QCM : Nombre dérivé et taux d’accroissement

[enonce]
Ce QCM porte sur la notion de nombre dérivé : taux d'accroissement, passage à la limite et interprétation graphique. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. Quelle est l'expression du taux d'accroissement de $f$ entre $2$ et $2+h$ (avec $h \neq 0$) après simplification ?
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option]$4h + h^2$[/option]
[option correct="true"]$4 + h$[/option]
[option]$2h + h^2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule $f(2+h) - f(2) = (2+h)^2 - 4 = 4 + 4h + h^2 - 4 = 4h + h^2$.
Le taux d'accroissement est donc $\dfrac{4h + h^2}{h} = 4 + h$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
C'est la valeur de la limite du taux quand $h$ tend vers $0$, pas l'expression du taux lui-même. Ne pas confondre le taux d'accroissement (qui dépend de $h$) avec sa limite.[/reponse]
[reponse motif="$4h + h^2$"]Non.
C'est le numérateur $f(2+h) - f(2)$, mais il reste à diviser par $h$ pour obtenir le taux d'accroissement.[/reponse]
[reponse motif="$2h + h^2$"]Non.
Il y a une erreur dans le développement de $(2+h)^2$ : il faut $(2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$, avec un double produit $2 \times 2 \times h = 4h$, pas $2h$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f(2+h) - f(2)$ en développant soigneusement $(2+h)^2$, puis diviser par $h$ et simplifier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x + 5$. Que vaut le nombre dérivé $f'(7)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$26$[/option]
[option]$7$[/option]
[option]$21$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La courbe de $f$ est une droite de coefficient directeur $3$. Le nombre dérivé de $f$ en tout point est donc $3$.
On retrouve ce résultat par le taux : $\dfrac{f(7+h) - f(7)}{h} = \dfrac{3(7+h)+5 - (3 \times 7 + 5)}{h} = \dfrac{3h}{h} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$26$"]Non.
C'est la valeur de $f(7) = 3 \times 7 + 5 = 26$. Ne pas confondre $f(x_0)$ (valeur de la fonction) avec $f'(x_0)$ (nombre dérivé).[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
C'est l'abscisse $x_0$, pas le nombre dérivé. Pour une fonction affine, le nombre dérivé est constant et égal au coefficient directeur de la droite.[/reponse]
[reponse motif="$21$"]Non.
C'est le produit $3 \times 7$, probablement obtenu en remplaçant $x$ par $7$ dans $3x$ uniquement. Reprendre : pour une fonction affine $f(x) = ax + b$, le nombre dérivé en tout point est $a$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une fonction affine $f(x) = ax + b$, le nombre dérivé en tout point $x_0$ est le coefficient directeur $a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. Quelle est la limite de $\dfrac{f(3+h) - f(3)}{h}$ lorsque $h$ tend vers $0$ ?
[qcm]
[option]$9$[/option]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On développe : $f(3+h) - f(3) = (3+h)^2 - 9 = 6h + h^2$.
Le taux vaut donc $\dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h$.
Lorsque $h$ tend vers $0$, cette expression tend vers $6$. Ainsi $f'(3) = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
C'est la valeur de $f(3) = 9$, pas la limite du taux d'accroissement. Simplifier l'expression $\dfrac{(3+h)^2 - 9}{h}$ avant de faire tendre $h$ vers $0$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
On ne peut pas remplacer $h$ par $0$ directement dans $\dfrac{f(3+h) - f(3)}{h}$ : cela donne la forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$. Il faut d'abord simplifier par $h$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
C'est l'abscisse $x_0 = 3$. Pour obtenir le nombre dérivé, il faut calculer la limite du taux d'accroissement après simplification.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer $(3+h)^2$, simplifier le taux par $h$, puis faire tendre $h$ vers $0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative. Le nombre dérivé $f'(x_0)$ correspond à :
[qcm]
[option]la valeur $f(x_0)$[/option]
[option]la vitesse moyenne de $f$ sur $[0~;~x_0]$[/option]
[option correct="true"]le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $x_0$[/option]
[option]l'ordonnée du point d'intersection de $\mathscr{C}_f$ avec l'axe des ordonnées[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par définition, $f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$.
Géométriquement, le taux $\dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ est le coefficient directeur de la sécante passant par $A(x_0 ; f(x_0))$ et $B(x_0+h ; f(x_0+h))$. Lorsque $h$ tend vers $0$, la sécante se rapproche de la tangente en $A$.[/reponse]
[reponse motif="la valeur $f(x_0)$"]Non.
$f(x_0)$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $x_0$, pas la pente de la tangente. Ces deux quantités sont en général différentes.[/reponse]
[reponse motif="la vitesse moyenne de $f$ sur $[0~;~x_0]$"]Non.
Le nombre dérivé correspond à une vitesse instantanée en $x_0$, obtenue comme limite d'un taux, et non à une vitesse moyenne sur un intervalle.[/reponse]
[reponse motif="l'ordonnée du point d'intersection de $\mathscr{C}_f$ avec l'axe des ordonnées"]Non.
L'ordonnée à l'origine est $f(0)$, indépendante de $x_0$. Le nombre dérivé $f'(x_0)$ dépend du point considéré et donne la pente de la tangente en ce point.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Relire la définition : $f'(x_0)$ est la limite du taux d'accroissement, qui s'interprète comme le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x_0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 1$. Calculer $f'(-2)$ par passage à la limite sur le taux d'accroissement.
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$-4$[/option]
[option]$5$[/option]
[option]$-3$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$f(-2+h) - f(-2) = (-2+h)^2 + 1 - 5 = 4 - 4h + h^2 + 1 - 5 = -4h + h^2$.
Le taux est donc $\dfrac{-4h + h^2}{h} = -4 + h$, qui tend vers $-4$ quand $h$ tend vers $0$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Attention au signe : en développant $(-2+h)^2 = 4 - 4h + h^2$, le terme linéaire est $-4h$ (et non $+4h$). La limite obtenue est donc négative.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
C'est la valeur de $f(-2) = 4 + 1 = 5$, pas le nombre dérivé. Calculer la limite du taux après simplification.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Il y a une erreur dans le développement de $(-2+h)^2$. Le développement correct est $4 - 4h + h^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer soigneusement $(-2+h)^2$ en respectant les signes, simplifier le taux par $h$, puis faire tendre $h$ vers $0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ et $A$ le point de coordonnées $(a ; f(a))$. Si $f'(a) = 0$, que peut-on dire de la tangente à la courbe de $f$ au point $A$ ?
[qcm]
[option]Elle est parallèle à l'axe des ordonnées.[/option]
[option correct="true"]Elle est parallèle à l'axe des abscisses.[/option]
[option]Elle est confondue avec la courbe.[/option]
[option]Elle n'existe pas.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $A$. Si ce coefficient est nul, la tangente est une droite « horizontale », parallèle à l'axe des abscisses.[/reponse]
[reponse motif="Elle est parallèle à l'axe des ordonnées."]Non.
Une droite parallèle à l'axe des ordonnées aurait un coefficient directeur infini (non défini), pas nul. Un nombre dérivé nul correspond à une droite horizontale.[/reponse]
[reponse motif="Elle est confondue avec la courbe."]Non.
La tangente est toujours une droite, alors que la courbe n'est généralement pas une droite. Elles ne peuvent pas être confondues sauf cas très particulier.[/reponse]
[reponse motif="Elle n'existe pas."]Non.
Dire que $f'(a) = 0$ signifie au contraire que la tangente existe : le nombre dérivé est bien défini. C'est seulement sa pente qui est nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente en $a$. Un coefficient directeur nul correspond à une droite horizontale.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Nombre dérivé

