QCM : Sommes de termes consécutifs

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul des sommes de termes consécutifs d'une suite arithmétique ou géométrique. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Combien vaut la somme $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 50$ ?
[qcm]
[option]$S = 2550$[/option]
[option]$S = 1326$[/option]
[option correct="true"]$S = 1275$[/option]
[option]$S = 1250$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On utilise la formule $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ avec $n = 50$ : $S = \dfrac{50 \times 51}{2} = \dfrac{2550}{2} = 1275$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 2550$"]Non.
La division par $2$ a été oubliée. La formule complète est $\dfrac{n(n+1)}{2}$, et non $n(n+1)$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 1326$"]Non.
Cela correspond à $\dfrac{51 \times 52}{2}$, donc à la somme jusqu'à $51$. Vérifier l'indice du dernier terme : ici la somme s'arrête à $50$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 1250$"]Non.
La formule à utiliser est $\dfrac{n(n+1)}{2}$, pas $\dfrac{n^2}{2}$. Bien penser à multiplier $n$ par $n+1$ (et non par $n$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ avec $n = 50$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien vaut la somme $S = 5 + 7 + 9 + \dots + 25$ ?
[qcm]
[option]$S = 150$[/option]
[option correct="true"]$S = 165$[/option]
[option]$S = 330$[/option]
[option]$S = 75$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La somme est arithmétique de raison $2$. Nombre de termes : $\dfrac{25 - 5}{2} + 1 = 11$.
On applique la formule : $S = \text{(nombre de termes)} \times \dfrac{\text{(premier} + \text{dernier)}}{2} = 11 \times \dfrac{5 + 25}{2} = 11 \times 15 = 165$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 150$"]Non.
Le nombre de termes a été calculé à $10$ au lieu de $11$. Lorsque l'on compte les termes d'une progression arithmétique, on utilise $\dfrac{\text{dernier} - \text{premier}}{r} + 1$ : ne pas oublier le « $+1$ ».[/reponse]
[reponse motif="$S = 330$"]Non.
La division par $2$ a été oubliée dans la formule. La somme se calcule en multipliant le nombre de termes par la demi-somme des extrêmes.[/reponse]
[reponse motif="$S = 75$"]Non.
Cela correspond à $5 \times 15$, comme si l'on n'avait que $5$ termes. Recalculer le nombre de termes : il y en a $11$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter d'abord le nombre de termes, puis appliquer : somme $= \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = 2$. Combien vaut $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$ ?
[qcm]
[option]$S = 130$[/option]
[option]$S = 13$[/option]
[option]$S = 286$[/option]
[option correct="true"]$S = 143$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La somme $u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$ contient $11$ termes (de l'indice $0$ à l'indice $10$).
Le dernier vaut $u_{10} = 3 + 10 \times 2 = 23$.
Donc $S = 11 \times \dfrac{3 + 23}{2} = 11 \times 13 = 143$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 130$"]Non.
Le nombre de termes a été pris égal à $10$, mais en partant de l'indice $0$ jusqu'à $10$ il y en a $11$. Toujours faire attention à l'indice de départ.[/reponse]
[reponse motif="$S = 13$"]Non.
La valeur $13$ est seulement la demi-somme $\dfrac{u_0 + u_{10}}{2}$. Il manque le facteur « nombre de termes » dans la formule.[/reponse]
[reponse motif="$S = 286$"]Non.
La division par $2$ a été oubliée. La formule complète est : nombre de termes $\times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter le nombre de termes en partant de l'indice $0$, puis calculer $u_{10}$ et appliquer la formule de la somme arithmétique.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien vaut la somme $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 256$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$S = 511$[/option]
[option]$S = 512$[/option]
[option]$S = 255$[/option]
[option]$S = 1023$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La somme est géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $1$. Comme $256 = 2^8$, la somme s'écrit $1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^8$, soit $9$ termes.
