[enonce]
On considère un triangle $ABC$ tel que $AB = 6$ cm, $BC = 12$ cm et $AC = 9$ cm.
On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $D$ le point de $[AC]$ tel que $\widehat{AID} = \widehat{ACB}$.

Calculer les longueurs $AD$ et $ID$, puis le rapport $\dfrac{\text{Aire}(AID)}{\text{Aire}(ACB)}$.
[/enonce]

[etape]
Pourquoi les triangles $AID$ et $ACB$ sont-ils semblables ?
[qcm]
[option correct="true"]Ils ont l'angle en $A$ commun et $\widehat{AID} = \widehat{ACB}$ (hypothèse) : deux paires d'angles égaux[/option]
[option]Leurs côtés sont proportionnels[/option]
[option]Ils sont tous les deux rectangles[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'angle $\widehat{DAI}$ est commun aux deux triangles (c'est l'angle en $A$). De plus, $\widehat{AID} = \widehat{ACB}$ par hypothèse. Deux paires d'angles égaux suffisent : les triangles $AID$ et $ACB$ sont semblables (1er cas de similitude).[/reponse]
[reponse motif="Leurs côtés sont proportionnels"]On ne connaît pas encore $AD$ et $ID$. On ne peut pas vérifier la proportionnalité avant d'avoir démontré la similitude.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont tous les deux rectangles"]Rien dans l'énoncé n'indique que ces triangles sont rectangles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Chercher deux paires d'angles égaux entre les triangles $AID$ et $ACB$. L'un des angles est partagé par les deux triangles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer le coefficient de similitude $k$ pour passer du triangle $ACB$ au triangle $AID$. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[k]]
[math id="k" attendu="\dfrac{1}{3}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les correspondances sont $A \leftrightarrow A$, $I \leftrightarrow C$, $D \leftrightarrow B$.
$k = \dfrac{AI}{AC} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="3"]$k = 3$ correspondrait au passage du petit triangle vers le grand. Pour passer de $ACB$ (grand) à $AID$ (petit), c'est l'inverse : $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{2}"]$\dfrac{1}{2}$ serait le rapport $\dfrac{AI}{AB}$. Mais le côté homologue de $AI$ dans le triangle $ACB$ est $AC$, pas $AB$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Identifier les côtés homologues. L'angle en $A$ est commun et $\widehat{AID} = \widehat{ACB}$, donc $I \leftrightarrow C$. Le côté $AI$ est homologue au côté $AC$.[/reponse]
[aide essai="2"]$I \leftrightarrow C$ (même angle), donc $k = \dfrac{AI}{AC}$. $I$ est le milieu de $[AB]$, donc $AI = 3$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = \dfrac{AI}{AC} = \dfrac{3}{9}$. Simplifier.[/aide]
[/math]
[solution]
$k = \dfrac{AI}{AC} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire la longueur $AD$ : [[ad]]
[math id="ad" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$D \leftrightarrow B$, donc $\dfrac{AD}{AB} = k$, soit $AD = \dfrac{1}{3} \times 6 = 2$ cm.[/reponse]
[reponse motif="3"]Attention, $AD = k \times AB = \dfrac{1}{3} \times 6$, pas $\dfrac{1}{3} \times 9$. Le côté homologue de $AD$ est $AB$, pas $AC$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$AD$ est homologue à $AB$, donc $AD = k \times AB$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{AD}{AB} = k$, donc $AD = k \times AB$.[/aide]
[aide essai="3"]$AD = \dfrac{1}{3} \times 6 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$AD = k \times AB = \dfrac{1}{3} \times 6 = 2$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $ID$ : [[did]]
[math id="did" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$ID$ est homologue à $CB$, donc $\dfrac{ID}{CB} = k$, soit $ID = \dfrac{1}{3} \times 12 = 4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="2"]Vérifier quel côté est homologue à $ID$. Comme $I \leftrightarrow C$ et $D \leftrightarrow B$, le côté $ID$ est homologue au côté $CB = 12$, pas à $AB = 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$I \leftrightarrow C$ et $D \leftrightarrow B$, donc $ID$ est homologue à $CB$. Utiliser $ID = k \times CB$.[/reponse]
[aide essai="2"]$I \leftrightarrow C$ et $D \leftrightarrow B$, donc $ID$ est homologue à $CB = 12$.[/aide]
[aide essai="3"]$ID = \dfrac{1}{3} \times 12 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$ID = k \times CB = \dfrac{1}{3} \times 12 = 4$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le rapport des aires $\dfrac{\text{Aire}(AID)}{\text{Aire}(ACB)}$. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[raire]]
[math id="raire" attendu="\dfrac{1}{9}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le rapport des aires est le carré du coefficient de similitude :