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ une fonction de courbe $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{T}$ la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point de coordonnées $(0~;~3)$, représentés ci-dessous.

Courbe de f passant par (0 ; 3) et tangente T de pente -1 en ce point

Affirmation : $f'(0) = -1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le nombre dérivé $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente $\mathscr{T}$.
Par lecture graphique, la tangente passe par $(0~;~3)$ et $(3~;~0)$, donc :

$f'(0) = \dfrac{0 - 3}{3 - 0} = -1$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre l'ordonnée à l'origine de la tangente ($3$) avec son coefficient directeur, ou de lire la pente avec un mauvais sens de variation.
$f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $\mathscr{T}$.
La tangente passe par $(0~;~3)$ et $(3~;~0)$, d'où $f'(0) = \dfrac{0-3}{3-0} = -1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $f'(0)$ est le coefficient directeur de $\mathscr{T}$. La tangente passe par $(0, 3)$ et $(3, 0)$, donc $f'(0) = \dfrac{0-3}{3-0} = -1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
La tangente à la courbe représentative d'une fonction $f$ au point de coordonnées $(1~;~1)$ a pour équation $y = 2x - 1$.

Affirmation : Alors $f'(1) = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $(1~;~1)$.
L'équation de la tangente étant $y = 2x - 1$, ce coefficient vaut $2$.
Donc $f'(1) = 2$, et non $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre l'ordonnée du point de tangence ($y = 1$) avec le coefficient directeur de la tangente. Dans $y = 2x - 1$, le coefficient directeur est $2$, pas $1$.
$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente : ici $y = 2x - 1$ a pour coefficient directeur $2$, donc $f'(1) = 2 \neq 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $y = 2x - 1$, qui vaut $2$. On a donc $f'(1) = 2$, pas $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 1$.