On applique la formule : $S = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = \dfrac{1 - 2^9}{1 - 2} = \dfrac{1 - 512}{-1} = 511$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 512$"]Non.
La valeur $512 = 2^9$ correspond au numérateur $|1 - 2^9|$ pris seul, sans application de la formule de somme. Ne pas oublier le « $-1$ » au numérateur ni la division par $1 - q$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 255$"]Non.
Cela correspond à $\dfrac{1 - 2^8}{1 - 2}$, comme si la somme s'arrêtait à $128$. L'exposant doit être $n + 1 = 9$ (puisque le dernier terme est $2^8$), pas $8$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 1023$"]Non.
Cela correspond à $\dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2}$, donc à une somme jusqu'à $2^9 = 512$. Reprendre le nombre de termes : le dernier vaut ici $256 = 2^8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer la raison ($q = 2$) et l'exposant du dernier terme ($256 = 2^8$), puis appliquer $1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ avec $n = 8$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien vaut la somme $S = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{32}$ ?
[qcm]
[option]$S = \dfrac{1}{64}$[/option]
[option correct="true"]$S = \dfrac{63}{32}$[/option]
[option]$S = \dfrac{31}{32}$[/option]
[option]$S = \dfrac{127}{64}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme est géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$. Comme $\dfrac{1}{32} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$, la somme s'écrit $1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$, soit $6$ termes.
On applique : $S = \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^6}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{1 - \dfrac{1}{64}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{63}{64}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{63}{64} \times 2 = \dfrac{63}{32}$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \dfrac{1}{64}$"]Non.
La valeur $\dfrac{1}{64}$ est seulement $\left(\dfrac{1}{2}\right)^6$, le terme apparaissant dans la formule. La somme totale est largement supérieure (les premiers termes valent déjà plus de $1$).[/reponse]
[reponse motif="$S = \dfrac{31}{32}$"]Non.
Cela correspond à $\dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^5}{1 - \dfrac{1}{2}}$ : un terme a été oublié dans la somme. Compter à nouveau les termes en partant de $1 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \dfrac{127}{64}$"]Non.
Cela correspond à une somme jusqu'à $\left(\dfrac{1}{2}\right)^6$, soit $7$ termes. Le dernier terme de l'énoncé est $\dfrac{1}{32} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$, pas $\left(\dfrac{1}{2}\right)^6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer la raison ($q = \dfrac{1}{2}$), exprimer le dernier terme comme une puissance de $\dfrac{1}{2}$, puis appliquer la formule $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = 4$. Combien vaut $S = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4$ ?
[qcm]
[option]$S = 341$[/option]
[option]$S = 4095$[/option]
[option correct="true"]$S = 1023$[/option]
[option]$S = 1024$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La somme contient $5$ termes (du rang $0$ au rang $4$). On factorise $u_0$ et on applique :
$S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{5}}{1 - q} = 3 \times \dfrac{1 - 4^5}{1 - 4} = 3 \times \dfrac{1 - 1024}{-3} = 3 \times \dfrac{-1023}{-3} = 1023$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 341$"]Non.
La multiplication par $u_0 = 3$ a été oubliée. La formule complète pour une somme géométrique avec premier terme $u_0$ s'écrit $u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 4095$"]Non.
Cela correspond à $3 \times \dfrac{1 - 4^6}{1 - 4}$, donc à $6$ termes. Compter le nombre de termes : du rang $0$ au rang $4$, il y a $5$ termes.[/reponse]
[reponse motif="$S = 1024$"]Non.
La valeur $1024 = 4^5$ correspond à $u_5 / u_0$ ou à $q^{n+1}$, pas à la somme. La formule à utiliser fait apparaître $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$, et non $q^{n+1}$ seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter le nombre de termes ($n + 1 = 5$), puis appliquer la formule $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM Bilan : Suites arithmétiques et géométriques

