Notes d’un contrôle de mathématiques

[enonce]
Les élèves d'un petit groupe de mathématiques ont passé un contrôle noté sur $20$. Le tableau ci-dessous donne les effectifs pour chaque note obtenue.

Note	5	7	10	12	14	16
Effectif	1	2	4	4	3	1

On souhaite étudier la réussite de ce groupe à l'aide de différents indicateurs statistiques.
[/enonce]

[etape]
Déterminer l'effectif total $N$ du groupe.
[[eff]]
[math id="eff" attendu="15"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$N = 1 + 2 + 4 + 4 + 3 + 1 = 15$ élèves.[/reponse]
[reponse motif="6"]Non.
$6$ est le nombre de notes différentes, pas le nombre d'élèves.
L'effectif total se lit sur la ligne des effectifs, pas sur celle du caractère.[/reponse]
[reponse motif="64"]Non.
$64 = 5+7+10+12+14+16$ : c'est la somme des notes possibles, pas des effectifs.
Les notes forment les valeurs du caractère, pas la population.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'effectif total est la somme des effectifs.[/reponse]
[aide essai="2"]Additionner tous les nombres figurant sur la ligne « Effectif ».[/aide]
[aide essai="3"]Sommer $1 + 2 + 4 + 4 + 3 + 1$.[/aide]
[/math]
[solution]$N = 1 + 2 + 4 + 4 + 3 + 1 = 15$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la moyenne du groupe à ce contrôle.
[[moy]]
[math id="moy" attendu="11"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\bar{x} = \dfrac{1 \times 5 + 2 \times 7 + 4 \times 10 + 4 \times 12 + 3 \times 14 + 1 \times 16}{15} = \dfrac{165}{15} = 11$.[/reponse]
[reponse motif="10,67"]Non.
Tu as calculé la moyenne des $6$ notes distinctes, sans pondérer par les effectifs.
Chaque note doit être multipliée par le nombre d'élèves qui l'ont obtenue.[/reponse]
[reponse motif="165"]Non.
$165$ est la somme pondérée $\sum n_i x_i$. Il reste une dernière opération à effectuer pour obtenir la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="64"]Non.
$64$ est la somme des notes distinctes. Il faut tenir compte de l'effectif de chaque note et diviser par l'effectif total.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une série avec effectifs, la moyenne pondérée tient compte du nombre d'élèves pour chaque note.[/reponse]
[aide essai="2"]Multiplier chaque note par son effectif, sommer, puis diviser par $N$.[/aide]
[aide essai="3"]Appliquer $\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}$ avec $N$ trouvé à l'étape précédente.[/aide]
[/math]
[solution]$\bar{x} = \dfrac{5 + 14 + 40 + 48 + 42 + 16}{15} = \dfrac{165}{15} = 11$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour déterminer la médiane, quelle méthode est correcte ici ?
[qcm]
[option]La médiane est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{15}{2}$ et $\dfrac{15}{2} + 1$ dans la série ordonnée.[/option]
[option correct="true"]La médiane est la valeur de rang $\dfrac{15 + 1}{2}$ dans la série ordonnée.[/option]
[option]La médiane est la valeur de rang $\dfrac{15}{2}$ dans la série ordonnée.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$N = 15$ est impair, donc la médiane est la valeur de rang $\dfrac{15+1}{2} = 8$.
Cette $8^\text{e}$ valeur laisse $7$ valeurs en dessous et $7$ au-dessus.[/reponse]
[reponse motif="La médiane est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{15}{2}$ et $\dfrac{15}{2} + 1$ dans la série ordonnée."]Non.
Cette formule concerne le cas où $N$ est pair. Or ici $N = 15$ est impair, donc une seule valeur occupe la position centrale.[/reponse]
[reponse motif="La médiane est la valeur de rang $\dfrac{15}{2}$ dans la série ordonnée."]Non.
$\dfrac{15}{2} = 7{,}5$ n'est pas un entier, donc ne peut pas être un rang. Pour $N$ impair, le rang central est bien entier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier la parité de $N$ : pour $N$ impair, une seule valeur occupe la position centrale.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
En déduire la médiane de la série.
[[med]]
[math id="med" attendu="12"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
En cumulant les effectifs : $1, 3, 7, 11, 14, 15$. Le rang $8$ tombe dans la plage $[8\,;\,11]$, qui correspond à la note $12$.[/reponse]
[reponse motif="11"]Non.
$11$ est la moyenne, pas la médiane. La médiane est une valeur effectivement obtenue par un élève du groupe.[/reponse]
[reponse motif="10"]Non.
Le rang $8$ ne se situe pas dans la plage des notes $10$. En cumulant : jusqu'à la note $10$, on atteint seulement le rang $7$.[/reponse]
[reponse motif="8"]Non.
$8$ est le rang de la médiane dans la série ordonnée, pas la médiane elle-même. Il faut lire la note occupant ce rang.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser les effectifs cumulés pour repérer à quelle note correspond le rang trouvé à l'étape précédente.[/reponse]
[aide essai="2"]Calculer les effectifs cumulés croissants de chaque note, puis repérer la plage contenant le rang cherché.[/aide]
[aide essai="3"]Cumuls : $1$ ; $1+2 = 3$ ; $3+4 = 7$ ; $7+4 = 11$. Le rang $8$ tombe entre $7+1$ et $11$, donc quelle note ?[/aide]
[/math]
[solution]Effectifs cumulés : $1, 3, 7, 11, 14, 15$. Le rang $8$ est dans $[8\,;\,11]$, donc la médiane est $12$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer l'étendue de la série.
[[et]]
[math id="et" attendu="11"]
[reponse statut="correct"]Parfait !
L'étendue est $16 - 5 = 11$ points.[/reponse]
[reponse motif="16"]Non.
$16$ est la plus grande note, pas l'étendue. L'étendue compare les deux valeurs extrêmes.[/reponse]
[reponse motif="5"]Non.
$5$ est la plus petite note, pas l'étendue.[/reponse]
[reponse motif="21"]Non.
$21 = 16 + 5$. L'étendue est une différence, pas une somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.[/reponse]
[aide essai="2"]Repérer la plus petite et la plus grande note du tableau, puis calculer leur différence.[/aide]
[aide essai="3"]Étendue $= x_{\max} - x_{\min}$ : identifier ces deux valeurs sur la ligne des notes.[/aide]
[/math]
[solution]Étendue $= 16 - 5 = 11$.[/solution]
[/etape]

