QCM Bilan : Suites arithmétiques et géométriques
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : reconnaissance, raison, calcul de termes, somme et modélisation par des suites. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n = 2 \times 3^n$. C'est :
[qcm]
[option]une suite arithmétique de raison $3$[/option]
[option correct="true"]une suite géométrique de raison $3$[/option]
[option]une suite géométrique de raison $2$[/option]
[option]ni une suite arithmétique ni une suite géométrique[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La formule $u_n = 2 \times 3^n$ est de la forme $a \times b^n$ avec $a = 2$ et $b = 3$. La suite est donc géométrique, de raison $q = b = 3$ et de premier terme $u_0 = a = 2$.[/reponse]
[reponse motif="une suite arithmétique de raison $3$"]Non.
L'indice $n$ apparaît en exposant (et non additionné). Une suite arithmétique a pour formule $a n + b$, où $n$ est multiplié, pas mis en exposant.[/reponse]
[reponse motif="une suite géométrique de raison $2$"]Non.
La nature est correcte, mais la valeur $2$ est le premier terme $u_0$, pas la raison. La raison est la base de la puissance, ici $3$.[/reponse]
[reponse motif="ni une suite arithmétique ni une suite géométrique"]Non.
La forme $a \times b^n$ est exactement la formule explicite d'une suite géométrique de raison $b$ et de premier terme $a$. La suite est donc bien géométrique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître la forme $u_n = a \times b^n$ : c'est la signature d'une suite géométrique de raison $b$ et de premier terme $a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r = 5$ telle que $u_2 = 7$. Combien vaut $u_{10}$ ?
[qcm]
[option]$u_{10} = 50$[/option]
[option]$u_{10} = 42$[/option]
[option correct="true"]$u_{10} = 47$[/option]
[option]$u_{10} = 57$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On utilise la formule $u_n = u_k + (n - k) \times r$ avec $n = 10$ et $k = 2$ :
$u_{10} = u_2 + (10 - 2) \times 5 = 7 + 8 \times 5 = 7 + 40 = 47$.[/reponse]
[reponse motif="$u_{10} = 50$"]Non.
Le terme $u_2 = 7$ a été oublié. La formule fait apparaître $u_k + (n - k) \times r$, avec $u_k$ comme point de départ.[/reponse]
[reponse motif="$u_{10} = 42$"]Non.
Le facteur multiplicatif $r = 5$ a été appliqué $7$ fois ($7 \times 5 = 35$, puis $35 + 7 = 42$) au lieu de $8$ fois. Le nombre de pas entre $u_2$ et $u_{10}$ est $10 - 2 = 8$.[/reponse]
[reponse motif="$u_{10} = 57$"]Non.
La formule a été appliquée comme si $u_2 = u_0$ : on a calculé $u_0 + 10 r = 7 + 50 = 57$. Or $u_2 \neq u_0$ : il faut faire $8$ pas, pas $10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour passer de $u_2$ à $u_{10}$, on effectue $10 - 2 = 8$ pas de raison $r$. Appliquer la formule $u_{10} = u_2 + (10 - 2) \times r$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ strictement positive, telle que $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et $u_2 = 8$. Combien vaut $q$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$q = 4$[/option]
[option]$q = 2$[/option]
[option]$q = 8$[/option]
[option]$q = 16$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On utilise $u_2 = u_0 \times q^2$, soit $8 = \dfrac{1}{2} \times q^2$.
On en déduit $q^2 = 8 \times 2 = 16$, et puisque $q > 0$, on prend la racine carrée positive : $q = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 2$"]Non.
La valeur de $q^2$ a été confondue avec celle de $q$ : on a obtenu $q^2 = 4$ alors que le calcul correct donne $q^2 = 16$. Reprendre l'équation $\dfrac{1}{2} \times q^2 = 8$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 8$"]Non.
La valeur $8$ correspond au terme $u_2$, pas à la raison. Pour trouver $q$, il faut résoudre $u_2 = u_0 \times q^2$ et isoler $q$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 16$"]Non.
