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Tombola : probabilités, complément et comparaison

Une association organise une tombola avec $ 200 $ billets numérotés de $ 1 $ à $ 200 $, tous identiques. Un seul billet gagnant sera tiré au sort à la fin de la soirée. Quatre élèves ont acheté des billets ; le reste est réparti entre les autres participants.

Participant Maxime Léa Hugo Sarah Autres
Nombre de billets $ 12 $ $ 12 $ $ 25 $ $ 51 $ $ ? $
  1. Justifier que les $ 200 $ issues du tirage sont équiprobables.
  2. Calculer la probabilité que Maxime gagne. Exprimer le résultat sous forme de fraction simplifiée et en pourcentage.
  3. Léa a acheté autant de billets que Maxime. La probabilité qu'elle gagne est-elle la même que celle de Maxime ? Justifier.
    1. Combien de billets ont été achetés par les autres participants ?
    2. En déduire la probabilité que le gagnant ne soit ni Maxime, ni Léa, ni Hugo, ni Sarah. Donner le résultat en fraction simplifiée et en pourcentage.
  5. Sarah affirme : « J'ai $ 51 $ billets sur $ 200 $, donc j'ai plus d'une chance sur quatre de gagner. » A-t-elle raison ? Justifier par un calcul.

Corrigé

  1. Les $ 200 $ billets sont identiques et un seul est tiré au hasard : chaque billet a la même chance d'être choisi. Les $ 200 $ issues sont donc équiprobables.

  2. Maxime possède $ 12 $ billets sur $ 200 $ :
    $ P(\text{Maxime}) = \dfrac{12}{200} = \dfrac{3}{50} $.

    On convertit en pourcentage : $ \dfrac{3}{50} = \dfrac{6}{100} = 0{,}06 $, soit $\mathbf{6\,\%}$.

  3. Léa a acheté $ 12 $ billets, comme Maxime. Le nombre d'issues qui réalisent « Léa gagne » est donc le même que pour Maxime, et le nombre total d'issues est inchangé :
    $ P(\text{Léa}) = \dfrac{12}{200} = \dfrac{3}{50} $.

    Les deux probabilités sont donc égales : chaque billet ayant la même chance, seules les quantités de billets comptent.

    1. Maxime, Léa, Hugo et Sarah possèdent ensemble :
      $ 12 + 12 + 25 + 51 = 100 $ billets.

      Comme la tombola compte $ 200 $ billets au total, il reste pour les autres participants :
      $ 200 - 100 = \mathbf{100} $ billets.

    2. La probabilité que le gagnant fasse partie des autres participants vaut :
      $ P(\text{autres}) = \dfrac{100}{200} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 $, soit $\mathbf{50\,\%}$.

  5. La probabilité que Sarah gagne vaut :
    $ P(\text{Sarah}) = \dfrac{51}{200} $.

    Une chance sur quatre correspond à $ \dfrac{1}{4} = \dfrac{50}{200} $.

    On compare les deux fractions de même dénominateur : $ \dfrac{51}{200} > \dfrac{50}{200} $, donc $ P(\text{Sarah}) > \dfrac{1}{4} $.

    Sarah a donc raison : sa probabilité de gagner est légèrement supérieure à une chance sur quatre (elle vaut précisément $ \dfrac{51}{200} = 0{,}255 $, soit $ 25{,}5\,\% $).

Pour réviser : Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité.

Tirage dans un jeu de 32 cartes

On dispose d'un jeu de $ 32 $ cartes bien mélangé. Ce jeu contient $ 4 $ couleurs (pique, cœur, carreau, trèfle), chacune représentée par $ 8 $ valeurs : $ 7 $, $ 8 $, $ 9 $, $ 10 $, valet, dame, roi et as. On tire une carte au hasard.

  1. Justifier que les $ 32 $ issues sont équiprobables.

  2. Calculer la probabilité de tirer :

    1. Un trèfle.
    2. Un valet.
    3. La dame de pique.
    4. Une figure (c'est-à-dire un valet, une dame ou un roi).
  3. Exprimer la probabilité de tirer un trèfle sous trois formes différentes : fraction simplifiée, nombre décimal et pourcentage.
  4. Léa affirme : « Comme il y a $ 4 $ couleurs, la probabilité de tirer chaque couleur est $ \dfrac{1}{4} $. La somme des probabilités des quatre couleurs vaut donc $ 1 $. » Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.

