Corrélation — révisions et notes

Dans une classe de Terminale, on a relevé pour six élèves le temps $ t $ (en heures) consacré à la préparation d'un devoir de mathématiques et la note $ n $ (sur $ 20 $) obtenue.

$ t_{i} $ (en h)	$ 2 $	$ 3 $	$ 4 $	$ 5 $	$ 7 $	$ 9 $
$ n_{i} $ (sur 20)	$ 8 $	$ 11 $	$ 12 $	$ 14 $	$ 17 $	$ 18 $

Calculer les coordonnées du point moyen $ G $ du nuage (arrondir au centième si besoin).
À la calculatrice, on obtient pour la droite des moindres carrés $ n=at+b $ : $ a\approx 1{,}41 $ et $ b\approx 6{,}27 $, avec un coefficient de corrélation linéaire $ r\approx 0{,}975 $. Donner l'équation de la droite et interpréter la valeur de $ r $.
Estimer la note d'un élève qui aurait révisé pendant $ 8 $ heures.
D'après ce modèle, à partir de quelle valeur de $ t $ la note prédite dépasserait-elle $ 20 $ sur $ 20 $ ? Que peut-on en conclure sur la validité du modèle ?

Corrigé

La série comporte $ n=6 $ couples.

$ \bar{t}=\dfrac{2+3+4+5+7+9}{6}=\dfrac{30}{6}=5 $

$ \bar{n}=\dfrac{8+11+12+14+17+18}{6}=\dfrac{80}{6}\approx 13{,}33 $

Le point moyen est $\mathbf{G(5\,;\,13{,}33)}$.
L'équation de la droite des moindres carrés est :

$\mathbf{n=1{,}41\,t+6{,}27}$

Le coefficient de corrélation $ r\approx 0{,}975 $ est très proche de $ 1 $, ce qui montre que les points du nuage sont quasiment alignés et que l'ajustement affine est pertinent. De plus, $ r>0 $ : la note tend bien à croître avec le temps de révision.
On remplace $ t $ par $ 8 $ :

$ n=1{,}41\times 8+6{,}27=11{,}28+6{,}27=17{,}55 $

Un élève qui aurait révisé $ 8 $ heures obtiendrait, d'après le modèle, une note d'environ $ 17{,}5 $ sur $ 20 $.
On résout :

$ 1{,}41\,t+6{,}27>20\iff 1{,}41\,t>13{,}73\iff t>\dfrac{13{,}73}{1{,}41}\approx 9{,}74 $

D'après le modèle, la note prédite dépasse $ 20 $ pour $ t>9{,}74 $ h.

Or une note sur $ 20 $ ne peut, par construction, jamais dépasser $ 20 $. Le modèle n'est donc pas valable pour des temps de révision élevés : il s'agit d'une extrapolation hors de la plage observée ($ t\in [2\,;9] $), à manier avec prudence.

→ Pour réviser : Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés

Ajustement affine — budget publicitaire

Le directeur d'une PME relève chaque mois, sur une période de six mois, le budget publicitaire $ x $ (en milliers d'euros) et le chiffre d'affaires $ y $ correspondant (en milliers d'euros).

$ x_{i} $ (budget pub)	$ 1 $	$ 2 $	$ 3 $	$ 4 $	$ 5 $	$ 6 $
$ y_{i} $ (chiffre d'affaires)	$ 12 $	$ 15 $	$ 19 $	$ 22 $	$ 26 $	$ 30 $

Calculer les coordonnées du point moyen $ G $ du nuage (arrondir $ \bar{y} $ au centième).
À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite des moindres carrés $ \mathcal{D} $ d'équation $ y=ax+b $ (arrondir $ a $ et $ b $ au centième).
Vérifier que $ \mathcal{D} $ passe (aux arrondis près) par le point moyen $ G $.
Estimer le chiffre d'affaires que peut espérer la PME pour un budget publicitaire de $ 4{,}5 $ milliers d'euros.

Corrigé

La série comporte $ n=6 $ couples.

