[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul du volume d'un cône de révolution. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la formule du volume d'un cône de révolution de rayon $r$ et de hauteur $h$ ?
[qcm]
[option]$V = \pi \times r^2 \times h$[/option]
[option]$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$[/option]
[option correct="true"]$V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}$[/option]
[option]$V = \dfrac{\pi \times r \times h}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La base du cône est un disque d'aire $\pi r^2$, et le volume est le tiers de l'aire de base par la hauteur, soit $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$V = \pi \times r^2 \times h$"]Non.
Cette formule est celle du volume d'un cylindre. Pour le cône, il faut diviser par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$"]Non.
Cette formule est celle du volume d'une boule.[/reponse]
[reponse motif="$V = \dfrac{\pi \times r \times h}{3}$"]Non.
Le rayon doit être élevé au carré (aire du disque de base $= \pi r^2$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le volume du cône partage la même structure que celui de la pyramide : aire de la base $\times$ hauteur, divisé par $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer le volume d'un cône de révolution de rayon $3$ cm et de hauteur $7$ cm. Donner la valeur exacte.
[qcm]
[option]$63\pi$ cm³[/option]
[option correct="true"]$21\pi$ cm³[/option]
[option]$7\pi$ cm³[/option]
[option]$\dfrac{63}{2}\pi$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$V = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 7}{3} = \dfrac{\pi \times 9 \times 7}{3} = \dfrac{63\pi}{3} = 21\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$63\pi$ cm³"]Non.
On a oublié de diviser par $3$. Le volume du cône est le tiers du produit $\pi r^2 h$.[/reponse]
[reponse motif="$7\pi$ cm³"]Non.
On a oublié d'élever le rayon au carré. Il faut calculer $r^2 = 9$, pas $r = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{63}{2}\pi$ cm³"]Non.
On a divisé par $2$ au lieu de $3$. Bien retenir : la formule du cône divise par $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\pi \times r^2 \times h$, puis diviser par $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un cône de révolution a un diamètre de base de $10$ cm et une hauteur de $9$ cm. Quelle est la valeur exacte de son volume ?
[qcm]
[option]$300\pi$ cm³[/option]
[option]$100\pi$ cm³[/option]
[option correct="true"]$75\pi$ cm³[/option]
[option]$30\pi$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le diamètre vaut $10$ cm donc le rayon vaut $r = 5$ cm.
$V = \dfrac{\pi \times 5^2 \times 9}{3} = \dfrac{\pi \times 25 \times 9}{3} = \dfrac{225\pi}{3} = 75\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$300\pi$ cm³"]Non.
On a utilisé le diamètre comme rayon : il faut d'abord le diviser par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$100\pi$ cm³"]Non.
On a utilisé le diamètre comme rayon, puis oublié de diviser par $3$. Deux erreurs cumulées.[/reponse]
[reponse motif="$30\pi$ cm³"]Non.
On a utilisé le rayon sans l'élever au carré ($5$ au lieu de $5^2 = 25$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Toujours convertir le diamètre en rayon en divisant par $2$ avant d'appliquer la formule.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer une valeur approchée au cm³ près du volume d'un cône de rayon $4$ cm et de hauteur $6$ cm.
[qcm]
[option]$32$ cm³[/option]
[option correct="true"]$101$ cm³[/option]
[option]$301$ cm³[/option]
[option]$50$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$V = \dfrac{\pi \times 4^2 \times 6}{3} = \dfrac{96\pi}{3} = 32\pi \approx 100{,}53$ cm³, soit environ $101$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$32$ cm³"]Non.
$32\pi$ est la valeur exacte, mais la question demande une valeur approchée : il faut multiplier par $\pi \approx 3{,}14$.[/reponse]
[reponse motif="$301$ cm³"]Non.
On a oublié de diviser par $3$. La formule du cône comprend bien la division par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$50$ cm³"]Non.
On a peut-être divisé par $2$ au lieu de $3$ ou oublié l'aire de la base.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la valeur exacte $32\pi$ cm³, puis utiliser $\pi \approx 3{,}14$ pour obtenir une valeur approchée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le volume d'un cône de révolution est de $48\pi$ cm³ et son rayon de base mesure $4$ cm. Quelle est sa hauteur ?
[qcm]
[option]$3$ cm[/option]
[option correct="true"]$9$ cm[/option]
[option]$12$ cm[/option]
[option]$36$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
À partir de $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$, on isole $h = \dfrac{3V}{\pi r^2} = \dfrac{3 \times 48\pi}{\pi \times 16} = \dfrac{144}{16} = 9$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$3$ cm"]Non.
On a divisé $48$ par $16$ sans multiplier par $3$ d'abord. Ne pas oublier le facteur $3$ qui vient de l'inversion de la formule.[/reponse]
[reponse motif="$12$ cm"]Non.
On a oublié d'élever le rayon au carré : il faut diviser par $\pi r^2$ et non par $\pi r$.[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm"]Non.
On a multiplié $48$ par $\dfrac{3}{4}$ environ : la division par $r^2$ donne un résultat plus petit qu'en divisant par $r$ seulement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Inverser la formule : $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ donne $h = \dfrac{3V}{\pi r^2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On compare deux cônes de révolution. Le cône $\mathcal{C}_1$ a pour rayon $r$ et hauteur $h$. Le cône $\mathcal{C}_2$ a pour rayon $r$ et hauteur $2h$. Quel est le rapport entre le volume de $\mathcal{C}_2$ et celui de $\mathcal{C}_1$ ?
[qcm]
[option]$8$[/option]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$V_1 = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ et $V_2 = \dfrac{\pi r^2 \times 2h}{3} = 2 \times \dfrac{\pi r^2 h}{3} = 2 V_1$.
Le rapport vaut donc $2$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
Toutes les dimensions ne sont pas multipliées par $2$ : seule la hauteur change. Le rayon reste identique.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4 = 2^2$ correspond à l'effet d'un agrandissement sur les aires, pas à la situation présente où seule la hauteur double.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Quand la hauteur augmente, le volume augmente aussi. Le rapport est donc supérieur à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le volume est proportionnel à la hauteur quand le rayon est inchangé : si la hauteur double, le volume double.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]