Loi binomiale : probabilités cumulées

Exercice

Une entreprise de livraison achemine chaque jour de nombreux colis. On admet que, indépendamment les uns des autres, chaque colis a une probabilité $0{,}15$ d'être livré en retard.

On prélève au hasard un échantillon de $20$ colis dans la production d'une journée. Le nombre de colis prélevés étant très faible devant la production totale, on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de colis livrés en retard parmi les $20$ colis de l'échantillon.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
Calculer la probabilité que les $20$ colis soient livrés à l'heure. Arrondir au millième.
En déduire la probabilité qu'au moins un colis soit livré en retard. Arrondir au millième.
Calculer la probabilité qu'au plus $2$ colis soient livrés en retard. Arrondir au millième.
Calculer la probabilité qu'au moins $4$ colis soient livrés en retard. Arrondir au millième.
Calculer la probabilité que le nombre de colis livrés en retard soit compris entre $2$ et $5$ (bornes incluses). Arrondir au millième.

Corrigé

On répète $20$ fois, de façon indépendante, la même expérience à deux issues : le colis est « en retard » (succès, de probabilité $p = 0{,}15$) ou « à l'heure » (échec, de probabilité $1 - p = 0{,}85$). On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli, et $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}15$.

$X \sim \mathscr{B}(20~;~0{,}15)$
Les $20$ colis sont livrés à l'heure lorsque $X = 0$ (aucun retard) :
$P(X = 0) = \binom{20}{0} (0{,}15)^0 (0{,}85)^{20} = (0{,}85)^{20} \approx 0{,}039$

La probabilité que les $20$ colis soient à l'heure est d'environ $\mathbf{0{,}039}$.
L'événement « au moins un colis en retard » ($X \geqslant 1$) est l'événement contraire de « aucun colis en retard » ($X = 0$). On utilise donc le complémentaire :
$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0{,}85)^{20} \approx 1 - 0{,}039 \approx 0{,}961$

La probabilité qu'au moins un colis soit en retard est d'environ $\mathbf{0{,}961}$.
« Au plus $2$ colis en retard » se traduit par $X \leqslant 2$. À la calculatrice (fonction binomFRép) :
$P(X \leqslant 2) \approx 0{,}405$

La probabilité qu'au plus $2$ colis soient en retard est d'environ $\mathbf{0{,}405}$.
« Au moins $4$ colis en retard » se traduit par $X \geqslant 4$. Comme $X$ ne prend que des valeurs entières, l'événement contraire de $X \geqslant 4$ est $X \leqslant 3$. On passe au complémentaire :
$P(X \geqslant 4) = 1 - P(X \leqslant 3)$

La calculatrice donne $P(X \leqslant 3) \approx 0{,}648$, d'où :
$P(X \geqslant 4) \approx 1 - 0{,}648 \approx 0{,}352$

La probabilité qu'au moins $4$ colis soient en retard est d'environ $\mathbf{0{,}352}$.
Le nombre de retards compris entre $2$ et $5$ inclus correspond à $2 \leqslant X \leqslant 5$. Pour isoler cet intervalle, on retire de $P(X \leqslant 5)$ les valeurs de $0$ à $1$, c'est-à-dire $P(X \leqslant 1)$ :
$P(2 \leqslant X \leqslant 5) = P(X \leqslant 5) - P(X \leqslant 1)$

La calculatrice donne $P(X \leqslant 5) \approx 0{,}933$ et $P(X \leqslant 1) \approx 0{,}176$, d'où :
$P(2 \leqslant X \leqslant 5) \approx 0{,}933 - 0{,}176 \approx 0{,}757$

La probabilité que le nombre de colis en retard soit compris entre $2$ et $5$ est d'environ $\mathbf{0{,}757}$.

Vrai/Faux : Modélisation et problèmes avec la loi binomiale

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante issue d'une situation concrète, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Une chaîne de production fabrique des pièces dont $2\,\%$ sont défectueuses. On prélève au hasard $50$ pièces dans une grande quantité (assimilable à un tirage avec remise). On note $X$ le nombre de pièces défectueuses parmi les $50$.