QCM : Moyennes et linéarité

[enonce]
Ce QCM porte sur la moyenne pondérée et la linéarité de la moyenne. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère la série statistique suivante :

Valeur	$2$	$3$	$5$	$7$	$10$
Effectif	$4$	$6$	$3$	$5$	$2$

Quelle est la moyenne de cette série ?
[qcm]
[option]$5{,}4$[/option]
[option correct="true"]$4{,}8$[/option]
[option]$19{,}2$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'effectif total est $N = 4 + 6 + 3 + 5 + 2 = 20$.
$\bar{x} = \dfrac{2 \times 4 + 3 \times 6 + 5 \times 3 + 7 \times 5 + 10 \times 2}{20} = \dfrac{8 + 18 + 15 + 35 + 20}{20} = \dfrac{96}{20} = 4{,}8$[/reponse]
[reponse motif="$5{,}4$"]Non.
$5{,}4 = \dfrac{2 + 3 + 5 + 7 + 10}{5}$. Ce calcul ignore les effectifs : chaque valeur n'apparaît pas une seule fois. Il faut calculer la moyenne pondérée par les effectifs.[/reponse]
[reponse motif="$19{,}2$"]Non.
$19{,}2 = \dfrac{96}{5}$. Le numérateur est correct, mais le dénominateur est le nombre de valeurs distinctes. Il faut diviser par l'effectif total $N$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3$ est la valeur qui a le plus grand effectif (le mode). Le mode et la moyenne sont deux indicateurs différents : ne pas les confondre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par l'effectif total $N = 20$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un professeur a calculé une moyenne de $11{,}5$ à un contrôle. Pour harmoniser les notes, il décide d'ajouter $1{,}5$ point à chaque copie.
Quelle est la nouvelle moyenne ?
[qcm]
[option]$10$[/option]
[option]$1{,}5$[/option]
[option correct="true"]$13$[/option]
[option]$17{,}25$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
D'après la linéarité de la moyenne, si on ajoute la même constante à toutes les valeurs, la moyenne augmente d'autant :
$\bar{x}' = 11{,}5 + 1{,}5 = 13$[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10 = 11{,}5 - 1{,}5$. Attention au signe : le professeur ajoute des points, la moyenne augmente, elle ne diminue pas.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$"]Non.
$1{,}5$ est la valeur ajoutée à chaque copie, pas la nouvelle moyenne. Il faut additionner cette valeur à la moyenne initiale.[/reponse]
[reponse motif="$17{,}25$"]Non.
$17{,}25 = 11{,}5 \times 1{,}5$. On n'a pas multiplié les notes : on a ajouté une constante. La linéarité donne alors $\bar{x} + b$, pas $\bar{x} \times b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Ajouter une constante $b$ à toutes les valeurs augmente la moyenne de cette même constante $b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La moyenne des notes d'une classe à un contrôle sur $20$ est $\bar{x} = 12$. Le professeur convertit toutes les notes sur $10$ (il divise chaque note par $2$).
Quelle est la nouvelle moyenne ?
[qcm]
[option correct="true"]$6$[/option]
[option]$10$[/option]
[option]$24$[/option]
[option]$12$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par linéarité de la moyenne, multiplier toutes les valeurs par $a = \dfrac{1}{2}$ multiplie la moyenne par $a$ :
$\bar{x}' = \dfrac{12}{2} = 6$[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10 = 12 - 2$. On ne soustrait pas $2$ : on divise par $2$. La linéarité avec $a = \dfrac{1}{2}$ donne $\bar{x}' = \dfrac{1}{2} \bar{x}$, pas $\bar{x} - 2$.[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
$24 = 12 \times 2$. Attention au sens : passer de $/20$ à $/10$ consiste à diviser les notes par $2$, pas à les multiplier.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
La moyenne change lorsqu'on modifie toutes les valeurs : ici chacune est divisée par $2$. La nouvelle moyenne ne peut pas rester identique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier toutes les valeurs par un facteur $a$ multiplie la moyenne par ce même facteur. Ici $a = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On a mesuré la durée (en minutes) consacrée aux devoirs par $20$ élèves et on a regroupé les données en classes :

Durée (min)	$[0\,;\,10[$	$[10\,;\,20[$	$[20\,;\,30[$	$[30\,;\,40[$
Effectif	$5$	$8$	$4$	$3$

