Construction CAC : reconnaître un triangle équilatéral
On considère le triangle $ ABC $ tel que $ AB = 5 $ cm, $ AC = 5 $ cm et $ \widehat{BAC} = 60° $.
- Construire ce triangle. Indiquer les étapes de la construction.
- Mesurer la longueur $ BC $ et donner la nature présumée du triangle $ ABC $.
- Démontrer cette nature en utilisant les propriétés des angles d'un triangle.
La construction utilise la méthode CAC (deux côtés et l'angle compris).
- Tracer $ [AB] $ de longueur $ 5 $ cm.
- Au rapporteur, placé en $ A $, tracer une demi-droite formant un angle de $ 60° $ avec $ [AB] $.
- Sur cette demi-droite, placer le point $ C $ tel que $ AC = 5 $ cm.
- Tracer le segment $ [BC] $.
- À la règle graduée, on mesure $ BC = 5 $ cm. Les trois côtés du triangle ont la même longueur : le triangle $ ABC $ semble être équilatéral.
Le triangle $ ABC $ vérifie $ AB = AC = 5 $ cm, donc il est isocèle en $ A $.
Les deux angles à la base sont alors de même mesure :
$ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} $.
La somme des trois angles d'un triangle vaut $ 180° $ :
$ \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180 - 60 = 120 $.
Comme les deux angles à la base sont égaux :
$ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 120 \div 2 = 60° $.
Les trois angles du triangle mesurent $ 60° $, donc le triangle $ ABC $ est équilatéral. On a bien $ BC = AB = AC = 5 $ cm.
Pour réviser : Utiliser les propriétés d'un triangle particulier.
Construire un triangle (CCC, CAC, ACA)
Pour chaque triangle, indiquer la méthode de construction utilisée puis détailler les étapes.
- Construire le triangle $ ABC $ tel que $ AB = 6 $ cm, $ AC = 4 $ cm et $ BC = 5 $ cm.
- Construire le triangle $ DEF $ tel que $ DE = 6 $ cm, $ DF = 5 $ cm et $ \widehat{EDF} = 50° $.
- Construire le triangle $ GHI $ tel que $ GH = 5 $ cm, $ \widehat{HGI} = 40° $ et $ \widehat{GHI} = 70° $.
Méthode CCC (trois côtés connus).
- Tracer le segment $ [AB] $ de longueur $ 6 $ cm.
- Tracer un arc de cercle de centre $ A $ et de rayon $ 4 $ cm.
- Tracer un arc de cercle de centre $ B $ et de rayon $ 5 $ cm.
- Le point $ C $ se trouve à l'intersection des deux arcs. Tracer ensuite $ [AC] $ et $ [BC] $.
Vérification de constructibilité : la plus grande longueur est $ 6 $ et $ 4 + 5 = 9 > 6 $. Le triangle est constructible.
Méthode CAC (deux côtés et l'angle compris entre eux).
- Tracer le segment $ [DE] $ de longueur $ 6 $ cm.
- Au rapporteur, placé en $ D $, tracer une demi-droite formant un angle de $ 50° $ avec $ [DE] $.
- Sur cette demi-droite, placer le point $ F $ tel que $ DF = 5 $ cm.
- Tracer le segment $ [EF] $.
Méthode ACA (un côté et les deux angles adjacents).
- Tracer le segment $ [GH] $ de longueur $ 5 $ cm.
- Au rapporteur, placé en $ G $, tracer une demi-droite formant un angle de $ 40° $ avec $ [GH] $.
- Au rapporteur, placé en $ H $, tracer une demi-droite formant un angle de $ 70° $ avec $ [HG] $, du même côté de $ (GH) $.
- Le point $ I $ est à l'intersection des deux demi-droites.
Vérification de possibilité : $ 40 + 70 = 110 < 180 $. La construction est possible.
Pour réviser : Construire un triangle à partir de trois données.