Corrigé

  1. Le jeu est bien mélangé et toutes les cartes sont indiscernables au toucher : chaque carte a la même chance d'être tirée. Les $ 32 $ issues sont donc équiprobables.

  2. Le nombre total d'issues est $ 32 $.

    1. Le jeu contient $ 8 $ trèfles, donc :
      $ P(\text{trèfle}) = \dfrac{8}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{4}} $.
    2. Il y a $ 4 $ valets (un par couleur), donc :
      $ P(\text{valet}) = \dfrac{4}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{8}} $.
    3. Il n'y a qu'une seule dame de pique :
      $ P(\text{dame de pique}) = \mathbf{\dfrac{1}{32}} $.
    4. Une figure désigne un valet, une dame ou un roi : il y en a $ 4 + 4 + 4 = 12 $.
      $ P(\text{figure}) = \dfrac{12}{32} = \mathbf{\dfrac{3}{8}} $.

  3. On part de la fraction $ \dfrac{1}{4} $ :

    $ \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\% $

  4. Chaque couleur contient exactement $ 8 $ cartes sur les $ 32 $ du jeu, donc chacune des quatre couleurs a la même probabilité :
    $ P(\text{pique}) = P(\text{cœur}) = P(\text{carreau}) = P(\text{trèfle}) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} $.

    La somme de ces quatre probabilités vaut $ 4 \times \dfrac{1}{4} = 1 $. L'affirmation de Léa est donc exacte : on retrouve bien la propriété selon laquelle la somme des probabilités des issues d'une expérience aléatoire vaut $ 1 $ (les quatre couleurs forment une partition des $ 32 $ cartes).

Pour réviser : Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité.

Roue de loterie : trois écritures d’une probabilité

Une roue de loterie est divisée en $ 20 $ secteurs de même taille. Le tableau ci-dessous donne le nombre de secteurs associés à chaque gain :

Gain (en €) $ 0 $ $ 2 $ $ 5 $ $ 10 $
Nombre de secteurs $ 6 $ $ 8 $ $ 4 $ $ 2 $

On fait tourner la roue ; chaque secteur a la même chance de s'arrêter face au repère.

    1. Vérifier que le nombre total de secteurs est bien $ 20 $.
    2. Justifier que les issues sont équiprobables.
  2. Calculer la probabilité de gagner exactement $ 5 $ €. Exprimer ce résultat sous forme de fraction simplifiée, de nombre décimal et de pourcentage.
  3. Calculer la probabilité de gagner au moins $ 2 $ €, puis l'exprimer en pourcentage.
  4. Le directeur de la fête annonce que la probabilité de ne rien gagner (gain nul) vaut $ 25\,\% $. A-t-il raison ? Justifier par un calcul.

Corrigé

    1. On additionne les nombres de secteurs : $ 6 + 8 + 4 + 2 = 20 $. La roue compte bien $ 20 $ secteurs.
    2. Les $ 20 $ secteurs ont la même taille, donc chacun a la même chance que la roue s'y arrête : les issues sont équiprobables.

  2. Sur les $ 20 $ secteurs, $ 4 $ donnent un gain de $ 5 $ €.
    $ P(5\,\text{€}) = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5} $.

    On convertit ensuite :

    $ \dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\% $

  3. Gagner « au moins $ 2 $ € » signifie gagner $ 2 $ €, $ 5 $ € ou $ 10 $ €. Le nombre de secteurs favorables vaut :
    $ 8 + 4 + 2 = 14 $.

    $ P(\text{au moins } 2\,\text{€}) = \dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7 $, soit $\mathbf{70\,\%}$.

  4. Le nombre de secteurs « $ 0 $ € » vaut $ 6 $, donc :
    $ P(0\,\text{€}) = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3 $, soit $ 30\,\% $.

