Toblerone : prisme triangulaire en perspective cavalière
Une barre de chocolat a la forme d'un prisme droit dont la base est un triangle équilatéral. Elle est représentée ci-dessous en perspective cavalière. Les sommets sont notés $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $.
- Donner la nature de chacune des faces de ce prisme (en distinguant bases et faces latérales).
- Combien d'arêtes possède le prisme au total ?
- Sur la figure, citer toutes les arêtes cachées, c'est-à-dire représentées en pointillés.
- Citer une arête parallèle à $ [AB] $.
- Quelle face apparaît en vraie grandeur sur le dessin ?
Le prisme possède $ 5 $ faces :
- $ 2 $ bases qui sont des triangles équilatéraux : $ ABC $ et $ DEF $,
- $ 3 $ faces latérales qui sont des rectangles : $ ABED $, $ BCFE $ et $ ACFD $.
Le prisme à base triangulaire possède :
- $ 3 + 3 = 6 $ arêtes formant les deux bases,
- $ 3 $ arêtes latérales reliant les deux bases.
Au total : $ 9 $ arêtes.
- Sur le dessin en perspective cavalière, une seule arête est cachée par le solide : c'est l'arête $\mathbf{[AD]}$.
- Dans un prisme droit, les arêtes correspondantes des deux bases sont parallèles : l'arête $\mathbf{[DE]}$ est parallèle à $ [AB] $.
- Le triangle $\mathbf{ABC}$ (la base avant) est représenté en vraie grandeur, car il appartient au plan de face.
Pour réviser : Dessiner un solide en perspective cavalière
Boîte décorative : description d’un prisme à base hexagonale
Une boîte décorative a la forme d'un prisme droit dont la base est un hexagone régulier de côté $ 5 $ cm. La hauteur du prisme est $ 8 $ cm.
- Quelle est la nature du polygone qui sert de base à ce prisme ? Combien a-t-il de côtés ?
- Combien de faces possède ce prisme au total (en comptant les deux bases) ?
- Quelle est la nature géométrique des faces latérales ?
- Combien d'arêtes possède ce prisme ?
- Combien de sommets possède ce prisme ?
- La base est un hexagone régulier, polygone qui possède $ 6 $ côtés.
Le prisme possède :
- $ 2 $ bases hexagonales,
- $ 6 $ faces latérales (autant que de côtés de la base).
Au total : $ 2 + 6 $ = $ 8 $ faces.
- Dans un prisme droit, chaque face latérale est un rectangle. Ici, chaque rectangle a pour dimensions $ 5 $ cm (côté de la base) sur $ 8 $ cm (hauteur du prisme).
Les arêtes se répartissent en trois groupes :
- $ 6 $ arêtes formant la base du dessus,
- $ 6 $ arêtes formant la base du dessous,
- $ 6 $ arêtes verticales reliant les deux bases.
Au total : $ 6 + 6 + 6 $ = $ 18 $ arêtes.
- Chaque base hexagonale a $ 6 $ sommets. Le prisme a donc $ 6 + 6 $ = $ 12 $ sommets.
Pour réviser : Décrire un prisme droit
Vrai/Faux : Prismes droits, description et patron
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les prismes droits (description et patron), indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Dans un prisme droit, les deux bases sont parallèles et de même forme.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La définition d'un prisme droit impose que ses deux bases soient deux polygones identiques placés dans des plans parallèles. Les faces latérales rectangulaires les relient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Un prisme droit possède deux bases parallèles superposables : ce sont deux polygones identiques placés dans des plans parallèles.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les deux bases d'un prisme droit sont des polygones identiques situés dans des plans parallèles.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Dans un prisme droit, les faces latérales peuvent être des trapèzes.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans un prisme droit, les faces latérales sont perpendiculaires aux bases : ce sont obligatoirement des rectangles. Si elles n'étaient pas perpendiculaires, le solide serait un prisme oblique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'adjectif « droit » signifie que les faces latérales sont perpendiculaires aux bases : ce sont donc des rectangles, jamais des trapèzes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Dans un prisme droit, les faces latérales sont toujours des rectangles.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Un cube est un cas particulier de prisme droit.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un cube possède deux bases carrées parallèles et quatre faces latérales carrées (donc rectangulaires) perpendiculaires aux bases : il vérifie la définition du prisme droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le cube respecte la définition d'un prisme droit : deux bases parallèles identiques (carrées) et des faces latérales rectangulaires perpendiculaires.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le cube est un prisme droit dont la base est un carré et toutes les faces sont des carrés.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Un prisme droit dont la base est un hexagone (polygone à $6$ côtés) possède $6$ faces au total.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Un tel prisme possède $6$ faces latérales (autant que de côtés de la base) auxquelles il faut ajouter les $2$ bases : il a donc $6 + 2 = 8$ faces au total.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le nombre de faces latérales est égal au nombre de côtés de la base. Mais il faut aussi compter les deux bases : un prisme à base hexagonale a $8$ faces au total.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Un prisme à base hexagonale possède $8$ faces au total ($6$ latérales et $2$ bases).
