Probabilités dans une urne : réunion d’issues et événement contraire

[enonce]
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher :

4 boules rouges
3 boules vertes
2 boules bleues
1 boule jaune

On tire une boule au hasard dans l'urne. On souhaite déterminer plusieurs probabilités liées à la couleur de la boule tirée. Toutes les réponses seront données sous forme de fraction irréductible.
[/enonce]

[etape]
Combien d'issues différentes cette expérience aléatoire comporte-t-elle ? [[nb]]

[math id="nb" attendu="10"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Chaque boule de l'urne est une issue possible du tirage. Comme l'urne contient $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ boules, il y a 10 issues.[/reponse]
[reponse motif="4"]Il n'y a pas 4 issues. Compter toutes les boules de l'urne, pas seulement les boules d'une seule couleur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Une issue correspond à une boule tirée. Additionner le nombre de boules de chaque couleur.[/reponse]
[aide essai="2"]Le nombre d'issues est le nombre total de boules présentes dans l'urne.[/aide]
[aide essai="3"]Additionner les quantités de chaque couleur : $4 + 3 + 2 + 1$.[/aide]
[/math]

[solution]
Il y a $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ boules, donc 10 issues.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer la probabilité de tirer une boule rouge. [[pr]]

[math id="pr" attendu="\frac{2}{5}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Il y a 4 boules rouges sur 10 boules au total :

$P(\text{rouge}) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$

[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur est juste, mais la fraction peut encore être simplifiée. Chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="\frac{4}{6}"]Attention au dénominateur : il correspond au nombre total de boules de l'urne, pas au nombre de boules d'une autre couleur.[/reponse]
[reponse motif="\frac{10}{4}"]La fraction est inversée. Le nombre d'issues favorables se place au numérateur (en haut), le nombre total d'issues au dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Compter les boules favorables, puis diviser par le nombre total d'issues trouvé à l'étape précédente. Penser à simplifier.[/reponse]
[aide essai="2"]La probabilité est le nombre de boules rouges divisé par le nombre total de boules.[/aide]
[aide essai="3"]Écrire $\dfrac{4}{10}$, puis simplifier en divisant le haut et le bas par 2.[/aide]
[/math]

[solution]
$P(\text{rouge}) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'événement « tirer une boule verte ou une boule bleue ». Déterminer sa probabilité. [[pvb]]

[math id="pvb" attendu="\frac{1}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une boule ne peut pas être à la fois verte et bleue : ces deux événements sont incompatibles. On additionne donc le nombre de boules favorables, soit $3 + 2 = 5$ boules sur 10 :

$P(\text{verte ou bleue}) = \dfrac{3 + 2}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$

[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur est correcte, mais la fraction n'est pas irréductible. La simplifier au maximum.[/reponse]
[reponse motif="\frac{6}{10}"]Vérifier le décompte : recompter les boules vertes puis les boules bleues, et additionner ces deux quantités.[/reponse]
[reponse motif="\frac{5}{20}"]Le dénominateur reste le nombre total d'issues. On ne double pas le nombre de boules de l'urne parce qu'il y a deux couleurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les deux couleurs ne peuvent pas sortir en même temps : additionner les boules favorables des deux couleurs, puis diviser par le total.[/reponse]
[aide essai="2"]L'événement est réalisé par toutes les boules vertes et toutes les boules bleues. Combien cela fait-il de boules favorables ?[/aide]
[aide essai="3"]Il y a $3 + 2 = 5$ boules favorables sur 10. Écrire la fraction puis la simplifier.[/aide]
[/math]

[solution]
$P(\text{verte ou bleue}) = \dfrac{3 + 2}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On note $J$ l'événement « tirer la boule jaune ». Quel est l'événement contraire $\overline{J}$ ?

[qcm]
[option]Tirer une boule rouge[/option]
[option correct="true"]Ne pas tirer la boule jaune[/option]
[option]Tirer une boule d'une autre couleur que rouge[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'événement contraire est réalisé exactement quand $J$ ne l'est pas. Comme $J$ signifie « tirer la boule jaune », son contraire est « ne pas tirer la boule jaune ».[/reponse]
[reponse motif="Tirer une boule rouge"]Le contraire d'un événement regroupe toutes les issues qui ne réalisent pas $J$, pas seulement les boules d'une couleur particulière.[/reponse]
[reponse motif="Tirer une boule d'une autre couleur que rouge"]Le contraire se définit par rapport à l'événement $J$ (la boule jaune), et non par rapport à la couleur rouge.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'événement contraire est réalisé dans tous les cas où $J$ ne l'est pas.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
L'événement contraire de « tirer la boule jaune » est « ne pas tirer la boule jaune ».
[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer la probabilité de ne pas tirer la boule jaune. [[pnj]]