L'aire du triangle $AID$ est $9$ fois plus petite que celle du triangle $ACB$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{3}"]Le rapport des aires est $k^2$, pas $k$. Il faut mettre $\dfrac{1}{3}$ au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le rapport des aires de deux triangles semblables est le carré du coefficient de similitude : $k^2$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le rapport des aires est $k^2$ pour des triangles semblables.[/aide]
[aide essai="3"]$k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{\text{Aire}(AID)}{\text{Aire}(ACB)} = k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $E$. On sait que $(AB) \parallel (CD)$.
On donne : $EA = 4$ cm, $EB = 3$ cm, $EC = 6$ cm et $AB = 5$ cm.

L'aire du triangle $ABE$ est $4$ cm². Calculer $ED$, $CD$ et l'aire du triangle $CDE$.
[/enonce]

[etape]
Pourquoi les triangles $ABE$ et $CDE$ sont-ils semblables ?
[qcm]
[option correct="true"]Les angles $\widehat{AEB}$ et $\widehat{CED}$ sont opposés par le sommet, et les angles $\widehat{BAE}$ et $\widehat{DCE}$ sont alternes-internes car $(AB) \parallel (CD)$[/option]
[option]Les côtés des deux triangles sont proportionnels[/option]
[option]Les deux triangles ont un angle droit en $E$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les angles $\widehat{AEB}$ et $\widehat{CED}$ sont égaux (opposés par le sommet en $E$). Comme $(AB) \parallel (CD)$, les angles $\widehat{BAE}$ et $\widehat{DCE}$ sont alternes-internes, donc égaux. Deux paires d'angles égaux suffisent : les triangles sont semblables.[/reponse]
[reponse motif="Les côtés des deux triangles sont proportionnels"]On ne connaît pas encore $ED$ et $CD$, donc on ne peut pas vérifier la proportionnalité. Il faut d'abord justifier la similitude par les angles.[/reponse]
[reponse motif="Les deux triangles ont un angle droit en $E$"]Rien n'indique que l'angle en $E$ est droit. Les droites se coupent en $E$ sans former nécessairement un angle droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Observer les angles en $E$ (que dire de deux angles opposés par le sommet ?) et les angles formés par les parallèles $(AB)$ et $(CD)$ coupées par la sécante $(AC)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $ABE$ et $CDE$ sont semblables. Quel sommet du triangle $CDE$ est homologue du sommet $A$ ?
[[homologue]]
[select id="homologue"]
[option correct="true"]$C$[/option]
[option]$D$[/option]
[option]$E$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\widehat{BAE} = \widehat{DCE}$ (alternes-internes), donc $A$ et $C$ portent des angles égaux : ils sont homologues. De même $B \leftrightarrow D$, et $E \leftrightarrow E$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le sommet homologue est celui qui porte l'angle égal. Quel angle du triangle $CDE$ est égal à l'angle en $A$ du triangle $ABE$ ?[/reponse]
[aide essai="2"]$\widehat{BAE} = \widehat{DCE}$ (angles alternes-internes). Les sommets portant ces angles sont homologues.[/aide]
[aide essai="3"]L'angle en $A$ est égal à l'angle en $C$, donc $A \leftrightarrow C$.[/aide]
[/select]
[/etape]

