Boîte de conserve : patron et étiquette d’un cylindre

Une boîte de conserve cylindrique a pour rayon de base $ r = 4 $ cm et pour hauteur $ h = 11 $ cm. On souhaite construire son patron pour fabriquer une étiquette qui recouvre toute la surface latérale.

On prendra $ \pi \approx 3{,}14 $.

Un patron de cylindre est composé de combien de parties ? Préciser leur forme.
Calculer la longueur du rectangle qui forme la surface latérale, arrondie au millimètre près.
Donner la largeur de ce rectangle.
Calculer l'aire de l'étiquette en cm², arrondie au cm².
Faire un schéma à main levée du patron en y indiquant toutes les dimensions calculées.

Corrigé

Le patron d'un cylindre de révolution est composé de trois parties :
- $ 2 $ disques identiques de rayon $ 4 $ cm (les deux bases),
- $ 1 $ rectangle qui correspond à la surface latérale.
La longueur du rectangle est égale au périmètre du cercle de base :
$ L = 2 \times \pi \times r = 2 \times \pi \times 4 = 8\pi $ cm
$ L \approx 8 \times 3{,}14 = 25{,}12 $ cm
Arrondi au millimètre : $ L \approx $ $ 25{,}1 $ cm.
La largeur du rectangle est égale à la hauteur du cylindre, soit $ 11 $ cm.
L'aire du rectangle est :
$ \mathcal{A} = L \times h \approx 25{,}12 \times 11 = 276{,}32 $ cm²
Arrondie au cm² : $ \mathcal{A} \approx $ $ 276 $ cm².
Schéma du patron : un rectangle de $ 25{,}1 $ cm sur $ 11 $ cm avec, accolés à chacun de ses petits côtés, un disque de rayon $ 4 $ cm.

Pour réviser : Construire le patron d'un cylindre de révolution

Vrai/Faux : Cylindre de révolution

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur le cylindre de révolution, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Les deux bases d'un cylindre de révolution sont des disques de même rayon.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un cylindre de révolution est obtenu en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés : ses deux bases sont deux disques superposables, donc de même rayon.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Par construction, les deux bases d'un cylindre de révolution sont identiques : ce sont deux disques de même rayon, dans des plans parallèles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les deux bases d'un cylindre de révolution sont des disques superposables.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur le patron d'un cylindre, la surface latérale est un disque.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Quand on déroule la surface latérale d'un cylindre, on obtient un rectangle. Ce sont les deux bases qui sont des disques.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La surface latérale d'un cylindre, une fois mise à plat, donne un rectangle. Les disques correspondent uniquement aux deux bases.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Sur le patron, la surface latérale est un rectangle ; ce sont les bases qui sont des disques.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur le patron d'un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$, le rectangle de la surface latérale a pour longueur $2\pi r$ et pour largeur $h$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La longueur correspond au périmètre du cercle de base, soit $2\pi r$. La largeur correspond à la hauteur du cylindre, soit $h$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
En déroulant la surface latérale, le côté qui correspondait au cercle de base devient la longueur ($2\pi r$) ; le côté correspondant à la hauteur reste $h$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le rectangle latéral a pour dimensions $2\pi r$ (longueur) et $h$ (largeur).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le volume d'un cylindre de révolution de rayon $r$ et de hauteur $h$ est $V = \pi \times r \times h$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La formule correcte est $V = \pi \times r^2 \times h$ : le rayon est élevé au carré. La formule $\pi \times r \times h$ ne correspond à aucune grandeur usuelle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le volume du cylindre s'obtient en multipliant l'aire de la base ($\pi r^2$) par la hauteur. Il y a donc un $r^2$, pas un simple $r$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule correcte est $V = \pi \times r^2 \times h$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si on double le rayon d'un cylindre sans changer sa hauteur, alors son volume est multiplié par $4$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$V = \pi r^2 h$. En remplaçant $r$ par $2r$, on obtient $V' = \pi \times (2r)^2 \times h = \pi \times 4r^2 \times h = 4 \times V$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Comme le rayon intervient au carré dans la formule $V = \pi r^2 h$, doubler le rayon multiplie le volume par $2^2 = 4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Doubler le rayon multiplie $r^2$ par $4$, donc le volume aussi.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un cylindre de révolution est un cas particulier de prisme droit.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La formule générale du volume d'un prisme droit ($V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$) reste valable pour le cylindre, dont la base est un disque (cas limite d'un polygone à un très grand nombre de côtés). On considère donc le cylindre comme un prisme particulier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le cylindre vérifie le schéma général d'un prisme droit : deux bases parallèles identiques et une surface latérale perpendiculaire. La seule particularité est que la base est un disque, pas un polygone.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le cylindre se comporte comme un prisme droit dont la base est un disque, ce qui justifie la même formule $V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Solides et repérage