[math id="pnj" attendu="\frac{9}{10}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Il n'y a qu'une seule boule jaune, donc $P(J) = \dfrac{1}{10}$. En utilisant l'événement contraire :

$P(\overline{J}) = 1 - P(J) = 1 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}$

[/reponse]
[reponse motif="\frac{1}{10}"]C'est la probabilité de tirer la boule jaune, c'est-à-dire celle de l'événement $J$ lui-même. Ici on cherche son contraire.[/reponse]
[reponse motif="\frac{10}{9}"]Une probabilité ne peut pas dépasser 1. Reprendre la soustraction $1 - P(J)$.[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur trouvée est correcte, mais la fraction n'est pas écrite sous sa forme la plus simple. La simplifier au maximum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Passer par l'événement contraire : retrancher à 1 la probabilité de tirer la boule jaune.[/reponse]
[aide essai="2"]Utiliser la relation entre un événement et son contraire : leur somme des probabilités vaut 1.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer d'abord $P(J)$ (une boule jaune sur 10), puis effectuer $1 - P(J)$.[/aide]
[/math]

[solution]
$P(J) = \dfrac{1}{10}$, donc $P(\overline{J}) = 1 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Donner la probabilité de tirer une boule rouge ou verte. [[prv]]

[math id="prv" attendu="\frac{7}{10}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
Le contraire de « rouge ou verte » est « bleue ou jaune », réalisé par $2 + 1 = 3$ boules. Donc :

$P(\text{rouge ou verte}) = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$

On retrouve bien le décompte direct : $4 + 3 = 7$ boules favorables sur 10.[/reponse]
[reponse motif="\frac{3}{10}"]C'est la probabilité de l'événement contraire (boule bleue ou jaune), pas celle de l'événement demandé. Il reste une soustraction à effectuer.[/reponse]
[reponse motif="\frac{12}{10}"]Une probabilité ne peut pas dépasser 1. Ne pas additionner directement : repérer l'événement contraire, puis retrancher sa probabilité à 1.[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur trouvée est correcte, mais la fraction n'est pas écrite sous sa forme la plus simple. La simplifier au maximum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Déterminer d'abord quelles couleurs forment l'événement contraire, calculer sa probabilité, puis la retrancher à 1.[/reponse]
[aide essai="2"]Quelles boules ne sont ni rouges ni vertes ? Leur ensemble forme l'événement contraire.[/aide]
[aide essai="3"]L'événement contraire est « bleue ou jaune », soit $2 + 1 = 3$ boules. Effectuer ensuite $1 - \dfrac{3}{10}$.[/aide]
[/math]

[solution]
Le contraire de « rouge ou verte » est « bleue ou jaune » : $P = \dfrac{2 + 1}{10} = \dfrac{3}{10}$.
Donc $P(\text{rouge ou verte}) = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$.
[/solution]
[/etape]

Composition d’une urne à partir des probabilités

Une urne opaque contient $ 60 $ boules indiscernables au toucher, de trois couleurs : rouges, vertes et bleues. On tire au hasard une boule de l'urne et on regarde sa couleur.

On sait que :

la probabilité de tirer une boule rouge vaut $ \dfrac{2}{5} $ ;
la probabilité de tirer une boule verte vaut $ 25\,\% $.

Combien de boules rouges contient l'urne ?
Combien de boules vertes contient l'urne ?
Calculer la probabilité de tirer une boule bleue. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible, puis en pourcentage.
En déduire le nombre de boules bleues de l'urne. Vérifier la cohérence avec la composition totale.
On note $ R $ l'événement « Tirer une boule rouge » et $ V $ l'événement « Tirer une boule verte ».
1. Les événements $ R $ et $ V $ sont-ils incompatibles ? Justifier.
2. Calculer $ P(R \text{ ou } V) $ de deux manières différentes.

