Budget mensuel d’une famille : synthèse sur les fractions

La famille Mercier dispose d'un budget mensuel de $ 2\,400 $ €. Chaque mois, elle dépense :

$ \dfrac{1}{3} $ du budget pour le logement,
$ \dfrac{1}{4} $ du budget pour la nourriture,
$ \dfrac{1}{8} $ du budget pour les transports.

Le reste du budget couvre les autres dépenses (loisirs, vêtements, épargne).

Calculer le montant en euros consacré chaque mois au logement, à la nourriture et aux transports.
Calculer, sous forme d'une fraction simplifiée au maximum, la part du budget consacrée à ces trois postes réunis (logement + nourriture + transports).
En déduire, sous forme d'une fraction simplifiée, la part du budget consacrée aux autres dépenses.
Calculer le montant en euros consacré aux autres dépenses, et vérifier la cohérence avec le total trouvé à la question 1.
Sur le montant des autres dépenses, la famille décide de consacrer $ \dfrac{3}{7} $ à l'épargne. Calculer le montant épargné chaque mois.
Quelle fraction du budget mensuel total cette épargne représente-t-elle ? Donner la réponse sous forme d'une fraction simplifiée.

Corrigé

Pour chaque poste, on multiplie le budget total par la fraction correspondante.

Logement : $ \dfrac{1}{3} \times 2\,400 = \dfrac{2\,400}{3} = 800 $
La famille dépense $ 800 $ € pour le logement.

Nourriture : $ \dfrac{1}{4} \times 2\,400 = \dfrac{2\,400}{4} = 600 $
La famille dépense $ 600 $ € pour la nourriture.

Transports : $ \dfrac{1}{8} \times 2\,400 = \dfrac{2\,400}{8} = 300 $
La famille dépense $ 300 $ € pour les transports.
On calcule la somme $ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} $.

Un multiple commun de $ 3 $, $ 4 $ et $ 8 $ est $ 24 $ ($ 24 = 3 \times 8 = 4 \times 6 = 8 \times 3 $).
$ \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 8}{3 \times 8} = \dfrac{8}{24} $
$ \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 6}{4 \times 6} = \dfrac{6}{24} $
$ \dfrac{1}{8} = \dfrac{1 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{3}{24} $

$ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{24} + \dfrac{6}{24} + \dfrac{3}{24} = \dfrac{17}{24} $

La fraction $ \dfrac{17}{24} $ est irréductible ($ 17 $ est premier et n'est pas un diviseur de $ 24 $).

Les trois postes représentent $\mathbf{\dfrac{17}{24}}$ du budget.
Le budget total représente la fraction $ 1 = \dfrac{24}{24} $. La part des autres dépenses est :
$ 1 - \dfrac{17}{24} = \dfrac{24}{24} - \dfrac{17}{24} = \dfrac{7}{24} $

Les autres dépenses représentent $\mathbf{\dfrac{7}{24}}$ du budget.
Montant des autres dépenses :
$ \dfrac{7}{24} \times 2\,400 = \dfrac{7 \times 2\,400}{24} = \dfrac{16\,800}{24} = 700 $

Les autres dépenses s'élèvent à $ 700 $ €.

Vérification : $ 800 + 600 + 300 + 700 = 2\,400 $. On retrouve bien le budget total, ce qui confirme le résultat.
Le montant épargné est $ \dfrac{3}{7} $ des $ 700 $ € :
$ \dfrac{3}{7} \times 700 = \dfrac{3 \times 700}{7} = \dfrac{2\,100}{7} = 300 $

La famille épargne $ 300 $ € chaque mois.
La fraction du budget total consacrée à l'épargne est :
$ \dfrac{300}{2\,400} $

On simplifie par $ 100 $ : $ \dfrac{300}{2\,400} = \dfrac{3}{24} $.
On simplifie par $ 3 $ : $ \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8} $.

L'épargne représente $\mathbf{\dfrac{1}{8}}$ du budget mensuel.

Pour réviser : Résoudre un problème avec des fractions

Recette de gâteau : adapter les quantités avec une fraction

Enora prépare un gâteau au chocolat. La recette prévue pour $ 6 $ personnes nécessite les ingrédients suivants :

$ 180 $ g de farine,
$ 240 $ g de chocolat,
$ 0{,}2 $ L de lait,
$ 4 $ œufs.