Quelle est la valeur approchée de la moyenne ?
[qcm]
[option]$12{,}5$[/option]
[option]$20$[/option]
[option correct="true"]$17{,}5$[/option]
[option]$22{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On remplace chaque classe par son centre : $5$ ; $15$ ; $25$ ; $35$.
$\bar{x} \approx \dfrac{5 \times 5 + 15 \times 8 + 25 \times 4 + 35 \times 3}{20} = \dfrac{25 + 120 + 100 + 105}{20} = \dfrac{350}{20} = 17{,}5$ min[/reponse]
[reponse motif="$12{,}5$"]Non.
$12{,}5$ s'obtient en prenant les bornes inférieures des classes ($0$ ; $10$ ; $20$ ; $30$) au lieu des centres. Utiliser le centre de chaque classe.[/reponse]
[reponse motif="$20$"]Non.
$20 = \dfrac{5 + 15 + 25 + 35}{4}$ est la moyenne des centres sans tenir compte des effectifs. La moyenne est pondérée par les effectifs de chaque classe.[/reponse]
[reponse motif="$22{,}5$"]Non.
$22{,}5$ s'obtient en prenant les bornes supérieures des classes ($10$ ; $20$ ; $30$ ; $40$). Pour approcher la moyenne, on utilise le centre de chaque classe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une série regroupée en classes, on remplace chaque classe par son centre (moyenne des deux bornes), puis on calcule la moyenne pondérée par les effectifs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une classe de $25$ élèves a une moyenne de $12$ à un contrôle.
Quelle est la somme totale des notes de la classe ?
[qcm]
[option]$37$[/option]
[option]$25$[/option]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$300$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par définition de la moyenne, $\bar{x} = \dfrac{\text{somme des notes}}{N}$, donc la somme vaut $\bar{x} \times N$ :
$12 \times 25 = 300$[/reponse]
[reponse motif="$37$"]Non.
$37 = 12 + 25$. La moyenne et l'effectif ne s'additionnent pas. Repartir de la définition $\bar{x} = \dfrac{\text{somme}}{N}$ pour exprimer la somme en fonction de $\bar{x}$ et $N$.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
$25$ est l'effectif de la classe, pas la somme des notes. Combiner la moyenne et l'effectif à l'aide de la définition de la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ est la moyenne, c'est-à-dire la somme divisée par l'effectif. La somme totale est donc bien plus grande.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Partir de la définition : $\bar{x} = \dfrac{\text{somme des notes}}{N}$. Isoler la somme permet d'exprimer le résultat en fonction de la moyenne et de l'effectif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un magasin, la moyenne des prix d'un rayon est de $50$ €. Après une hausse uniforme de $8\%$ sur tous les articles, quelle est la nouvelle moyenne ?
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option]$58$[/option]
[option correct="true"]$54$[/option]
[option]$50$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Appliquer une hausse de $8\%$ revient à multiplier chaque prix par $1{,}08$. Par linéarité :
$\bar{x}' = 1{,}08 \times 50 = 54$ €[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4 = 8\%$ de $50$ : c'est la hausse moyenne, pas la nouvelle moyenne. Il faut ajouter cette hausse à la moyenne initiale.[/reponse]
[reponse motif="$58$"]Non.
$58 = 50 + 8$. Attention : $8$ est un pourcentage, pas un montant en euros. Il faut d'abord calculer $8\%$ de $50$, puis l'ajouter.[/reponse]
[reponse motif="$50$"]Non.
Appliquer une hausse uniforme modifie tous les prix, donc la moyenne change également. Utiliser la linéarité avec le coefficient multiplicatif $1{,}08$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une hausse de $8\%$ correspond à une multiplication par $1{,}08$. La nouvelle moyenne s'obtient en multipliant la moyenne initiale par ce coefficient.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Moyennes et moyennes pondérées