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : repérage (droite graduée et plan), prismes droits, cylindres de révolution et volumes. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Sur une droite graduée, $A(-4{,}5)$ et $B(2{,}5)$. Le point $J$ est le milieu de $[AB]$. Quelle est l'abscisse de $J$ ?
[qcm]
[option]$3{,}5$[/option]
[option correct="true"]$-1$[/option]
[option]$-3{,}5$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'abscisse du milieu est la moyenne des abscisses : $\dfrac{-4{,}5 + 2{,}5}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$3{,}5$"]Non.
La distance $AB$ a été calculée puis divisée par $2$ : c'est la demi-distance, pas l'abscisse du milieu. Le milieu se trouve avec une moyenne, qui dépend des deux abscisses.[/reponse]
[reponse motif="$-3{,}5$"]Non.
La somme $-4{,}5 + 2{,}5$ a été mal calculée (en oubliant un signe). Reprendre soigneusement : $-4{,}5 + 2{,}5 = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Le signe de la somme a été inversé. Quand le négatif a la plus grande valeur absolue, le résultat est négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le milieu d'un segment $[AB]$ a pour abscisse $\dfrac{x_A + x_B}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un repère, $A(-2\,;\,4)$, $B(3\,;\,4)$ et $C(3\,;\,-1)$. Que peut-on dire des points $A$, $B$ et $C$ ?
[qcm]
[option]$A$, $B$ et $C$ sont alignés sur l'axe des abscisses.[/option]
[option correct="true"]$A$ et $B$ ont la même ordonnée ; $B$ et $C$ ont la même abscisse.[/option]
[option]$A$ et $C$ sont confondus.[/option]
[option]$A$, $B$ et $C$ sont sur l'axe des ordonnées.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$A(-2\,;\,4)$ et $B(3\,;\,4)$ ont la même ordonnée $4$ : ils sont sur la même ligne horizontale. $B(3\,;\,4)$ et $C(3\,;\,-1)$ ont la même abscisse $3$ : ils sont sur la même verticale.[/reponse]
[reponse motif="$A$, $B$ et $C$ sont alignés sur l'axe des abscisses."]Non.
Pour être sur l'axe des abscisses, un point doit avoir une ordonnée nulle. Or aucun de ces trois points n'a $0$ comme ordonnée.[/reponse]
[reponse motif="$A$ et $C$ sont confondus."]Non.
$A$ et $C$ ont des coordonnées différentes (abscisses et ordonnées) : ce sont deux points distincts.[/reponse]
[reponse motif="$A$, $B$ et $C$ sont sur l'axe des ordonnées."]Non.
Pour être sur l'axe des ordonnées, l'abscisse doit être nulle. Or aucune des trois abscisses n'est nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer chaque coordonnée deux à deux : deux points ont la même abscisse s'ils sont sur la même verticale, la même ordonnée s'ils sont sur la même horizontale.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un prisme droit a pour base un triangle de côtés $5$ cm, $5$ cm et $6$ cm. Sa hauteur est $h = 10$ cm. La hauteur du triangle de base, relative au côté de $6$ cm, vaut $4$ cm. Quel est le volume du prisme ?
[qcm]
[option correct="true"]$120$ cm³[/option]
[option]$240$ cm³[/option]
[option]$60$ cm³[/option]
[option]$200$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Aire de la base : $\dfrac{6 \times 4}{2} = 12$ cm². Volume : $V = 12 \times 10 = 120$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$240$ cm³"]Non.
La division par $2$ pour l'aire du triangle a été oubliée : $6 \times 4 = 24$ a été utilisé pour l'aire au lieu de $12$.[/reponse]
[reponse motif="$60$ cm³"]Non.
La hauteur du prisme a été divisée par $2$ à tort, en confondant avec la formule de l'aire du triangle. La division par $2$ ne sert qu'à calculer l'aire de base.[/reponse]
[reponse motif="$200$ cm³"]Non.