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Sur le patron d'un prisme droit dont les faces latérales sont mises bout à bout, le grand rectangle a une longueur égale au périmètre de la base.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
En assemblant toutes les faces latérales bout à bout, on obtient un rectangle dont la longueur correspond à la somme des côtés de la base : c'est le périmètre de la base.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand on déplie les faces latérales d'un prisme, on obtient un grand rectangle dont la longueur est la somme des largeurs des faces : cela correspond exactement au périmètre de la base.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La longueur du grand rectangle est le périmètre de la base ; sa largeur est la hauteur du prisme.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Dans un patron de prisme droit, les deux bases doivent obligatoirement être placées de part et d'autre du grand rectangle, sur deux faces latérales différentes.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un patron est valide tant qu'il permet, après pliage, de reconstituer le solide. Plusieurs patrons sont possibles : les bases peuvent être collées sur n'importe quelle face latérale, du moment que le pliage referme le solide.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il existe plusieurs patrons valides pour un même prisme. Les bases peuvent être placées différemment du moment que le pliage permet de reconstituer le solide.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Plusieurs patrons d'un même prisme sont possibles ; les bases peuvent être placées sur différentes faces latérales.
[/solution]
[/etape]
QCM : Description et patrons des prismes et cylindres
[enonce]
Ce QCM porte sur la description et les patrons des prismes droits et des cylindres de révolution. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Un prisme droit a pour base un pentagone (polygone à $5$ côtés). Combien possède-t-il de faces latérales ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$7$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans un prisme droit, il y a autant de faces latérales que de côtés de la base. Une base à $5$ côtés donne $5$ faces latérales.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ correspond au nombre de bases d'un prisme, pas au nombre de faces latérales.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Le nombre $3$ correspondrait à un prisme à base triangulaire, pas pentagonale.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7 = 5 + 2$ : le nombre total de faces (latérales et bases) a été calculé. La question porte uniquement sur les faces latérales.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le nombre de faces latérales d'un prisme droit est égal au nombre de côtés de sa base.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Dans un prisme droit, comment sont les faces latérales ?
[qcm]
[option]Des triangles.[/option]
[option correct="true"]Des rectangles.[/option]
[option]Des trapèzes.[/option]
[option]Des parallélogrammes quelconques.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans un prisme droit, les faces latérales sont perpendiculaires aux bases : ce sont donc des rectangles.[/reponse]
[reponse motif="Des triangles."]Non.
Le triangle peut être la forme des bases (prisme à base triangulaire), mais les faces latérales sont toujours des rectangles dans un prisme droit.[/reponse]
[reponse motif="Des trapèzes."]Non.
Le trapèze a deux côtés parallèles de longueurs différentes : ce serait le cas d'un tronc de pyramide, pas d'un prisme droit.[/reponse]
[reponse motif="Des parallélogrammes quelconques."]Non.
Un parallélogramme général a des angles non droits. Dans un prisme droit, les faces latérales ont leurs angles droits : ce sont des rectangles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le mot « droit » signifie que les faces latérales sont perpendiculaires aux bases, ce qui leur donne une forme particulière.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Un cylindre de révolution a un rayon de base $r = 4$ cm et une hauteur $h = 7$ cm. Sur le patron du cylindre, quelle est la longueur du rectangle correspondant à la surface latérale (en valeur exacte, en fonction de $\pi$) ?
[qcm]
[option]$4\pi$ cm[/option]
[option correct="true"]$8\pi$ cm[/option]
[option]$16\pi$ cm[/option]
[option]$28\pi$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La longueur du rectangle est égale au périmètre du disque de base : $2 \pi r = 2 \times \pi \times 4 = 8\pi$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$4\pi$ cm"]Non.