QCM : Construction de triangles (CCC, CAC, ACA)
[enonce]
Ce QCM porte sur la construction d'un triangle à partir de trois données (CCC, CAC, ACA). Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
On veut construire un triangle $ABC$ à partir des trois données : $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm et $BC = 6$ cm. À quelle méthode de construction correspondent ces données ?
[qcm]
[option correct="true"]CCC (trois côtés)[/option]
[option]CAC (deux côtés et un angle)[/option]
[option]ACA (un côté et deux angles)[/option]
[option]Il manque une donnée[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les trois données sont les longueurs des trois côtés du triangle ($AB$, $AC$ et $BC$). C'est la méthode CCC.[/reponse]
[reponse motif="CAC (deux côtés et un angle)"]Non.
Aucune des trois données ne désigne un angle.
Compte combien de longueurs de côtés sont fournies.[/reponse]
[reponse motif="ACA (un côté et deux angles)"]Non.
Les trois données sont des longueurs : aucun angle n'est précisé.[/reponse]
[reponse motif="Il manque une donnée"]Non.
Trois données suffisent pour déterminer un triangle.
Identifie la nature de chacune (côté ou angle).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifie la nature de chaque donnée (côté ou angle) pour reconnaître la méthode utilisée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On souhaite construire un triangle $DEF$ avec $DE = 6$ cm, $\widehat{EDF} = 50°$ et $DF = 4$ cm. À quelle méthode correspondent ces données ?
[qcm]
[option]CCC (trois côtés)[/option]
[option correct="true"]CAC (deux côtés et l'angle qu'ils forment)[/option]
[option]ACA (un côté et deux angles)[/option]
[option]Il faut connaître $\widehat{DEF}$ aussi[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On donne deux longueurs ($DE$ et $DF$) et un angle ($\widehat{EDF}$) qui est précisément l'angle compris entre ces deux côtés. C'est la méthode CAC.[/reponse]
[reponse motif="CCC (trois côtés)"]Non.
La donnée $\widehat{EDF} = 50°$ est un angle, pas une longueur.
Compte les côtés et les angles.[/reponse]
[reponse motif="ACA (un côté et deux angles)"]Non.
On donne deux longueurs et un seul angle, pas un côté et deux angles.[/reponse]
[reponse motif="Il faut connaître $\widehat{DEF}$ aussi"]Non.
Trois données bien choisies suffisent à déterminer le triangle.
Ici, on a deux côtés et l'angle entre ces deux côtés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compte les côtés et les angles parmi les données pour identifier la méthode.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Pour la construction CAC du triangle $RST$ avec $RS = 5$ cm, $\widehat{SRT} = 70°$ et $RT = 4$ cm, quel est le bon ordre des étapes ?
[qcm]
[option]Tracer un cercle de rayon $5$ cm, puis un cercle de rayon $4$ cm.[/option]
[option correct="true"]Tracer $[RS]$, puis tracer la demi-droite formant un angle de $70°$ en $R$, puis placer $T$.[/option]
[option]Tracer un angle de $70°$ d'abord, puis placer les sommets $R$, $S$ et $T$ au hasard.[/option]
[option]Tracer $[ST]$ d'une longueur quelconque, puis placer $R$.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On commence par le côté $[RS]$, dont on connaît la longueur. Au point $R$, on trace la demi-droite qui forme un angle de $70°$ avec $[RS]$, puis on place $T$ sur cette demi-droite à $4$ cm de $R$. Enfin, on relie $T$ à $S$.[/reponse]
[reponse motif="Tracer un cercle de rayon $5$ cm, puis un cercle de rayon $4$ cm."]Non.
Cette méthode (deux cercles) correspond à une construction CCC.
Ici, l'une des trois données est un angle, donc on utilise plutôt un rapporteur.[/reponse]
[reponse motif="Tracer un angle de $70°$ d'abord, puis placer les sommets $R$, $S$ et $T$ au hasard."]Non.
On ne place pas les sommets « au hasard » : ils sont déterminés par les longueurs imposées.[/reponse]
[reponse motif="Tracer $[ST]$ d'une longueur quelconque, puis placer $R$."]Non.
