[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul du volume d'une pyramide. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la formule du volume d'une pyramide ?
[qcm]
[option]$V = \text{Aire de la base} \times h$[/option]
[option correct="true"]$V = \dfrac{\text{Aire de la base} \times h}{3}$[/option]
[option]$V = \dfrac{\text{Aire de la base} \times h}{2}$[/option]
[option]$V = \dfrac{4 \times \text{Aire de la base} \times h}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le volume d'une pyramide est le tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur.[/reponse]
[reponse motif="$V = \text{Aire de la base} \times h$"]Non.
Cette formule est celle du volume d'un prisme ou d'un pavé droit, pas celle d'une pyramide.[/reponse]
[reponse motif="$V = \dfrac{\text{Aire de la base} \times h}{2}$"]Non.
Le coefficient est $\dfrac{1}{3}$ et non $\dfrac{1}{2}$. Penser au cône qui partage la même structure de formule.[/reponse]
[reponse motif="$V = \dfrac{4 \times \text{Aire de la base} \times h}{3}$"]Non.
Le coefficient $\dfrac{4}{3}$ apparaît dans la formule du volume d'une boule, pas dans celle d'une pyramide.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Bien retenir : volume d'une pyramide = aire de la base $\times$ hauteur, divisé par $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer le volume d'une pyramide à base carrée de côté $9$ cm et de hauteur $4$ cm.
[qcm]
[option]$36$ cm³[/option]
[option]$324$ cm³[/option]
[option correct="true"]$108$ cm³[/option]
[option]$162$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'aire de la base carrée vaut $9 \times 9 = 81$ cm².
$V = \dfrac{81 \times 4}{3} = \dfrac{324}{3} = 108$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm³"]Non.
On a multiplié $9$ par $4$ sans élever $9$ au carré : la base est un carré, son aire est $9^2 = 81$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$324$ cm³"]Non.
On a oublié de diviser par $3$ : c'est le volume d'un prisme à base carrée, pas d'une pyramide.[/reponse]
[reponse motif="$162$ cm³"]Non.
On a divisé par $2$ au lieu de $3$. La formule de la pyramide divise par $3$, pas par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord l'aire de la base carrée ($9^2$), puis appliquer la formule en divisant par $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer le volume de la pyramide $SABCD$ à base rectangulaire ci-dessous : $AB = 8$ cm, $BC = 5$ cm et hauteur $SH = 6$ cm.

[qcm]
[option]$240$ cm³[/option]
[option]$120$ cm³[/option]
[option correct="true"]$80$ cm³[/option]
[option]$48$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'aire de la base rectangulaire vaut $8 \times 5 = 40$ cm².
$V = \dfrac{40 \times 6}{3} = \dfrac{240}{3} = 80$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$240$ cm³"]Non.
On a oublié la division par $3$. Le volume d'une pyramide est le tiers du produit aire de base $\times$ hauteur.[/reponse]
[reponse motif="$120$ cm³"]Non.
On a divisé par $2$ au lieu de $3$.[/reponse]
[reponse motif="$48$ cm³"]Non.
On a peut-être confondu les longueurs dans le calcul. L'aire de la base rectangulaire est $8 \times 5 = 40$ cm², à multiplier par la hauteur puis à diviser par $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer l'aire du rectangle de base ($8 \times 5$), puis appliquer la formule du volume d'une pyramide.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une pyramide a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6$ cm et $4$ cm. La hauteur de la pyramide vaut $10$ cm. Quel est son volume ?
[qcm]
[option]$240$ cm³[/option]
[option correct="true"]$40$ cm³[/option]
[option]$80$ cm³[/option]
[option]$120$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La base est un triangle rectangle, son aire vaut $\dfrac{6 \times 4}{2} = 12$ cm².
$V = \dfrac{12 \times 10}{3} = \dfrac{120}{3} = 40$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$240$ cm³"]Non.
On a oublié à la fois la division par $2$ pour l'aire du triangle et la division par $3$ pour le volume.[/reponse]
[reponse motif="$80$ cm³"]Non.
On a oublié de diviser par $2$ pour calculer l'aire du triangle rectangle.[/reponse]
[reponse motif="$120$ cm³"]Non.
On a oublié de diviser par $3$ : il s'agirait alors de l'aire de la base multipliée par la hauteur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La base étant un triangle rectangle, son aire est $\dfrac{\text{produit des côtés de l'angle droit}}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une pyramide à base carrée a un volume de $200$ cm³ et une hauteur de $6$ cm. Quelle est l'aire de sa base ?
[qcm]
[option]$33{,}3$ cm²[/option]
[option correct="true"]$100$ cm²[/option]
[option]$50$ cm²[/option]
[option]$1\,200$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
À partir de $V = \dfrac{\mathcal{A} \times h}{3}$, on isole $\mathcal{A} = \dfrac{3V}{h} = \dfrac{3 \times 200}{6} = \dfrac{600}{6} = 100$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$33{,}3$ cm²"]Non.
On a divisé $200$ par $6$ : il fallait d'abord multiplier par $3$ avant de diviser par la hauteur.[/reponse]
[reponse motif="$50$ cm²"]Non.
On a multiplié $200$ par $\dfrac{1}{4}$ environ : le facteur correct issu de l'inversion de la formule est $\dfrac{3}{h}$, pas $\dfrac{1}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,200$ cm²"]Non.
On a multiplié $200$ par $6$ : il fallait diviser par $6$ après avoir multiplié par $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Inverser la formule du volume : si $V = \dfrac{\mathcal{A} \times h}{3}$, alors $\mathcal{A} = \dfrac{3V}{h}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour une pyramide donnée, on indique deux valeurs : l'arête latérale ($SA = 13$ cm) et la longueur du segment $[AH]$ entre un sommet de la base et le pied de la hauteur ($AH = 5$ cm). Que vaut la hauteur $SH$ de cette pyramide ?
[qcm]
[option]$8$ cm[/option]
[option]$18$ cm[/option]
[option correct="true"]$12$ cm[/option]
[option]$\sqrt{194}$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le triangle $SAH$ est rectangle en $H$ (la hauteur est perpendiculaire à la base). En appliquant le théorème de Pythagore : $SH^2 = SA^2 - AH^2 = 169 - 25 = 144$, d'où $SH = 12$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$8$ cm"]Non.
On a soustrait $13 - 5 = 8$ : il faut utiliser le théorème de Pythagore, pas une simple soustraction.[/reponse]
[reponse motif="$18$ cm"]Non.
On a additionné les deux longueurs : la hauteur s'obtient par Pythagore dans le triangle $SAH$ rectangle en $H$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{194}$ cm"]Non.
On a additionné les carrés au lieu de soustraire : ici, l'hypoténuse est $SA$, donc $SH^2 = SA^2 - AH^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître le triangle rectangle dans la pyramide ; appliquer Pythagore en distinguant l'hypoténuse des côtés de l'angle droit.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]