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : reconnaissance, raison, calcul de termes, somme et modélisation par des suites. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n = 2 \times 3^n$. C'est :
[qcm]
[option]une suite arithmétique de raison $3$[/option]
[option correct="true"]une suite géométrique de raison $3$[/option]
[option]une suite géométrique de raison $2$[/option]
[option]ni une suite arithmétique ni une suite géométrique[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La formule $u_n = 2 \times 3^n$ est de la forme $a \times b^n$ avec $a = 2$ et $b = 3$. La suite est donc géométrique, de raison $q = b = 3$ et de premier terme $u_0 = a = 2$.[/reponse]
[reponse motif="une suite arithmétique de raison $3$"]Non.
L'indice $n$ apparaît en exposant (et non additionné). Une suite arithmétique a pour formule $a n + b$, où $n$ est multiplié, pas mis en exposant.[/reponse]
[reponse motif="une suite géométrique de raison $2$"]Non.
La nature est correcte, mais la valeur $2$ est le premier terme $u_0$, pas la raison. La raison est la base de la puissance, ici $3$.[/reponse]
[reponse motif="ni une suite arithmétique ni une suite géométrique"]Non.
La forme $a \times b^n$ est exactement la formule explicite d'une suite géométrique de raison $b$ et de premier terme $a$. La suite est donc bien géométrique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître la forme $u_n = a \times b^n$ : c'est la signature d'une suite géométrique de raison $b$ et de premier terme $a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r = 5$ telle que $u_2 = 7$. Combien vaut $u_{10}$ ?
[qcm]
[option]$u_{10} = 50$[/option]
[option]$u_{10} = 42$[/option]
[option correct="true"]$u_{10} = 47$[/option]
[option]$u_{10} = 57$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On utilise la formule $u_n = u_k + (n - k) \times r$ avec $n = 10$ et $k = 2$ :
$u_{10} = u_2 + (10 - 2) \times 5 = 7 + 8 \times 5 = 7 + 40 = 47$.[/reponse]
[reponse motif="$u_{10} = 50$"]Non.
Le terme $u_2 = 7$ a été oublié. La formule fait apparaître $u_k + (n - k) \times r$, avec $u_k$ comme point de départ.[/reponse]
[reponse motif="$u_{10} = 42$"]Non.
Le facteur multiplicatif $r = 5$ a été appliqué $7$ fois ($7 \times 5 = 35$, puis $35 + 7 = 42$) au lieu de $8$ fois. Le nombre de pas entre $u_2$ et $u_{10}$ est $10 - 2 = 8$.[/reponse]
[reponse motif="$u_{10} = 57$"]Non.
La formule a été appliquée comme si $u_2 = u_0$ : on a calculé $u_0 + 10 r = 7 + 50 = 57$. Or $u_2 \neq u_0$ : il faut faire $8$ pas, pas $10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour passer de $u_2$ à $u_{10}$, on effectue $10 - 2 = 8$ pas de raison $r$. Appliquer la formule $u_{10} = u_2 + (10 - 2) \times r$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ strictement positive, telle que $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et $u_2 = 8$. Combien vaut $q$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$q = 4$[/option]
[option]$q = 2$[/option]
[option]$q = 8$[/option]
[option]$q = 16$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On utilise $u_2 = u_0 \times q^2$, soit $8 = \dfrac{1}{2} \times q^2$.
On en déduit $q^2 = 8 \times 2 = 16$, et puisque $q > 0$, on prend la racine carrée positive : $q = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 2$"]Non.
La valeur de $q^2$ a été confondue avec celle de $q$ : on a obtenu $q^2 = 4$ alors que le calcul correct donne $q^2 = 16$. Reprendre l'équation $\dfrac{1}{2} \times q^2 = 8$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 8$"]Non.
La valeur $8$ correspond au terme $u_2$, pas à la raison. Pour trouver $q$, il faut résoudre $u_2 = u_0 \times q^2$ et isoler $q$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 16$"]Non.
La valeur $16$ est en réalité $q^2$ (et non $q$). Il faut encore prendre la racine carrée pour obtenir la raison.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire la relation $u_2 = u_0 \times q^2$, isoler $q^2$, puis prendre la racine carrée positive.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un capital initial est placé à intérêts composés au taux annuel de $4 \%$. La suite $(C_n)$ des capitaux successifs (au bout de $n$ années) est :
