Fonction définie par une intégrale à borne supérieure variable

On considère la fonction $ f $ définie sur $ [0\,;+\infty[ $ par $ f(t) = e^{-t} $.

On définit la fonction $ F $ sur $ [0\,;+\infty[ $ par :

$ F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} e^{-t}\,\text{d}t $

Justifier que $ F $ est la primitive de $ f $ qui s'annule en $ 0 $. En déduire la valeur de $ F(0) $ et l'expression de $ F'(x) $ pour tout $ x \in [0\,;+\infty[ $.
Étudier le signe de $ f $ sur $ [0\,;+\infty[ $, puis en déduire le sens de variation de $ F $.
Dresser le tableau de variations de $ F $ sur $ [0\,;+\infty[ $.
Montrer que, pour tout $ x \in [0\,;+\infty[ $, $ F(x) = 1 - e^{-x} $.
1. Calculer la valeur exacte de $ F(1) $ et de $ F(2) $, puis en donner une valeur approchée au millième.
2. Résoudre l'équation $ F(x) = \dfrac{1}{2} $ d'inconnue $ x \in [0\,;+\infty[ $.

Corrigé

La fonction $ f : t \mapsto e^{-t} $ est continue sur $ [0\,;+\infty[ $. D'après le théorème sur l'intégrale fonction de sa borne supérieure, la fonction $ x \mapsto \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,\text{d}t $ est la primitive de $ f $ qui s'annule en $ 0 $. C'est exactement la définition de $ F $, donc $ F $ est la primitive de $ f $ qui s'annule en $ 0 $.

On en déduit immédiatement $ F(0) = 0 $ et, pour tout $ x \in [0\,;+\infty[ $, $ F'(x) = f(x)$ = $\mathbf{e^{-x}}$.
Pour tout réel $ t $, $ e^{-t} > 0 $, donc $ f(t) > 0 $ sur $ [0\,;+\infty[ $.

Comme $ F'(x) = f(x) > 0 $ sur $ [0\,;+\infty[ $, la fonction $ F $ est strictement croissante sur $ [0\,;+\infty[ $.
On a $ F(0) = 0 $. De plus, $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 $, donc (d'après la question 4) $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 $.
Une primitive de $ t \mapsto e^{-t} $ est $ t \mapsto -e^{-t} $. On calcule donc :

$ F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} e^{-t}\,\text{d}t = \left[ -e^{-t} \right]_{0}^{x} = -e^{-x} - (-e^{0}) = -e^{-x} + 1 $

soit, pour tout $ x \in [0\,;+\infty[ $, $ F(x) $ = $\mathbf{1 - e^{-x}}$.
1. On utilise l'expression trouvée à la question 4.
  
  $ F(1) = 1 - e^{-1} $, soit $ F(1) \approx 0{,}632 $.
  
  $ F(2) = 1 - e^{-2} $, soit $ F(2) \approx 0{,}865 $.
2. On résout $ F(x) = \dfrac{1}{2} $, c'est-à-dire $ 1 - e^{-x} = \dfrac{1}{2} $.
  
  $ e^{-x} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} $
  
  $ -x = \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2 $
  
  d'où $ x $ = $\mathbf{\ln 2}$, qui appartient bien à $ [0\,;+\infty[ $ car $ \ln 2 \approx 0{,}693 > 0 $.

Vrai/Faux : Calcul d’intégrales, aire et valeur moyenne

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse. Pose chaque calcul avant de te prononcer.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 + 2)\,\mathrm{d}x = 12$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une primitive de $3x^2 + 2$ est $x^3 + 2x$.
Donc $\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 + 2)\,\mathrm{d}x = \left[x^3 + 2x\right]_0^2 = (8 + 4) - 0 = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le réflexe : trouver une primitive (ici $x^3 + 2x$), puis appliquer la formule $F(b) - F(a)$.
$F(2) - F(0) = (8 + 4) - 0 = 12$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left[x^3 + 2x\right]_0^2 = 12$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $]0~;~+\infty[$ est $\ln x$.
Donc $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln(\mathrm{e}) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$, et $\ln(\mathrm{e}) = 1$, $\ln(1) = 0$.
La différence vaut donc $1 - 0 = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left[\ln x\right]_1^{\mathrm{e}} = 1 - 0 = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos x\,\mathrm{d}x = 2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une primitive de $\cos x$ est $\sin x$.
Donc $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos x\,\mathrm{d}x = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : on confond souvent ce calcul avec $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x = 2$. Ici c'est $\cos$, dont la primitive est $\sin$, et $\sin(\pi) = \sin(0) = 0$.
Le résultat correct est $0$, pas $2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\left[\sin x\right]_0^{\pi} = 0 - 0 = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant les réels $a$ et $b$.

Affirmation : $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = -\displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est la propriété d'inversion des bornes : permuter $a$ et $b$ change le signe de l'intégrale.
Si $F$ est une primitive de $f$ : $F(b) - F(a) = -(F(a) - F(b))$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Cette propriété découle directement de la définition $\displaystyle\int_a^b f = F(b) - F(a)$.
En échangeant $a$ et $b$, le signe change : $F(a) - F(b) = -(F(b) - F(a))$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété d'inversion des bornes : $\displaystyle\int_a^b f = -\displaystyle\int_b^a f$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[0~;~3]$ vaut $9$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Valeur moyenne $= \dfrac{1}{3 - 0}\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$.
La valeur correcte est $3$, pas $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas oublier de diviser par la longueur de l'intervalle : $\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.
Ici $\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = 9$, mais la valeur moyenne s'obtient en divisant par $3$, donc $\mu = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La valeur moyenne vaut $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4$.

Affirmation : L'aire (en unité d'aire) du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = -2$ et $x = 2$ est égale à $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^2 - 4)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
Sur $[-2~;~2]$, $f(x) = x^2 - 4 \leqslant 0$ (la parabole est sous l'axe). L'intégrale donne donc un nombre négatif ($-\dfrac{32}{3}$), alors qu'une aire est positive.
L'aire vaut $\displaystyle\int_{-2}^{2} -(x^2 - 4)\,\mathrm{d}x = \dfrac{32}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une intégrale n'est égale à l'aire que si la fonction est positive sur l'intervalle. Ici $x^2 - 4 \leqslant 0$ sur $[-2~;~2]$, donc l'intégrale est négative.
Pour une aire, il faut prendre l'intégrale de l'opposée (ou de la valeur absolue) de $f$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $f \leqslant 0$ sur $[-2~;~2]$, l'aire vaut $\displaystyle\int_{-2}^{2} -(x^2 - 4)\,\mathrm{d}x = \dfrac{32}{3}$, alors que $\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^2 - 4)\,\mathrm{d}x = -\dfrac{32}{3}$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Calcul d’intégrales et propriétés