Le côté $5$ cm du triangle a été utilisé comme hauteur du triangle de base. Or la hauteur relative au côté de $6$ vaut $4$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord l'aire du triangle de base ($\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$), puis multiplier par la hauteur du prisme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un récipient en forme de cylindre a un rayon de base $r = 10$ cm et une hauteur $h = 20$ cm. On le remplit entièrement d'eau. Quel volume d'eau contient-il, en valeur approchée au litre près ? On prendra $\pi \approx 3{,}14$.
[qcm]
[option]$628$ L[/option]
[option]$2$ L[/option]
[option correct="true"]$6$ L[/option]
[option]$63$ L[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$V = \pi r^2 h = \pi \times 100 \times 20 = 2\,000\pi \approx 6\,280$ cm³. Or $1\,000$ cm³ $= 1$ L, donc $V \approx 6{,}28$ L, soit $6$ L au litre près.[/reponse]
[reponse motif="$628$ L"]Non.
Le volume en cm³ a été lu directement comme des litres. Il faut convertir : $1\,000$ cm³ correspondent à $1$ L.[/reponse]
[reponse motif="$2$ L"]Non.
Le facteur $\pi$ semble avoir été oublié. $V = \pi r^2 h$ ; sans $\pi$, on n'obtient que $2\,000$ cm³ $= 2$ L, ce qui n'est pas la formule.[/reponse]
[reponse motif="$63$ L"]Non.
Le facteur de conversion $100$ a été utilisé au lieu de $1\,000$. Reprendre : $1\,000$ cm³ $= 1$ dm³ $= 1$ L.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer le volume en cm³ avec $V = \pi r^2 h$, puis convertir en litres en divisant par $1\,000$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur le patron d'un cylindre de hauteur $h = 6$ cm et de rayon $r = 4$ cm, quelles sont les dimensions exactes du rectangle de la surface latérale ?
[qcm]
[option]Longueur $4\pi$ cm, largeur $6$ cm.[/option]
[option correct="true"]Longueur $8\pi$ cm, largeur $6$ cm.[/option]
[option]Longueur $16\pi$ cm, largeur $6$ cm.[/option]
[option]Longueur $8\pi$ cm, largeur $4$ cm.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La longueur du rectangle est le périmètre du cercle : $2\pi r = 2 \times \pi \times 4 = 8\pi$ cm. La largeur est la hauteur du cylindre : $6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="Longueur $4\pi$ cm, largeur $6$ cm."]Non.
La formule $\pi r$ a été utilisée pour le périmètre. Le périmètre du cercle est $2\pi r$, pas $\pi r$.[/reponse]
[reponse motif="Longueur $16\pi$ cm, largeur $6$ cm."]Non.
La formule $\pi r^2$ a été utilisée : c'est l'aire du disque, pas son périmètre. Le périmètre est $2\pi r$.[/reponse]
[reponse motif="Longueur $8\pi$ cm, largeur $4$ cm."]Non.
Les rôles de $r$ et $h$ ont été inversés. La largeur du rectangle latéral est la hauteur du cylindre, pas le rayon.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Sur le patron : longueur $=$ périmètre du cercle de base ($2\pi r$) ; largeur $=$ hauteur du cylindre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un cube en bois a un volume de $216$ cm³. Quelle est la longueur de son arête ?
[qcm]
[option]$72$ cm[/option]
[option]$108$ cm[/option]
[option correct="true"]$6$ cm[/option]
[option]$36$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le volume d'un cube d'arête $c$ est $V = c^3$. On cherche le nombre dont le cube vaut $216$. Or $6 \times 6 \times 6 = 216$, donc $c = 6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$72$ cm"]Non.
La division par $3$ ($216 \div 3 = 72$) a été utilisée à la place de l'extraction de la racine cubique. Le cube est défini par $c^3$, pas $3c$.[/reponse]
[reponse motif="$108$ cm"]Non.
La division par $2$ ($216 \div 2 = 108$) a été utilisée. Or pour un cube, $V = c^3$ et il faut chercher un nombre dont le cube est $216$.[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm"]Non.
$36$ est le carré de $6$, pas son cube. La formule du volume utilise $c^3$, donc il faut tester des cubes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour un cube, $V = c^3$. Chercher un nombre dont le produit par lui-même trois fois donne $216$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Description et patrons des prismes et cylindres