[qcm]
[option]arithmétique de raison $4$[/option]
[option]arithmétique de raison $1{,}04$[/option]
[option]géométrique de raison $4$[/option]
[option correct="true"]géométrique de raison $1{,}04$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Augmenter de $4 \%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04$. La relation est donc $C_{n+1} = 1{,}04 \times C_n$ : c'est une suite géométrique de raison $1{,}04$.[/reponse]
[reponse motif="arithmétique de raison $4$"]Non.
Une augmentation en pourcentage correspond à une multiplication, pas à une addition d'une constante. La suite n'est donc pas arithmétique.[/reponse]
[reponse motif="arithmétique de raison $1{,}04$"]Non.
La valeur $1{,}04$ est bien le coefficient multiplicateur, mais une suite arithmétique correspond à une addition répétée. Une augmentation en pourcentage est une multiplication : la suite est géométrique.[/reponse]
[reponse motif="géométrique de raison $4$"]Non.
La nature géométrique est correcte. Mais la raison n'est pas $4$ : augmenter de $4 \%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04$, pas par $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une évolution à taux constant se modélise par une suite géométrique. Le coefficient multiplicateur d'une augmentation de $t \%$ vaut $1 + \dfrac{t}{100}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 5$ et $u_{20} = 65$. Combien vaut la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{20}$ ?
[qcm]
[option]$S = 700$[/option]
[option correct="true"]$S = 735$[/option]
[option]$S = 1470$[/option]
[option]$S = 350$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme contient $21$ termes (de l'indice $0$ à l'indice $20$).
On applique : $S = 21 \times \dfrac{u_0 + u_{20}}{2} = 21 \times \dfrac{5 + 65}{2} = 21 \times 35 = 735$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 700$"]Non.
Le nombre de termes a été pris égal à $20$, mais en partant de l'indice $0$ jusqu'à $20$ il y en a $21$. Toujours penser à ajouter $1$ à la différence des indices.[/reponse]
[reponse motif="$S = 1470$"]Non.
La division par $2$ a été oubliée. La formule complète est : nombre de termes $\times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 350$"]Non.
Cela correspond à $10 \times 35$, comme si l'on avait $10$ termes. Recompter : avec les indices $0$, $1$, …, $20$, il y a $21$ termes au total.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter le nombre de termes (en partant de l'indice $0$), puis appliquer la formule de la somme arithmétique : nombre de termes $\times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que $u_3 = 24$ et $u_6 = 192$. Combien vaut sa raison $q$ (positive) ?
[qcm]
[option]$q = 8$[/option]
[option]$q = 4$[/option]
[option correct="true"]$q = 2$[/option]
[option]$q = 24$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On utilise $u_6 = u_3 \times q^{6 - 3} = u_3 \times q^3$, soit $192 = 24 \times q^3$.
Donc $q^3 = \dfrac{192}{24} = 8$, et puisque $q$ est positive, $q = \sqrt[3]{8} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 8$"]Non.
La valeur $8$ est le rapport brut $\dfrac{u_6}{u_3} = q^3$, et non la raison elle-même. Il reste à prendre la racine cubique : $q = \sqrt[3]{8} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 4$"]Non.
La racine cubique a été remplacée par une racine carrée : $\sqrt{16} = 4$ aurait correspondu à un exposant $2$, mais ici l'exposant est $6 - 3 = 3$. La bonne opération est $q = \sqrt[3]{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 24$"]Non.
La valeur $24$ correspond au terme $u_3$, pas à la raison. La raison se trouve en utilisant $u_n = u_k \times q^{n - k}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la relation $u_6 = u_3 \times q^{6 - 3}$, isoler $q^3$, puis prendre la racine cubique en tenant compte du signe imposé.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Suites arithmétiques — approfondissement