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul d'intégrales simples et leurs propriétés (linéarité, relation de Chasles, positivité). Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{2} x \, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une primitive de $x$ est $\dfrac{x^2}{2}$.
$\displaystyle\int_{0}^{2} x \, \mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} = \dfrac{4}{2} - 0 = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
La primitive est $\dfrac{x^2}{2}$, mais la borne supérieure est $2$ : $\dfrac{2^2}{2} = 2$, pas $1$. Bien substituer la borne avant de simplifier.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
La primitive de $x$ est $\dfrac{x^2}{2}$, pas $x^2$. Le facteur $\dfrac{1}{2}$ a été oublié.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8$ correspondrait à une primitive du type $\dfrac{x^3}{3}$ évaluée en $2$ ($\dfrac{8}{3}$ ?). Revoir la primitive de $x$ : c'est $\dfrac{x^2}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver une primitive de $x$, puis appliquer $F(2) - F(0)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{1} \left(3x^2 + 1\right) \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Par linéarité, on cherche une primitive : $F(x) = x^3 + x$.
$\displaystyle\int_{0}^{1} (3x^2 + 1)\, \mathrm{d}x = \left[x^3 + x\right]_{0}^{1} = (1 + 1) - 0 = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
La primitive de $3x^2$ est $x^3$ (et non $3x^3$). Vérifier le coefficient : on multiplie $3$ par $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Le terme constant $+1$ a été oublié : sa primitive est $x$, qui contribue par $1 - 0 = 1$ à l'intégrale finale.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
La primitive de $3x^2 + 1$ est $x^3 + x$, pas $3x^3 + x$ ou un autre. Vérifier la primitive du terme $3x^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la linéarité : primitiver $3x^2$ et $1$ séparément, puis évaluer entre $0$ et $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On suppose $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d}x = 3$ et $\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\, \mathrm{d}x = -1$. Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$-3$[/option]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par la relation de Chasles : $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\, \mathrm{d}x = \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d}x + \displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\, \mathrm{d}x = 3 + (-1) = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Cette valeur correspondrait à un produit ou à une autre opération. La relation de Chasles transforme l'intégrale sur $[0\,;\,2]$ en une somme des deux morceaux.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Le second morceau $\displaystyle\int_{1}^{2} f$ a été oublié : sa valeur $-1$ doit être ajoutée à $3$ pour obtenir l'intégrale totale.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
La somme $3 + (-1)$ vaut $2$, pas $4$. Attention au signe du second morceau : c'est $-1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la relation de Chasles : on découpe l'intégrale sur $[0\,;\,2]$ en somme de deux intégrales aux bornes adjacentes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On suppose $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d}x = 3$. Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{1} 5\, f(x)\, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$3$[/option]
[option]$8$[/option]
[option correct="true"]$15$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Par linéarité de l'intégrale, on peut sortir la constante : $\displaystyle\int_{0}^{1} 5\, f(x)\, \mathrm{d}x = 5 \times \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d}x = 5 \times 3 = 15$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
La constante $5$ multiplie l'intégrale, mais celle-ci vaut $3$ et non $1$. Le résultat n'est donc pas $5 \times 1$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Le facteur $5$ est ignoré. La linéarité permet de sortir cette constante : $\displaystyle\int 5f = 5 \displaystyle\int f$, ce qui modifie le résultat.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8 = 5 + 3$ correspond à une addition alors que la linéarité donne une multiplication : $5 \times 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la linéarité de l'intégrale : la constante multiplicative se factorise devant l'intégrale.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$f$ est une fonction continue et positive sur $[0\,;\,3]$. Que peut-on affirmer de $\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]Cette intégrale est strictement positive.[/option]
[option]Cette intégrale est négative ou nulle.[/option]
[option correct="true"]Cette intégrale est positive ou nulle.[/option]
[option]On ne peut rien affirmer sans connaître $f$.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La propriété de positivité de l'intégrale assure : si $f \geqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x \geqslant 0$.
On obtient $0$ uniquement si $f$ est identiquement nulle (cas particulier qui justifie le « ou nulle »).[/reponse]
[reponse motif="Cette intégrale est strictement positive."]Pas tout à fait.
Si $f$ est la fonction nulle (qui est bien positive ou nulle), alors l'intégrale vaut $0$. La conclusion correcte est donc « positive ou nulle », pas strictement positive.[/reponse]
[reponse motif="Cette intégrale est négative ou nulle."]Non.
La propriété est l'inverse : une fonction positive a une intégrale positive (ou nulle), pas négative. C'est la propriété de positivité de l'intégrale.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien affirmer sans connaître $f$."]Non.
La propriété de positivité de l'intégrale s'applique à toute fonction continue positive sur l'intervalle, sans qu'il soit besoin de connaître son expression précise.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revoir la propriété de positivité : si $f \geqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$ avec $a \leqslant b$, alors $\displaystyle\int_a^b f \geqslant 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$-1$[/option]
[option]$\dfrac{\pi}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une primitive de $\cos x$ est $\sin x$.
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, \mathrm{d}x = \left[\sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\dfrac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$ et $\sin 0 = 0$. La différence $1 - 0$ ne donne pas $0$. Vérifier la valeur exacte de $\sin\dfrac{\pi}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Erreur de signe : la primitive de $\cos x$ est $+\sin x$ (et non $-\sin x$, qui est la primitive de $\sin x$).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\pi}{2}$"]Non.
$\dfrac{\pi}{2}$ est la borne supérieure, pas une valeur prise par $\sin$. La primitive est $\sin x$, qu'il faut évaluer en $\dfrac{\pi}{2}$ et en $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver une primitive de $\cos x$, puis évaluer entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$ en utilisant les valeurs remarquables de $\sin$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Propriétés des intégrales

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} t\sin t\;\mathrm{d}t$.

Affirmation : La fonction $g$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto x\sin x$ sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $a$ un réel quelconque, alors $x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est une primitive de $f$.
Ici $f(t) = t\sin t$, donc $g$ est bien une primitive de $x \mapsto x\sin x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre $g(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$ (une primitive de $f$) avec le calcul de l'intégrale lui-même : le théorème fondamental du calcul intégral stipule que cette fonction est bien une primitive de $f$.
Par le théorème fondamental du calcul intégral : si $f$ est continue et $g(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$, alors $g' = f$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Par le théorème fondamental : $g'(x) = x\sin x$, donc $g$ est une primitive de $x \mapsto x\sin x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit le réel $I = \displaystyle\int_{0}^{\pi} t^4 \sin t\;\mathrm{d}t$.