$ \bar{x}=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=\dfrac{21}{6}=3{,}5 $

$ \bar{y}=\dfrac{12+15+19+22+26+30}{6}=\dfrac{124}{6}\approx 20{,}67 $

Le point moyen est $\mathbf{G(3{,}5\,;\,20{,}67)}$.
On saisit les valeurs en mode statistique deux variables ($ x $ dans $ L_{1} $, $ y $ dans $ L_{2} $) et on lance la régression linéaire. La calculatrice affiche $ a\approx 3{,}60 $ et $ b\approx 8{,}07 $. L'équation de la droite des moindres carrés est donc :

$\mathbf{y=3{,}60\,x+8{,}07}$
On remplace $ x $ par $ \bar{x}=3{,}5 $ dans l'équation :

$ 3{,}60\times 3{,}5+8{,}07=12{,}60+8{,}07=20{,}67 $

On retrouve bien $ \bar{y}\approx 20{,}67 $ : la droite $ \mathcal{D} $ passe par le point moyen $ G $.
Pour $ x=4{,}5 $ :

$ y=3{,}60\times 4{,}5+8{,}07=16{,}20+8{,}07=24{,}27 $

Pour un budget publicitaire de $ 4{,}5 $ milliers d'euros, on peut espérer un chiffre d'affaires d'environ $ 24{,}27 $ milliers d'euros, soit environ $ 24\,270 $ €.

→ Pour réviser : Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés

Point moyen — relevé de températures

Le tableau ci-dessous donne, pour la ville de Tours, la température moyenne $ y $ (en °C) relevée le 15 du mois pour chacun des six premiers mois de l'année. On note $ x $ le rang du mois (de $ 1 $ pour janvier à $ 6 $ pour juin).

$ x_{i} $ (rang du mois)	$ 1 $	$ 2 $	$ 3 $	$ 4 $	$ 5 $	$ 6 $
$ y_{i} $ (température en °C)	$ 5 $	$ 7 $	$ 11 $	$ 14 $	$ 18 $	$ 21 $

Calculer la moyenne $ \bar{x} $ des rangs des mois.
Calculer la moyenne $ \bar{y} $ des températures relevées (arrondir au centième).
En déduire les coordonnées du point moyen $ G $ du nuage de points.
Le point $ M(4\,;14) $ du nuage est-il confondu avec le point moyen $ G $ ? Justifier.

Corrigé

La série comporte $ n=6 $ couples. La moyenne des rangs est :

$ \bar{x}=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=\dfrac{21}{6}=3{,}5 $

On obtient $\mathbf{\bar{x}=3{,}5}$.
La moyenne des températures est :

$ \bar{y}=\dfrac{5+7+11+14+18+21}{6}=\dfrac{76}{6}\approx 12{,}67 $

D'où $\mathbf{\bar{y}\approx 12{,}67}$ (en °C).
Le point moyen est :

$\mathbf{G(3{,}5\,;\,12{,}67)}$
Les coordonnées du point $ M(4\,;14) $ et celles de $ G(3{,}5\,;12{,}67) $ sont distinctes : $ M $ et $ G $ ne sont pas confondus. Le point moyen ne fait d'ailleurs en général pas partie du nuage : ses coordonnées sont des moyennes, qui peuvent ne correspondre à aucun couple observé.

→ Pour réviser : Calculer les coordonnées du point moyen d'un nuage

QCM : Nuage de points et point moyen

[enonce]
Ce QCM porte sur le nuage de points et le point moyen d'une série statistique à deux variables. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère la série statistique à deux variables :