Enora veut faire ce gâteau pour $ 9 $ personnes. Donner, sous forme de fraction simplifiée, le facteur par lequel il faut multiplier chaque quantité de la recette.
Calculer les quantités de farine, de chocolat et de lait nécessaires pour $ 9 $ personnes.
Combien d'œufs faut-il ?
Sa sœur Léna veut, le lendemain, préparer le même gâteau pour $ 4 $ personnes. Donner le facteur correspondant sous forme de fraction simplifiée, puis calculer la quantité de chocolat nécessaire.

Corrigé

Pour passer d'une recette de $ 6 $ personnes à $ 9 $ personnes, on multiplie chaque quantité par $ \dfrac{9}{6} $.
On simplifie par $ 3 $ : $ \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} $.

Le facteur cherché est $\mathbf{\dfrac{3}{2}}$.
On multiplie chaque quantité par $ \dfrac{3}{2} $.

Farine : $ \dfrac{3}{2} \times 180 = \dfrac{3 \times 180}{2} = \dfrac{540}{2} = 270 $
Il faut $ 270 $ g de farine.

Chocolat : $ \dfrac{3}{2} \times 240 = \dfrac{3 \times 240}{2} = \dfrac{720}{2} = 360 $
Il faut $ 360 $ g de chocolat.

Lait : $ \dfrac{3}{2} \times 0{,}2 = \dfrac{3 \times 0{,}2}{2} = \dfrac{0{,}6}{2} = 0{,}3 $
Il faut $ 0{,}3 $ L de lait.
Pour les œufs : $ \dfrac{3}{2} \times 4 = \dfrac{3 \times 4}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 $.
Il faut $ 6 $ œufs.
Pour passer de $ 6 $ personnes à $ 4 $ personnes, on multiplie chaque quantité par $ \dfrac{4}{6} $.
On simplifie par $ 2 $ : $ \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} $.

Le facteur est $\mathbf{\dfrac{2}{3}}$.

Quantité de chocolat :
$ \dfrac{2}{3} \times 240 = \dfrac{2 \times 240}{3} = \dfrac{480}{3} = 160 $
Il faut $ 160 $ g de chocolat pour $ 4 $ personnes.