Affirmation : La probabilité que toutes les pièces soient conformes est $p(X = 0) = 0{,}02^{50}$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$X$ suit $\mathscr{B}(50~;~0{,}02)$. La probabilité d'aucune défectueuse est $p(X = 0) = (1 - 0{,}02)^{50} = 0{,}98^{50}$, et non $0{,}02^{50}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de confondre la probabilité d'un succès (pièce défectueuse, $p = 0{,}02$) avec celle de l'événement contraire (pièce conforme, $1 - p = 0{,}98$).
$p(X = 0) = (1-p)^n = 0{,}98^{50}$, ce qui correspond à $50$ pièces conformes consécutives. La valeur $0{,}02^{50}$, elle, correspond à $50$ défectueuses, soit l'événement opposé.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$p(X = 0) = 0{,}98^{50}$, c'est-à-dire $(1-p)^{50}$, et non $0{,}02^{50}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un test de dépistage a une sensibilité de $95\,\%$ : pour un individu malade, le test renvoie un résultat positif avec probabilité $0{,}95$. On teste $20$ individus malades, indépendamment les uns des autres. On note $X$ le nombre de tests positifs.

Affirmation : $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(20~;~0{,}95)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Exactement !
On répète $20$ fois, de manière identique et indépendante, la même épreuve de Bernoulli (« le test est positif »), de paramètre $p = 0{,}95$. La variable $X$ compte le nombre de succès, donc $X \sim \mathscr{B}(20~;~0{,}95)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour reconnaître une loi binomiale, il faut $n$ épreuves identiques, indépendantes, à deux issues, et une variable qui compte le nombre de succès.
Tester un individu malade revient à une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}95$ ; les $20$ tests étant indépendants, $X$ suit bien $\mathscr{B}(20~;~0{,}95)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$20$ tests indépendants, chacun positif avec probabilité $0{,}95$ : $X \sim \mathscr{B}(20~;~0{,}95)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On répète, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}1$. On note $X_n$ le nombre de succès après $n$ répétitions.

Affirmation : Le plus petit entier $n$ tel que $p(X_n \geqslant 1) > 0{,}99$ est $n = 44$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Bravo !
$p(X_n \geqslant 1) = 1 - p(X_n = 0) = 1 - 0{,}9^n$.
On résout $1 - 0{,}9^n > 0{,}99$, soit $0{,}9^n < 0{,}01$. Comme $\ln(0{,}9) < 0$ :

$n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9)} \approx 43{,}71$

Donc le plus petit entier convenant est $n = 44$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour minorer $p(X \geqslant 1)$, on passe par le complémentaire $p(X = 0) = (1-p)^n$, puis on résout l'inéquation par logarithme.
$1 - 0{,}9^n > 0{,}99 \Leftrightarrow 0{,}9^n < 0{,}01 \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9)} \approx 43{,}71$. Le plus petit entier qui convient est donc $44$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$0{,}9^n < 0{,}01 \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9)} \approx 43{,}71$, donc le plus petit entier est $44$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10~;~0{,}3)$.

Affirmation : $p(X = 0) + p(X = 10) = 1$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les événements $\{X = 0\}$ et $\{X = 10\}$ ne couvrent pas tout l'univers : $X$ peut prendre toutes les valeurs intermédiaires $1, 2, \ldots, 9$. Numériquement :

$p(X=0) + p(X=10) = 0{,}7^{10} + 0{,}3^{10} \approx 0{,}0282 + 0{,}0000059 \approx 0{,}0282$

Très loin de $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas réduire l'univers à ses deux extrémités.
$X$ prend ses valeurs dans $\{0, 1, 2, \ldots, 10\}$, donc la somme totale des probabilités est $\sum_{k=0}^{10} p(X = k) = 1$. Les deux extrêmes $X=0$ et $X=10$ ne représentent qu'une petite partie de cette somme.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$X$ peut prendre toutes les valeurs entre $0$ et $10$ : $p(X=0) + p(X=10) \approx 0{,}028 \neq 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans une très grande population, $60\,\%$ des personnes déclarent être favorables à un projet. On interroge au hasard $30$ personnes (l'effectif total étant supposé suffisamment grand pour assimiler les tirages à des tirages avec remise). On note $X$ le nombre de personnes favorables parmi les $30$ interrogées.