    La probabilité réelle est de $ 30\,\% $, pas de $ 25\,\% $ : le directeur a tort.

Pour réviser : Exprimer une probabilité sous différentes formes.

QCM : Calcul de probabilités en équiprobabilité

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul d'une probabilité dans une situation d'équiprobabilité (dé, pièce, urne, cartes). Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On lance un dé cubique non truqué. Quelle est la probabilité d'obtenir le nombre $ 4 $ ?
[qcm]
[option correct="true"]$ \dfrac{1}{6} $[/option]
[option]$ \dfrac{1}{4} $[/option]
[option]$ \dfrac{4}{6} $[/option]
[option]$ 4 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le dé a $ 6 $ faces équiprobables. Une seule face réalise l'événement « obtenir $ 4 $ », donc $ P = \dfrac{1}{6} $.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{1}{4} $"]Non.
Le numéro $ 4 $ ne désigne qu'une face parmi celles du dé. Il faut placer le nombre total de faces au dénominateur, pas le numéro de la face cherchée.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{4}{6} $"]Non.
Confusion entre numérateur et dénominateur : c'est le nombre d'issues qui réalisent l'événement (ici $ 1 $) qui se place au numérateur, pas le numéro $ 4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ 4 $"]Non.
Une probabilité est toujours comprise entre $ 0 $ et $ 1 $ : la valeur $ 4 $ est impossible.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
En équiprobabilité, $ P = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}} $. Pour obtenir un numéro précis sur un dé à $ 6 $ faces, une seule face convient.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une urne contient $ 5 $ boules indiscernables au toucher : $ 2 $ rouges et $ 3 $ noires. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge ?
[qcm]
[option]$ \dfrac{2}{3} $[/option]
[option correct="true"]$ \dfrac{2}{5} $[/option]
[option]$ \dfrac{3}{5} $[/option]
[option]$ \dfrac{1}{2} $[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Il y a $ 2 + 3 = 5 $ boules au total, et $ 2 $ d'entre elles sont rouges. Le tirage est équiprobable, donc $ P = \dfrac{2}{5} $.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{2}{3} $"]Non.
Le dénominateur d'une probabilité est le nombre total d'issues, c'est-à-dire le nombre total de boules de l'urne. Ce n'est pas le nombre de boules de l'autre couleur.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{3}{5} $"]Non.
$ 3 $ est le nombre de boules noires, pas rouges. Bien identifier l'événement demandé avant de compter au numérateur.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{1}{2} $"]Non.
$ \dfrac{1}{2} $ correspondrait à autant de boules rouges que de noires : ce n'est pas le cas ici. Compter à nouveau les boules de chaque couleur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La probabilité d'un événement en équiprobabilité est le nombre d'issues qui le réalisent (boules rouges) divisé par le nombre total d'issues (boules de l'urne).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On tire au hasard une carte dans un jeu de $ 32 $ cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ?
[qcm]
[option]$ \dfrac{1}{32} $[/option]
[option]$ \dfrac{4}{32} $[/option]
[option correct="true"]$ \dfrac{1}{4} $[/option]
[option]$ \dfrac{1}{8} $[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un jeu de $ 32 $ cartes contient $ 4 $ couleurs équilibrées : il y a $ 8 $ cœurs sur $ 32 $ cartes, donc $ P = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} $.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{1}{32} $"]Non.
$ \dfrac{1}{32} $ est la probabilité de tirer une carte précise (par exemple le roi de cœur). Il faut compter combien de cartes sont des cœurs au total.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{4}{32} $"]Non.
Il y a plus de $ 4 $ cœurs dans un jeu de $ 32 $ cartes. Recompter : combien de cartes pour chaque couleur dans un jeu équilibré ?[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{1}{8} $"]Non.
