Partie A

1. On applique la formule de récurrence.

   $ u_{1}=\dfrac{2u_{0}}{u_{0}+1}=\dfrac{2\times \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{2}{3} $

   $ u_{2}=\dfrac{2u_{1}}{u_{1}+1}=\dfrac{2\times \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}+1}=\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{4}{3}\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{5} $

2. La fonction $ f $ est dérivable sur $ ]-1~;~+\infty[ $ et :

   $ f^{\prime}(x) =\dfrac{2(x+1) - 2x}{(x+1)^{2}}=\dfrac{2}{(x+1)^{2}} $

   Comme $ (x+1)^2 > 0 $ sur $ ]-1~;~+\infty[ $, $ f^{\prime} $ est strictement positive sur cet intervalle, donc $ f $ est strictement croissante sur $ ]-1~;~+\infty[ $.

3. 1. Construction graphique des premiers termes de la suite :

      
   2. La suite $ (u_n) $ semble croissante et convergente vers $ 1 $.

Partie B

1. 1. Initialisation.

      Montrons que $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_0 \leqslant u_{1} \leqslant 1 $.

      On a $ u_0 = \dfrac{1}{2} $ et $ u_1 = \dfrac{2}{3} $.

      Comme $ \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{2}{3} \leqslant 1 $, la propriété est vraie au rang $ 0 $.

      Hérédité.

      Supposons que la propriété $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 $ est vraie pour un certain entier naturel $ n $ et démontrons que la propriété est alors vraie au rang $ n+1 $.

      Si $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 $, alors comme $ f $ est croissante sur $ ]-1~;~+\infty[ $ :

      $ f\left( \dfrac{1}{2}\right) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(1) $

      Or $ f\left( \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2\times \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1} = \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{2}{3} $, $ f(u_n)=u_{n+1} $, $ f(u_{n+1})=u_{n+2} $ et $ f(1)=\dfrac{2}{2}=1 $ donc :

      $ \dfrac{2}{3} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1 $

      et comme $ \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{2}{3} $ :

      $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1 $

      La propriété est donc vraie au rang $ n+1 $.

      Conclusion.

      La propriété $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 $ est vraie au rang $ 0 $ et elle est héréditaire ; par conséquent, elle est vraie pour tout entier naturel $ n $.

   2. D'après la question précédente, la suite $ (u_n) $ est croissante et majorée par $ 1 $, donc elle est convergente (théorème de convergence monotone).

2. 1. Pour montrer que la suite $ (v_n) $ est géométrique, on montre qu'il existe une constante $ q $ telle que, pour tout entier naturel $ n $, $ v_{n+1} = q\,v_n $.

      $ \begin{aligned}v_{n+1}&=\dfrac{1}{u_{n+1}} - 1\\ &=\dfrac{u_{n}+1}{2u_{n}} - 1\\ &=\dfrac{u_{n}+1 - 2u_{n}}{2u_{n}}\\ &=\dfrac{1 - u_{n}}{2u_{n}}\\ &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1 - u_{n}}{u_{n}}\\ &=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{u_{n}} - 1\right) \\ &=\dfrac{1}{2}v_{n}\end{aligned} $

      Donc la suite $ (v_n) $ est une suite géométrique de raison $ q=\dfrac{1}{2} $.

      Son premier terme est $ v_0 = \dfrac{1}{u_0} - 1 = 2 - 1 = 1 $.

   2. On en déduit que, pour tout entier naturel $ n $ :

      $ v_n = v_0\,q^n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^n = \dfrac{1}{2^n} $

      De la relation $ v_n= \dfrac{1}{u_n} - 1 $, on déduit :

      $ \dfrac{1}{u_n} = v_n + 1 $
      $ u_n = \dfrac{1}{v_n + 1} $

      donc :

      $ \begin{aligned} u_n&=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2^{n}}+1}\\ &=\dfrac{1}{\dfrac{1+2^{n}}{2^{n}}}\\ &=\dfrac{2^{n}}{1+2^n}\end{aligned} $

   3. Comme $ -1 < \dfrac{1}{2} < 1 $ :

      $ \lim\limits_{n\to +\infty }v_{n}=\lim\limits_{n\to +\infty }\left( \dfrac{1}{2}\right)^{n}=0 $ (limite d'une suite géométrique).