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les moyennes et les moyennes pondérées, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La somme des fréquences d'une série statistique est toujours égale à $1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Chaque fréquence vaut $f_i = \dfrac{n_i}{N}$ : leur somme vaut $\dfrac{n_1 + n_2 + \dots + n_p}{N} = \dfrac{N}{N} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention à ne pas confondre fréquence et effectif. La somme des effectifs vaut $N$ (l'effectif total), mais la somme des fréquences vaut toujours $1$ (ou $100\,\%$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par définition, $f_i = \dfrac{n_i}{N}$ donc $\sum f_i = \dfrac{\sum n_i}{N} = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour la série de valeurs $3\,;\,5\,;\,7$, la moyenne vaut $5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le calcul donne $\dfrac{3 + 5 + 7}{3} = \dfrac{15}{3} = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand les trois valeurs ont chacune un effectif de $1$, la moyenne est simplement la somme divisée par le nombre de valeurs : $\dfrac{3 + 5 + 7}{3} = 5$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La moyenne vaut $\dfrac{3 + 5 + 7}{3} = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la série où la valeur $4$ a un effectif de $2$ et la valeur $10$ a un effectif de $3$.

Affirmation : La moyenne de cette série vaut $7$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Il faut pondérer par les effectifs : $\bar{x} = \dfrac{2 \times 4 + 3 \times 10}{2 + 3} = \dfrac{38}{5} = 7{,}6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de calculer $\dfrac{4 + 10}{2} = 7$, ce qui revient à ignorer les effectifs.
Avec les effectifs : $\bar{x} = \dfrac{2 \times 4 + 3 \times 10}{5} = \dfrac{38}{5} = 7{,}6$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La moyenne pondérée vaut $\dfrac{2 \times 4 + 3 \times 10}{5} = 7{,}6$, et non $7$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour une série regroupée en classes, le calcul utilisant les centres de classes donne la valeur exacte de la moyenne.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Dans une série regroupée en classes, on ne connaît plus les valeurs individuelles. Remplacer chaque classe par son centre donne seulement une valeur approchée de la moyenne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : lorsqu'on regroupe les données en classes, on perd la précision sur chaque valeur. Le centre de classe n'est qu'un représentant, donc la moyenne obtenue est approchée et non exacte.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le calcul avec les centres de classes fournit une valeur approchée de la moyenne, jamais la valeur exacte.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'effectif cumulé croissant de la dernière valeur d'une série est égal à l'effectif total $N$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'ECC de la dernière valeur cumule tous les effectifs précédents, ce qui donne exactement $N$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Par définition, l'ECC d'une valeur est la somme de tous les effectifs des valeurs inférieures ou égales. Pour la dernière valeur, on cumule donc la totalité des effectifs : on retrouve $N$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'effectif cumulé croissant de la dernière valeur est toujours $N$.
[/solution]
[/etape]