[etape]
Calculer le coefficient de similitude $k$ pour passer du triangle $ABE$ au triangle $CDE$. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[k]]
[math id="k" attendu="\dfrac{3}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les correspondances sont $A \leftrightarrow C$ et $E \leftrightarrow E$, donc :
$k = \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{2}{3}"]Attention au sens : pour passer de $ABE$ à $CDE$, on divise le côté de $CDE$ par le côté homologue de $ABE$, soit $\dfrac{EC}{EA}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$k = \dfrac{\text{côté de } CDE}{\text{côté homologue de } ABE}$. Utiliser les côtés $EC$ et $EA$.[/reponse]
[aide essai="2"]$A \leftrightarrow C$ et $E \leftrightarrow E$, donc le côté $EA$ de $ABE$ est homologue au côté $EC$ de $CDE$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{6}{4}$. Simplifier.[/aide]
[/math]
[solution]
$k = \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire la longueur $ED$ : [[ed]]
[math id="ed" attendu="\dfrac{9}{2}"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$B \leftrightarrow D$ et $E \leftrightarrow E$, donc $\dfrac{ED}{EB} = k$, soit $ED = \dfrac{3}{2} \times 3 = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="2"]Attention, $\dfrac{EB}{k} = \dfrac{3}{\dfrac{3}{2}} = 2$ : c'est le calcul inverse. Il faut multiplier $EB$ par $k$, car $CDE$ est le plus grand triangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$ED$ est homologue à $EB$, donc $ED = k \times EB$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{ED}{EB} = k$, donc $ED = k \times EB$.[/aide]
[aide essai="3"]$ED = \dfrac{3}{2} \times 3 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$ED = k \times EB = \dfrac{3}{2} \times 3 = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $CD$ : [[cd]]
[math id="cd" attendu="\dfrac{15}{2}"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$AB$ et $CD$ sont des côtés homologues, donc $\dfrac{CD}{AB} = k$, soit $CD = \dfrac{3}{2} \times 5 = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{10}{3}"]C'est le calcul avec le rapport inversé. Pour passer de $ABE$ à $CDE$, on multiplie par $k = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$CD$ est homologue à $AB$, donc $CD = k \times AB$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{CD}{AB} = k$, donc $CD = k \times AB$.[/aide]
[aide essai="3"]$CD = \dfrac{3}{2} \times 5 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$CD = k \times AB = \dfrac{3}{2} \times 5 = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
L'aire du triangle $ABE$ est $4$ cm². Calculer l'aire du triangle $CDE$ : [[aire]]
[math id="aire" attendu="9"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le rapport des aires est $k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$.

[/reponse]
[reponse motif="6"]$6 = \dfrac{3}{2} \times 4$ : attention, le rapport des aires est $k^2$, pas $k$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le rapport des aires de deux triangles semblables est le carré du coefficient de similitude : $k^2$. Multiplier l'aire de $ABE$ par $k^2$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le rapport des aires est $k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$.[/aide]
[aide essai="3"]$k^2 = \dfrac{9}{4}$, donc $\text{Aire}(CDE) = \dfrac{9}{4} \times 4 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$\text{Aire}(CDE) = k^2 \times \text{Aire}(ABE) = \dfrac{9}{4} \times 4 = 9$ cm².
[/solution]
[/etape]

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB = 6$ cm et $BC = 10$ cm. Le point $M$ est sur le segment $[BC]$ tel que $BM = 4$ cm. La droite $(AM)$ coupe la droite $(DC)$ en $E$.

1. Démontrer que les triangles $ABM$ et $ECM$ sont semblables.
2. Calculer le coefficient de similitude pour passer de $ABM$ à $ECM$.
3. En déduire la longueur $EC$.
4. Calculer le rapport $\dfrac{\text{Aire}(ECM)}{\text{Aire}(ABM)}$.