      Comme $ u_n = \dfrac{1}{v_n + 1} $, on en déduit (par somme et par quotient) que la suite $ (u_n) $ converge vers $ \dfrac{1}{0+1} = 1 $.

Partie C

1. Soit $ a>0 $.

   D'après la définition de la limite, dire que la suite $ (u_n) $ converge vers $ 1 $ signifie qu'il existe un entier naturel $ p $ à partir duquel $ -a < u_n - 1 < a $ pour tout entier naturel $ n \geqslant p $.

   Or l'inégalité $ -a < u_n - 1 $ est équivalente à $ 1 - u_n < a $.

2. def rang(a):
       u = 1/2
       n = 0
       while 1 - u >= a:
           u = 2*u/(u+1)
           n = n + 1
       return n

Partie A

1. On calcule les premiers termes.

   $ u_1 = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333 $
   $ u_2 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{3}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}556 $
   $ u_3 = \dfrac{5}{9} + \dfrac{3}{27} = \dfrac{15}{27} + \dfrac{3}{27} = \dfrac{18}{27} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667 $

   À l'aide d'une calculatrice, on trouve $ u_{100} \approx 0{,}749 $ à $ 10^{-3} $ près.

2. Pour tout entier $ n \geqslant 1 $ :

   $ u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{3^{n+1}} $

   Comme $ n+1 > 0 $ et $ 3^{n+1} > 0 $, on a $ u_{n+1} - u_n > 0 $.

   La suite $ (u_n) $ est donc strictement croissante.

3. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $ n \geqslant 1 $, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant n $.

   Initialisation : pour $ n=1 $, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^1 = 1{,}5 \geqslant 1 $ ; pour $ n=2 $, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4} = 2{,}25 \geqslant 2 $. La propriété est vraie aux rangs $ 1 $ et $ 2 $.

   Hérédité : supposons que pour un entier $ n \geqslant 2 $, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant n $. Alors :

   $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1} = \dfrac{3}{2} \times \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant \dfrac{3}{2}\,n = n + \dfrac{n}{2} $

   Comme $ n \geqslant 2 $, on a $ \dfrac{n}{2} \geqslant 1 $, donc $ n + \dfrac{n}{2} \geqslant n + 1 $. Ainsi $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1} \geqslant n+1 $ et la propriété est héréditaire à partir du rang $ 2 $.

   Conclusion : la propriété est vraie au rang $ 2 $ et héréditaire à partir de ce rang, donc vraie pour tout $ n \geqslant 2 $ ; comme elle est aussi vraie au rang $ 1 $, on a pour tout entier naturel $ n $ non nul, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant n $.

4. De l'inégalité $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant n $, on déduit en divisant par $ 3^n > 0 $ :

   $ \dfrac{1}{2^n} \geqslant \dfrac{n}{3^n} $

   Donc pour tout $ k \geqslant 1 $, $ \dfrac{k}{3^k} \leqslant \dfrac{1}{2^k} $. En sommant de $ k=1 $ à $ n $ :

   $ u_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{3^k} \leqslant \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^k} $

   La somme de droite est celle des $ n $ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $ \dfrac{1}{2} $ et de raison $ \dfrac{1}{2} $ :

   $ \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^k} = \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant 1 $

   On en déduit que $ u_n \leqslant 1 $ pour tout $ n \geqslant 1 $.

   $ 1 $ est donc un majorant de la suite $ (u_n) $.

5. La suite $ (u_n) $ est croissante (d'après la question 2) et majorée par $ 1 $ (d'après la question 4). D'après le théorème de convergence monotone, la suite $ (u_n) $ est convergente.

Partie B

1. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $ n $, $ 3^{n+1} > n(n+1)^2 $.

   Initialisation : pour $ n=0 $, $ 3^{1} = 3 > 0 = 0 \times 1^2 $. La propriété est vraie au rang $ 0 $.

   Hérédité : supposons la propriété vraie pour un entier $ n \geqslant 0 $. On veut montrer que $ 3^{n+2} > (n+1)(n+2)^2 $.

