[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : loi binomiale, loi géométrique, espérances et absence de mémoire. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On lance un dé équilibré à six faces, jusqu'à obtenir un $6$. Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le numéro du lancer où ce premier $6$ apparaît. Quelle est la loi suivie par $X$ ?
[qcm]
[option]$\mathcal{B}\left(6\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$[/option]
[option correct="true"]La loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{6}$.[/option]
[option]La loi géométrique de paramètre $\dfrac{5}{6}$.[/option]
[option]$\mathcal{B}\left(\dfrac{1}{6}\,;\,6\right)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
On répète une épreuve de Bernoulli (succès = obtenir un $6$, $p = \dfrac{1}{6}$) jusqu'au premier succès, et $X$ donne le rang de ce premier succès. Donc $X$ suit la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{B}\left(6\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$"]Non.
La loi binomiale s'applique à un nombre fixé $n$ d'épreuves. Ici, on s'arrête au premier succès : le nombre d'épreuves est aléatoire, c'est la situation de la loi géométrique.[/reponse]
[reponse motif="La loi géométrique de paramètre $\dfrac{5}{6}$."]Non.
$\dfrac{5}{6}$ est la probabilité d'un échec (« ne pas obtenir un $6$ »). Le paramètre $p$ de la loi géométrique est la probabilité du succès (« obtenir un $6$ »).[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{B}\left(\dfrac{1}{6}\,;\,6\right)$"]Non.
La loi binomiale ne convient pas (cf. plus haut) et, de plus, ses paramètres sont écrits dans le mauvais ordre : par convention, $n$ d'abord puis $p$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand on attend le premier succès dans une répétition d'épreuves indépendantes, le rang du premier succès suit une loi géométrique de paramètre $p$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}2$. Calculer $P(X = 4)$.
[qcm]
[option]$0{,}0016$[/option]
[option]$0{,}2$[/option]
[option]$0{,}4096$[/option]
[option correct="true"]$0{,}1024$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La formule est $P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \times p$. Avec $k = 4$ et $p = 0{,}2$ : $P(X = 4) = 0{,}8^{3} \times 0{,}2 = 0{,}512 \times 0{,}2 = 0{,}1024$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}0016$"]Non.
$0{,}0016 = 0{,}2^{3} \times 0{,}8$ : confusion entre $p$ et $1-p$ dans la formule. La puissance porte sur $1 - p$, pas sur $p$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2$"]Non.
$0{,}2 = p$ : c'est $P(X = 1)$, pas $P(X = 4)$. Pour $k = 4$, il faut tenir compte des $3$ échecs précédents.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}4096$"]Non.
$0{,}4096 = 0{,}8^{4}$ : la puissance est $k = 4$ au lieu de $k - 1 = 3$, et le facteur $\times p$ a été oublié.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} \times p$ : il y a $k - 1$ échecs avant le premier succès au $k$-ième essai.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}06)$. Quelle est l'espérance de $X$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$2{,}82$[/option]
[option]$0{,}06$[/option]
[option]$50$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
Pour la loi binomiale, $E(X) = np$. Ici $E(X) = 50 \times 0{,}06 = 3$. En moyenne, on attend $3$ succès sur $50$ épreuves.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}82$"]Non.
$2{,}82 = 50 \times 0{,}06 \times 0{,}94 = np(1-p)$ correspond à la variance de la loi binomiale, pas à son espérance.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}06$"]Non.
$0{,}06$ est le paramètre $p$. L'espérance d'une loi binomiale tient aussi compte du nombre d'épreuves $n$ : c'est $np$.[/reponse]
[reponse motif="$50$"]Non.
$50$ est le paramètre $n$ (nombre d'épreuves). L'espérance vaut $np$, pas $n$ seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$, l'espérance est $E(X) = np$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}25$. Quelle est l'espérance de $X$ ?
