[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le produit scalaire dans l'espace, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tout vecteur $\vec{u}$ de l'espace, $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement la définition du carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{u}\| \times \cos(0) = \|\vec{u}\|^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand on calcule $\vec{u} \cdot \vec{u}$ avec la formule géométrique, l'angle entre $\vec{u}$ et lui-même vaut $0$, donc $\cos = 1$.
On obtient bien $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ (et non $\|\vec{u}\|$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le carré scalaire $\vec{u} \cdot \vec{u}$ vaut toujours $\|\vec{u}\|^2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soient $\vec{u}(2~;~-1~;~3)$ et $\vec{v}(1~;~4~;~1)$. Alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + (-1) \times 4 + 3 \times 1 = 2 - 4 + 3 = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le produit scalaire en coordonnées s'obtient en multipliant terme à terme puis en additionnant.
Calcul : $2 \times 1 + (-1) \times 4 + 3 \times 1 = 2 - 4 + 3 = 1$. Attention au signe du deuxième terme.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 4 + 3 = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $\vec{u}(3~;~-2~;~6)$. Alors $\|\vec{u}\| = 11$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La norme s'obtient avec une racine carrée : $\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$, et non $11$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de sommer les valeurs absolues des coordonnées ($3 + 2 + 6 = 11$).
Or la norme s'obtient en prenant la racine de la somme des carrés : $\sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La norme vaut $\sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$, pas $11$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soient $A(1~;~2~;~-1)$ et $B(4~;~0~;~3)$ deux points de l'espace. Alors $AB = \sqrt{29}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $\overrightarrow{AB}(3~;~-2~;~4)$, donc $AB = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la distance $AB$ est la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : $(4-1~;~0-2~;~3-(-1)) = (3~;~-2~;~4)$, d'où $AB = \sqrt{9+4+16} = \sqrt{29}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\overrightarrow{AB}(3~;~-2~;~4)$ et $AB = \sqrt{29}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls orthogonaux de l'espace, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Quand $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, l'angle entre eux vaut $90°$, donc $\cos(\vec{u},\vec{v}) = 0$.
On obtient $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times 0 = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les deux cas : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|$ correspond à $\cos = 1$, c'est-à-dire à des vecteurs colinéaires de même sens.
Pour des vecteurs orthogonaux, $\cos = 0$ et donc $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (pas $\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace tels que $\vec{u} \cdot \vec{v} = -\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|$. Alors l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vaut $90°$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
La relation $\vec{u} \cdot \vec{v} = -\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|$ donne $\cos(\vec{u},\vec{v}) = -1$, donc l'angle vaut $180°$ (vecteurs colinéaires de sens opposés).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au lien entre produit scalaire et angle : un produit scalaire nul correspond à un angle de $90°$, pas un produit scalaire négatif.
Ici, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos = -\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|$ impose $\cos = -1$, ce qui donne un angle de $180°$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La condition impose $\cos(\vec{u},\vec{v}) = -1$, donc l'angle vaut $180°$, pas $90°$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul du produit scalaire dans l'espace. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $\vec{u}(2~;~-1~;~3)$ et $\vec{v}(1~;~4~;~-2)$. Que vaut le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?
[qcm]
[option]$8$[/option]
[option correct="true"]$-8$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$-2$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
On applique la formule analytique du produit scalaire dans l'espace :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + (-1) \times 4 + 3 \times (-2) = 2 - 4 - 6 = -8$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
Le résultat est négatif. Reprendre les signes : $(-1) \times 4$ donne un résultat négatif et $3 \times (-2)$ aussi.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Une erreur de signe s'est glissée sur la dernière coordonnée : $3 \times (-2)$ vaut $-6$, pas $+6$.[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Non.
La troisième coordonnée a été oubliée. Le produit scalaire dans l'espace nécessite la somme de trois produits, un par coordonnée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule analytique est $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$. Calculer chacun des trois produits en respectant les signes, puis les additionner.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 4$ et l'angle entre les deux vecteurs vaut $\dfrac{\pi}{3}$. Que vaut le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option]$6\sqrt{3}$[/option]
[option]$-6$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On utilise la formule géométrique :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\left(\vec{u},~\vec{v}\right) = 3 \times 4 \times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 12 \times \dfrac{1}{2} = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
Le facteur $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ a été oublié dans le calcul. Reprendre la formule géométrique du produit scalaire.[/reponse]
[reponse motif="$6\sqrt{3}$"]Non.
