[enonce]
$ ABCD $ est un rectangle tel que $ AB = 8 $ cm et $ BC = 6 $ cm.
Le point $ M $ est le milieu du segment $ [BC] $ et le point $ N $ est le milieu du segment $ [DC] $.

Le triangle $ AMN $ est-il rectangle ?
[/enonce]

[etape]
Calculer $ AM $ (valeur exacte) : [[am]]

[math id="am" attendu="\sqrt{73}"][/math]

[reponse statut="correct"]
Bravo ! Dans le triangle $ ABM $ rectangle en $ B $ :
$ AM^{2} = AB^{2} + BM^{2} = 8^{2} + 3^{2} = 64 + 9 = 73 $
Donc $ AM = \sqrt{73} $ cm.
[/reponse]

[reponse motif="73"]
Tu as bien calculé $ AM^{2} $, mais on demande $ AM $.
Il te reste une dernière étape : prendre la racine carrée.
[/reponse]

[reponse motif="11"]
Tu as additionné les longueurs au lieu de calculer les carrés.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Repère un triangle rectangle dont $ [AM] $ est l'hypoténuse, puis applique le théorème de Pythagore.
[/reponse]

[aide essai="2"]
$ M $ est le milieu de $ [BC] $, donc $ BM = 3 $ cm.
Le triangle $ ABM $ est rectangle en $ B $.
[/aide]

[aide essai="3"]
$ AM^{2} = AB^{2} + BM^{2} = 8^{2} + 3^{2} = 64 + 9 = \ldots $
[/aide]

[solution]
$ AM = \sqrt{8^{2} + 3^{2}} = \sqrt{73} $ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $ AN $ (valeur exacte) : [[an]]

[math id="an" attendu="2\sqrt{13}"][/math]

[reponse statut="correct"]
Exact ! Dans le triangle $ ADN $ rectangle en $ D $ :
$ AN^{2} = AD^{2} + DN^{2} = 6^{2} + 4^{2} = 36 + 16 = 52 $
Donc $ AN = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $ cm.
[/reponse]

[reponse motif="\sqrt{52}"]
Ta valeur est juste, mais on attend la forme simplifiée.
Cherche un carré parfait qui divise $ 52 $ pour faire sortir un facteur de la racine.
[/reponse]

[reponse motif="52"]
Tu as bien calculé $ AN^{2} $, mais on demande $ AN $.
Il reste à prendre la racine carrée, puis à la simplifier.
[/reponse]

[reponse motif="10"]
Tu as additionné les longueurs au lieu de calculer les carrés.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Repère un triangle rectangle dont $ [AN] $ est l'hypoténuse.
[/reponse]

[aide essai="2"]
$ N $ est le milieu de $ [DC] $, donc $ DN = 4 $ cm (car $ DC = AB = 8 $ cm).
Le triangle $ ADN $ est rectangle en $ D $.
[/aide]

[aide essai="3"]
$ AN^{2} = AD^{2} + DN^{2} = 6^{2} + 4^{2} = 36 + 16 = \ldots $
[/aide]

[solution]
$ AN = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $ MN $ (valeur exacte) : [[mn]]

[math id="mn" attendu="5"][/math]

[reponse statut="correct"]
Bravo ! Dans le triangle $ MCN $ rectangle en $ C $ :
$ MN^{2} = MC^{2} + CN^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 $
Donc $ MN = 5 $ cm.
[/reponse]

[reponse motif="25"]
Tu as bien calculé $ MN^{2} $, mais on demande $ MN $.
Il te reste à prendre la racine carrée (ici, $ 25 $ est un carré parfait).
[/reponse]

[reponse motif="7"]
Tu as additionné les longueurs au lieu de calculer les carrés.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Repère un triangle rectangle dont $ [MN] $ est l'hypoténuse.
[/reponse]

[aide essai="2"]
$ MC = BC - BM = 6 - 3 = 3 $ cm et $ CN = DC - DN = 8 - 4 = 4 $ cm.
Le triangle $ MCN $ est rectangle en $ C $.
[/aide]

[aide essai="3"]
$ MN^{2} = MC^{2} + CN^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = \ldots $
[/aide]

[solution]
$ MN = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5 $ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ AMN $ est-il rectangle ?

[qcm]
[option]Oui[/option]
[option correct="true"]Non[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact. Le plus grand côté est $ [AM] $ (car $ AM^{2} = 73 $ est le plus grand carré).
$ AN^{2} + MN^{2} = 52 + 25 = 77 \neq 73 = AM^{2} $.
La réciproque du théorème de Pythagore ne s'applique pas : le triangle $ AMN $ n'est pas rectangle.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Le triangle $ AMN $ n'est pas rectangle.
Pour le vérifier, il faut appliquer la réciproque du théorème de Pythagore : comparer la somme des carrés des deux plus petits côtés avec le carré du plus grand.
$ AN^{2} + MN^{2} = 52 + 25 = 77 $ et $ AM^{2} = 73 $.
Comme $ 77 \neq 73 $, le triangle n'est pas rectangle.
[/reponse]