   On a $ 3^{n+2} = 3 \times 3^{n+1} $.

   On compare $ 3\times n(n+1)^2 $ à $ (n+1)(n+2)^2 $. Comme $ n+1 > 0 $, cela revient à comparer $ 3n(n+1) $ et $ (n+2)^2 $ :

   $ 3n(n+1) - (n+2)^2 = 3n^2 + 3n - n^2 - 4n - 4 = 2n^2 - n - 4 $

   Le trinôme $ 2n^2 - n - 4 $ a pour discriminant $ \Delta = 1 + 32 = 33 $, et pour racines $ \dfrac{1 \pm \sqrt{33}}{4} $. La plus grande racine vaut environ $ 1{,}69 $. Donc pour $ n \geqslant 2 $, $ 2n^2 - n - 4 > 0 $, soit $ 3n(n+1) > (n+2)^2 $ et $ 3\,n(n+1)^2 > (n+1)(n+2)^2 $.

   Ainsi, pour $ n \geqslant 2 $ :

   $ 3^{n+2} = 3 \times 3^{n+1} > 3\,n(n+1)^2 > (n+1)(n+2)^2 $

   La propriété est donc héréditaire à partir du rang $ 2 $.

   Vérification aux rangs $ 0 $, $ 1 $ et $ 2 $ :

   Pour $ n=0 $ : $ 3 > 0 $.

   Pour $ n=1 $ : $ 9 > 1\times 4 = 4 $.

   Pour $ n=2 $ : $ 27 > 2\times 9 = 18 $.

   Conclusion : la propriété est vraie pour $ n \in \{0, 1, 2\} $ et elle est héréditaire à partir de $ n=2 $. Donc pour tout entier naturel $ n $, $ 3^{n+1} > n(n+1)^2 $.

2. On a $ v_n = u_n + \dfrac{1}{n} $ pour $ n \geqslant 1 $.

   $ v_{n+1} - v_n = (u_{n+1} - u_n) + \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n} = \dfrac{n+1}{3^{n+1}} + \dfrac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \dfrac{n+1}{3^{n+1}} - \dfrac{1}{n(n+1)} $

   En réduisant au même dénominateur $ n(n+1)\,3^{n+1} $ :

   $ v_{n+1} - v_n = \dfrac{n(n+1)^2 - 3^{n+1}}{n(n+1)\,3^{n+1}} $

   D'après la question 1, $ 3^{n+1} > n(n+1)^2 $, donc le numérateur est strictement négatif. Le dénominateur est strictement positif.

   Ainsi $ v_{n+1} - v_n < 0 $ : la suite $ (v_n) $ est strictement décroissante.

3. La suite $ (v_n) $ est décroissante. De plus, pour tout $ n \geqslant 1 $, $ v_n = u_n + \dfrac{1}{n} > 0 $ : elle est minorée par $ 0 $.

   D'après le théorème de convergence monotone, la suite $ (v_n) $ est convergente.

   Comme $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0 $ et $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l $, on a par somme :

   $ \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = l + 0 = l $

   La limite de $ (v_n) $ est donc $\mathbf{l}$.

4. La suite $ (u_n) $ est croissante et converge vers $ l $, donc $ u_n \leqslant l $ pour tout $ n \geqslant 1 $.

   La suite $ (v_n) $ est décroissante et converge vers $ l $, donc $ v_n \geqslant l $ pour tout $ n \geqslant 1 $.

   On a donc, pour tout entier $ n \geqslant 1 $ :

   $ u_n \leqslant l \leqslant v_n $

   L'amplitude de cet encadrement est $ v_n - u_n = \dfrac{1}{n} $. Pour avoir une amplitude inférieure ou égale à $ 10^{-2} $, il faut $ \dfrac{1}{n} \leqslant 10^{-2} $, soit $ n \geqslant 100 $.

   Pour $ n = 100 $, avec la calculatrice :

   $ u_{100} \approx 0{,}749 $
   $ v_{100} = u_{100} + \dfrac{1}{100} \approx 0{,}759 $

   Un encadrement de $ l $ d'amplitude $ 10^{-2} $ est donc :

   $ 0{,}749 \leqslant l \leqslant 0{,}759 $