Affirmation : $I$ est positif ou nul.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Sur $[0~;~\pi]$ : $t^4 \geqslant 0$ et $\sin t \geqslant 0$, donc $t^4\sin t \geqslant 0$.
Par la propriété de positivité des intégrales, $I \geqslant 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'hésiter sur le signe de $\sin t$ sur $[0~;~\pi]$ : rappelons que $\sin t \geqslant 0$ sur cet intervalle (c'est sur $[\pi~;~2\pi]$ que $\sin t \leqslant 0$).
Sur $[0~;~\pi]$, la fonction $t^4\sin t$ est positive ou nulle, donc son intégrale l'est aussi.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Sur $[0~;~\pi]$, $t^4 \geqslant 0$ et $\sin t \geqslant 0$, donc $I \geqslant 0$ par positivité de l'intégrale.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient les réels $I = \displaystyle\int_{0}^{1} x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{0}^{1} x^2\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$.

Affirmation : $I \leqslant J$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Sur $[0~;~1]$, on a $x \geqslant x^2$ (la parabole $y = x^2$ est sous la droite $y = x$).
Donc $x\,\mathrm{e}^x \geqslant x^2\,\mathrm{e}^x$, ce qui donne $I \geqslant J$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de penser que $x^2 > x$ en oubliant que sur $[0~;~1]$ c'est l'inverse : $0 \leqslant x^2 \leqslant x \leqslant 1$, donc $x\mathrm{e}^x \geqslant x^2\mathrm{e}^x$.
Sur $[0~;~1]$, $x \geqslant x^2$, donc $x\,\mathrm{e}^x \geqslant x^2\,\mathrm{e}^x$, et par comparaison des intégrales $I \geqslant J$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Sur $[0~;~1]$, $x \geqslant x^2$ donc $I \geqslant J$ (l'inégalité est dans l'autre sens).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \displaystyle\int_{0}^{1} x^n\,\mathrm{d}x$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est croissante.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Sur $[0~;~1]$, $x^n \geqslant x^{n+1}$, donc $u_n \geqslant u_{n+1}$.
La suite $(u_n)$ est décroissante.
(On peut aussi calculer : $u_n = \dfrac{1}{n+1} \to 0$.)[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de croire que des puissances plus grandes donnent des valeurs plus grandes, en oubliant que sur $[0~;~1]$, $x < 1$ implique $x^n > x^{n+1}$.
Sur $[0~;~1]$, $x^n \geqslant x^{n+1}$, donc $u_n \geqslant u_{n+1}$ : la suite est décroissante.
En calculant : $u_n = \dfrac{1}{n+1}$, qui est bien une suite décroissante.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Sur $[0~;~1]$, $x^n \geqslant x^{n+1}$, donc $u_n = \dfrac{1}{n+1}$ est décroissante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $\mathscr{A}$ l'aire (en unité d'aire) du domaine délimité par la courbe de la fonction carré, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.

Affirmation : $\mathscr{A} = \dfrac{1}{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

$\mathscr{A} = \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier de diviser par $3$ lors du calcul de la primitive de $x^2$ : la primitive est $\dfrac{x^3}{3}$ et non $x^3$.
$\mathscr{A} = \displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $A = \displaystyle\int_{-1}^{0} t^2\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$.

Affirmation : $A \geqslant 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Sur $[-1~;~0]$ : $t^2 \geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{-t} \geqslant 0$, donc $t^2\,\mathrm{e}^{-t} \geqslant 0$.
Par positivité de l'intégrale, $A \geqslant 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de s'inquiéter du signe de l'intégrale à cause des bornes négatives ($-1$ à $0$) : mais c'est le signe de l'intégrande qui compte, et $t^2\mathrm{e}^{-t} \geqslant 0$ partout.
$t^2 \geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{-t} > 0$ sur tout intervalle, donc l'intégrale est bien positive ou nulle.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$t^2 \geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{-t} > 0$ sur $[-1~;~0]$, donc $A \geqslant 0$ par positivité de l'intégrale.
[/solution]
[/etape]

Sujet 0 – Intégrales

L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.

Partie I

Pour tout entier $ n $ supérieur ou égal à 1, on désigne par $ f_n $ la fonction définie sur $ [0 ; 1] $ par $ f_n(x) = x^n e^x $.

On note $ C_n $ la courbe représentative de la fonction $ f_n $ dans un repère $ (O, \vec{i}, \vec{j}) $ du plan.

On désigne par $ (I_n) $ la suite définie pour tout entier $ n $ supérieur ou égal à 1 par :

$ I_n = \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx $

1. On désigne par $ F_1 $ la fonction définie sur $ [0;1] $ par
  
  $ F_1(x) = (x - 1)e^x $
  
  Vérifier que $ F_1 $ est une primitive de la fonction $ f_1 $.
2. Calculer $ I_1 $.
À l’aide d’une intégration par parties, établir la relation pour tout $ n $ supérieur ou égal à 1,

$ I_{n+1} = e - (n + 1)I_n $
Calculer $ I_2 $.

On considère la fonction mystère écrite dans le langage Python :

from math import e # la constante d’Euler e

def mystere(n):
    a = 1
    L = [a]
    for i in range(1,n):
        a = e - (i + 1)*a
        L.append(a)
    return L

À l’aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l’appel mystere(5).

Partie II

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes $ C_1, C_2, C_3, C_{10}, C_{20} $ et $ C_{30} $.

1. Donner une interprétation graphique de $ I_n $.
2. Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $ (I_n) $?
Montrer que pour tout $ n $ supérieur ou égal à 1,

$ 0 \leq I_n \leq e \int_{0}^{1} x^n \, dx $
En déduire $ \lim_{n \to +\infty} I_n $.

Corrigé

Partie I

a) Pour vérifier que $ F_1 $ est une primitive de $ f_1 $, nous pouvons montrer que $ F_1^{\prime}(x) = f_1(x) $.

Calculons la dérivée de $ F_1(x) $ en la règle du produit $ (uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} $ :
$ F_1^{\prime}(x) = e^x + (x - 1)e^x $
$ F_1^{\prime}(x) = e^x + xe^x - e^x $
$ F_1^{\prime}(x) = xe^x $

Or, $ f_1(x) = xe^x $, donc $ F_1^{\prime}(x) = f_1(x) $.

Ainsi, $ F_1(x) = (x - 1)e^x $ est bien une primitive de $ f_1(x) = xe^x $.

b) Utilisons la primitive trouvée pour calculer $ I_1 $ :

$ I_1 = \int_{0}^{1} xe^x \, dx $

Comme $ F_1(x) = (x - 1)e^x $ est une primitive de $ xe^x $, nous utilisons le théorème fondamental du calcul intégral :

$ I_1 = [ (x - 1)e^x ]_{0}^{1} $

Calculons cette expression aux bornes 0 et 1 :

$ I_1 = (1 - 1)e^1 - (0 - 1)e^0 $
$ I_1 = (0 \times e) - ( - 1 \times 1) $
$ I_1 = 0 - ( - 1) $
$ I_1 = 1 $
Établissons la relation $ I_{n+1} = e - (n + 1)I_n $ en utilisant l'intégration par parties.

Pour cela, considérons les fonctions définies par $ u(x) = x^{n+1} $ et $ v^{\prime}(x) = e^x $. Alors, $ u^{\prime}(x) = (n+1)x^n $ et $ v(x) = e^x $.