Moyenne d’une classe et bonus de points

Dans une classe de Seconde, les élèves sont répartis en trois groupes de travaux pratiques. À l'issue d'un devoir commun, les résultats sont les suivants :

Groupe	A	B	C
Effectif	10	12	8
Moyenne sur 20	11	8,5	14

Calculer l'effectif total de la classe.
Montrer que la moyenne de la classe au devoir est $\bar{x} = 10{,}8$.
L'enseignant décide d'accorder $2$ points de bonus à chaque élève de la classe. Sans refaire tout le calcul, déterminer la nouvelle moyenne de la classe.
L'écart-type des notes avant bonus vaut environ $s \approx 2{,}3$. Que vaut l'écart-type des notes après l'ajout du bonus ? Justifier.
Un nouvel élève intègre le groupe B. La moyenne de ce groupe passe alors de $8{,}5$ à $8{,}6$ (avant bonus). Quelle note a obtenu ce nouvel élève à ce même devoir ?

Corrigé

L'effectif total de la classe est :
$N = 10 + 12 + 8$ = $30$ élèves.
La moyenne de la classe est la moyenne pondérée des moyennes de chaque groupe :
$\bar{x} = \dfrac{10 \times 11 + 12 \times 8{,}5 + 8 \times 14}{30}$
$\bar{x} = \dfrac{110 + 102 + 112}{30} = \dfrac{324}{30} = 10{,}8$
La moyenne de la classe est bien $\bar{x} = 10{,}8$.
Ajouter $2$ points à chaque note revient à passer de la série $(x_i)$ à la série $(x_i + 2)$. D'après la linéarité de la moyenne, la nouvelle moyenne est :
$\bar{x}' = \bar{x} + 2 = 10{,}8 + 2$ = $\mathbf{12{,}8}$.
Ajouter une même constante à toutes les valeurs d'une série ne modifie pas la dispersion des valeurs autour de la moyenne : chaque note et la moyenne augmentent de la même quantité, donc les écarts à la moyenne sont inchangés.
L'écart-type reste égal à $s \approx 2{,}3$.
Avant l'arrivée du nouvel élève, la somme des notes du groupe B est :
$S = 12 \times 8{,}5 = 102$

Après son arrivée, le groupe compte $13$ élèves et sa moyenne vaut $8{,}6$. La nouvelle somme des notes est donc :
$S' = 13 \times 8{,}6 = 111{,}8$

La note du nouvel élève est la différence :
$n = S' - S = 111{,}8 - 102$ = $\mathbf{9{,}8}$.

→ Pour réviser : Calculer la variance et l'écart type à la calculatrice

Contrôle qualité : comparer deux machines

Un atelier fabrique des vis de longueur théorique $40$ mm. Deux machines M$_1$ et M$_2$ sont en fonctionnement simultané. Pour vérifier leur réglage, on prélève un échantillon de $20$ vis sur chacune des deux machines et on mesure leur longueur (en mm).

Échantillon de la machine M$_1$ :

Longueur (en mm)	39	39,5	40	40,5	41
Effectif	2	4	8	4	2

Échantillon de la machine M$_2$ :

Longueur (en mm)	38	39	40	41	42
Effectif	3	4	6	4	3

Pour l'échantillon issu de la machine M$_1$ :
1. Calculer la longueur moyenne $\bar{x}_1$.
2. Calculer la variance, puis l'écart-type $s_1$ (arrondi au centième).
Pour l'échantillon issu de la machine M$_2$ :
1. Calculer la longueur moyenne $\bar{x}_2$.
2. Calculer la variance, puis l'écart-type $s_2$ (arrondi au centième).
Comparer les deux machines à l'aide de la moyenne puis de l'écart-type. Laquelle des deux machines est la plus précise ? Justifier.
Le cahier des charges de l'atelier impose que chaque vis mesure entre $39$ mm et $41$ mm (bornes incluses). Pour chaque machine, déterminer le pourcentage de vis conformes dans l'échantillon.
En déduire laquelle des deux machines respecte le cahier des charges.