$(10\,;5),\ (12\,;6),\ (14\,;8),\ (16\,;9),\ (18\,;12)$

Quelles sont les coordonnées du point moyen $G$ de cette série ?
[qcm]
[option]$(14\,;7)$[/option]
[option correct="true"]$(14\,;8)$[/option]
[option]$(8\,;14)$[/option]
[option]$(70\,;40)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule séparément les deux moyennes :
$\bar{x}=\dfrac{10+12+14+16+18}{5}=\dfrac{70}{5}=14$
$\bar{y}=\dfrac{5+6+8+9+12}{5}=\dfrac{40}{5}=8$
Donc $G(14\,;8)$.[/reponse]
[reponse motif="$(14\,;7)$"]Non.
La première coordonnée est correcte, mais $\bar{y}$ a été mal calculée. Recompter les cinq valeurs de $y$ et vérifier la somme avant de diviser.[/reponse]
[reponse motif="$(8\,;14)$"]Non.
Les coordonnées ont été inversées. Par convention, l'abscisse de $G$ est $\bar{x}$ (moyenne des $x_i$) et l'ordonnée est $\bar{y}$ (moyenne des $y_i$).[/reponse]
[reponse motif="$(70\,;40)$"]Non.
Il manque l'étape de division par l'effectif. Une moyenne s'obtient en divisant la somme par $n$, ici $n=5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément $\bar{x}$ comme moyenne des $x_i$ et $\bar{y}$ comme moyenne des $y_i$, puis former le couple $G(\bar{x}\,;\bar{y})$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle affirmation caractérise correctement le point moyen $G$ d'un nuage de points ?
[qcm]
[option]$G$ est toujours l'un des points du nuage.[/option]
[option]$G$ a pour coordonnées les médianes des $x_i$ et des $y_i$.[/option]
[option correct="true"]$G$ a pour coordonnées les moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$ des deux variables.[/option]
[option]$G$ minimise la somme des distances aux points du nuage.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par définition, $G(\bar{x}\,;\bar{y})$ où $\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i$ et $\bar{y}=\dfrac{1}{n}\sum y_i$.[/reponse]
[reponse motif="$G$ est toujours l'un des points du nuage."]Non.
Ce n'est pas une caractéristique du point moyen : en général, $G$ n'est pas un point du nuage. Il peut très bien tomber entre les points.[/reponse]
[reponse motif="$G$ a pour coordonnées les médianes des $x_i$ et des $y_i$."]Non.
Il ne faut pas confondre moyenne et médiane. Le point moyen utilise les moyennes des deux variables.[/reponse]
[reponse motif="$G$ minimise la somme des distances aux points du nuage."]Non.
Cette propriété concerne la droite des moindres carrés (qui minimise une somme de carrés d'écarts), pas le point moyen.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revenir à la définition : $G$ a pour coordonnées les moyennes des deux séries, et non un autre indicateur statistique.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère le nuage de quatre points ci-dessous.

Nuage de quatre points dans un repère du plan, situés en (1;2), (2;5), (3;3) et (4;6)