L'intégration par parties nous donne :

$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $

Appliquons ceci à notre intégrale :

$ I_{n+1} = \int_{0}^{1} x^{n+1} e^x \, dx $

En utilisant les fonctions choisies :

$ I_{n+1} = [ x^{n+1} e^x ]_0^1 - \int_{0}^{1} (n+1)x^n e^x \, dx $
$ I_{n+1} = 1^{n+1} e^1 - 0^{n+1} e^0 - (n+1) \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx $
$ I_{n+1} = e - 0 - (n+1)I_n $
$ I_{n+1} = e - (n+1)I_n $
Calculons $ I_2 $ en utilisant la relation trouvée :

$ I_2 = e - 2I_1 $

Nous savons que $ I_1 = 1 $, donc :

$ I_2 = e - 2 \times 1 $
$ I_2 = e - 2 $
La fonction mystere renvoie une liste comprenant les $ n $ premiers termes d'une suite dont le premier terme est égal à 1 et qui vérifie la relation de récurrence $ u_{n+1} = e - (n + 1) u_n $.

D'après les questions précédentes, on voit que cette suite n'est autre que la suite $ (I_n) $.

L'appel mystere(5) renvoie donc la liste des valeurs $ [I_1, I_2, I_3, I_4, I_5] $ (le terme $ I_1 $ est donné lors de l'initialisation et les 4 termes suivants sont calculés dans la boucle for).

Partie II

1. Toutes les fonctions $ f_n $ sont positives sur l'intervalle $ [0; 1] $.
  Les intégrales $ I_n $ représentent donc l'aire (en unité d'aire) située entre la courbe $ C_n $ et l'axe des abscisses pour $ x $ compris entre 0 et 1.
2. Ces aires semblent tendre vers 0 lorsque $ n $ tend vers $ +\infty $.
  Par conséquent, on peut conjecturer que la suite $ (I_n) $ converge vers 0.
Sachant que pour $ x $ dans l'intervalle $ [0, 1] $, $ e^x \leq e $ (car la fonction exponentielle est croissante), nous avons :

$ x^n e^x \leq x^n e $

En intégrant les deux membres sur $ [0, 1] $ :

$ \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx \leq \int_{0}^{1} x^n e \, dx $

Cela donne :

$ I_n \leq e \int_{0}^{1} x^n \, dx $

Puisque l'intégrale d'une fonction positive est positive, nous avons aussi :

$ 0 \leq I_n $

Ainsi, nous obtenons :

$ 0 \leq I_n \leq e \int_{0}^{1} x^n \, dx $
Calculons $ \int_{0}^{1} x^n \, dx $ :

$ \int_{0}^{1} x^n \, dx = \left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{n+1} $

Donc :

$ e \int_{0}^{1} x^n \, dx = e \times \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{e}{n+1} $

Ainsi :

$ 0 \leq I_n \leq \dfrac{e}{n+1} $

Lorsque $ n $ tend vers l'infini, $ \dfrac{e}{n+1} $ tend vers 0.

Par le théorème des gendarmes, nous avons donc :

$ \lim_{n \to +\infty} I_n = 0 $

La suite $ (I_n) $ converge donc vers 0.

Exponentielle et intégrale

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par

$ f(x) = \left(1 - x^2\right) e^x. $

On note $ \mathscr C $ la courbe représentative de la fonction $ f $ dans un repère orthonormal $ (O ; \vec{i}, \vec{j}) $ d'unité 1 centimètre.

Calculer les limites de $ f(x) $ lorsque $ x $ tend vers $ - \infty $ et lorsque $ x $ tend vers $ + \infty $ .
1. Calculer la dérivée $ f^\prime $ de la fonction $ f $.
2. Étudier le signe de $ f^\prime(x) $.
3. Construire le tableau de variations de $ f $
Déterminer les points d'intersections de la courbe $ \mathscr C $ et de l'axe des ordonnées.
A l'aide des questions précédentes, tracer la courbe $ \mathscr C $ dans le repère orthonormal $ (O ; \vec{i}, \vec{j}) $ d'unité 1 centimètre.
Soient $ a $, $ b $ et $ c $ trois réels et $ F $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ F(x) =(ax^2+bx+c)e^x $.
1. Calculer $ F^\prime(x) $.
2. Montrer qu'il existe des valeurs de $ a $, $ b $ et $ c $ telles que $ F^\prime=f $
En déduire la valeur exacte de l'intégrale $ \mathcal{A} = \int_0^1 f(x)\:\text{d}x $.
Interpréter graphiquement l'intégrale $ \mathcal{A} $.

Corrigé

On a pour tout réel $x$ :

$ f(x) = (1-x^2)e^x $
En $+\infty$ :
$\lim\limits_{x\to+\infty} (1-x^2) = -\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} e^x = +\infty$.
Par produit, $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$.
En $-\infty$ :
$f(x) = e^x - x^2e^x$.
$\lim\limits_{x\to-\infty} e^x = 0$ et par croissance comparée, $\lim\limits_{x\to-\infty} x^2e^x = 0$.
Par somme, $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = 0$.
1. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables.
  $f=uv$ avec $u(x) = 1-x^2 \implies u'(x) = -2x$ et $v(x) = e^x \implies v'(x) = e^x$.
  
  $ f'(x) = -2xe^x + (1-x^2)e^x = (-x^2 - 2x + 1) e^x. $
2. Pour tout réel $x$, $e^x > 0$. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $-x^2 - 2x + 1$.
  C'est un trinôme du second degré. Ses racines sont :
  
  $ \Delta = (-2)^2 - 4 \times (-1) \times 1 = 4 + 4 = 8 = (2\sqrt{2})^2 $
  
  $ x_1 = \dfrac{2 - 2\sqrt{2}}{-2} = -1 + \sqrt{2} \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{2 + 2\sqrt{2}}{-2} = -1 - \sqrt{2} $
  
  Comme le coefficient de $x^2$ est négatif, $f'(x)$ est positive entre les racines et négative à l'extérieur.
3. Tableau de variations de $f$ :
L'intersection avec l'axe des ordonnées correspond à $x = 0$.
$f(0) = (1-0^2)e^0 = 1 \times 1 = 1$.
Le point d'intersection est $(0 ; 1)$.
$\ $
Soit $F(x) = (ax^2+bx+c)e^x$.
1. $F'(x) = (2ax+b)e^x + (ax^2+bx+c)e^x = (ax^2 + (2a+b)x + b+c) e^x$.
2. On veut $F'(x) = f(x) = (-x^2 + 1)e^x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
  On identifie les coefficients :
  $a = -1$, $2a+b = 0 \implies b = 2$ et $b+c = 1 \implies 2+c = 1 \implies c = -1$.
  D'où $F(x) = (-x^2+2x-1)e^x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
$\mathcal{A} = \int_0^1 f(x)\text{d}x = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0)$.
$F(1) = (-1+2-1)e^1 = 0$.
$F(0) = (-0+0-1)e^0 = -1$.
$\mathcal{A} = 0 - (-1) = 1$.
$\mathcal{A}$ est l'aire de la portion de plan délimitée par la courbe $\mathscr C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$, exprimée en unités d'aire. Comme l'unité est 1 cm, l'unité d'aire est $1 \times 1 = 1 \text{ cm}^2$. Donc $\mathcal{A} = 1 \text{ cm}^2$.