[qcm]
[option]$0{,}25$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$0{,}75$[/option]
[option]$0{,}1875$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour la loi géométrique, $E(X) = \dfrac{1}{p}$. Ici $E(X) = \dfrac{1}{0{,}25} = 4$. En moyenne, $4$ essais suffisent pour obtenir le premier succès.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
$0{,}25 = p$ est la probabilité du succès, pas le nombre moyen d'essais nécessaires. Inverser plutôt que confondre.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}75$"]Non.
$0{,}75 = 1 - p$ est la probabilité d'un échec. L'espérance dépend autrement de $p$ : elle est égale à son inverse.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}1875$"]Non.
$0{,}1875 = p \times (1 - p)$ ne correspond à aucune formule classique pour la loi géométrique. L'espérance se calcule autrement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la loi géométrique de paramètre $p$, $E(X) = \dfrac{1}{p}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}15$ jusqu'au premier succès. Soit $X$ le rang du premier succès. Quelle est la probabilité que le premier succès ait lieu après les $6$ premières épreuves (c'est-à-dire au $7$e essai ou plus tard), à $10^{-3}$ près ?
[qcm]
[option]$0{,}623$[/option]
[option correct="true"]$0{,}377$[/option]
[option]$0{,}150$[/option]
[option]$0{,}520$[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}15$. On cherche $P(X > 6) = (1 - p)^{6} = 0{,}85^{6} \approx 0{,}377$. Cela revient à dire que les $6$ premières épreuves ont toutes échoué.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}623$"]Non.
$0{,}623 = 1 - 0{,}85^{6} = P(X \leqslant 6)$ : c'est la probabilité que le premier succès arrive au plus tard au $6$e essai. C'est l'événement contraire de ce qu'on cherche.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}150$"]Non.
$0{,}15 = p$ est la probabilité d'un succès à une épreuve donnée, pas la probabilité de devoir attendre plus de $6$ essais.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}520$"]Non.
$0{,}520 \approx 0{,}85^{4}$ : exposant erroné. Pour $P(X > k)$, l'exposant est $k$ (le nombre d'échecs initiaux).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(X > k) = (1 - p)^{k}$ pour la loi géométrique : c'est la probabilité que les $k$ premières épreuves échouent.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance un dé équilibré à six faces $10$ fois et l'on note $X$ le nombre de fois où l'on obtient un $6$. On lance ensuite le même dé jusqu'à obtenir le premier $6$, et l'on note $Y$ le numéro du lancer où ce premier $6$ apparaît. Quelle affirmation est correcte ?
[qcm]
[option]$X$ et $Y$ suivent toutes deux $\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$.[/option]
[option correct="true"]$X$ suit $\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$ et $Y$ suit la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{6}$.[/option]
[option]$X$ suit la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{6}$ et $Y$ suit $\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$.[/option]
[option]$X$ suit $\mathcal{B}\left(6\,;\,\dfrac{1}{10}\right)$ et $Y$ suit la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{10}$.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$X$ compte le nombre de succès sur un nombre fixé d'épreuves ($n = 10$) : c'est une loi binomiale $\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$. $Y$ donne le rang du premier succès : c'est une loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$X$ et $Y$ suivent toutes deux $\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$."]Non.
$Y$ peut prendre n'importe quelle valeur entière supérieure ou égale à $1$, sans borne. Or une loi binomiale est bornée par $n$. La loi binomiale ne peut pas convenir pour $Y$.[/reponse]
[reponse motif="$X$ suit la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{6}$ et $Y$ suit $\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$."]Non.
Les rôles de $X$ et $Y$ sont inversés. Identifier ce qui est compté ($X$ : nombre de succès) ou attendu ($Y$ : rang du premier succès).[/reponse]
[reponse motif="$X$ suit $\mathcal{B}\left(6\,;\,\dfrac{1}{10}\right)$ et $Y$ suit la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{10}$."]Non.
Confusion entre le nombre de lancers ($n = 10$) et le nombre de faces du dé ($6$). $p = \dfrac{1}{6}$ vient des $6$ faces, pas de $10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Loi binomiale = nombre de succès sur $n$ épreuves fixé. Loi géométrique = rang du premier succès.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]