Corrigé

Les boules sont indiscernables au toucher : les $ 60 $ issues sont équiprobables, donc le nombre de boules rouges est égal à $ 60 \times P(\text{rouge}) $.
$ 60 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{60 \times 2}{5} = \dfrac{120}{5} = 24 $
L'urne contient $ 24 $ boules rouges.
De la même manière, le nombre de boules vertes vaut :
$ 60 \times 25\,\% = 60 \times 0{,}25 = 15 $
L'urne contient $ 15 $ boules vertes.
La somme des probabilités des trois couleurs vaut $ 1 $. Avec $ P(\text{rouge}) = \dfrac{2}{5} $ et $ P(\text{verte}) = \dfrac{1}{4} $ :
$ P(\text{bleue}) = 1 - \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{4} $
On réduit au même dénominateur $ 20 $ :
$ P(\text{bleue}) = \dfrac{20}{20} - \dfrac{8}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{7}{20} $
Cette fraction est déjà irréductible. Sous forme de pourcentage : $ P(\text{bleue}) = \dfrac{35}{100} = 35\,\% $.
La probabilité de tirer une boule bleue est $\mathbf{\dfrac{7}{20}}$, soit $\mathbf{35\,\%}$.
Le nombre de boules bleues vaut :
$ 60 \times \dfrac{7}{20} = \dfrac{60 \times 7}{20} = \dfrac{420}{20} = 21 $
L'urne contient $ 21 $ boules bleues.
Vérification : $ 24 + 15 + 21 = 60 $, ce qui correspond bien au nombre total de boules.
1. Une boule tirée a une seule couleur : elle ne peut pas être à la fois rouge et verte. Les événements $ R $ et $ V $ sont donc incompatibles.
2. Première méthode (somme des probabilités, événements incompatibles) :
  $ P(R \text{ ou } V) = P(R) + P(V) = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{13}{20} $
  
  Deuxième méthode (événement contraire) : « Tirer une boule rouge ou verte » est l'événement contraire de « Tirer une boule bleue ».
  $ P(R \text{ ou } V) = 1 - P(\text{bleue}) = 1 - \dfrac{7}{20} = \dfrac{13}{20} $
  
  Les deux méthodes donnent le même résultat : $ P(R \text{ ou } V)$ = $\mathbf{\dfrac{13}{20}}$.

Pour réviser : Calculer la probabilité d'un événement.

Tirage dans un jeu de 32 cartes

On tire au hasard une carte dans un jeu bien mélangé de $ 32 $ cartes. Ce jeu est composé de quatre couleurs ($ 8 $ cartes par couleur) : cœur et carreau (rouges), pique et trèfle (noires). Chaque couleur contient les cartes : $ 7 $, $ 8 $, $ 9 $, $ 10 $, valet, dame, roi et as.

On définit les événements :

A : « La carte tirée est un cœur ».
B : « La carte tirée est un valet ».
C : « La carte tirée est une figure » (c'est-à-dire un valet, une dame ou un roi).

Justifier que l'on est en situation d'équiprobabilité, puis calculer $ P(A) $, $ P(B) $ et $ P(C) $.
Les événements A et B sont-ils incompatibles ? Justifier.
Les événements B et C sont-ils incompatibles ? Justifier.
Calculer la probabilité de l'événement : « Tirer un cœur ou tirer un pique ». Justifier la méthode utilisée.
Décrire par une phrase l'événement contraire $ \overline{C} $ et calculer sa probabilité.

Corrigé

Le jeu est bien mélangé, donc chaque carte a la même chance d'être tirée : les $ 32 $ issues sont équiprobables.
- Il y a $ 8 $ cœurs dans le jeu, donc $ P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} $.
- Il y a $ 4 $ valets (un par couleur), donc $ P(B) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8} $.
- Il y a $ 3 $ figures par couleur (valet, dame, roi), soit $ 3 \times 4 = 12 $ figures en tout, donc $ P(C) = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8} $.
Le valet de cœur est à la fois un cœur et un valet : il réalise les événements A et B en même temps. Les événements A et B ne sont donc pas incompatibles.
Un valet est toujours une figure (par définition). Les événements B et C peuvent donc se réaliser en même temps : ils ne sont pas incompatibles.
Une carte ne peut pas être à la fois un cœur et un pique : les événements « Tirer un cœur » et « Tirer un pique » sont incompatibles. La probabilité que l'un ou l'autre se réalise est la somme de leurs probabilités. Il y a $ 8 $ cœurs et $ 8 $ piques.
$ P(\text{cœur ou pique}) = \dfrac{8}{32} + \dfrac{8}{32} = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2} $
La probabilité de tirer un cœur ou un pique est $\mathbf{\dfrac{1}{2}}$.
L'événement contraire $ \overline{C} $ est : « La carte tirée n'est pas une figure », c'est-à-dire « Tirer un $ 7 $, un $ 8 $, un $ 9 $, un $ 10 $ ou un as ».
$ P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8} $
La probabilité de ne pas tirer une figure est $\mathbf{\dfrac{5}{8}}$.