Affirmation : On peut modéliser $X$ par la loi binomiale $\mathscr{B}(30~;~0{,}6)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La grande taille de la population rend les choix successifs quasi-indépendants : chaque interrogation est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}6$, les $30$ étant indépendantes. Donc $X \sim \mathscr{B}(30~;~0{,}6)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : un sondage dans une très grande population permet d'assimiler les tirages sans remise à des tirages avec remise (l'effet du retrait d'un individu sur la composition est négligeable).
Dans ces conditions, les $30$ interrogations forment un schéma de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}6$, donc $X \sim \mathscr{B}(30~;~0{,}6)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Population grande $\Rightarrow$ tirages quasi-indépendants : $X \sim \mathscr{B}(30~;~0{,}6)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un QCM de $50$ questions indépendantes propose à chaque question $4$ choix dont un seul correct. Un élève répond entièrement au hasard et est déclaré « reçu » s'il obtient au moins $25$ bonnes réponses. On note $X$ le nombre de bonnes réponses.

Affirmation : La probabilité d'être reçu est $p(X \geqslant 25)$ avec $X \sim \mathscr{B}\!\left(50~;~\dfrac{1}{4}\right)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Chaque question est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = \dfrac{1}{4}$ (probabilité d'une bonne réponse au hasard). Les $50$ questions sont indépendantes, donc $X \sim \mathscr{B}\!\left(50~;~\dfrac{1}{4}\right)$, et la condition « au moins $25$ bonnes réponses » s'écrit $X \geqslant 25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour modéliser un QCM en répondant au hasard, on utilise une loi binomiale dont le paramètre $p$ est l'inverse du nombre de propositions par question.
Ici $p = \dfrac{1}{4}$ et $n = 50$, donc $X \sim \mathscr{B}\!\left(50~;~\dfrac{1}{4}\right)$. Être reçu signifie $X \geqslant 25$, donc la probabilité cherchée est bien $p(X \geqslant 25)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$X \sim \mathscr{B}\!\left(50~;~\dfrac{1}{4}\right)$ et la condition de réussite s'écrit $X \geqslant 25$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Probabilités cumulatives d’une loi binomiale

[enonce]
Dans toute la suite, $X$ désigne une variable aléatoire qui suit la loi binomiale précisée à chaque étape.
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(20~;~0{,}3)$.

Affirmation : $p(X < 6) = p(X \leqslant 5)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Correct !
$X$ ne prend que des valeurs entières. L'inégalité $X < 6$ équivaut donc à $X \leqslant 5$ : les deux événements sont identiques.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : une variable suivant une loi binomiale ne prend que des valeurs entières dans $\{0, 1, \ldots, n\}$.
Pour une variable à valeurs entières, $X < 6$ et $X \leqslant 5$ désignent exactement le même événement, donc les deux probabilités sont égales.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$X$ est à valeurs entières : $X < 6$ équivaut à $X \leqslant 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(20~;~0{,}3)$.

Affirmation : $p(X \geqslant 4) = 1 - p(X \leqslant 4)$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'événement contraire de $\{X \geqslant 4\}$ est $\{X < 4\} = \{X \leqslant 3\}$, et non $\{X \leqslant 4\}$.
La formule correcte est $p(X \geqslant 4) = 1 - p(X \leqslant 3)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique est de confondre $\geqslant$ et $>$ lors du passage au complémentaire.
$\{X \geqslant 4\}$ et $\{X \leqslant 4\}$ ne sont pas des événements contraires car ils contiennent tous les deux la valeur $X = 4$. Le contraire de $\{X \geqslant 4\}$ est $\{X \leqslant 3\}$, donc $p(X \geqslant 4) = 1 - p(X \leqslant 3)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$p(X \geqslant 4) = 1 - p(X \leqslant 3)$, et non $1 - p(X \leqslant 4)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(15~;~0{,}2)$.