Corrigé

1. La longueur moyenne de l'échantillon de M$_1$ est :
  $\bar{x}_1 = \dfrac{2 \times 39 + 4 \times 39{,}5 + 8 \times 40 + 4 \times 40{,}5 + 2 \times 41}{20}$
  $\bar{x}_1 = \dfrac{78 + 158 + 320 + 162 + 82}{20} = \dfrac{800}{20} = 40$
  La longueur moyenne pour M$_1$ est $\bar{x}_1 = 40$ mm.
2. La variance est la moyenne pondérée des carrés des écarts à la moyenne :
  $V_1 = \dfrac{2 \times (39 - 40)^2 + 4 \times (39{,}5 - 40)^2 + \dots + 2 \times (41 - 40)^2}{20}$
  $V_1 = \dfrac{2 \times 1 + 4 \times 0{,}25 + 8 \times 0 + 4 \times 0{,}25 + 2 \times 1}{20} = \dfrac{6}{20} = 0{,}3$
  
  L'écart-type est :
  $s_1 = \sqrt{V_1} = \sqrt{0{,}3}$ ≈ $0{,}55$ mm.
1. La longueur moyenne de l'échantillon de M$_2$ est :
  $\bar{x}_2 = \dfrac{3 \times 38 + 4 \times 39 + 6 \times 40 + 4 \times 41 + 3 \times 42}{20}$
  $\bar{x}_2 = \dfrac{114 + 156 + 240 + 164 + 126}{20} = \dfrac{800}{20} = 40$
  La longueur moyenne pour M$_2$ est $\bar{x}_2 = 40$ mm.
2. La variance est :
  $V_2 = \dfrac{3 \times (38 - 40)^2 + 4 \times (39 - 40)^2 + \dots + 3 \times (42 - 40)^2}{20}$
  $V_2 = \dfrac{3 \times 4 + 4 \times 1 + 6 \times 0 + 4 \times 1 + 3 \times 4}{20} = \dfrac{32}{20} = 1{,}6$
  
  L'écart-type est :
  $s_2 = \sqrt{V_2} = \sqrt{1{,}6}$ ≈ $1{,}26$ mm.
Les deux machines produisent des vis dont la longueur moyenne est identique : $\bar{x}_1 = \bar{x}_2 = 40$ mm. Elles sont donc bien réglées en moyenne.

En revanche, leurs écarts-types sont très différents : $s_1 \approx 0{,}55$ mm alors que $s_2 \approx 1{,}26$ mm. L'écart-type de M$_1$ est plus de deux fois plus petit que celui de M$_2$ : les longueurs des vis produites par M$_1$ sont donc beaucoup moins dispersées autour de la moyenne.
La machine M$_1$ est la plus précise.
On dénombre les vis dont la longueur appartient à $[39\,;\,41]$ :

Pour M$_1$, toutes les valeurs ($39$ ; $39{,}5$ ; $40$ ; $40{,}5$ ; $41$) sont comprises entre $39$ et $41$. Le nombre de vis conformes est :
$2 + 4 + 8 + 4 + 2 = 20$
soit $\dfrac{20}{20} = 1$ = $\mathbf{100\,\%}$ de vis conformes.

Pour M$_2$, les valeurs $38$ et $42$ sont hors intervalle ; les valeurs $39$, $40$ et $41$ sont conformes. Le nombre de vis conformes est :
$4 + 6 + 4 = 14$
soit $\dfrac{14}{20} = 0{,}7$ = $\mathbf{70\,\%}$ de vis conformes.
Seule la machine M$_1$ produit $100\,\%$ de vis conformes au cahier des charges, contre seulement $70\,\%$ pour M$_2$.
La machine M$_1$ respecte le cahier des charges, pas la machine M$_2$.