Tirage d’une lettre du mot MATHEMATIQUES

Émile écrit chaque lettre du mot « MATHEMATIQUES » sur un carton. Il obtient ainsi $ 13 $ cartons identiques (les répétitions de lettres sont conservées). Il les retourne, les mélange puis tire un carton au hasard et regarde la lettre inscrite.

Combien y a-t-il d'issues équiprobables pour cette expérience aléatoire ?
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants.
1. A : « Obtenir la lettre M ».
2. B : « Obtenir la lettre A ».
3. C : « Obtenir une voyelle ».
Décrire par une phrase l'événement contraire $ \overline{C} $ et calculer sa probabilité.
Citer un événement impossible et un événement certain pour cette expérience.

Corrigé

Le mot « MATHEMATIQUES » comporte $ 13 $ lettres. Il y a donc $ 13 $ issues équiprobables, chacune ayant la même chance d'être tirée.
1. La lettre M apparaît $ 2 $ fois dans le mot.
  $ P(A) = \dfrac{2}{13} $
  La probabilité d'obtenir la lettre M est $\mathbf{\dfrac{2}{13}}$.
2. La lettre A apparaît $ 2 $ fois dans le mot.
  $ P(B) = \dfrac{2}{13} $
  La probabilité d'obtenir la lettre A est $\mathbf{\dfrac{2}{13}}$.
3. Les voyelles présentes dans le mot sont A, E, I et U. En comptant les répétitions, on obtient : A ($ 2 $ fois), E ($ 2 $ fois), I ($ 1 $ fois) et U ($ 1 $ fois), soit $ 6 $ voyelles au total.
  $ P(C) = \dfrac{6}{13} $
  La probabilité d'obtenir une voyelle est $\mathbf{\dfrac{6}{13}}$.
L'événement contraire $ \overline{C} $ est : « Obtenir une consonne ».
$ P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - \dfrac{6}{13} = \dfrac{13}{13} - \dfrac{6}{13} = \dfrac{7}{13} $
La probabilité d'obtenir une consonne est $\mathbf{\dfrac{7}{13}}$.
Par exemple :
- Événement impossible : « Obtenir la lettre Z », car cette lettre n'apparaît pas dans le mot.
- Événement certain : « Obtenir une lettre de l'alphabet français », car toutes les issues sont des lettres de l'alphabet.

Pour réviser : Utiliser l'événement contraire.

Tirage d’un bonbon dans un sachet

Un sachet contient $ 4 $ bonbons à la fraise, $ 6 $ bonbons à la menthe et $ 10 $ bonbons au caramel. Les bonbons sont indiscernables au toucher. On tire un bonbon au hasard dans le sachet et on regarde son parfum.

Combien y a-t-il d'issues possibles pour cette expérience aléatoire ? Justifier que l'on est en situation d'équiprobabilité.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants. Pour l'événement A, donner la réponse sous forme de fraction irréductible, de nombre décimal et de pourcentage.
1. A : « Obtenir un bonbon à la fraise ».
2. B : « Obtenir un bonbon au caramel ».
3. C : « Obtenir un bonbon au chocolat ».
4. D : « Obtenir un bonbon à la fraise, à la menthe ou au caramel ».
Parmi les événements précédents, lequel est impossible ? Lequel est certain ?

Corrigé

Le sachet contient en tout $ 4 + 6 + 10 = 20 $ bonbons. Il y a donc $ 20 $ issues possibles. Comme les bonbons sont indiscernables au toucher, chaque bonbon a la même chance d'être tiré : les issues sont équiprobables.
1. Il y a $ 4 $ bonbons à la fraise sur $ 20 $ bonbons en tout, donc (en simplifiant en fraction irréductible) :
  $ P(A) = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5} $
  Sous forme décimale : $ P(A) = 0{,}2 $. Sous forme de pourcentage : $ P(A) = 20\% $.
  La probabilité d'obtenir un bonbon à la fraise est donc $\mathbf{\dfrac{1}{5}}$, soit $\mathbf{0{,}2}$ ou $\mathbf{20\%}$.
2. Il y a $ 10 $ bonbons au caramel sur $ 20 $, donc :
  $ P(B) = \dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2} $
  La probabilité d'obtenir un bonbon au caramel est $\mathbf{\dfrac{1}{2}}$.
3. Le sachet ne contient aucun bonbon au chocolat, donc :
  $ P(C) = \dfrac{0}{20}$ = $\mathbf{0}$.
4. Tous les bonbons du sachet sont à la fraise, à la menthe ou au caramel : les $ 20 $ issues réalisent l'événement D.
  $ P(D) = \dfrac{20}{20}$ = $\mathbf{1}$.
L'événement C est impossible (sa probabilité vaut $ 0 $) et l'événement D est certain (sa probabilité vaut $ 1 $).