La formule $\pi r$ a été utilisée, en oubliant le facteur $2$. Le périmètre du cercle est $2\pi r$, pas $\pi r$.[/reponse]
[reponse motif="$16\pi$ cm"]Non.
La formule $\pi r^2$ a été utilisée : c'est l'aire du disque, pas son périmètre. La longueur du rectangle est le périmètre du cercle.[/reponse]
[reponse motif="$28\pi$ cm"]Non.
Le calcul $\pi \times r \times h = \pi \times 4 \times 7$ a été effectué : c'est presque la formule du volume, et la hauteur n'intervient pas dans la longueur du rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Sur le patron, le rectangle latéral a pour longueur le périmètre du cercle de base.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Le patron d'un prisme droit à base triangulaire est composé de :
[qcm]
[option]$3$ triangles et $2$ rectangles.[/option]
[option correct="true"]$2$ triangles et $3$ rectangles.[/option]
[option]$2$ triangles et $1$ rectangle.[/option]
[option]$3$ triangles et $3$ rectangles.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un prisme droit à base triangulaire a $2$ bases triangulaires et $3$ faces latérales rectangulaires (autant que de côtés du triangle).[/reponse]
[reponse motif="$3$ triangles et $2$ rectangles."]Non.
Les rôles des triangles et rectangles ont été inversés. Les bases (au nombre de $2$) sont triangulaires ; les faces latérales (au nombre de $3$) sont rectangulaires.[/reponse]
[reponse motif="$2$ triangles et $1$ rectangle."]Non.
Pour réaliser un patron, chaque face latérale doit être dessinée séparément, ce qui donne $3$ rectangles, pas un seul.[/reponse]
[reponse motif="$3$ triangles et $3$ rectangles."]Non.
Un prisme droit ne possède que $2$ bases (les triangles), pas $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un prisme droit à base triangulaire possède $2$ bases triangulaires identiques et autant de faces latérales que de côtés de la base.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Sur le patron d'un prisme droit, le rectangle obtenu en assemblant les faces latérales bout à bout a une largeur égale à :
[qcm]
[option]le périmètre de la base.[/option]
[option correct="true"]la hauteur du prisme.[/option]
[option]l'aire de la base.[/option]
[option]un côté de la base.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Quand on assemble les faces latérales, la dimension dans le sens de la hauteur du prisme reste inchangée : c'est la largeur du rectangle obtenu. Sa longueur est le périmètre de la base.[/reponse]
[reponse motif="le périmètre de la base."]Non.
Le périmètre de la base est la longueur du grand rectangle (somme des côtés de toutes les faces alignées), pas sa largeur.[/reponse]
[reponse motif="l'aire de la base."]Non.
L'aire est une grandeur en cm², elle ne peut pas être la dimension d'un rectangle (qui est une longueur en cm).[/reponse]
[reponse motif="un côté de la base."]Non.
Un côté de la base correspond à la largeur d'un seul rectangle latéral, pas à la largeur du grand rectangle obtenu en les assemblant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lors de l'assemblage, la dimension qui reste inchangée pour chaque face latérale est la hauteur du prisme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Parmi ces solides, lequel n'est pas un prisme droit ?
[qcm]
[option]Un cube.[/option]
[option]Un pavé droit (parallélépipède rectangle).[/option]
[option correct="true"]Une pyramide à base carrée.[/option]
[option]Un prisme à base hexagonale.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une pyramide n'a qu'une seule base et toutes les autres faces se rejoignent en un sommet : ce n'est pas un prisme. Le cube et le pavé droit sont des cas particuliers de prismes droits (bases carrées ou rectangulaires).[/reponse]
[reponse motif="Un cube."]Non.
Un cube est un prisme droit dont les bases sont des carrés et toutes les faces sont des carrés identiques.[/reponse]
[reponse motif="Un pavé droit (parallélépipède rectangle)."]Non.
Un pavé droit est un prisme droit dont les bases sont des rectangles : il vérifie bien la définition.[/reponse]
[reponse motif="Un prisme à base hexagonale."]Non.
Un prisme à base hexagonale entre dans la définition générale du prisme : sa base est juste un polygone à $6$ côtés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un prisme droit possède $2$ bases parallèles identiques et des faces latérales rectangulaires. Identifier le solide qui ne respecte pas cette structure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