Une confusion s'est produite avec la valeur du cosinus : $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ ne vaut pas $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Vérifier la valeur correcte de ce cosinus.[/reponse]
[reponse motif="$-6$"]Non.
Le cosinus de l'angle est positif ici (l'angle est aigu, inférieur à $\dfrac{\pi}{2}$). Le produit scalaire doit donc être positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\left(\vec{u},~\vec{v}\right)$ et utiliser la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On donne $\vec{u}(1~;~-2~;~2)$. Que vaut le carré scalaire $\vec{u}^2$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$9$[/option]
[option]$3$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par définition, $\vec{u}^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.
On calcule $\vec{u} \cdot \vec{u} = 1^2 + (-2)^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
La valeur $3$ correspond à la norme $\|\vec{u}\|$, pas au carré scalaire $\vec{u}^2$. Le carré scalaire est égal au carré de la norme, pas à la norme elle-même.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Le carré $(-2)^2$ vaut $4$, pas $-4$. Reprendre le calcul en faisant attention au signe lors de l'élévation au carré.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Une coordonnée a été oubliée. Le carré scalaire fait intervenir la somme des trois coordonnées élevées au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété $\vec{u}^2 = \|\vec{u}\|^2 = x^2 + y^2 + z^2$ et calculer la somme des carrés des trois coordonnées.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $\vec{u}(2~;~-3~;~6)$. Que vaut la norme $\|\vec{u}\|$ ?
[qcm]
[option]$11$[/option]
[option]$\sqrt{31}$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$49$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On applique la formule de la norme dans l'espace :
$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
La norme n'est pas la somme des valeurs absolues des coordonnées : il faut élever chaque coordonnée au carré, faire la somme, puis prendre la racine.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{31}$"]Non.
Le carré $(-3)^2$ vaut $9$, pas $-9$. Le carré d'un nombre est toujours positif.[/reponse]
[reponse motif="$49$"]Pas tout à fait.
La somme $4 + 9 + 36 = 49$ est correcte, mais on a oublié la racine carrée. La norme est définie comme la racine carrée de cette somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ avec les coordonnées de $\vec{u}$, en faisant attention au signe au moment de l'élévation au carré.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère les points $A(1~;~2~;~3)$ et $B(4~;~-2~;~1)$. Que vaut la distance $AB$ ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$\sqrt{41}$[/option]
[option]$29$[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{29}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On a $\overrightarrow{AB}(3~;~-4~;~-2)$ et :
$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29}$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Une coordonnée semble manquer dans la somme. Il faut bien sommer les carrés des trois différences de coordonnées avant de prendre la racine.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{41}$"]Non.
Pour calculer $\overrightarrow{AB}$, on effectue $x_B - x_A$, $y_B - y_A$, $z_B - z_A$ (et non une addition). Reprendre la soustraction des coordonnées de $A$ et $B$.[/reponse]
[reponse motif="$29$"]Pas tout à fait.
La somme des carrés est bien $29$, mais on a oublié la racine carrée. La distance $AB$ est la racine carrée de la somme des carrés des écarts de coordonnées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ par soustraction, puis appliquer $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\vec{u}(2~;~1~;~-1)$ et $\vec{v}(1~;~-3~;~-1)$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui, car $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$[/option]
[option]Non, car $\vec{u} \cdot \vec{v} = -4$[/option]
[option]Non, car $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître les normes[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On calcule $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + 1 \times (-3) + (-1) \times (-1) = 2 - 3 + 1 = 0$.
Comme le produit scalaire est nul, les vecteurs sont orthogonaux.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $\vec{u} \cdot \vec{v} = -4$"]Non.
Le calcul du produit scalaire contient une erreur de signe. Le produit $(-1) \times (-1)$ vaut $+1$, pas $-1$. Reprendre la somme.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires"]Non.
Il ne faut pas confondre orthogonalité et colinéarité : ce sont deux notions opposées. Deux vecteurs sont orthogonaux quand leur produit scalaire est nul, et colinéaires quand l'un est multiple de l'autre.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître les normes"]Non.
La caractérisation de l'orthogonalité par $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ est vraie pour tous vecteurs non nuls, indépendamment de leurs normes. Les coordonnées suffisent à conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ avec la formule analytique : si le résultat est nul, les vecteurs sont orthogonaux ; sinon, ils ne le sont pas.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]