[aide essai="2"]
Quelle propriété du cours permet de vérifier si un triangle est rectangle quand on connait ses trois côtés ?
[/aide]

[solution]
$ AN^{2} + MN^{2} = 52 + 25 = 77 \neq 73 = AM^{2} $ : le triangle $ AMN $ n'est pas rectangle.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation sur le théorème de Pythagore, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté le plus court.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
L'hypoténuse est le côté le plus long du triangle rectangle, situé en face de l'angle droit.
Par exemple, dans un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, l'hypoténuse mesure 5 : c'est bien le plus grand côté.
Retiens que l'hypoténuse est toujours opposée à l'angle droit, et que c'est elle qui apparaît seule dans l'égalité de Pythagore.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
L'hypoténuse n'est pas le côté le plus court, c'est au contraire le côté le plus long du triangle rectangle.
Elle est toujours située en face de l'angle droit.
Par exemple, dans un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, l'hypoténuse est le côté qui mesure 5.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l'angle droit.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le théorème de Pythagore s'applique uniquement dans les triangles rectangles.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est vraie.
Le théorème de Pythagore est une propriété exclusive des triangles rectangles.
C'est la présence de l'angle droit qui garantit la relation $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $ entre les côtés.
Dans un triangle quelconque (sans angle droit), cette égalité n'est pas vérifiée.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est vraie.
Le théorème de Pythagore ne fonctionne que dans les triangles rectangles.
C'est la condition indispensable : sans angle droit, la relation $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $ n'est pas vérifiée.
Par exemple, dans un triangle équilatéral de côté 4, on a $ 4^{2} + 4^{2} = 32 $ mais $ 4^{2} = 16 $, donc l'égalité de Pythagore ne fonctionne pas.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le théorème de Pythagore ne s'applique que dans les triangles rectangles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $ ABC $ est un triangle rectangle en $ B $, alors $ AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} $.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
Si le triangle est rectangle en $ B $, c'est $ B $ qui porte l'angle droit.
L'hypoténuse est donc $ [AC] $, le côté opposé à l'angle droit.
L'égalité correcte est $ AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} $.
L'affirmation proposait $ AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} $, ce qui placerait $ [AB] $ comme hypoténuse, or ce n'est pas le cas ici.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
L'astuce est de toujours repérer l'angle droit en premier : ici, il est en $ B $.
L'hypoténuse est donc $ [AC] $, le côté opposé à l'angle droit.
C'est le carré de l'hypoténuse qui est seul d'un côté de l'égalité : $ AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} $.
L'affirmation inversait les rôles en mettant $ AB^{2} $ seul, ce qui est incorrect.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'hypoténuse est $ [AC] $, donc $ AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 $.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
Il faut d'abord additionner sous la racine : $ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $.
Le calcul $ \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 $ est faux car on n'a pas le droit de séparer une racine carrée sur une somme.
C'est un piège très fréquent quand on applique le théorème de Pythagore pour calculer une longueur.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
Attention, c'est un piège classique : on ne peut pas écrire $ \sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $.
Le calcul correct est $ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $.
Le résultat 7 est obtenu en séparant la racine, ce qui n'est pas une opération valide.
Retiens cette règle : on additionne d'abord, puis on prend la racine du résultat.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $. On ne peut pas séparer la racine d'une somme.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un triangle dont les côtés mesurent 5, 12 et 13 est rectangle.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est vraie.
On identifie le plus grand côté : 13.
On calcule : $ 13^{2} = 169 $ et $ 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 $.
L'égalité est vérifiée, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
L'angle droit est opposé au côté le plus long, c'est-à-dire au côté de longueur 13.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est vraie.
Pour vérifier, on compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres.
On calcule : $ 13^{2} = 169 $ et $ 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 $.
Les deux résultats sont égaux, donc la réciproque du théorème de Pythagore s'applique : ce triangle est bien rectangle.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $ 13^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169 $, donc le triangle est rectangle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $ EFG $ est un triangle rectangle en $ F $ avec $ EF = 3 $ et $ FG = 4 $, alors $ EG = 7 $.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
On ne peut pas simplement additionner les deux côtés pour trouver l'hypoténuse.
Il faut appliquer le théorème de Pythagore : $ EG^{2} = EF^{2} + FG^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 $.
Donc $ EG = \sqrt{25} = 5 $, et non pas $ 3 + 4 = 7 $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur est d'additionner directement les longueurs : $ 3 + 4 = 7 $.
Dans un triangle rectangle, on utilise le théorème de Pythagore pour calculer l'hypoténuse.
Le calcul correct est $ EG^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 $, donc $ EG = 5 $.
Ce sont les carrés des longueurs qu'on additionne, pas les longueurs elles-memes.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $ EG = \sqrt{9 + 16} = 5 $, pas $ 3 + 4 = 7 $.
[/solution]
[/etape]

Soit un triangle $ ABC $ de hauteur $ \left(AH\right) $

Sachant que $ AB=6{,}7 $cm, $ AC=3{,}4 $cm et $ AH=3 $cm, le triangle $ ABC $ est-il rectangle ?