Quelles sont les coordonnées du point moyen $G$ ?
[qcm]
[option]$(2{,}5\,;3{,}5)$[/option]
[option]$(3\,;4)$[/option]
[option correct="true"]$(2{,}5\,;4)$[/option]
[option]$(2\,;5)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On lit les coordonnées des quatre points puis on moyenne :
$\bar{x}=\dfrac{1+2+3+4}{4}=\dfrac{10}{4}=2{,}5$
$\bar{y}=\dfrac{2+5+3+6}{4}=\dfrac{16}{4}=4$
Donc $G(2{,}5\,;4)$.[/reponse]
[reponse motif="$(2{,}5\,;3{,}5)$"]Non.
$\bar{x}$ est correct, mais $\bar{y}$ semble être la médiane des $y_i$ (entre $3$ et $5$ après tri) plutôt que leur moyenne. Reprendre la somme des quatre ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="$(3\,;4)$"]Non.
$3$ correspond à la médiane des $x_i$ (valeur centrale après tri), pas à leur moyenne. Recalculer $\bar{x}$ comme somme divisée par $4$.[/reponse]
[reponse motif="$(2\,;5)$"]Non.
Ces coordonnées correspondent à un point du nuage, pas au point moyen. Le point moyen est calculé à partir de l'ensemble des quatre points, pas lu directement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lire les coordonnées des quatre points sur le graphique, puis calculer la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées séparément.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On dispose d'une série de $4$ couples dont le point moyen est $G(10\,;20)$. On ajoute un cinquième couple $(20\,;30)$ à la série. Quelle est la nouvelle valeur de $\bar{x}$ ?
[qcm]
[option]$10$[/option]
[option correct="true"]$12$[/option]
[option]$15$[/option]
[option]$30$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La somme des quatre premiers $x_i$ vaut $4\times 10=40$. En ajoutant $20$, la nouvelle somme est $60$, et la nouvelle moyenne est $\dfrac{60}{5}=12$.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
La moyenne change forcément lorsqu'on ajoute une valeur différente de la moyenne actuelle. Reprendre la somme totale et la diviser par le nouvel effectif.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15=\dfrac{10+20}{2}$ : il s'agit de la moyenne entre l'ancienne moyenne et la valeur ajoutée. Cette opération ne tient pas compte des effectifs ($4$ valeurs d'un côté, $1$ de l'autre).[/reponse]
[reponse motif="$30$"]Non.
$30$ est la nouvelle valeur de $\bar{y}$ erronée (l'ordonnée du couple ajouté). On cherche ici $\bar{x}$, et il faut faire intervenir les quatre $x_i$ initiaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconstruire la somme totale des $x_i$ (à partir de l'ancienne moyenne et de l'effectif), ajouter la nouvelle valeur, puis diviser par le nouvel effectif $5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La droite des moindres carrés $\mathcal{D}$ d'un nuage de points passe nécessairement :
[qcm]
[option]par tous les points du nuage[/option]
[option]par l'origine du repère[/option]
[option correct="true"]par le point moyen $G(\bar{x}\,;\bar{y})$[/option]
[option]par le point $(\bar{x}\,;0)$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
C'est une propriété fondamentale : la droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen $G(\bar{x}\,;\bar{y})$ du nuage.[/reponse]
[reponse motif="par tous les points du nuage"]Non.
La droite des moindres carrés ne passe pas par tous les points du nuage : elle minimise seulement la somme des carrés des écarts verticaux. Si elle passait par tous les points, le nuage serait parfaitement aligné.[/reponse]
[reponse motif="par l'origine du repère"]Non.
La droite ne passe par l'origine que dans des cas particuliers ($b=0$). En général, son ordonnée à l'origine $b$ n'est pas nulle.[/reponse]
[reponse motif="par le point $(\bar{x}\,;0)$"]Non.
Ce point a pour ordonnée $0$, ce qui n'a pas de raison d'être vérifié. Le point spécial du nuage par lequel passe $\mathcal{D}$ a deux coordonnées moyennes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser au point spécial du nuage qui résume à la fois les abscisses et les ordonnées : c'est par lui que passe la droite des moindres carrés.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La droite des moindres carrés d'un nuage a pour équation $y=2x+5$, et la moyenne des abscisses vaut $\bar{x}=4$. Quelle est la valeur de $\bar{y}$ ?
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option]$5$[/option]
[option]$8$[/option]
[option correct="true"]$13$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
La droite des moindres carrés passe par $G(\bar{x}\,;\bar{y})$, donc les coordonnées de $G$ vérifient $\bar{y}=2\bar{x}+5$. Ainsi :
$\bar{y}=2\times 4+5=13$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$\bar{x}$ et $\bar{y}$ ne sont pas a priori égales : ce sont les moyennes de deux séries différentes. Utiliser l'équation de la droite et le fait qu'elle passe par $G$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5$ est l'ordonnée à l'origine de la droite, c'est-à-dire la valeur de $y$ pour $x=0$, pas pour $x=\bar{x}=4$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8=2\times 4$ : seule la pente a été utilisée. Ne pas oublier d'ajouter l'ordonnée à l'origine $b$ dans l'équation $y=ax+b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La droite des moindres carrés passe par le point moyen $G$. Substituer $\bar{x}$ dans l'équation pour obtenir $\bar{y}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]