Affirmation : $p(2 \leqslant X \leqslant 5) = p(X \leqslant 5) - p(X \leqslant 2)$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]Exactement !
La soustraction $p(X \leqslant 5) - p(X \leqslant 2)$ retire la valeur $X = 2$, qu'il faut pourtant inclure. La formule correcte est :

$p(2 \leqslant X \leqslant 5) = p(X \leqslant 5) - p(X \leqslant 1)$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au décalage de borne quand on passe d'une inégalité large à une cumulative.
Pour conserver la valeur $X = 2$ dans le résultat, il faut soustraire $p(X \leqslant 1)$, pas $p(X \leqslant 2)$ : $p(2 \leqslant X \leqslant 5) = p(X \leqslant 5) - p(X \leqslant 1)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$p(2 \leqslant X \leqslant 5) = p(X \leqslant 5) - p(X \leqslant 1)$ : il faut soustraire la cumulative jusqu'à $1$, pas jusqu'à $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10~;~0{,}5)$.

Affirmation : $p(X < 3) = p(X \leqslant 2)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$X$ est à valeurs entières : $X < 3$ équivaut à $X \leqslant 2$. Les deux événements coïncident, leurs probabilités aussi.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour une variable à valeurs entières, $X < k$ et $X \leqslant k - 1$ désignent le même événement.
Ici $X < 3$ correspond aux valeurs $0$, $1$, $2$, soit exactement $X \leqslant 2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Pour $X$ entière, $X < 3$ équivaut à $X \leqslant 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(50~;~0{,}1)$.

Affirmation : $p(X > 10) = 1 - p(X \leqslant 10)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'événement contraire de $\{X > 10\}$ est $\{X \leqslant 10\}$ (valeurs $0, 1, \ldots, 10$). La formule du complémentaire donne directement $p(X > 10) = 1 - p(X \leqslant 10)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $\{X > 10\}$ et $\{X \leqslant 10\}$ sont deux événements contraires (l'un strict, l'autre large).
La formule du passage au complémentaire donne $p(X > 10) = 1 - p(X \leqslant 10)$. C'est ainsi qu'on calcule cette probabilité à la calculatrice.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$\{X > 10\}$ et $\{X \leqslant 10\}$ sont contraires : $p(X > 10) = 1 - p(X \leqslant 10)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(8~;~0{,}4)$.

Affirmation : $p(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}4^8$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'événement contraire de $\{X \geqslant 1\}$ est $\{X = 0\}$, et $p(X = 0) = (1 - 0{,}4)^8 = 0{,}6^8$. Donc $p(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}6^8$, et non $1 - 0{,}4^8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre la probabilité $p$ d'un succès avec la probabilité $1 - p$ d'un échec.
$p(X = 0)$ correspond à « aucun succès en $8$ épreuves », c'est-à-dire « $8$ échecs consécutifs » : sa valeur est $(1-p)^8 = 0{,}6^8$. Donc $p(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}6^8$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$p(X \geqslant 1) = 1 - p(X=0) = 1 - 0{,}6^8$ (pas $1 - 0{,}4^8$).
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Loi binomiale