→ Pour réviser : Calculer la variance et l'écart type à la calculatrice

Températures matinales d’automne

Un passionné de météo relève chaque matin à 8 heures la température (en °C) dans son jardin pendant 20 jours d'automne. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Température (en °C)	8	9	10	11	12	13	14
Effectif	1	3	4	5	4	2	1

Vérifier que l'effectif total est bien $N = 20$.
Calculer la température moyenne sur cette période.
Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat.
Calculer l'étendue de cette série.

Corrigé

L'effectif total est :
$N = 1 + 3 + 4 + 5 + 4 + 2 + 1 = 20$
La température moyenne est la moyenne pondérée des valeurs :
$\bar{x} = \dfrac{1 \times 8 + 3 \times 9 + 4 \times 10 + 5 \times 11 + 4 \times 12 + 2 \times 13 + 1 \times 14}{20}$
$\bar{x} = \dfrac{8 + 27 + 40 + 55 + 48 + 26 + 14}{20} = \dfrac{218}{20} = 10{,}9$
La température moyenne sur cette période est $10{,}9$ °C.
L'effectif $N = 20$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2} = 10$ et $\dfrac{N}{2} + 1 = 11$.

On calcule les effectifs cumulés croissants :

Température (en °C) 8 9 10 11 12 13 14

Effectif cumulé croissant 1 4 8 13 17 19 20

La $10$e valeur et la $11$e valeur se situent toutes les deux dans la colonne de la température $11$ °C (car l'effectif cumulé passe de $8$ à $13$).
La médiane est donc :
$\text{Me} = \dfrac{11 + 11}{2} = 11$
La médiane est $11$ °C. Cela signifie qu'au cours de ces 20 jours, la moitié des températures matinales étaient inférieures ou égales à $11$ °C et l'autre moitié supérieures ou égales à $11$ °C.
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :
$e = 14 - 8$ = $6$ °C.

→ Pour réviser : Calculer une moyenne pondérée

Salaires : Regroupement en classes

On a relevé les salaires mensuels des 50 employés d'une entreprise A.

Les résultats en milliers d'euros sont présentés dans le tableau ci-dessous :

1,52	2,01	1,90	1,43	2,50	1,90	1,88	3,40	2,99	1,90
2,05	1,85	3,05	1,70	1,83	2,60	1,99	2,88	2,40	1,99
1,63	1,70	1,79	1,88	2,45	2,93	1,55	2,05	2,70	2,83
2,88	3,10	2,49	1,40	1,79	1,69	2,84	2,15	2,63	1,56
1,48	2,63	1,70	2,79	1,84	2,45	2,33	2,55	2,05	1,70

On souhaite comparer ces salaires à ceux des 32 employés d'une entreprise B, recensés dans le tableau suivant :

1,93	1,72	1,69	1,78	1,45	2,53	2,55	2,03
2,91	2,90	2,43	2,50	1,90	1,98	3,10	1,92
2,15	2,05	2,70	2,83	2,60	1,97	1,88	2,41
2,87	2,10	2,40	1,79	1,49	1,84	2,15	1,56

Calculer le salaire moyen dans chacune de ces deux entreprises.
On décide de regrouper ces données en classes de 0,5 milliers d'euros d'amplitude, en débutant par l'intervalle [1 ; 1,5[.

Construire le tableau des effectifs regroupés en classes pour ces deux entreprises.
Pour chacune des entreprises A et B, établir le tableau des fréquences (regroupées en classes) puis construire l'histogramme de ces deux séries sur le même graphique.
Utiliser les questions précédentes pour comparer les salaires des employés des entreprises A et B.

Corrigé

Calcul du salaire moyen dans chacune de ces deux entreprises

La moyenne $ \bar{x} $ est donnée par la somme de tous les salaires divisée par l'effectif total.
Entreprise A ($E_A$) :

$ \bar{x}_A = \dfrac{109{,}33}{50} = 2{,}1866 $

Le salaire moyen dans l'entreprise A est de 2,1866 milliers d'euros, soit 2186,60 €.
Entreprise B ($E_B$) :

$ \bar{x}_B = \dfrac{70{,}11}{32} \approx 2{,}1909 $

Le salaire moyen dans l'entreprise B est d'environ 2,191 milliers d'euros, soit 2191 €.