Intégrales de Wallis

On considère la suite $ (I_n) $ définie pour tout entier naturel $ n $ par :

$ I_n= \int_0^{ \frac{ \pi } {2}}\cos^nt\ dt $

Partie I - Calcul des premiers termes

Calculer $ I_0 $ et $ I_1 $
Soit $ n $ un entier naturel strictement supérieur à $ 1 $ et $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f(x)=\sin x\cos^{n}x $.

Montrer que $ f^{\prime}(x)=(n+1)\cos^{n+1} x - n\cos^{n - 1}x $

En déduire que pour entier $ n > 1 $ : $ I_n= \dfrac{n - 1}{n}\ I_{n - 2} $
Xavier souhaite écrire un programme calculant les $ N $ premiers termes de la suite $ (I_n) $ pour $ N > 1 $.

Il propose l'algorithme suivant :
```
VARIABLES
  U, Uprec sont des réels
  N, I sont des entiers
DEBUT ALGORITHME
  Lire N
  Uprec prend la valeur PI/2
  Afficher Uprec
  U prend la valeur 1
  Afficher U
  Pour I allant de 2 à N
    Uprec prend la valeur U
    U prend la valeur Uprec * (I-1) / I
    Afficher U
  Fin Pour
FIN ALGORITHME
```
Il remarque toutefois que son programme ne fonctionne pas correctement.

Après avoir analysé l'algorithme de Xavier, indiquer l'erreur commise et corriger l'algorithme afin qu'il affiche correctement les $ N $ premiers termes de la suite $ (I_n) $.

Partie II - Étude de la convergence

Montrer que la suite $ (I_n) $ est décroissante.
Montrer que la suite $ (I_n) $ est convergente.
Montrer par récurrence que pour tout entier $ n \geqslant 0 $ : $ \left(n+1\right)I_nI_{n+1}= \dfrac{ \pi }{2} $

(On pourra utiliser le résultat de la question I.2.)
En déduire $ \lim_{n \rightarrow +\infty } I_n $.

Corrigé

Partie I - Calcul des premiers termes

Calcul de $ I_0 $ et $ I_1 $ :

$ I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^0 t \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} dt = \dfrac{\pi}{2} - 0 = \dfrac{\pi}{2} $ et
$ I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^1 t \, dt = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1. $
Soit $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par : $ f(x) = \sin x \cos^n x $ avec $ n \in \mathbb{N}^* $.
$ f'(x) = (uv)' = u'v + uv' $ avec :
$ u = \sin x $ et $ u' = \cos x $, et
$ v = \cos^n x $ et $ v' = -n \sin x \cos^{n-1} x $.
On en déduit :
$ f'(x) = \cos^{n+1} x - n \sin^2 x \cos^{n-1} x $.
En remarquant que $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $, on peut écrire :
$ f'(x) = \cos^{n+1} x - n \cos^{n-1} x + n \cos^{n+1} x $, soit
$ f'(x) = (n+1) \cos^{n+1} x - n \cos^{n-1} x $ pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $.

En intégrant cette expression sur $ \left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right] $, on obtient :

$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} f'(x) dx = (n+1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n+1} x \, dx - n \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n-1} x \, dx. $

Le membre de gauche de cette égalité est égal à
$ f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - f(0) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \cos^n \left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(0) \cos^n (0) = 0 $.
Le membre de droite est égal à
$ (n+1)I_{n+1} - n I_{n-1} $.

On en déduit que pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, $ I_{n+1} = \dfrac{n}{n+1} I_{n-1} $.
Et si on applique cette formule à l'indice $ n $ de $ I $, on obtient $ I_n = \dfrac{n-1}{n} I_{n-2} $ pour tout $ n > 1 $.
L'algorithme de Xavier ne fonctionne pas car il calcule $ I_n $ selon la formule $ I_n = \dfrac{n-1}{n} I_{n-1} $ au lieu de $ I_n = \dfrac{n-1}{n} I_{n-2} $.
En effet, dans la boucle, la ligne « Uprec prend la valeur U » écrase l'ancien $ I_{n-2} $ avant le calcul, si bien que la ligne suivante calcule $ \dfrac{n-1}{n} I_{n-1} $.
On corrige en introduisant une variable supplémentaire $ V $ pour sauvegarder le calcul avant la mise à jour :
```
VARIABLES
  V, U, Uprec sont des réels
  N, I sont des entiers
DEBUT ALGORITHME
  Lire N
  Uprec prend la valeur PI/2
  Afficher Uprec
  U prend la valeur 1
  Afficher U
  Pour I allant de 2 à N :
    V prend la valeur Uprec * (I-1) / I
    Uprec prend la valeur U
    U prend la valeur V
    Afficher U
  Fin Pour
FIN ALGORITHME
```

Partie II - Étude de la convergence

On a $ \dfrac{n-1}{n} < 1 $, d'où $ I_n < I_{n-2} $ pour tout $ n > 1 $, ce qui montre que $ (I_n) $ est décroissante.
La suite $ (I_n) $ est décroissante d'après la question précédente. De plus, pour tout $ n \geqslant 0 $, $ \cos^n t \geqslant 0 $ sur $ \left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right] $, donc $ I_n \geqslant 0 $. La suite $ (I_n) $ est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente.
On constate que l'égalité $ (n+1)I_n I_{n+1} = \dfrac{\pi}{2} $ est vraie pour $ n = 0 $.
Si l'égalité $ (n+1)I_n I_{n+1} = \dfrac{\pi}{2} $ est vraie pour un certain entier $ n \geqslant 0 $, montrons qu'elle est vraie pour $ n + 1 $, c'est-à-dire que l'on doit avoir $ (n+2)I_{n+1} I_{n+2} = \dfrac{\pi}{2} $. Comme d'après I.2 :
$ I_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2} I_n $, on peut écrire :
$ (n+2) I_{n+1} I_{n+2} = (n+2) I_{n+1} \dfrac{n+1}{n+2} I_n = (n+1) I_n I_{n+1} = \dfrac{\pi}{2} $.
Et, par récurrence, l'égalité $ (n+1)I_n I_{n+1} = \dfrac{\pi}{2} $ est démontrée pour tout $ n \geqslant 0 $.
On a vu que la suite $ (I_n) $ est convergente, ce qui veut dire que ses termes $ I_n $ tendent vers une limite $ l $ quand $ n $ tend vers $ +\infty $. On peut alors écrire que :

$ \lim\limits_{n \to +\infty} I_n I_{n+1} = l^2 = \lim\limits_{n \to +\infty} \left[ \dfrac{\pi}{2(n+1)} \right] = 0. $

D'où $ l = \lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 0 $.