La valeur $16$ est en réalité $q^2$ (et non $q$). Il faut encore prendre la racine carrée pour obtenir la raison.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire la relation $u_2 = u_0 \times q^2$, isoler $q^2$, puis prendre la racine carrée positive.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Un capital initial est placé à intérêts composés au taux annuel de $4 \%$. La suite $(C_n)$ des capitaux successifs (au bout de $n$ années) est :
[qcm]
[option]arithmétique de raison $4$[/option]
[option]arithmétique de raison $1{,}04$[/option]
[option]géométrique de raison $4$[/option]
[option correct="true"]géométrique de raison $1{,}04$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Augmenter de $4 \%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04$. La relation est donc $C_{n+1} = 1{,}04 \times C_n$ : c'est une suite géométrique de raison $1{,}04$.[/reponse]
[reponse motif="arithmétique de raison $4$"]Non.
Une augmentation en pourcentage correspond à une multiplication, pas à une addition d'une constante. La suite n'est donc pas arithmétique.[/reponse]
[reponse motif="arithmétique de raison $1{,}04$"]Non.
La valeur $1{,}04$ est bien le coefficient multiplicateur, mais une suite arithmétique correspond à une addition répétée. Une augmentation en pourcentage est une multiplication : la suite est géométrique.[/reponse]
[reponse motif="géométrique de raison $4$"]Non.
La nature géométrique est correcte. Mais la raison n'est pas $4$ : augmenter de $4 \%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04$, pas par $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une évolution à taux constant se modélise par une suite géométrique. Le coefficient multiplicateur d'une augmentation de $t \%$ vaut $1 + \dfrac{t}{100}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 5$ et $u_{20} = 65$. Combien vaut la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{20}$ ?
[qcm]
[option]$S = 700$[/option]
[option correct="true"]$S = 735$[/option]
[option]$S = 1470$[/option]
[option]$S = 350$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme contient $21$ termes (de l'indice $0$ à l'indice $20$).
On applique : $S = 21 \times \dfrac{u_0 + u_{20}}{2} = 21 \times \dfrac{5 + 65}{2} = 21 \times 35 = 735$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 700$"]Non.
Le nombre de termes a été pris égal à $20$, mais en partant de l'indice $0$ jusqu'à $20$ il y en a $21$. Toujours penser à ajouter $1$ à la différence des indices.[/reponse]
[reponse motif="$S = 1470$"]Non.
La division par $2$ a été oubliée. La formule complète est : nombre de termes $\times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 350$"]Non.
Cela correspond à $10 \times 35$, comme si l'on avait $10$ termes. Recompter : avec les indices $0$, $1$, …, $20$, il y a $21$ termes au total.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter le nombre de termes (en partant de l'indice $0$), puis appliquer la formule de la somme arithmétique : nombre de termes $\times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que $u_3 = 24$ et $u_6 = 192$. Combien vaut sa raison $q$ (positive) ?
[qcm]
[option]$q = 8$[/option]
[option]$q = 4$[/option]
[option correct="true"]$q = 2$[/option]
[option]$q = 24$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On utilise $u_6 = u_3 \times q^{6 - 3} = u_3 \times q^3$, soit $192 = 24 \times q^3$.
Donc $q^3 = \dfrac{192}{24} = 8$, et puisque $q$ est positive, $q = \sqrt[3]{8} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 8$"]Non.
La valeur $8$ est le rapport brut $\dfrac{u_6}{u_3} = q^3$, et non la raison elle-même. Il reste à prendre la racine cubique : $q = \sqrt[3]{8} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 4$"]Non.
La racine cubique a été remplacée par une racine carrée : $\sqrt{16} = 4$ aurait correspondu à un exposant $2$, mais ici l'exposant est $6 - 3 = 3$. La bonne opération est $q = \sqrt[3]{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 24$"]Non.
La valeur $24$ correspond au terme $u_3$, pas à la raison. La raison se trouve en utilisant $u_n = u_k \times q^{n - k}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la relation $u_6 = u_3 \times q^{6 - 3}$, isoler $q^3$, puis prendre la racine cubique en tenant compte du signe imposé.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]