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les suites arithmétiques, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = u_n - 3$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $-3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La relation $u_{n+1} = u_n - 3$ s'écrit aussi $u_{n+1} - u_n = -3$.
La différence entre deux termes consécutifs est constante, égale à $-3$ : la suite est bien arithmétique de raison $-3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une suite arithmétique peut avoir une raison négative : il suffit que $u_{n+1} - u_n$ soit constant, quel que soit le signe.
Ici, $u_{n+1} - u_n = -3$ pour tout $n$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La relation $u_{n+1} - u_n = -3$ montre que la suite est arithmétique de raison $-3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r = 0$.

Affirmation : Tous les termes de la suite sont nuls.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Si $r = 0$, alors $u_{n+1} - u_n = 0$, donc tous les termes sont égaux : la suite est constante et vaut $u_0$ pour tout $n$. Mais $u_0$ peut très bien être non nul (par exemple $u_0 = 7$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « raison nulle » et « termes nuls ». Une raison nulle signifie que la suite est constante, mais sa valeur commune est $u_0$, qui n'est pas forcément $0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Si $r = 0$, tous les termes valent $u_0$. La suite est constante mais pas forcément nulle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$(u_n)$ est une suite arithmétique telle que $u_1 = 7$ et $u_4 = 19$.

Affirmation : La raison de la suite $(u_n)$ est $r = 4$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Entre les indices $1$ et $4$, il y a $3$ intervalles de raison :

$u_4 = u_1 + 3r$

D'où $19 = 7 + 3r$, soit $3r = 12$ et $r = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On applique la formule générale $u_p = u_q + (p-q)r$. Ici, $u_4 = u_1 + 3r$, d'où $r = \dfrac{u_4 - u_1}{3}$.
$r = \dfrac{19 - 7}{3} = 4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En utilisant $u_4 = u_1 + 3r$ : $r = \dfrac{19 - 7}{3} = 4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = n^2$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule la différence de deux termes consécutifs :

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$

Cette différence dépend de $n$ : elle n'est pas constante. La suite n'est donc pas arithmétique.
Vérification : $u_0 = 0$, $u_1 = 1$, $u_2 = 4$ — les différences $1$ et $3$ ne sont pas égales.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : pour qu'une suite soit arithmétique, la différence $u_{n+1} - u_n$ doit être constante. Ici, elle vaut $2n + 1$, qui change avec $n$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La différence $u_{n+1} - u_n = 2n + 1$ n'est pas constante : la suite n'est pas arithmétique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique et soient $M_n(n; u_n)$ les points d'ordonnée $u_n$ dans un repère.

Affirmation : Les points $M_0$, $M_1$, $M_2$, ... sont alignés.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Comme $u_n = u_0 + nr$, les points $M_n$ ont pour coordonnées $(n; u_0 + nr)$. Ils appartiennent tous à la droite d'équation $y = rx + u_0$ : ils sont alignés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le terme général $u_n = u_0 + nr$ est une fonction affine de $n$. Les points $M_n(n; u_n)$ sont donc sur la droite $y = rx + u_0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les coordonnées $(n; u_0 + nr)$ vérifient $y = rx + u_0$ : tous les points sont alignés.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$.

Affirmation : La somme $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}$ est égale à $\dfrac{10(u_0 + u_{10})}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La formule de la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est :

$S = \dfrac{(\text{nombre de termes}) \times (\text{premier} + \text{dernier})}{2}$

Ici, la somme va de $u_0$ à $u_{10}$, ce qui fait $11$ termes (pas $10$) :

$S = \dfrac{11(u_0 + u_{10})}{2}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique est de confondre l'indice du dernier terme avec le nombre de termes. De $u_0$ à $u_{10}$, il y a $11$ termes.
$S = \dfrac{11(u_0 + u_{10})}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La somme de $u_0$ à $u_{10}$ comporte $11$ termes, donc $S = \dfrac{11(u_0 + u_{10})}{2}$, et non $\dfrac{10(u_0 + u_{10})}{2}$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Suites arithmétiques

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = 3n - 2$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule $u_{n+1} - u_n$ :

$u_{n+1} - u_n = 3(n+1) - 2 - (3n - 2) = 3$

La différence est constante, donc $(u_n)$ est bien une suite arithmétique de raison $r = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre « terme général de la forme $an+b$ » avec une suite quelconque, sans penser à vérifier la constance des différences.
$u_{n+1} - u_n = 3(n+1) - 2 - (3n-2) = 3$ (constante), donc $(u_n)$ est bien arithmétique de raison $3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On calcule $u_{n+1} - u_n = 3(n+1) - 2 - (3n-2) = 3$, différence constante. La suite est arithmétique de raison $r = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = -1$.

Affirmation : Pour tout entier naturel $n$ : $u_n = -1 + 5n$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La formule du terme général est $u_n = u_0 + nr$, soit :

$u_n = 5 + n \times (-1) = 5 - n$

Le terme général est $u_n = 5 - n$, et non $-1 + 5n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'intervertir le premier terme et la raison dans la formule, en écrivant $-1 + 5n$ au lieu de $u_0 + nr = 5 + (-1)n = 5 - n$.
$u_n = u_0 + nr = 5 + n \times (-1) = 5 - n$.
Ce n'est pas $-1 + 5n$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule correcte est $u_n = u_0 + nr = 5 + n \times (-1) = 5 - n$. La proposition $-1 + 5n$ intervertit le premier terme et la raison.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 0$ et de raison $r = 2$.

Affirmation : $u_{10} = 20$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

$u_{10} = u_0 + 10 \times r = 0 + 10 \times 2 = 20$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de calculer $u_{10} = 10 \times r = 20$ sans se souvenir que le premier terme $u_0 = 0$ s'annule ici, ce qui donne le même résultat — le calcul est donc bien correct.
$u_{10} = u_0 + 10r = 0 + 10 \times 2 = 20$.
C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En appliquant $u_n = u_0 + nr$, on obtient $u_{10} = 0 + 10 \times 2 = 20$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$(u_n)$ est la suite arithmétique telle que $u_0 = 5$ et $u_2 = 9$.