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : reconnaissance d'un schéma de Bernoulli, calcul de $P(X=k)$, probabilités cumulées, espérance et écart-type. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Une boîte contient $30$ ampoules dont $6$ sont défectueuses. On prélève au hasard $4$ ampoules avec remise et on note $X$ le nombre d'ampoules défectueuses parmi les $4$ prélevées. Quelle est la loi suivie par $X$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\mathscr{B}(4~;~0{,}2)$[/option]
[option]$\mathscr{B}(4~;~6)$[/option]
[option]$\mathscr{B}(30~;~0{,}2)$[/option]
[option]$\mathscr{B}(4~;~0{,}8)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On répète $n = 4$ tirages identiques et indépendants (avec remise). Le succès « tirer une défectueuse » a pour probabilité $p = \dfrac{6}{30} = 0{,}2$.
Donc $X$ suit la loi $\mathscr{B}(4~;~0{,}2)$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathscr{B}(4~;~6)$"]Non.
$6$ est le nombre d'ampoules défectueuses, pas la probabilité associée. Une probabilité est toujours un nombre entre $0$ et $1$ : il faut diviser par le total ($30$).[/reponse]
[reponse motif="$\mathscr{B}(30~;~0{,}2)$"]Non.
$n$ est le nombre d'épreuves effectuées (les $4$ tirages), pas le nombre total d'ampoules dans la boîte.[/reponse]
[reponse motif="$\mathscr{B}(4~;~0{,}8)$"]Non.
$0{,}8 = 1 - p$ correspond à la probabilité de tirer une bonne ampoule, pas une défectueuse. Le succès défini par l'énoncé est « tirer une défectueuse », donc $p = 0{,}2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier $n$ (nombre de tirages effectués) et $p$ (proportion d'ampoules défectueuses dans la boîte).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une pièce truquée donne « pile » avec probabilité $0{,}6$. On la lance $5$ fois et on note $X$ le nombre de « pile » obtenus. Calculer $P(X = 3)$.
[qcm]
[option]$0{,}6$[/option]
[option]$0{,}216$[/option]
[option]$0{,}2304$[/option]
[option correct="true"]$0{,}3456$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$X$ suit $\mathscr{B}(5~;~0{,}6)$, donc $P(X = 3) = \binom{5}{3} \times 0{,}6^3 \times 0{,}4^2 = 10 \times 0{,}216 \times 0{,}16 = 0{,}3456$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}6$"]Non.
$0{,}6 = p$ : c'est la probabilité d'un seul succès, pas celle d'avoir exactement $3$ succès sur $5$ épreuves. Appliquer la formule binomiale.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}216$"]Non.
$0{,}216 = 0{,}6^3 = p^k$ uniquement : il manque le facteur $(1-p)^{n-k} = 0{,}4^2$ et le coefficient $\binom{5}{3} = 10$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2304$"]Non.
$0{,}2304 = \binom{5}{3} \times 0{,}6^2 \times 0{,}4^3$ : les rôles de $p$ et de $1-p$ ont été inversés. L'exposant de $p = 0{,}6$ doit être $k = 3$, pas $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier $n = 5$, $p = 0{,}6$, $k = 3$, puis appliquer $\binom{5}{3} \times 0{,}6^3 \times 0{,}4^2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une chaîne de production a un taux de défaut de $4\,\%$. On prélève $50$ pièces au hasard et on note $X$ le nombre de pièces défectueuses. Quelle est la probabilité d'avoir au moins une pièce défectueuse (arrondir au millième) ?
[qcm]
[option]$0{,}04$[/option]
[option correct="true"]$0{,}870$[/option]
[option]$0{,}130$[/option]
[option]$0{,}96$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$X$ suit $\mathscr{B}(50~;~0{,}04)$. L'événement contraire de « au moins une défectueuse » est « aucune défectueuse » :
$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}96^{50} \approx 1 - 0{,}130 \approx 0{,}870$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}04$"]Non.
$0{,}04 = p$ : c'est la probabilité qu'une seule pièce soit défectueuse. Sur $50$ pièces, la probabilité d'en avoir au moins une défectueuse est bien plus élevée.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}130$"]Non.
$0{,}130 \approx 0{,}96^{50} = P(X = 0)$ : c'est la probabilité de n'avoir aucune défectueuse, pas au moins une. Il faut prendre $1 -$ cette valeur.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}96$"]Non.
$0{,}96 = 1 - p$ : c'est la probabilité qu'une seule pièce soit non défectueuse. Pour « aucune défectueuse sur $50$ », il faut élever à la puissance $50$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser au complémentaire : « au moins une défectueuse » est l'événement contraire de « aucune défectueuse », donc $P(X \geqslant 1) = 1 - (1-p)^n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un commercial passe $200$ appels par jour. Chaque appel aboutit à une vente avec une probabilité de $0{,}15$, indépendamment des autres. Combien de ventes peut-il espérer en moyenne par jour ?