Tableau des effectifs regroupés en classes

Salaires (en k€)	[1 ; 1,5[	[1,5 ; 2[	[2 ; 2,5[	[2,5 ; 3[	[3 ; 3,5[	Total
Effectif $E_A$	3	21	10	13	3	50
ECC $E_A$	3	24	34	47	50
Effectif $E_B$	2	12	8	9	1	32
ECC $E_B$	2	14	22	31	32

Tableau des fréquences

La fréquence est calculée par : $ f = \dfrac{n_i}{N} \times 100 $.

Salaires (en k€)	[1 ; 1,5[	[1,5 ; 2[	[2 ; 2,5[	[2,5 ; 3[	[3 ; 3,5[
Fréquence $E_A$ (%)	6	42	20	26	6
Fréquence $E_B$ (%)	6,25	37,5	25	28,125	3,125

Histogramme des fréquences des salaires :

Comparaison des salaires
- Moyenne : Les deux entreprises présentent un salaire moyen très proche (écart de seulement 4,40 €).
- Classe modale : Elle est identique pour les deux entreprises : [1,5 ; 2[. C'est là que se concentre le plus d'employés (42 % pour $E_A$ et 37,5 % pour $E_B$).
- Médiane : Elle se situe dans la classe [2 ; 2,5[ pour les deux séries.
  - Médiane de $E_A$ : L'individu médian est le 25-ième. Par interpolation linéaire : $ 2 + \dfrac{25 - 24}{10} \times 0{,}5 = 2{,}05 $, soit 2050 €.
  - Médiane de $E_B$ : L'individu médian est le 16-ième. Par interpolation linéaire : $ 2 + \dfrac{16 - 14}{8} \times 0{,}5 = 2{,}125 $, soit 2125 €.
  L'écart entre les deux médianes est de 75 €.
- Étendue :
  - Pour $E_A$ : $ 3{,}40 - 1{,}40 = 2{,}00 $, soit 2000 €.
  - Pour $E_B$ : $ 3{,}10 - 1{,}45 = 1{,}65 $, soit 1650 €.
  La disparité est plus forte dans l'entreprise A.
En conclusion :
Les différences salariales sont peu significatives. L'évolution est homogène, bien que les salaires de l'entreprise B soient plus centrés autour de la moyenne. Enfin, l'entreprise A compte deux fois plus de hauts salaires (classe [3 ; 3,5[).

Statistiques : Salaire médian – quartiles

La grille des salaires des employés d'une PME est données par le tableau ci-dessous :

Catégorie	Ouvrier simple	Ouvrier qualifié	Cadre moyen	Cadre supérieur	Dirigeant
Effectif	40	19	12	8	1
Salaire en euros	950	1300	1700	3500	8000

Quel est l'effectif total de l'entreprise ? Calculer le salaire moyen.
Quel est le salaire médian pour cette entreprise.
Quels sont les premier et troisième quartiles ?

Corrigé

L'effectif total est :
$ N = 40 + 19 + 12 + 8 + 1 = 80 $
Le salaire moyen s'obtient en faisant la moyenne pondérée des salaires :
$ m = \dfrac{40 \times 950 + 19 \times 1300 + 12 \times 1700 + 8 \times 3500 + 1 \times 8000}{80} = 1488{,}75 $
Le salaire moyen est donc de $1488{,}75$ euros.
L'effectif étant pair, le salaire médian est la moyenne des salaires de l'employé de rang $\dfrac{N}{2}$ et de l'employé de rang $\dfrac{N}{2} + 1$.
Il s'agit ici des 40e et 41e employés. Le 40e employé est un ouvrier simple et le 41e est un ouvrier qualifié.
Le salaire médian est donc :
$ M = \dfrac{950 + 1300}{2} = 1125 $ euros
Pour déterminer les quartiles, on divise l'effectif total par $4$ : $80 \div 4 = 20$.
Le premier quartile est le salaire du 20e employé, donc $Q_1 = 950$ euros.
Le troisième quartile est le salaire du 60e employé (cadre moyen), donc $Q_3 = 1700$ euros.

Température (en °C)	8	9	10	11	12	13	14
Effectif cumulé croissant	1	4	8	13	17	19	20