Pour réviser : Calculer la probabilité d'un événement.

Vrai/Faux : Pièges fréquents en équiprobabilité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les calculs de probabilité en équiprobabilité et leurs pièges, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Une urne contient 7 boules rouges et 3 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.

Affirmation : La probabilité de tirer une boule verte est $\dfrac{3}{7}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le dénominateur doit être le nombre total de boules. Il y a $7 + 3 = 10$ boules, donc $P(\text{verte}) = \dfrac{3}{10}$, pas $\dfrac{3}{7}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : en équiprobabilité, on divise le nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues. Ici, $3 + 7 = 10$ boules au total, donc $P(\text{verte}) = \dfrac{3}{10}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il y a 10 boules au total, donc $P(\text{verte}) = \dfrac{3}{10}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé cubique équilibré à six faces.

Affirmation : La probabilité d'obtenir un multiple de 2 est égale à la probabilité d'obtenir un multiple de 3.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les multiples de 2 sont 2, 4, 6 (3 issues) et les multiples de 3 sont 3, 6 (2 issues). Donc $P(\text{multiple de 2}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ et $P(\text{multiple de 3}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. Les deux probabilités ne sont pas égales.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il faut compter précisément les issues favorables : 3 multiples de 2 (2, 4, 6) mais seulement 2 multiples de 3 (3 et 6). Les deux ensembles n'ont pas le même nombre d'éléments sur un dé.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il y a 3 multiples de 2 mais seulement 2 multiples de 3 sur un dé.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé truqué à six faces.

Affirmation : La probabilité d'obtenir un 4 est égale à $\dfrac{1}{6}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La formule $\dfrac{1}{6}$ ne s'applique que si le dé est équilibré (faces équiprobables). Avec un dé truqué, les faces peuvent avoir des probabilités différentes : on ne peut rien dire sans plus d'information.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'appliquer la formule d'équiprobabilité à un dé truqué. Les 6 issues d'un dé pipé n'ont pas forcément la même probabilité, donc $\dfrac{1}{6}$ n'est qu'un cas particulier réservé aux dés équilibrés.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule $\dfrac{1}{n}$ ne s'applique qu'aux issues équiprobables, ce qui n'est pas le cas avec un dé truqué.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On choisit un nombre au hasard parmi les entiers de 1 à 50.

Affirmation : La probabilité d'obtenir un multiple de 10 est $\dfrac{1}{10}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les multiples de 10 entre 1 et 50 sont 10, 20, 30, 40, 50, soit 5 issues favorables sur 50 :

$P = \dfrac{5}{50} = \dfrac{1}{10}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Lister les multiples de 10 jusqu'à 50 : 10, 20, 30, 40, 50, soit 5 issues sur 50. La fraction $\dfrac{5}{50}$ se simplifie en $\dfrac{1}{10}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Il y a 5 multiples de 10 entre 1 et 50, donc $\dfrac{5}{50} = \dfrac{1}{10}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans un sac, il y a 4 jetons jaunes et 6 jetons bleus, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard.

Affirmation : Comme il y a deux couleurs, la probabilité de tirer un jeton jaune est $\dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le nombre de couleurs n'est pas pertinent : ce qui compte est le nombre de jetons. Il y a 4 jetons jaunes sur 10 au total, donc $P(\text{jaune}) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « 2 couleurs » et « 2 issues équiprobables ». Les jetons sont équiprobables, pas les couleurs : il faut compter chaque jeton individuellement.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il y a 4 jetons jaunes sur 10, donc $P(\text{jaune}) = \dfrac{2}{5}$, pas $\dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une roue de loterie est partagée en 8 secteurs identiques numérotés de 1 à 8.

Affirmation : La probabilité d'obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 est égale à $\dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
Les nombres inférieurs ou égaux à 4 sont 1, 2, 3 et 4, soit 4 issues favorables sur 8 :

$P = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut compter les nombres concernés. « Inférieur ou égal à 4 » inclut le 4 : on compte 1, 2, 3 et 4, soit 4 issues favorables sur 8.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Il y a 4 issues favorables (1, 2, 3, 4) sur 8, donc $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Probabilités

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : calcul de probabilités, événement contraire, événements incompatibles et stabilisation des fréquences. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On lance un dé truqué à six faces. Les probabilités des issues sont données dans le tableau suivant :

Face	1	2	3	4	5	6
Probabilité	$0{,}2$	$0{,}1$	$0{,}15$	$0{,}05$	$0{,}3$	?