[qcm]
[option]$0{,}15$[/option]
[option]$15$[/option]
[option correct="true"]$30$[/option]
[option]$170$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le nombre $X$ de ventes suit la loi $\mathscr{B}(200~;~0{,}15)$.
$E(X) = np = 200 \times 0{,}15 = 30$ ventes en moyenne par jour.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}15$"]Non.
$0{,}15 = p$ : c'est la probabilité qu'un seul appel aboutisse, pas le nombre moyen de ventes. Multiplier par $n = 200$ pour obtenir l'espérance.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15$ correspondrait à $0{,}15 \times 100$ : la probabilité a été convertie en pourcentage et appliquée au mauvais effectif. La formule est $E(X) = np$ avec $n = 200$ (nombre d'appels), pas $100$.[/reponse]
[reponse motif="$170$"]Non.
$170 = 200 \times 0{,}85$ : c'est l'espérance du nombre d'appels sans vente (les échecs). Pour les ventes, il faut multiplier par $p = 0{,}15$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier la loi binomiale ($n = 200$, $p = 0{,}15$) puis appliquer $E(X) = np$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X_1$ qui suit $\mathscr{B}(100~;~0{,}1)$ et $X_2$ qui suit $\mathscr{B}(100~;~0{,}5)$. Comparer leurs écarts-types $\sigma(X_1)$ et $\sigma(X_2)$.
[qcm]
[option correct="true"]$\sigma(X_2) > \sigma(X_1)$[/option]
[option]$\sigma(X_1) > \sigma(X_2)$[/option]
[option]$\sigma(X_1) = \sigma(X_2)$[/option]
[option]Impossible à comparer sans plus d'information.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\sigma(X_1) = \sqrt{100 \times 0{,}1 \times 0{,}9} = \sqrt{9} = 3$ et $\sigma(X_2) = \sqrt{100 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = \sqrt{25} = 5$.
La fonction $p \mapsto p(1-p)$ atteint son maximum en $p = 0{,}5$, donc $\sigma$ aussi : $X_2$ est plus dispersée que $X_1$.[/reponse]
[reponse motif="$\sigma(X_1) > \sigma(X_2)$"]Non.
Calculer les deux écarts-types : $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$. Avec $p = 0{,}1$, le produit $p(1-p) = 0{,}09$ ; avec $p = 0{,}5$, $p(1-p) = 0{,}25$. C'est donc $X_2$ qui est plus dispersée.[/reponse]
[reponse motif="$\sigma(X_1) = \sigma(X_2)$"]Non.
Calculer les deux écarts-types : $p(1-p)$ vaut $0{,}09$ pour $X_1$ et $0{,}25$ pour $X_2$. Les écarts-types sont donc différents.[/reponse]
[reponse motif="Impossible à comparer sans plus d'information."]Non.
Tous les paramètres ($n$, $p$) sont connus pour les deux lois : il suffit d'appliquer $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ dans chaque cas et de comparer.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\sigma(X_1) = \sqrt{np(1-p)}$ pour chaque loi, puis comparer les deux valeurs obtenues.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un examen comporte $20$ questions à $4$ propositions chacune ($1$ seule bonne réponse). Un étudiant répond complètement au hasard. Pour $X \sim \mathscr{B}(20~;~0{,}25)$, on donne $P(X \leqslant 4) \approx 0{,}415$ et $P(X \leqslant 9) \approx 0{,}986$. Calculer la probabilité d'obtenir entre $5$ et $9$ bonnes réponses (inclus), arrondie au millième.
[qcm]
[option]$0{,}415$[/option]
[option correct="true"]$0{,}571$[/option]
[option]$0{,}986$[/option]
[option]$1{,}401$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
$P(5 \leqslant X \leqslant 9) = P(X \leqslant 9) - P(X \leqslant 4) \approx 0{,}986 - 0{,}415 = 0{,}571$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}415$"]Non.
$0{,}415 \approx P(X \leqslant 4)$ a été recopié sans transformation. Pour isoler les valeurs entre $5$ et $9$, il faut soustraire des probabilités cumulées.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}986$"]Non.
$0{,}986 \approx P(X \leqslant 9)$ inclut aussi les valeurs $X = 0, 1, 2, 3, 4$ qui ne sont pas dans l'intervalle. Il faut retirer $P(X \leqslant 4)$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}401$"]Non.
$1{,}401 \approx 0{,}986 + 0{,}415$ : une probabilité ne peut pas dépasser $1$. Il faut soustraire $P(X \leqslant 4)$ à $P(X \leqslant 9)$, pas additionner.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $a \leqslant X \leqslant b$ avec $X$ entière : $P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a-1)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Probabilités cumulées avec la loi binomiale