Encadrement et intégrales

Soit la fonction $ f $ définie sur $ [0;1] $ par $ f(x)=\dfrac{1}{1+x^2} $.

Étudier les variations de la fonction $ f $ et tracer sa courbe représentative $ C_f $ dans un repère orthonormé $ (O;I,J) $.
On définit les fonctions $ g $ et $ h $ sur $ [0;1] $ par $ g(x)=1 - \dfrac{x}{2} $ et $ h(x)=1 - \dfrac{x^2}{2} $.
1. Montrer que pour tout $ x \in [0;1] $ : $ g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x) $.
2. Tracer les courbes représentatives de $ g $ et $ h $ sur le graphique précédent.
On pose $ I=\int_0^1 f(t)dt $.
1. Donner une interprétation géométrique de $ I $.
2. A l'aide de la question 2., donner une valeur approchée de $ I $ à $ 10^{ - 1} $ près.

Corrigé

$ f $ est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pour aucune valeur de $ x $.

$ f $ est donc définie et dérivable sur $ [0;1] $. Comme $ f $ est de la forme $ \dfrac{1}{u} $ où $ u $ est la fonction définie par $ u(x)=1+x^2 $ :

$ f^{\prime}(x)=\dfrac{ - u ^{\prime}(x)}{(u(x))^2}=\dfrac{ - 2x}{(1+x^2)^2} $.

Le dénominateur est strictement positif et le numérateur est négatif ou nul car $ x \in [0;1] $.

Donc $ f ^{\prime}(x) \leqslant 0 $ et $ f $ est décroissante sur $ [0;1] $.

On peut s'aider d'un tableau de valeurs à la calculatrice pour obtenir la courbe ci-dessous :
1. Pour montrer que $ g(x) \leqslant f(x) $ on va montrer que $ f(x) - g(x) \geqslant 0 $ pour tout $ x \in [0;1] $.
  
  À retenir
  
  Une méthode classique pour prouver que $ A \geqslant B $ consiste à étudier le signe de $ A - B $ afin de montrer que $ A - B $ est positif ou nul.
  
  $ f(x) - g(x)= \dfrac{1}{1+x^2} - \left(1 - \dfrac{x}{2}\right) $
  
  $ \phantom{h(x) - f(x)}= \dfrac{2}{2(1+x^2)} - \dfrac{2+2x^2}{2(1+x^2)}+\dfrac{x(1+x^2) }{2(1+x^2)} $
  
  $ \phantom{h(x) - f(x)}=\dfrac{x^3 - 2x^2+x}{2(1+x^2)}=\dfrac{x(x^2 - 2x+1)}{2(1+x^2)} $
  
  $ \phantom{h(x) - f(x)}=\dfrac{x(x - 1)^2}{2(1+x^2)} \geqslant 0 $
  
  Donc $ f(x) \geqslant g(x) $
  
  De même, pour tout $ x \in [0;1] $ :
  
  $ h(x) - f(x)= \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right) - \dfrac{1}{1+x^2} $
  
  $ \phantom{h(x) - f(x)}= \dfrac{2+2x^2}{2(1+x^2)} - \dfrac{x^2(1+x^2) }{2(1+x^2)} - \dfrac{2}{2(1+x^2)} $
  
  $ \phantom{h(x) - f(x)}=\dfrac{x^2 - x^4}{2(1+x^2)}=\dfrac{x^2(1 - x^2)}{2(1+x^2)} $
  
  $ \phantom{h(x) - f(x)}=\dfrac{x^2(1 - x)(1+x)}{2(1+x^2)} \geqslant 0 $
  
  Donc $ h(x) \geqslant f(x) $
  
  Finalement, pour tout $ x \in [0;1] $ : $ g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x) $.
2. $ f(0)=g(0)=h(0)=1 $ et $ f(1)=g(1)=h(1)=\dfrac{1}{2} $ donc les trois courbes passent par les points $ A(0;1) $ et $ B\left(1;\dfrac{1}{2}\right) $.
  
  La fonction $ g $ est la restriction à l'intervalle $ [0;1] $ d'une fonction affine. Sa représentation graphique est donc le segment $ [AB] $.
  
  La fonction $ h $ est la restriction à l'intervalle $ [0;1] $ d'une fonction polynôme du second degré. Sa représentation graphique est un arc de parabole (de sommet $ A $) :
1. L'intégrale $ I $ correspond à l'aire ( en unité d'aire ) de la surface délimitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la courbe $ C_f $ et la droite d'équation $ x=1 $ :
2. D'après la question 2. : $ g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x) $ pour tout $ x \in [0;1] $.
  
  D'après le théorème de comparaison des intégrales on obtient donc :
  
  $ \int_0^1g(x)dx \leqslant \int_0^1 f(x)dx \leqslant \int_0^1 h(x) dx $
  
  Or :
  
  $ \int_0^1g(x)dx = \int_0^1\left(1 - \dfrac{x}{2}\right) dx $
  
  $ \phantom{\int_0^1g(x)dx} = \left[x - \dfrac{x^2}{4}\right]_0^1=\dfrac{3}{4} $
  
  Et :
  
  $ \int_0^1h(x)dx = \int_0^1\left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right) dx $
  
  $ \phantom{\int_0^1g(x)dx} = \left[x - \dfrac{x^3}{6}\right]_0^1=\dfrac{5}{6} $
  
  Par conséquent $ \dfrac{3}{4} \leqslant I \leqslant \dfrac{5}{6} $
  
  Comme $ \dfrac{3}{4} =0,75 $ et $ \dfrac{5}{6} \approx 0,833 $, une valeur approchée de $ I $ au dixième est $ 0,8. $
  
  Remarque : On peut démontrer que cette intégrale est égale à $ \dfrac{\pi}{4} $ soit environ $ 0,785 $.

Intégrales Encadrements – Bac S Amérique du Nord 2008

Partie A

Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :

Soient $ u $ et $ v $ deux fonctions continues sur un intervalle $ \left[a, b\right] $ avec $ a < b $.

Si $ u > 0 $ sur $ \left[a, b\right] $ alors $ \int_{a}^{b} u\left(x\right)\text{d}x \geqslant 0 $.
Pour tous réels $ \alpha $ et $ \beta $, $ \int_{a}^{b} \left[\alpha u\left(x\right)+\beta v\left(x\right)\right] \text{d}x=\alpha \int_{a}^{b} u\left(x\right) \text{d}x+\beta \int_{a}^{b} v\left(x\right) \text{d}x. $

Démontrer que si $ f $ et $ g $ sont deux fonctions continues sur un intervalle $ \left[a, b\right] $ avec $ a < b$ et si, pour tout $ x $ de $ \left[a, b\right] $, $ f\left(x\right) \leqslant g\left(x\right) $ alors $ \int_{a}^{b} f\left(x\right) \text{d}x \leqslant \int_{a}^{b} g\left(x\right) \text{d}x $.