Quelle est la probabilité d'obtenir un 6 ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}2$[/option]
[option]$\dfrac{1}{6}$[/option]
[option]$0{,}8$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1 :

$P(6) = 1 - (0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}15 + 0{,}05 + 0{,}3) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{6}$"]Non.
$\dfrac{1}{6}$ serait la probabilité pour un dé équilibré. Or ici le dé est truqué : il faut utiliser le fait que la somme des probabilités vaut 1.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}8$"]Non.
$0{,}8$ est la somme des cinq probabilités déjà connues. Pour obtenir $P(6)$, il faut soustraire cette somme à 1.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ correspondrait à une chance sur deux d'obtenir un 6, ce qui n'est pas cohérent. Il faut utiliser : « la somme des probabilités vaut 1 ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est toujours égale à 1. Il faut soustraire la somme des probabilités connues à 1.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une roue est partagée en 20 secteurs identiques numérotés de 1 à 20. On la fait tourner. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre impair et supérieur à 10 ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{20}$[/option]
[option]$\dfrac{15}{20}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les nombres impairs supérieurs à 10 entre 1 et 20 sont 11, 13, 15, 17, 19, soit 5 issues favorables sur 20 :

$P = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir un nombre impair quelconque (10 sur 20). Il y a une seconde condition : être aussi supérieur à 10.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{20}$"]Non.
Un nombre impair supérieur à 10 a été oublié dans le compte. Il faut bien lister 11, 13, 15, 17, 19, ce qui fait 5 et non 3.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{15}{20}$"]Non.
On compte les issues qui vérifient les deux conditions à la fois (impair ET supérieur à 10), pas l'une ou l'autre. Il s'agit donc des nombres communs aux deux ensembles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut lister tous les nombres entre 1 et 20 qui sont à la fois impairs et strictement supérieurs à 10, puis appliquer la formule d'équiprobabilité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une classe, 60 % des élèves participent au club théâtre et 25 % au club musique. Aucun élève ne fait les deux. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ne participe à aucun de ces deux clubs ?
[qcm]
[option]$85\%$[/option]
[option]$35\%$[/option]
[option correct="true"]$15\%$[/option]
[option]$0\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les deux clubs sont incompatibles, donc $P(\text{théâtre ou musique}) = 60\% + 25\% = 85\%$. Par l'événement contraire :

$P(\text{aucun}) = 100\% - 85\% = 15\%$

[/reponse]
[reponse motif="$85\%$"]Non.
$85\%$ est la probabilité de participer à l'un des deux clubs (théâtre ou musique). On cherche ici la probabilité de l'événement contraire : ne faire ni l'un ni l'autre.[/reponse]
[reponse motif="$35\%$"]Non.
$35\%$ correspondrait à $60\% - 25\%$, ce qui n'a pas de signification ici. Il faut additionner les pourcentages des deux clubs (puisqu'ils sont incompatibles), puis soustraire à 100 %.[/reponse]
[reponse motif="$0\%$"]Non.
Les deux clubs ne couvrent pas la classe entière : $60\% + 25\% = 85\%$, donc $15\%$ des élèves ne participent à aucun. La probabilité n'est pas nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comme les deux clubs sont incompatibles, on additionne d'abord leurs pourcentages, puis on prend le complément à 100 % pour obtenir le pourcentage d'élèves dans aucun des deux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Lors d'un sondage, on constate que sur 1 000 personnes interrogées, 423 préfèrent le thé. Quelle est la valeur la plus proche de la probabilité qu'une personne préfère le thé, selon ce sondage ?
[qcm]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$\dfrac{1}{423}$[/option]
[option]$423$[/option]
[option correct="true"]$0{,}42$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence d'apparition d'une issue se rapproche de sa probabilité. Ici la fréquence vaut :

$f = \dfrac{423}{1\,000} = 0{,}423 \approx 0{,}42$

[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ supposerait qu'il y ait autant de personnes pour le thé que pour autre chose. Or 423 sur 1 000 est nettement inférieur à la moitié.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{423}$"]Non.
Le numérateur doit être 423 (le nombre de réponses « thé ») et le dénominateur 1 000 (le nombre total de personnes). Il ne faut pas inverser.[/reponse]
[reponse motif="$423$"]Non.
423 est un effectif, pas une probabilité. Une probabilité est un nombre toujours compris entre 0 et 1. Il faut diviser par le nombre total de personnes interrogées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence (nombre de fois où l'issue se produit, divisé par le nombre total d'essais) se rapproche de la probabilité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une urne contient 30 boules : 12 rouges, 8 vertes, 7 bleues et le reste sont jaunes. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge ou jaune ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{15}{30}$[/option]
[option]$\dfrac{12}{30}$[/option]
[option]$\dfrac{27}{30}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{30}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
Le nombre de boules jaunes vaut $30 - 12 - 8 - 7 = 3$. Les événements « rouge » et « jaune » sont incompatibles, donc :