[enonce]
Ce QCM porte sur les probabilités cumulées avec la loi binomiale : $P(X \leqslant k)$, $P(X \geqslant k)$, $P(a \leqslant X \leqslant b)$, et l'usage du complémentaire. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathscr{B}(3~;~0{,}5)$. Calculer $P(X \leqslant 1)$.
[qcm]
[option]$0{,}125$[/option]
[option]$0{,}375$[/option]
[option]$0{,}875$[/option]
[option correct="true"]$0{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$P(X \leqslant 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 + 3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}125$"]Non.
$0{,}125 = \dfrac{1}{8} = P(X = 0)$ uniquement. La condition $X \leqslant 1$ inclut aussi $X = 1$ : il faut ajouter $P(X = 1)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}375$"]Non.
$0{,}375 = \dfrac{3}{8} = P(X = 1)$ uniquement. Il manque $P(X = 0) = \dfrac{1}{8}$ : la condition $X \leqslant 1$ inclut $X = 0$ et $X = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}875$"]Non.
$0{,}875 = \dfrac{7}{8} = P(X \leqslant 2)$ : un terme de trop a été ajouté. La condition est $X \leqslant 1$, pas $X \leqslant 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(X \leqslant 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ : sommer ces deux probabilités calculées par la formule binomiale.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathscr{B}(20~;~0{,}2)$. La calculatrice donne $P(X \leqslant 4) \approx 0{,}630$ et $P(X \leqslant 5) \approx 0{,}804$. En déduire $P(X \geqslant 5)$.
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}370$[/option]
[option]$0{,}196$[/option]
[option]$0{,}174$[/option]
[option]$0{,}630$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Comme $X$ ne prend que des valeurs entières, $X \geqslant 5$ est l'événement contraire de $X \leqslant 4$ :
$P(X \geqslant 5) = 1 - P(X \leqslant 4) \approx 1 - 0{,}630 = 0{,}370$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}196$"]Non.
$0{,}196 \approx 1 - 0{,}804 = 1 - P(X \leqslant 5)$ : c'est $P(X \geqslant 6)$, pas $P(X \geqslant 5)$. Faire attention au passage discret : $X \geqslant 5$ est le contraire de $X \leqslant 4$ (et non de $X \leqslant 5$).[/reponse]
[reponse motif="$0{,}174$"]Non.
$0{,}174 \approx 0{,}804 - 0{,}630 = P(X = 5)$. La question demande $P(X \geqslant 5)$, qui inclut aussi $X = 6$, $X = 7$… : utiliser plutôt le complémentaire.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}630$"]Non.
$0{,}630 \approx P(X \leqslant 4)$ a été recopié sans transformation. Or l'événement $X \geqslant 5$ est le contraire de $X \leqslant 4$ : il faut appliquer $1 - P(\overline{A})$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier l'événement contraire : $X \geqslant 5$ équivaut à « ne pas avoir $X \leqslant 4$ », donc $P(X \geqslant 5) = 1 - P(X \leqslant 4)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathscr{B}(15~;~0{,}4)$. La calculatrice donne $P(X \leqslant 3) \approx 0{,}091$ et $P(X \leqslant 8) \approx 0{,}905$. En déduire $P(4 \leqslant X \leqslant 8)$.
[qcm]
[option]$0{,}091$[/option]
[option]$0{,}905$[/option]
[option correct="true"]$0{,}814$[/option]
[option]$0{,}996$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$P(4 \leqslant X \leqslant 8) = P(X \leqslant 8) - P(X \leqslant 3) \approx 0{,}905 - 0{,}091 = 0{,}814$.
(On retire les valeurs de $0$ à $3$ de l'intervalle de $0$ à $8$.)[/reponse]
[reponse motif="$0{,}091$"]Non.
$0{,}091$ correspond à $P(X \leqslant 3)$, qui n'a pas encore été utilisée pour répondre. Penser à combiner les deux valeurs de l'énoncé.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}905$"]Non.
$0{,}905 \approx P(X \leqslant 8)$ inclut aussi les valeurs $X = 0, 1, 2, 3$ qui ne sont pas dans l'intervalle. Il faut les retirer.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}996$"]Non.
$0{,}996 \approx 0{,}905 + 0{,}091$ : il s'agit d'une somme, or pour isoler un intervalle entre deux probabilités cumulées, il faut faire une soustraction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $a \leqslant X \leqslant b$ avec $X$ entière : $P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a-1)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathscr{B}(10~;~0{,}2)$. Calculer $P(X \geqslant 1)$ (arrondir au millième).