On ne connaît pas $ST$ : commencer par ce côté ne permet pas de respecter les données.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour CAC, on commence par un des deux côtés connus, puis on construit l'angle au sommet entre ces deux côtés.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On veut construire un triangle $MNP$ avec $MN = 5$ cm, $\widehat{NMP} = 40°$ et $\widehat{MNP} = 30°$. À quelle méthode correspondent ces données ?
[qcm]
[option]CCC[/option]
[option]CAC[/option]
[option correct="true"]ACA (un côté et les deux angles à ses extrémités)[/option]
[option]On ne peut pas construire le triangle[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On donne un seul côté ($MN$) et les deux angles aux extrémités de ce côté ($\widehat{NMP}$ en $M$ et $\widehat{MNP}$ en $N$). C'est la méthode ACA.[/reponse]
[reponse motif="CCC"]Non.
On ne donne qu'une seule longueur, pas trois.[/reponse]
[reponse motif="CAC"]Non.
On donne un côté et deux angles, pas deux côtés et un angle.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas construire le triangle"]Non.
La somme des deux angles est $40° + 30° = 70° < 180°$.
Le triangle est donc constructible.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compte les côtés et les angles parmi les données.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On essaie de construire un triangle avec un côté de $5$ cm et les deux angles adjacents à ce côté de $100°$ et $90°$. Que se passe-t-il ?
[qcm]
[option]La construction est possible, on obtient un triangle isocèle.[/option]
[option]La construction est possible, on obtient un triangle rectangle.[/option]
[option correct="true"]La construction est impossible.[/option]
[option]La construction est possible, on obtient un triangle obtus.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La somme des deux angles donnés vaut $100° + 90° = 190°$, qui dépasse déjà $180°$.
Or la somme des trois angles d'un triangle vaut exactement $180°$. Les deux demi-droites issues des extrémités du côté ne se rencontrent pas : aucun triangle ne peut être construit.[/reponse]
[reponse motif="La construction est possible, on obtient un triangle isocèle."]Non.
Vérifie d'abord la somme des deux angles donnés.
Si elle est supérieure ou égale à $180°$, le troisième sommet n'existe pas.[/reponse]
[reponse motif="La construction est possible, on obtient un triangle rectangle."]Non.
Un angle est de $90°$, mais le second est de $100°$.
Calcule la somme des deux angles donnés.[/reponse]
[reponse motif="La construction est possible, on obtient un triangle obtus."]Non.
La somme des deux angles donnés dépasse $180°$.
Or les trois angles d'un triangle somment exactement à $180°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule la somme des deux angles donnés et compare-la à $180°$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On veut construire un triangle $ABC$ avec $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm et $\widehat{ACB} = 60°$. Cette donnée correspond-elle à un cas standard de construction (CCC, CAC ou ACA) ?
[qcm]
[option]Oui, c'est un cas CAC.[/option]
[option correct="true"]Non, l'angle donné n'est pas compris entre les deux côtés donnés.[/option]
[option]Oui, c'est un cas ACA.[/option]
[option]Oui, c'est un cas CCC.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On donne deux côtés ($AB$ et $AC$) et un angle ($\widehat{ACB}$). Mais cet angle est en $C$, alors que les deux côtés se rejoignent en $A$ : l'angle donné n'est pas entre les deux côtés. Ce n'est donc pas un cas CAC standard.[/reponse]
[reponse motif="Oui, c'est un cas CAC."]Non.
Pour CAC, l'angle donné doit être compris entre les deux côtés donnés.
Ici, $AB$ et $AC$ se rejoignent en $A$, mais l'angle donné est en $C$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, c'est un cas ACA."]Non.
Le cas ACA fournit un seul côté et les deux angles à ses extrémités.
Ici, on a deux côtés et un seul angle.[/reponse]
[reponse motif="Oui, c'est un cas CCC."]Non.
On ne donne pas trois côtés.
Les données comportent un angle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifie si l'angle donné est compris entre les deux côtés ou si la configuration correspond à CCC, CAC ou ACA.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