[enonce]
Ce QCM porte sur la description et les patrons des prismes droits et des cylindres de révolution. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Un prisme droit a pour base un pentagone (polygone à $5$ côtés). Combien possède-t-il de faces latérales ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$7$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans un prisme droit, il y a autant de faces latérales que de côtés de la base. Une base à $5$ côtés donne $5$ faces latérales.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ correspond au nombre de bases d'un prisme, pas au nombre de faces latérales.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Le nombre $3$ correspondrait à un prisme à base triangulaire, pas pentagonale.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7 = 5 + 2$ : le nombre total de faces (latérales et bases) a été calculé. La question porte uniquement sur les faces latérales.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le nombre de faces latérales d'un prisme droit est égal au nombre de côtés de sa base.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un prisme droit, comment sont les faces latérales ?
[qcm]
[option]Des triangles.[/option]
[option correct="true"]Des rectangles.[/option]
[option]Des trapèzes.[/option]
[option]Des parallélogrammes quelconques.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans un prisme droit, les faces latérales sont perpendiculaires aux bases : ce sont donc des rectangles.[/reponse]
[reponse motif="Des triangles."]Non.
Le triangle peut être la forme des bases (prisme à base triangulaire), mais les faces latérales sont toujours des rectangles dans un prisme droit.[/reponse]
[reponse motif="Des trapèzes."]Non.
Le trapèze a deux côtés parallèles de longueurs différentes : ce serait le cas d'un tronc de pyramide, pas d'un prisme droit.[/reponse]
[reponse motif="Des parallélogrammes quelconques."]Non.
Un parallélogramme général a des angles non droits. Dans un prisme droit, les faces latérales ont leurs angles droits : ce sont des rectangles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le mot « droit » signifie que les faces latérales sont perpendiculaires aux bases, ce qui leur donne une forme particulière.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un cylindre de révolution a un rayon de base $r = 4$ cm et une hauteur $h = 7$ cm. Sur le patron du cylindre, quelle est la longueur du rectangle correspondant à la surface latérale (en valeur exacte, en fonction de $\pi$) ?
[qcm]
[option]$4\pi$ cm[/option]
[option correct="true"]$8\pi$ cm[/option]
[option]$16\pi$ cm[/option]
[option]$28\pi$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La longueur du rectangle est égale au périmètre du disque de base : $2 \pi r = 2 \times \pi \times 4 = 8\pi$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$4\pi$ cm"]Non.
La formule $\pi r$ a été utilisée, en oubliant le facteur $2$. Le périmètre du cercle est $2\pi r$, pas $\pi r$.[/reponse]
[reponse motif="$16\pi$ cm"]Non.
La formule $\pi r^2$ a été utilisée : c'est l'aire du disque, pas son périmètre. La longueur du rectangle est le périmètre du cercle.[/reponse]
[reponse motif="$28\pi$ cm"]Non.
Le calcul $\pi \times r \times h = \pi \times 4 \times 7$ a été effectué : c'est presque la formule du volume, et la hauteur n'intervient pas dans la longueur du rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Sur le patron, le rectangle latéral a pour longueur le périmètre du cercle de base.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le patron d'un prisme droit à base triangulaire est composé de :
[qcm]
[option]$3$ triangles et $2$ rectangles.[/option]