Affirmation : La raison de la suite $(u_n)$ est $2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On utilise $u_2 = u_0 + 2r$ :

$r = \dfrac{u_2 - u_0}{2} = \dfrac{9 - 5}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de calculer directement $r = u_2 - u_0 = 4$ sans tenir compte de l'écart de $2$ rangs entre les indices.
$r = \dfrac{u_2 - u_0}{2} = \dfrac{9 - 5}{2} = 2$.
La raison est bien $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On écrit $u_2 = u_0 + 2r$, d'où $r = \dfrac{9-5}{2} = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$(u_n)$ est la suite arithmétique de raison $r = 5$ telle que $u_6 = 31$.

Affirmation : $u_0 = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On utilise $u_6 = u_0 + 6r$ :

$u_0 = u_6 - 6 \times r = 31 - 6 \times 5 = 31 - 30 = 1$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'écrire $u_0 = u_6 - r$ (en soustrayant la raison une seule fois) au lieu de soustraire $6 \times r$.
$u_0 = u_6 - 6r = 31 - 6 \times 5 = 1$.
C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En isolant $u_0$ dans $u_6 = u_0 + 6r$, on obtient $u_0 = 31 - 30 = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $1 + 2 + 3 + \cdots + 20 = 210$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La somme des $n$ premiers entiers est $\dfrac{n(n+1)}{2}$ :

$1 + 2 + \cdots + 20 = \dfrac{20 \times 21}{2} = 210$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'appliquer $\dfrac{n(n-1)}{2}$ au lieu de $\dfrac{n(n+1)}{2}$, ce qui donnerait $190$ au lieu de $210$.
$1 + 2 + \cdots + 20 = \dfrac{20 \times 21}{2} = 210$.
C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme des entiers de $1$ à $n$ vaut $\dfrac{n(n+1)}{2}$, soit $\dfrac{20 \times 21}{2} = 210$.
[/solution]
[/etape]

Suites arithmétiques et géométriques

Pour son appartement, Alexandre paye, tous les mois, un loyer brut et des charges locatives. On appelle loyer net, la somme du loyer brut et des charges locatives.

En 2016, le loyer brut était de 450 euros (mensuel) et les charges de 60 euros (mensuel).

Au premier janvier de chaque année, le loyer brut mensuel augmente de 1,5 % et les charges locatives mensuelles augmentent de 1€.

On note :

$ b_n $ : le total des loyers bruts (en euros) pour l'année 2016 + $ n $
$ c_n $ : le total des charges (en euros) pour l'année 2016 + $ n $
$ l_n $ : le total des loyers nets (en euros) pour l'année 2016 + $ n $.

Calculer $ b_0 $ et $ c_0 $.

En déduire que $ l_0=6120 $.
Calculer $ b_1, c_1 $ et $ l_1 $ puis $ b_2, c_2 $ et $ l_2 $.
Exprimer $ b_{n+1} $ en fonction de $ b_n $, puis $ c_{n+1} $ en fonction de $ c_n $.
Pour chacune des suites $ (b_n), (c_n) $ et $ (l_n) $ indiquer s'il s'agit d'une suite arithmétique, d'une suite géométrique ou d'une suite qui n'est ni arithmétique ni géométrique.
Exprimer $ b_n, c_n $ puis $ l_n $ en fonction de $ n $.
Quel sera le total des loyers nets payés par Alexandre au cours des dix premières années (de 2016 à 2025) ?

Corrigé

En 2016, Alexandre paiera 450 euros de loyer brut tous les mois donc le total en euros sera :

$ b_0=12 \times 450=5400 $

De même, le total en euros des charges locatives pour 2016 sera :

$ c_0=12 \times 60=720 $

Le total des loyers nets s'obtiendra en faisant la somme des loyers bruts et des charges locatives :

$ l_0=b_0+c_0=5400+720=6120 $
Augmenter un montant de $ 1{,}5 $ % revient à multiplier ce montant par $ 1{,}015 $.

Le montant des loyers bruts mensuels en 2017 sera donc de $ 450 \times 1{,}015 = 456{,}75 $ euros et le total annuel des loyers bruts :

$ b_1=450 \times 1{,}015 \times 12 = 5481 $

On remarque que pour obtenir $ b_1 $ il suffit de multiplier $ b_0 $ par $ 1{,}015 $.