[qcm]
[option]$0{,}107$[/option]
[option correct="true"]$0{,}893$[/option]
[option]$0{,}8$[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'événement contraire de « $X \geqslant 1$ » est « $X = 0$ » (aucun succès) :
$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}8^{10} \approx 1 - 0{,}107 = 0{,}893$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}107$"]Non.
$0{,}107 \approx 0{,}8^{10} = P(X = 0)$ : cette valeur est calculée mais il faut faire $1 - P(X = 0)$ pour obtenir $P(X \geqslant 1)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}8$"]Non.
$0{,}8 = 1 - p$ : c'est la probabilité d'un échec sur une épreuve. Ici, on s'intéresse à au moins un succès sur $10$ épreuves.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$P(X \geqslant 1)$ n'est pas nul : il s'agit de la probabilité d'obtenir au moins un succès, ce qui est très probable lorsqu'on répète $10$ épreuves de probabilité $0{,}2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser au complémentaire : « au moins un succès » est le contraire de « aucun succès ». Donc $P(X \geqslant 1) = 1 - (1-p)^n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathscr{B}(20~;~0{,}3)$. La calculatrice donne $P(X \leqslant 5) \approx 0{,}416$ et $P(X \leqslant 6) \approx 0{,}608$. En déduire $P(X < 6)$.
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}416$[/option]
[option]$0{,}608$[/option]
[option]$0{,}192$[/option]
[option]$0{,}584$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
$X$ est une variable entière : $X < 6$ équivaut à $X \leqslant 5$.
$P(X < 6) = P(X \leqslant 5) \approx 0{,}416$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}608$"]Non.
$0{,}608 \approx P(X \leqslant 6)$, ce qui inclut $X = 6$. Or l'inégalité est stricte ($X < 6$) : la valeur $X = 6$ ne doit pas être comptée.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}192$"]Non.
$0{,}192 \approx 0{,}608 - 0{,}416 = P(X = 6)$ : c'est seulement la probabilité d'obtenir exactement $6$ succès, pas $P(X < 6)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}584$"]Non.
$0{,}584 \approx 1 - 0{,}416$ correspondrait à $P(X \geqslant 6)$. La question est $P(X < 6)$, qui s'obtient sans passer au complémentaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$X$ ne prend que des valeurs entières, donc $X < 6$ équivaut à $X \leqslant 5$ : utiliser directement $P(X \leqslant 5)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Lors d'une journée portes ouvertes, $25\,\%$ des visiteurs s'inscrivent à une newsletter. On choisit au hasard $12$ visiteurs et on note $X$ le nombre d'inscrits parmi eux. La calculatrice donne, pour $X \sim \mathscr{B}(12~;~0{,}25)$ :
$P(X \leqslant 2) \approx 0{,}391$ et $P(X \leqslant 3) \approx 0{,}649$.
Quelle est la probabilité qu'au moins $3$ visiteurs s'inscrivent ?
[qcm]
[option]$0{,}258$[/option]
[option]$0{,}391$[/option]
[option correct="true"]$0{,}609$[/option]
[option]$0{,}351$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
« Au moins $3$ inscrits » signifie $X \geqslant 3$, dont le contraire est $X \leqslant 2$ :
$P(X \geqslant 3) = 1 - P(X \leqslant 2) \approx 1 - 0{,}391 = 0{,}609$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}258$"]Non.
$0{,}258 \approx 0{,}649 - 0{,}391 = P(X = 3)$ : c'est la probabilité d'avoir exactement $3$ inscrits, pas au moins $3$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}391$"]Non.
$0{,}391 \approx P(X \leqslant 2)$ a été recopié sans transformation. « Au moins $3$ » est le contraire de « au plus $2$ » : appliquer $1 - P(\overline{A})$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}351$"]Non.
$0{,}351 \approx 1 - 0{,}649 = P(X \geqslant 4)$ : un seuil de trop a été franchi. « Au moins $3$ » est le contraire de « au plus $2$ », pas de « au plus $3$ ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
« Au moins $k$ » se traduit par $X \geqslant k$, dont le contraire est $X \leqslant k - 1$. Ici, $P(X \geqslant 3) = 1 - P(X \leqslant 2)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]