Partie B

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \left[0, +\infty \right[ $ par : $ f\left(x\right)=x+\ln\left(1+e^{ - x}\right) $. Sa courbe représentative $ C $ ainsi que la droite $ D $ d'équation $ y=x $ sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

$Repère orthonormal sur [0;5]×[0;5]. Droite D d'équation y=x (en bleu). Courbe C représentative de f(x)=x+ln(1+e^{-x}) (en rouge) située au-dessus de D, partant de (0; ln 2 ≈ 0,69) et se rapprochant asymptotiquement de D quand x croît.$

Montrer que $ f $ est croissante et positive sur $ \left[0 , +\infty \right[ $.
1. Montrer que la courbe $ C $ admet pour asymptote la droite $ D $.
2. Étudier la position de $ C $ par rapport à $ D $.
Soit $ I $ l'intégrale définie par : $ I= \int_{0}^{1} \ln\left(1+e^{ - x}\right) \text{d}x= \int_{0}^{1} \left[f\left(x\right) - x\right] \text{d}x $. On ne cherchera pas à calculer $ I $.
1. Donner une intérprétation géométrique de $ I $.
2. Montrer que pour tout réel $ t \geqslant 0 $, on a $ \ln\left(1+t\right) \leqslant t $.
  
  (On pourra étudier les variations de la fonction $ g $ définie sur $ \left[0,+\infty \right[ $ par $ g\left(t\right)=\ln\left(1+t\right) - t $)
  
  On admettra que pour tout réel $ t \geqslant 0 $, on a $ \dfrac{t}{t+1} \leqslant \ln\left(1+t\right) $.
3. En déduire que pour tout $ x $ de $ \left[0 , +\infty \right[ $, on a : $ \dfrac{e^{ - x}}{e^{ - x}+1} \leqslant \ln\left(1+e^{ - x}\right) \leqslant e^{ - x} $.
4. Montrer que $ \ln\left(\dfrac{2}{1+e^{ - 1}}\right) \leqslant I \leqslant 1 - e^{ - 1} $.
5. En déduire un encadrement de $ I $ d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux.
On désigne par $ M $ et $ N $ les points de même abscisse $ x $ appartenant respectivement à $ C $ et $ D $.

On juge que $ M $ et $ N $ sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance $ MN $ est inférieure à 0,5 mm.

Déterminer l'ensemble des valeurs de $ x $ pour lesquelles $ M $ et $ N $ sont indiscernables.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Corrigé

Partie A

Restitution organisée de connaissances

Démontrons que si $ f $ et $ g $ sont deux fonctions continues sur un intervalle $ [a, b] $ avec $ a < b $ et si, pour tout $ x $ de $ [a, b] $, $ f(x) \leqslant g(x) $ alors $ \int_{a}^{b} f(x) \text{d}x \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \text{d}x $.

Posons $ h(x) = g(x) - f(x) $.

Comme $ f(x) \leqslant g(x) $ pour tout $ x \in [a, b] $, on a $ h(x) \geqslant 0 $.

D'après le résultat (1), on peut écrire :

$ \int_{a}^{b} h(x) \text{d}x = \int_{a}^{b} [g(x) - f(x)] \text{d}x \geqslant 0 $

D'après le résultat (2), sur la linéarité de l'intégrale, on peut écrire :

$ \int_{a}^{b} [g(x) - f(x)] \text{d}x = \int_{a}^{b} g(x) \text{d}x - \int_{a}^{b} f(x) \text{d}x \geqslant 0 $

D'où :

$ \int_{a}^{b} f(x) \text{d}x \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \text{d}x $

Partie B

La fonction $ f $ est définie sur $ [0, +\infty [ $ par $ f(x) = x + \ln(1+e^{-x}) $.

Sur $ [0, +\infty [ $, on a $ e^{-x} > 0 \implies 1+e^{-x} > 1$, d'où $ \ln(1+e^{-x}) > \ln(1) > 0 $.

Comme $ x \geqslant 0 $, on en déduit que $ f(x) > 0 $. $ f $ est donc positive sur $ [0, +\infty [ $.

Calculons la dérivée de $ f $ :

$ f'(x) = 1 + \dfrac{-e^{-x}}{1+e^{-x}} = \dfrac{1+e^{-x}-e^{-x}}{1+e^{-x}} = \dfrac{1}{1+e^{-x}} $

$ f'(x) $ est strictement positive sur $ [0, +\infty [ $ car $ 1+e^{-x} > 0 $.

Par conséquent, $ f $ est croissante sur $ [0, +\infty [ $.
1. Étudions la limite de $ f(x) - x $ quand $ x \to +\infty $ :
  
  $ \lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(1+e^{-x}) $
  
  Comme $ \lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 $, on a $ \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(1+e^{-x}) = \ln(1) = 0 $.
  
  La courbe $ C $ admet donc pour asymptote la droite $ D $ d'équation $ y = x $ au voisinage de $ +\infty $.
2. Pour tout réel $ x \in [0, +\infty [ $, on a $ f(x) - x = \ln(1+e^{-x}) $.
  
  Comme $ 1+e^{-x} > 1 $ pour tout $ x $, on a $ \ln(1+e^{-x}) > 0 $.
  
  On en conclut que la courbe $ C $ est située au-dessus de la droite $ D $ sur l'intervalle $ [0, +\infty [ $.
$ I = \int_{0}^{1} \ln(1+e^{-x}) \text{d}x = \int_{0}^{1} [f(x) - x] \text{d}x $.
1. D'après la question précédente, $ f(x) - x \geqslant 0 $.
  
  $ I $ représente donc l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe $ C $, la droite $ D $ et les droites d'équations $ x=0 $ et $ x=1 $.
2. Soit $ g $ la fonction définie sur $ [0, +\infty [ $ par $ g(t) = \ln(1+t) - t $.
  
  $ g $ est dérivable sur $ [0, +\infty [ $ et $ g'(t) = \dfrac{1}{1+t} - 1 = \dfrac{1-(1+t)}{1+t} = \dfrac{-t}{1+t} $.
  
  Pour $ t > 0 $, $ g'(t) < 0 $, donc $ g $ est strictement décroissante sur $ [0, +\infty [ $.
  
  Comme $ g(0) = \ln(1) - 0 = 0 $, on en déduit que pour tout $ t \geqslant 0 $, $ g(t) \leqslant 0 $, soit :
  
  $ \ln(1+t) \leqslant t $
3. Pour tout $ x \in [0, +\infty [ $, on a $ 0 < e^{-x} \leqslant 1 $.
  