[option correct="true"]$2$ triangles et $3$ rectangles.[/option]
[option]$2$ triangles et $1$ rectangle.[/option]
[option]$3$ triangles et $3$ rectangles.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un prisme droit à base triangulaire a $2$ bases triangulaires et $3$ faces latérales rectangulaires (autant que de côtés du triangle).[/reponse]
[reponse motif="$3$ triangles et $2$ rectangles."]Non.
Les rôles des triangles et rectangles ont été inversés. Les bases (au nombre de $2$) sont triangulaires ; les faces latérales (au nombre de $3$) sont rectangulaires.[/reponse]
[reponse motif="$2$ triangles et $1$ rectangle."]Non.
Pour réaliser un patron, chaque face latérale doit être dessinée séparément, ce qui donne $3$ rectangles, pas un seul.[/reponse]
[reponse motif="$3$ triangles et $3$ rectangles."]Non.
Un prisme droit ne possède que $2$ bases (les triangles), pas $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un prisme droit à base triangulaire possède $2$ bases triangulaires identiques et autant de faces latérales que de côtés de la base.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur le patron d'un prisme droit, le rectangle obtenu en assemblant les faces latérales bout à bout a une largeur égale à :
[qcm]
[option]le périmètre de la base.[/option]
[option correct="true"]la hauteur du prisme.[/option]
[option]l'aire de la base.[/option]
[option]un côté de la base.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Quand on assemble les faces latérales, la dimension dans le sens de la hauteur du prisme reste inchangée : c'est la largeur du rectangle obtenu. Sa longueur est le périmètre de la base.[/reponse]
[reponse motif="le périmètre de la base."]Non.
Le périmètre de la base est la longueur du grand rectangle (somme des côtés de toutes les faces alignées), pas sa largeur.[/reponse]
[reponse motif="l'aire de la base."]Non.
L'aire est une grandeur en cm², elle ne peut pas être la dimension d'un rectangle (qui est une longueur en cm).[/reponse]
[reponse motif="un côté de la base."]Non.
Un côté de la base correspond à la largeur d'un seul rectangle latéral, pas à la largeur du grand rectangle obtenu en les assemblant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lors de l'assemblage, la dimension qui reste inchangée pour chaque face latérale est la hauteur du prisme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi ces solides, lequel n'est pas un prisme droit ?
[qcm]
[option]Un cube.[/option]
[option]Un pavé droit (parallélépipède rectangle).[/option]
[option correct="true"]Une pyramide à base carrée.[/option]
[option]Un prisme à base hexagonale.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une pyramide n'a qu'une seule base et toutes les autres faces se rejoignent en un sommet : ce n'est pas un prisme. Le cube et le pavé droit sont des cas particuliers de prismes droits (bases carrées ou rectangulaires).[/reponse]
[reponse motif="Un cube."]Non.
Un cube est un prisme droit dont les bases sont des carrés et toutes les faces sont des carrés identiques.[/reponse]
[reponse motif="Un pavé droit (parallélépipède rectangle)."]Non.
Un pavé droit est un prisme droit dont les bases sont des rectangles : il vérifie bien la définition.[/reponse]
[reponse motif="Un prisme à base hexagonale."]Non.
Un prisme à base hexagonale entre dans la définition générale du prisme : sa base est juste un polygone à $6$ côtés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un prisme droit possède $2$ bases parallèles identiques et des faces latérales rectangulaires. Identifier le solide qui ne respecte pas cette structure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]