$P(\text{rouge ou jaune}) = \dfrac{12}{30} + \dfrac{3}{30} = \dfrac{15}{30}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{30}$"]Non.
$\dfrac{12}{30}$ est la probabilité de tirer une boule rouge uniquement. Il faut aussi compter les boules jaunes, dont le nombre n'est pas donné explicitement.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{27}{30}$"]Non.
$27 = 12 + 8 + 7$ est le nombre de boules rouges, vertes et bleues. Cela ne correspond pas à l'événement « rouge ou jaune ». Il faut commencer par calculer le nombre de boules jaunes.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{30}$"]Non.
$\dfrac{1}{30}$ correspondrait à une seule boule favorable. Or il y a au moins 12 boules rouges parmi les 30. Le numérateur doit refléter le total des boules rouges et jaunes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer la probabilité de « rouge ou jaune », il faut d'abord calculer le nombre de boules jaunes (par soustraction au total), puis additionner les probabilités des deux événements (incompatibles).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On tire au hasard un jeton dans un sac contenant 25 jetons numérotés de 1 à 25. Soit A : « obtenir un multiple de 5 » et B : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 ». Que peut-on dire de A et B ?
[qcm]
[option]A et B sont incompatibles[/option]
[option correct="true"]A et B ne sont pas incompatibles[/option]
[option]A et B sont contraires[/option]
[option]B est l'événement contraire de A[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les multiples de 5 entre 1 et 25 sont 5, 10, 15, 20, 25. Les nombres supérieurs ou égaux à 20 sont 20, 21, 22, 23, 24, 25. Les issues 20 et 25 réalisent A et B en même temps : les événements ne sont pas incompatibles.[/reponse]
[reponse motif="A et B sont incompatibles"]Non.
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Or 20 et 25 sont à la fois multiples de 5 et supérieurs ou égaux à 20.[/reponse]
[reponse motif="A et B sont contraires"]Non.
Deux événements contraires se complètent : A et $\overline{A}$ couvrent toutes les issues sans en partager. Ici, certaines issues réalisent A et B simultanément, et d'autres ni l'un ni l'autre.[/reponse]
[reponse motif="B est l'événement contraire de A"]Non.
$\overline{A}$ serait « ne pas obtenir un multiple de 5 », c'est-à-dire des issues comme 1, 2, 3, etc. Or B contient 20 et 25 qui sont multiples de 5 : B n'est pas le contraire de A.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister les issues réalisant A, puis celles réalisant B, et regarder s'il y en a en commun. Si oui, A et B ne sont pas incompatibles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Calculer une probabilité en équiprobabilité

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de la probabilité d'un événement en situation d'équiprobabilité. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Une urne contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 5 boules jaunes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{9}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Il y a $4 + 3 + 5 = 12$ boules au total et 3 sont vertes :

$P(\text{verte}) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{9}$"]Non.
Le dénominateur doit être le nombre total de boules dans l'urne. Or il y a $4 + 3 + 5$ boules, pas $4 + 5$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{8}$"]Non.
Attention au dénombrement total : il y a $4 + 3 + 5$ boules au total. Il ne faut pas oublier les boules de la couleur cherchée dans le total.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
Il ne faut pas diviser par le nombre de couleurs. La probabilité se calcule en divisant le nombre de boules vertes par le nombre total de boules.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On est en situation d'équiprobabilité (boules indiscernables). Il faut appliquer la formule $P = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs : pique, trèfle, cœur, carreau ; 8 valeurs par couleur : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as). Quelle est la probabilité de tirer un cœur ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{32}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{8}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le jeu compte 32 cartes au total et 8 sont des cœurs (une par valeur) :

