = 3v_n$
  La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison 3.
2. On a $v_0 = \dfrac{u_0}{1 - u_0} = \dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}} = 1$.
  Pour tout entier naturel $n$ : $v_n = v_0 \times 3^n = 3^n$.
3. À partir de $v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$, on isole $u_n$ :
  $v_n(1 - u_n) = u_n$, d'où $v_n = u_n(1 + v_n)$, puis $u_n = \dfrac{v_n}{1 + v_n}$.
  En remplaçant $v_n$ par $3^n$, on obtient $u_n = \dfrac{3^n}{3^n + 1}$.
4. On écrit $u_n = \dfrac{3^n + 1 - 1}{3^n + 1} = 1 - \dfrac{1}{3^n + 1}$.
  Comme $3 > 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} 3^n = +\infty$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{3^n + 1} = 0$.
  On en déduit que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1$.

Vrai/Faux : Convergence d’une suite

Pour chacune des questions, indiquer si l'affirmation est exacte en justifiant la réponse.

Si l'affirmation est exacte, la démontrer.
Si l'affirmation est fausse, donner un contre-exemple.

Si $ \left(u_{n}\right) $ et $ \left(v_{n}\right) $ sont des suites dont tous les termes sont positifs et si la suite $ \left(u_{n}\right) $ diverge vers $ +\infty $, alors la suite de terme général $ u_{n}+v_{n} $ diverge vers $ +\infty $.
Si la suite $ \left(u_{n}\right) $ diverge vers $ +\infty $, alors elle est croissante à partir d'un certain rang.
Soient trois suites numériques $ \left(u_{n}\right) $, $ \left(v_{n}\right) $ et $ \left(w_{n}\right) $.

Si les suites $ \left(u_{n}\right) $ et $ \left(v_{n}\right) $ convergent respectivement vers $ l $ et $ l^{\prime} $ et si, pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n} $, alors la suite $ \left(w_{n}\right) $ converge et sa limite est comprise entre $ l $ et $ l^{\prime} $.
Si la suite $ \left(u_{n}\right) $ n'est pas majorée, elle diverge nécessairement vers $ +\infty $.

Corrigé

Vrai.

Comme pour tout entier naturel $ n $, $ v_{n} \geqslant 0 $, on a $ u_{n}+v_{n} \geqslant u_{n} $.

Or $ \lim\limits_{n\to +\infty }u_{n}=+\infty $. Par comparaison, on en déduit que $ \lim\limits_{n\to +\infty }(u_{n}+v_{n})=+\infty $.
Faux.

Considérons la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{n}=n+\left(-1\right)^{n} $.

Comme $ \left(-1\right)^{n} \geqslant -1 $ (car $ \left(-1\right)^{n} $ vaut $ -1 $ ou $ 1 $) :

$ u_{n} = n+\left(-1\right)^{n} \geqslant n - 1 $

Comme $ \lim\limits_{n\to +\infty }(n-1)=+\infty $, par comparaison $ \lim\limits_{n\to +\infty }u_{n}=+\infty $.

Mais la suite $ \left(u_{n}\right) $ n'est pas croissante (même à partir d'un certain rang). En effet, si $ n $ est pair :

$ u_{n}=n+\left(-1\right)^{n}=n+1 $
$ u_{n+1}=(n+1)+\left(-1\right)^{n+1}=n+1 - 1=n $

Par conséquent :

$ u_{n+1} - u_{n} = n - (n+1) = -1 < 0 $

La représentation graphique de la suite ci-dessous aide à comprendre le raisonnement.

Suite divergente vers $ +\infty $ mais non croissante.
Faux.

Il suffit de prendre pour $ u $ et $ v $ les suites constantes :

$ u_{n}=-1 $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $
$ v_{n}=1 $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $

et pour $ w $ :

$ w_{n}=\left(-1\right)^{n} $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $

Les suites $ \left(u_{n}\right) $ et $ \left(v_{n}\right) $ convergent respectivement vers $ -1 $ et $ 1 $, mais $ \left(w_{n}\right) $ ne converge pas.

Remarque

En revanche, si $ \left(w_{n}\right) $ convergeait, on pourrait effectivement dire que sa limite est comprise entre les limites de $ \left(u_{n}\right) $ et de $ \left(v_{n}\right) $.

On ne peut pas appliquer le théorème des gendarmes ici, car ce théorème suppose que $ \left(u_{n}\right) $ et $ \left(v_{n}\right) $ aient la même limite.
Faux.

La suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{n}=\left(-1\right)^{n}\times n $ n'est pas majorée, car pour $ n $ pair $ u_{n}=n $ et $ n $ peut être aussi grand que l'on veut.

En revanche, elle ne diverge pas vers $ +\infty $, car pour $ n $ impair $ u_{n}=-n $ est négatif (et tend vers $ -\infty $).

Suite non majorée mais ne tendant pas vers $ +\infty $.

Suite – Étude des variations – Convergence

Soit la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{0}=1 $ et, pour tout entier $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right) $.

Calculer $ u_{1} $, $ u_{2} $ et $ u_{3} $. Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de $ \left(u_{n}\right) $ ?
Démontrer cette conjecture par récurrence.
La suite $ \left(u_{n}\right) $ est-elle convergente ?

Corrigé

On applique la relation de récurrence.

$ u_{1}=\dfrac{1}{3}\left(1^{2}+1\right)=\dfrac{2}{3} $
$ u_{2}=\dfrac{1}{3}\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+1\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{4}{9}+1\right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{13}{9}=\dfrac{13}{27} $
$ u_{3}=\dfrac{1}{3}\left(\left(\dfrac{13}{27}\right)^{2}+1\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{169}{729}+1\right)=\dfrac{898}{2187} $

Valeurs approchées : $ u_{1}\approx 0{,}667 $, $ u_{2}\approx 0{,}481 $, $ u_{3}\approx 0{,}411 $.

La suite $ \left(u_{n}\right) $ semble décroissante.
Montrons par récurrence que la suite $ \left(u_{n}\right) $ est décroissante, c'est-à-dire que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n+1}\leqslant u_{n} $.

Initialisation. D'après la question 1, $ u_{1}=\dfrac{2}{3} $ et $ u_0=1 $, donc $ u_{1}\leqslant u_{0} $. La proposition est vraie au rang $ 0 $.

Hérédité. Supposons que $ u_{n+1}\leqslant u_{n} $ pour un certain entier $ n $ et montrons qu'alors $ u_{n+2} \leqslant u_{n+1} $.

Remarquons tout d'abord que $ u_{0} $ est positif et que la formule $ u_{n+1}=\dfrac{1}{3}(u_{n}^{2}+1) $ montre que $ u_{n+1} \geqslant \dfrac{1}{3} > 0 $ pour tout entier $ n $. Tous les termes de la suite sont donc positifs.

Comme $ u_{n+1}\leqslant u_{n} $ et que la fonction $ x\mapsto x^{2} $ est croissante sur $ [0~;~+\infty[ $ :

$ u_{n+1}^{2} \leqslant u_{n}^{2} $

En ajoutant $ 1 $ puis en divisant par $ 3 $ :

$ \dfrac{1}{3}\left(u_{n+1}^{2}+1\right) \leqslant \dfrac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right) $

D'où $ u_{n+2} \leqslant u_{n+1} $.

Conclusion. Pour tout entier $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n+1}\leqslant u_{n} $. La suite $ \left(u_{n}\right) $ est donc décroissante.

Remarque

Ici, le calcul direct de $ u_{n+1} - u_{n} $ (en vue de montrer que la suite est décroissante) n'aboutit pas à un résultat facilement exploitable.
On a vu que tous les termes de la suite $ \left(u_{n}\right) $ sont positifs : la suite est donc minorée par $ 0 $.

Comme elle est également décroissante d'après la question précédente, la suite $ \left(u_{n}\right) $ est convergente d'après le théorème de convergence monotone.

$n$	$1$	$5$	$10$	$15$	$20$
Valeur affichée	$1{,}4142$	$1{,}9571$	$1{,}9986$	$1{,}9999$	$1{,}9999$

Vrai/Faux : Théorèmes de convergence

QCM : Théorèmes de convergence

Problème récapitulatif sur les suites

Partie A

Partie B

Partie C

Partie A

Partie B

Partie C

Suites – Récurrence – Limite

Partie A

Partie B

Partie A

Partie B

Récurrence et encadrement

Suites – Bac S Amérique du Nord 2013

Suites – Bac S Liban 2013

Partie A

Partie B

Partie A

Partie B

Suites – Bac S Polynésie 2013

Exercice 4 (5 points)

Vrai/Faux : Convergence d’une suite

Remarque

Suite – Étude des variations – Convergence

Remarque