Affirmation : Le taux d'accroissement de $f$ entre $-1$ et $1$ est égal à $\dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le taux d'accroissement de $f$ entre $-1$ et $1$ est :

$t = \dfrac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = \dfrac{2 - 0}{2} = 1$

Le taux vaut $1$, et non $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'oublier le $+1$ dans l'expression de $f$ lors du calcul de $f(-1)$ : on obtient $f(-1) = (-1)^3 + 1 = 0$, et non $-1$, ce qui change le résultat.
$t = \dfrac{f(1) - f(-1)}{2} = \dfrac{(1+1) - (-1+1)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \neq \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $f(1) = 2$, $f(-1) = 0$, donc le taux d'accroissement vaut $\dfrac{2-0}{1-(-1)} = \dfrac{2}{2} = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction de courbe $\mathscr{C}_f$ représentée ci-dessous.

Parabole de f avec sa tangente T au point d'abscisse 2, de pente négative

Affirmation : $f'(2)$ est négatif.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Au point d'abscisse $2$, le coefficient directeur de la tangente vaut $-2$, donc $f'(2)$ est négatif.
(On peut aussi dire que la fonction $f$ est décroissante en $2$.)[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre le signe de la valeur de la fonction ($f(2) = 3 > 0$) avec le signe de la dérivée. La dérivée correspond à la pente de la tangente, ici orientée vers le bas.
La tangente $\mathscr{T}$ au point d'abscisse $2$ a un coefficient directeur négatif ($-2$), donc $f'(2) < 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La tangente au point d'abscisse $2$ est descendante (coefficient directeur $-2$), donc $f'(2) < 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f(0) = 1$ et $f'(0) = 0$.

Affirmation : La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est :
$y = f'(0)(x - 0) + f(0)$
$y = 0 \times x + 1$
$y = 1$
Il s'agit d'une droite parallèle à l'axe des abscisses.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre $f'(0) = 0$ (pente nulle) avec l'équation $y = x$ (pente $1$), ou d'oublier l'ordonnée $f(0) = 1$ dans la formule de la tangente.
$y = f'(0)(x - 0) + f(0)$
$y = 0 \times x + 1$
$y = 1$
Ce n'est pas $y = x$ mais $y = 1$ (droite horizontale).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La tangente a pour équation $y = f'(0)(x-0) + f(0) = 0 \cdot x + 1 = 1$, c'est une droite horizontale.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + x$.

Pour calculer $f'(0)$, un élève a effectué le calcul suivant :

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{h^2 + h}{h} = \lim_{h \to 0}(h + 1) = 1$

Affirmation : Ce calcul est correct.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'élève a correctement utilisé la définition du nombre dérivé :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$

et le calcul est exact : $f'(0) = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser qu'il faudrait écrire $\dfrac{f(0+h) - f(0)}{h}$ avec le développement de $f(0+h) = (0+h)^2 + (0+h) = h^2 + h$ au lieu de $f(h)$. Les deux écritures sont identiques car $f(0+h) = f(h)$.
Le calcul est bien correct : l'élève a appliqué la définition du nombre dérivé en $0$ et obtenu $f'(0) = 1$, ce qui est juste.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'élève applique correctement la définition $f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h}$ et obtient $f'(0) = 1$.
[/solution]
[/etape]

Nombre dérivé et tangente

Soit la fonction $ f $, définie par : $ f\left(x\right)=x^{2}+3x - 4 $ et $ \mathscr C_{f} $ sa courbe représentative.

Calculer $ \dfrac{f\left(h\right) - f\left(0\right)}{h} $ pour $ h\neq 0 $.
En déduire la valeur de $ f^{\prime}\left(0\right) $.
Déterminer l'équation de la tangente à la parabole $ \mathscr C_{f} $ au point d'abscisse $ 0 $.

Corrigé

Pour $ h\neq 0 $:

$ \dfrac{f\left(h\right) - f\left(0\right)}{h}=\dfrac{\left(h^{2}+3h - 4\right) - \left(0^{2}+3\times 0 - 4\right)}{h}=\dfrac{h^{2}+3h}{h}=h+3 $
Lorsque $ h $ tend vers $ 0 $, le rapport $ \dfrac{f\left(0+h\right) - f\left(0\right)}{h}=h+3 $ tend vers $ 3 $ donc $ f^{\prime}\left(0\right)=3 $.
L'équation cherchée est :

$ y=f^{\prime}\left(0\right)\left(x - 0\right)+f\left(0\right) $

Or $ f\left(0\right)=0^{2}+3\times 0 - 4= - 4 $ et $ f^{\prime}\left(0\right)=3 $ d'après la question précédente.

L'équation de la tangente à la parabole $ \mathscr C_{f} $ au point d'abscisse $ 0 $ est donc :

$\mathbf{y=3x - 4}$

Pour réviser : Déterminer l'équation d'une tangente à une courbe