En 2017, Alexandre paiera $ 1 $ euro de charges supplémentaires tous les mois. Sur l'année, il paiera donc $ 12 $ euros de charges de plus qu'en 2016.

Le total des charges locatives en euros pour l'année 2017 sera donc :

$ c_1=c_0+12=720+12=732 $

Le total des loyers nets pour 2017 sera :

$ l_1=b_1+c_1=5481+732=6213 $

Un raisonnement analogue permet de calculer les montants des loyers et des charges en 2018 :

$ b_2=b_1 \times 1{,}015=5563{,}215 $ (ou $ 5563{,}22 $ arrondi au centime)

$ c_2=c_1+12=732+12=744 $

$ l_2=b_2+c_2=6307{,}215 $ (ou $ 6307{,}22 $ arrondi au centime)
Les loyers bruts de l'année de rang $ n+1 $ s'obtiennent en multipliant les loyers bruts de l'année de rang $ n $ par $ 1{,}015 $. On a donc :

$ b_{n+1}=1{,}015 \times b_n $

Les charges de l'année de rang $ n+1 $ s'obtiennent en ajoutant $ 12 $ aux charges de l'année de rang $ n $. Par conséquent :

$ c_{n+1}=c_n+12 $
D'après les questions précédentes :

$ (b_n) $ est une suite géométrique de premier terme $ b_0=5400 $ et de raison $ 1{,}015 $.

$ (c_n) $ est une suite arithmétique de premier terme $ c_0=720 $ et de raison $ 12 $.

Montrons que la suite $ (l_n) $ n'est ni arithmétique ni géométrique :

$ l_1 - l_0=6213 - 6120=93 $

$ l_2 - l_1=6307,215 - 6213=94{,}215 $

La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante donc la suite $ (l_n) $ n'est pas arithmétique.

$ \dfrac{l_1}{l_0} = \dfrac{6213}{6120} \approx 1{,}01520 $ (à $ 10^{^ - 5} $ près)

$ \dfrac{l_2}{l_1} = \dfrac{6307{,}215}{6213} \approx 1{,}01516 $ (à $ 10^{^ - 5} $ près)

Le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant donc la suite $ (l_n) $ n'est pas géométrique.
La suite $ (b_n) $ est une suite géométrique de premier terme $ b_0=5400 $ et de raison $ q=1{,}015 $, par conséquent :

$ b_n=b_0 \times q^n=5400 \times 1{,}015^n $

La suite $ (c_n) $ est une suite arithmétique de premier terme $ c_0=720 $ et de raison $ r=12 $, donc :

$ c_n=c_0 + n r=720 + 12n $

$ l_n $ est la somme de $ b_n $ et $ c_n $ :

$ l_n=5400 \times 1{,}015^n+720+12n $
Le total des loyers bruts lors des 10 premières années est :

$ B=b_0+b_1+ \cdots +b_9 $

$ \phantom{B}=5400+5400 \times 1,015 + \cdots +5400 \times 1,015^9 $

$ \phantom{B}=5400(1+1,015 + \cdots +1,015^9) $

donc d'après la formule $ 1+q+q^2+\cdots+q^n= \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $ :

$ B=5400 \times \dfrac{1 - 1{,}015^{10}}{1 - 1{,}015} $

$ \phantom{B} \approx 57794{,}70 $ (au centime près)

Le total des charges locatives lors des 10 premières années est :

$ C=c_0+c_1+ \cdots +c_9 $

$ C=720+ 720+12 \times 1+ 720+12 \times 2 + \cdots +720+12 \times 9 $

On regroupe les termes égaux à $ 720 $ ; il y en a $ 10 $, donc :

$ C=720\times 10+12 \times 1+12 \times 2 + \cdots +12 \times 9 $

$ \phantom{C}=7200+12 (1+2+\cdots +9) $

On applique la formule $ 1+2+\cdots +n= \dfrac{n(n+1)}{2} $ :

$ C=7200+12\times \dfrac{9\times 10}{2} = 7740 $

Le total des loyers nets que paiera Alexandre au cours des 10 premières années est donc :

$ L=B+C=57794{,}70+7740=65534{,}70 $

Le total des loyers nets payés par Alexandre lors des 10 premières années sera donc de $ 65534{,}70 $ euros.