$ \dfrac{1}{8} $ correspondrait à un cœur unique parmi $ 8 $ cartes (par exemple, la probabilité d'obtenir un roi parmi les $ 8 $ cœurs). Ici, on cherche la part de cœurs dans tout le jeu.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un jeu de $ 32 $ cartes a $ 4 $ couleurs (cœur, carreau, trèfle, pique) avec autant de cartes dans chaque couleur. Diviser les cartes de cœur par le total.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance un dé cubique non truqué. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
[qcm]
[option]$ \dfrac{1}{6} $[/option]
[option]$ \dfrac{2}{6} $[/option]
[option correct="true"]$ \dfrac{1}{2} $[/option]
[option]$ \dfrac{4}{6} $[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les nombres pairs sur un dé sont $ 2 $, $ 4 $ et $ 6 $ : il y a $ 3 $ issues favorables sur $ 6 $. Donc $ P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{1}{6} $"]Non.
$ \dfrac{1}{6} $ est la probabilité d'une seule face. Ici, plusieurs faces conviennent. Lister tous les nombres pairs entre $ 1 $ et $ 6 $.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{2}{6} $"]Non.
$ 2 $ n'est pas le bon numérateur. Compter toutes les faces du dé qui affichent un nombre pair, pas le nombre $ 2 $ lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{4}{6} $"]Non.
$ 4 $ est aussi un nombre pair, mais c'est juste l'un des nombres pairs du dé. Compter combien de nombres pairs il y a au total entre $ 1 $ et $ 6 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister les issues du dé : $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 5 $, $ 6 $. Identifier celles qui sont paires, puis appliquer la formule en équiprobabilité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une roue de loterie est partagée en $ 10 $ secteurs identiques numérotés de $ 1 $ à $ 10 $. On la fait tourner. Quelle est la probabilité que la flèche s'arrête sur un multiple de $ 3 $ ?
[qcm]
[option]$ \dfrac{1}{10} $[/option]
[option]$ \dfrac{2}{10} $[/option]
[option correct="true"]$ \dfrac{3}{10} $[/option]
[option]$ \dfrac{1}{3} $[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les multiples de $ 3 $ entre $ 1 $ et $ 10 $ sont $ 3 $, $ 6 $ et $ 9 $ : il y en a $ 3 $. La probabilité vaut donc $ \dfrac{3}{10} $.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{1}{10} $"]Non.
$ \dfrac{1}{10} $ correspond à un seul secteur favorable. Or, plusieurs nombres entre $ 1 $ et $ 10 $ sont des multiples de $ 3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{2}{10} $"]Non.
Recompter les multiples de $ 3 $ jusqu'à $ 10 $ : $ 3 $, $ 6 $... mais ce n'est pas tout.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{1}{3} $"]Non.
$ \dfrac{1}{3} $ supposerait que $ 1 $ secteur sur $ 3 $ est favorable, donc une roue partagée en multiples de $ 3 $. Mais la roue a $ 10 $ secteurs, pas un multiple de $ 3 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister les multiples de $ 3 $ entre $ 1 $ et $ 10 $, puis diviser leur nombre par le nombre total de secteurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une classe de $ 30 $ élèves, $ 18 $ aiment les mathématiques. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il n'aime pas les mathématiques ?
[qcm]
[option]$ \dfrac{18}{30} $[/option]
[option correct="true"]$ \dfrac{12}{30} $[/option]
[option]$ \dfrac{1}{30} $[/option]
[option]$ \dfrac{1}{18} $[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Si $ 18 $ élèves aiment les mathématiques, alors $ 30 - 18 = 12 $ ne les aiment pas. La probabilité cherchée est donc $ \dfrac{12}{30} $ (qui se simplifie en $ \dfrac{2}{5} $).[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{18}{30} $"]Non.
$ \dfrac{18}{30} $ correspond à la probabilité qu'un élève aime les mathématiques. Lire à nouveau la question : on cherche le contraire.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{1}{30} $"]Non.
$ \dfrac{1}{30} $ serait la probabilité de choisir un élève précis, pas une catégorie. Plusieurs élèves n'aiment pas les mathématiques.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{1}{18} $"]Non.
Le dénominateur d'une probabilité est le nombre total d'issues, donc le nombre total d'élèves de la classe ($ 30 $), pas le nombre d'élèves d'une catégorie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Commencer par calculer le nombre d'élèves qui n'aiment pas les mathématiques (par soustraction), puis appliquer la formule en équiprobabilité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]