$P(\text{cœur}) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{32}$"]Non.
$\dfrac{1}{32}$ correspond à la probabilité de tirer une carte précise (par exemple le 7 de cœur), pas la probabilité de tirer un cœur quelconque. Il y a 8 cartes de cœur dans le jeu.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{8}$"]Non.
Il y a 8 cartes par couleur, mais le total est 32 cartes. Il faut former la fraction $\dfrac{\text{nombre de cœurs}}{\text{nombre total de cartes}}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Les cœurs sont une couleur sur quatre, pas une couleur sur deux. Il faut bien distinguer les cartes rouges (cœurs ET carreaux) des cœurs seuls.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il y a 4 couleurs équilibrées dans un jeu de 32 cartes : chaque couleur représente une part égale du jeu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On choisit au hasard une lettre du mot « MATHEMATIQUES ». Quelle est la probabilité de choisir la lettre M ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{13}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{13}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le mot « MATHEMATIQUES » contient 13 lettres au total et la lettre M apparaît 2 fois (positions 1 et 5) :

$P(\text{M}) = \dfrac{2}{13}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{13}$"]Non.
Attention, la lettre M apparaît plusieurs fois dans « MATHEMATIQUES ». Il faut compter toutes ses occurrences au numérateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Le rapport $\dfrac{1}{2}$ ne correspond pas à un dénombrement raisonnable ici. Il faut compter le nombre total de lettres et le nombre de M dans le mot.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{12}$"]Non.
Le dénominateur doit être le nombre total de lettres du mot. Il faut recompter attentivement les lettres de « MATHEMATIQUES ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut commencer par compter toutes les lettres du mot puis compter combien de fois la lettre M apparaît.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une roue de loterie est partagée en 12 secteurs identiques numérotés de 1 à 12. On la fait tourner. Quelle est la probabilité d'obtenir un diviseur de 12 ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les diviseurs de 12 entre 1 et 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, soit 6 issues favorables sur 12 :

$P = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{12}$"]Non.
Il y a plus d'un diviseur de 12 entre 1 et 12. Il faut tous les chercher en testant chaque nombre, ou en pensant aux paires de diviseurs.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
Il manque des diviseurs dans le compte. Penser aux paires : $1 \times 12$, $2 \times 6$, $3 \times 4$ donnent 6 diviseurs au total.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{12}$"]Non.
Il manque 2 diviseurs : il faut compter tous les nombres entiers qui divisent 12, sans oublier 1 et 12 eux-mêmes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut lister tous les diviseurs de 12 entre 1 et 12. Pour ne pas en oublier, on peut chercher les paires de nombres dont le produit vaut 12.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un sac, il y a 15 jetons numérotés de 1 à 15. On tire un jeton au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre premier ?
[qcm]
[option]$\dfrac{5}{15}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{15}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
Les nombres premiers entre 1 et 15 sont 2, 3, 5, 7, 11 et 13, soit 6 issues favorables sur 15 :

$P(\text{premier}) = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{15}$"]Non.
Il y a un nombre premier oublié dans le compte. Penser à vérifier chaque nombre de 2 à 15 : a-t-il exactement deux diviseurs (1 et lui-même) ?[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{15}$"]Non.
Le nombre 1 n'est pas un nombre premier (il n'a qu'un seul diviseur, lui-même). De plus, certains nombres dans la liste ne sont pas premiers.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
$\dfrac{1}{3}$ correspond à 5 issues favorables sur 15. Il faut vérifier en listant les nombres premiers : un nombre est-il oublié ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un nombre est premier s'il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Il faut lister les nombres premiers entre 2 et 15.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une classe de 25 élèves, 10 jouent au foot, 8 font de la danse et 7 ne pratiquent aucune des deux activités. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il pratique l'une ou l'autre activité ?
[qcm]
[option]$\dfrac{7}{25}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{18}{25}$[/option]
[option]$\dfrac{8}{25}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les événements « jouer au foot » et « faire de la danse » sont incompatibles d'après l'énoncé (les deux activités forment des groupes disjoints, sinon le total dépasserait 25). Il y a $10 + 8 = 18$ élèves qui pratiquent l'une des deux :

$P = \dfrac{18}{25}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{25}$"]Non.
$\dfrac{7}{25}$ est la probabilité de ne pas pratiquer d'activité (les 7 élèves restants). C'est exactement le contraire de l'événement demandé.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{5}$"]Non.
$\dfrac{2}{5} = \dfrac{10}{25}$ est la probabilité de jouer au foot uniquement. Il faut ajouter aussi les danseurs pour avoir « foot ou danse ».[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{8}{25}$"]Non.
$\dfrac{8}{25}$ est la probabilité de faire de la danse uniquement. L'événement « foot ou danse » contient aussi tous les footballeurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On compte les élèves qui font au moins l'une des deux activités. Comme les deux groupes sont disjoints, il suffit d'additionner leurs effectifs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]