  En utilisant l'inégalité précédente et celle admise dans l'énoncé avec $ t = e^{-x} $, on obtient :
  
  $ \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \leqslant \ln(1+e^{-x}) \leqslant e^{-x} $
4. En intégrant l'encadrement précédent sur l'intervalle $ [0, 1] $ (les fonctions étant continues et $ 0 < 1 $), d'après la PARTIE A, on a :
  
  $ \int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \text{d}x \leqslant \int_{0}^{1} \ln(1+e^{-x}) \text{d}x \leqslant \int_{0}^{1} e^{-x} \text{d}x $
  
  Calculons les intégrales aux bornes :
5. Pour $ \int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \text{d}x $, on reconnaît la forme $ -\dfrac{u'}{u} $ avec $ u(x) = e^{-x}+1 $.
  
  Une primitive est $ P(x) = -\ln(e^{-x}+1) $.
  
  $ \int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \text{d}x = [-\ln(e^{-x}+1)]_0^1 = -\ln(e^{-1}+1) + \ln(2) = \ln\left(\dfrac{2}{1+e^{-1}}\right) $
6. Pour $ \int_{0}^{1} e^{-x} \text{d}x $, une primitive est $ Q(x) = -e^{-x} $.
  
  $ \int_{0}^{1} e^{-x} \text{d}x = [-e^{-x}]_0^1 = -e^{-1} - (-1) = 1 - e^{-1} $
  
  On en déduit l'encadrement :
  
  $ \ln\left(\dfrac{2}{1+e^{-1}}\right) \leqslant I \leqslant 1 - e^{-1} $
7. À l'aide d'une calculatrice, on trouve :
  
  $ \ln\left(\dfrac{2}{1+e^{-1}}\right) \approx 0,38 $ et $ 1 - e^{-1} \approx 0,63 $.
  
  Un encadrement de $ I $ d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux est par exemple :
  
  $ 0,3 \leqslant I \leqslant 0,7 $
La distance $ MN $ est égale à $ f(x) - x = \ln(1+e^{-x}) $.

L'unité graphique est 2 cm, donc 0,5 mm correspond à $ 0,05 / 2 = 0,025 $ unité.

On cherche $ x $ tel que $ \ln(1+e^{-x}) \leqslant 0,025 $.

Résolvons l'équation $ \ln(1+e^{-x}) = 0,025 $ :

$ 1+e^{-x} = e^{0,025} \iff e^{-x} = e^{0,025} - 1 \iff -x = \ln(e^{0,025} - 1) \iff x = -\ln(e^{0,025} - 1) = \ln\left(\dfrac{1}{e^{0,025} - 1}\right) $.

Comme la fonction $ x \mapsto \ln(1+e^{-x}) $ est strictement décroissante sur $ [0, +\infty [ $, l'ensemble des valeurs de $ x $ est :

$ x \geqslant \ln\left(\dfrac{1}{e^{0,025} - 1}\right) $

À la calculatrice, $ \ln\left(\dfrac{1}{e^{0,025} - 1}\right) \approx 3,676 $.

Les points $ M $ et $ N $ sont donc indiscernables pour $ x \geqslant 3,68 $ environ.

[Bac] Suites et intégrales

Extrait d'un exercice du Bac S Métropole 2014.

Le sujet complet est disponible ici : Bac S Métropole 2014

L'objet de cet exercice est d'étudier la suite $ \left(I_{n}\right) $ définie sur $ \mathbb{N} $ par :

$ I_{n}=\int_{0}^{1}\left(x+e^{ - nx}\right) dx. $

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $ , pour tout entier naturel $ n $, on note

$ \mathscr C_{n} $ la courbe représentative de la fonction $ f_{n} $ définie sur $ \mathbb{R} $ par

$ f_{n}\left(x\right)=x+e^{ - nx}. $

Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe $ \mathscr C_{n} $ pour plusieurs valeurs de l'entier $ n $ et la droite $ \mathscr D $ d'équation $ x=1 $.

Interpréter géométriquement l'intégrale $ I_{n} $.
En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $ \left(I_{n}\right) $ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer.
Démontrer que pour tout entier naturel $ n $ supérieur ou égal à 1,

$ I_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} \left(1 - e^{x}\right)dx. $

En déduire le signe de $ I_{n+1} - I_{n} $ puis démontrer que la suite $ \left(I_{n}\right) $ est convergente.
Déterminer l'expression de $ I_{n} $ en fonction de $ n $ et déterminer la limite de la suite $ \left(I_{n}\right) $.

Corrigé

Sur $ \left[0;1\right] $ les fonctions $ f_{n} $ sont strictement positives puisque $ x \geqslant 0 $ et $ e^{ - nx} > 0 $

L'intégrale $ I_{n} $ représente donc l'aire du plan délimité par la courbe $ \mathscr C_{n} $, l'axe des abscisses et les droites d'équations $ x=0 $ et $ x=1 $.
D'après la figure, il semble que la suite $ I_{n} $ soit décroissante et tende vers $ \dfrac{1}{2} $.

En effet, sur $ \left[0;1\right] $ les courbes $ \mathscr C_{n} $ semble se rapprocher de la droite d'équation $ y=x $;

l'aire comprise entre cette droite, l'axe des abscisses et les droites d'équations $ x=0 $ et $ x=1 $ vaut $ \dfrac{1}{2} $ (triangle rectangle isocèle dont les côtés mesurent 1 unité).
$ I_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}x+e^{ - \left(n+1\right)x}dx - \int_{0}^{1}x+e^{ - nx}dx $.

D'après la propriété de linéarité de l'intégrale :

$ I_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}x+e^{ - \left(n+1\right)x} - \left(x+e^{ - nx}\right)dx=\int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} - e^{ - nx}dx $

$ I_{n+1} - I_{n}= \int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} \left(1 - e^{x}\right)dx $

Or, sur $ \left[0;1\right] $, $ e^{x} \geqslant 1 $ donc $ 1 - e^{x}\leqslant 0 $ et $ e^{ - \left(n+1\right)x} > 0 $ donc d'après la propriété de positivité de l'intégrale : $ I_{n+1} - I_{n} \leqslant 0 $.

La suite $ \left(I_{n}\right) $ est donc décroissante. Comme elle est minorée par zéro elle est convergente.
Une primitive de $ x\mapsto x $ sur $ \mathbb{R} $ est $ x\mapsto \dfrac{x^{2}}{2} $

Une primitive de $ x\mapsto e^{ - nx} $ sur $ \mathbb{R} $ est $ x\mapsto - \dfrac{e^{ - nx}}{n} $

Par conséquent :

$ I_{n}=\int_{0}^{1}\left(x+e^{ - nx}\right) dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{e^{ - nx}}{n}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{e^{ - n}}{n}+\dfrac{1}{n} $

Comme $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{e^{ - n}}{n}=0 $ (par quotient) et $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{n}=0 $ on a donc :

$ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }I_{n}=\dfrac{1}{2} $