Pour réviser : Calculer la fraction d'une quantité

Vrai/Faux : Raisonnement et problèmes avec fractions

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur des raisonnements et des situations concrètes avec des fractions, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pierre mange $\dfrac{2}{5}$ d'une tarte et Léa $\dfrac{1}{3}$ de la même tarte. Il reste $\dfrac{4}{15}$ de la tarte.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Total mangé : $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$. Reste : $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{15}{15} - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le raisonnement consiste à additionner les deux parts mangées (avec le dénominateur commun $15$) puis à soustraire ce total de $1$. On obtient bien $\dfrac{4}{15}$ pour la part restante.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{11}{15}$, donc il reste $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur un trajet de $80$ km, Marc parcourt les $\dfrac{3}{4}$ et Léa les $\dfrac{1}{4}$. Marc et Léa ont parcouru exactement la même distance.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Marc parcourt $\dfrac{3}{4} \times 80 = 60$ km, Léa $\dfrac{1}{4} \times 80 = 20$ km. Les distances sont très différentes : Marc parcourt trois fois plus que Léa.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas se fier aux fractions seules : $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{1}{4}$ sont très différentes. Calculer chaque distance : Marc $= 60$ km, Léa $= 20$ km. Donc trois fois plus pour Marc.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Marc parcourt $60$ km et Léa $20$ km : Marc parcourt trois fois plus.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si on prend les $\dfrac{2}{3}$ d'une quantité, puis $\dfrac{1}{3}$ de cette même quantité (pas du résultat précédent), la somme correspond à la quantité totale.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On additionne les deux fractions de la quantité : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$. Donc la somme des deux parts vaut bien la quantité totale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Comme les deux parts sont prises de la même quantité initiale, on peut additionner les fractions correspondantes : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$. La somme reconstitue donc la totalité.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$, donc la somme des deux parts reconstitue la quantité totale.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les $\dfrac{3}{4}$ de $40$ litres font plus que $40$ litres.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La fraction $\dfrac{3}{4}$ est inférieure à $1$ : prendre une fraction inférieure à $1$ d'une quantité donne toujours moins que la quantité. Vérification : $\dfrac{3}{4} \times 40 = 30 < 40$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de croire que $\dfrac{3}{4}$ est « grand ». Or $\dfrac{3}{4}$ est plus petit que $1$, donc les $\dfrac{3}{4}$ d'une quantité sont toujours plus petits que la quantité elle-même : $\dfrac{3}{4} \times 40 = 30 < 40$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $\dfrac{3}{4} < 1$, les $\dfrac{3}{4}$ de $40$ litres font moins que $40$ litres : ici $30$ litres.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour partager équitablement $5$ pizzas entre $4$ personnes, chaque personne reçoit $\dfrac{5}{4}$ de pizza, soit plus d'une pizza entière.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Partager $5$ pizzas entre $4$ personnes, c'est calculer $5 \div 4 = \dfrac{5}{4}$ par personne. Comme $5 > 4$, la fraction $\dfrac{5}{4}$ est supérieure à $1$ : chaque personne reçoit donc plus d'une pizza entière (on peut écrire $\dfrac{5}{4} = 1 + \dfrac{1}{4}$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Ici il y a plus de pizzas que de personnes, donc chacun reçoit plus d'une pizza. Le partage donne $5 \div 4 = \dfrac{5}{4}$ par personne, soit une pizza entière plus un quart.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le partage donne $5 \div 4 = \dfrac{5}{4}$ par personne, soit $1 + \dfrac{1}{4}$ : un peu plus d'une pizza entière.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une voiture parcourt les $\dfrac{3}{5}$ d'un trajet de $250$ km. Elle a parcouru $100$ km.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Le calcul correct est $\dfrac{3}{5} \times 250 = \dfrac{3 \times 250}{5} = \dfrac{750}{5} = 150$ km. La distance parcourue est donc $150$ km, et non $100$ km.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérifier le calcul : $\dfrac{3}{5}$ de $250$, c'est $\dfrac{3 \times 250}{5} = 150$ km. La valeur $100$ correspondrait à $\dfrac{2}{5}$ de $250$, et non $\dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{3}{5}$ de $250$ km font $\dfrac{3 \times 250}{5} = 150$ km, et non $100$ km.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Propriétés et vocabulaire des opérations

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les règles et propriétés des opérations sur les fractions, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour additionner deux fractions de dénominateurs différents, on doit obligatoirement les écrire avec un dénominateur commun.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La règle d'addition (additionner les numérateurs en gardant le dénominateur) ne s'applique que si les fractions ont le même dénominateur. Sans dénominateur commun, l'addition ne peut pas se faire directement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel de cours : on n'additionne pas $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ en faisant $\dfrac{2}{5}$. Il faut d'abord réduire au même dénominateur, puis additionner les numérateurs.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Sans dénominateur commun, l'addition (ou la soustraction) de fractions n'est pas réalisable directement.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour multiplier une fraction par un entier $n$, on multiplie le numérateur ET le dénominateur par $n$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Multiplier numérateur et dénominateur par le même nombre donne une fraction égale (c'est ainsi qu'on réduit au même dénominateur), pas une fraction multipliée. Pour multiplier par $n$, on multiplie uniquement le numérateur par $n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre deux opérations : multiplier numérateur et dénominateur par un même nombre ne change pas la valeur de la fraction. Pour multiplier une fraction par $n$, seul le numérateur est multiplié.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Multiplier une fraction par un entier $n$ ne touche que le numérateur : $n \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{n \times a}{b}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Prendre les $\dfrac{a}{b}$ d'une quantité $q$ revient à calculer $\dfrac{a \times q}{b}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Prendre $\dfrac{a}{b}$ d'une quantité $q$, c'est multiplier $q$ par $\dfrac{a}{b}$ : $\dfrac{a}{b} \times q = \dfrac{a \times q}{b}$. On peut aussi diviser $q$ par $b$ puis multiplier par $a$ — l'ordre ne change pas le résultat.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La définition d'une fraction d'une quantité est exactement cela : prendre les $\dfrac{a}{b}$ de $q$, c'est calculer $\dfrac{a}{b} \times q$, et ce produit s'écrit $\dfrac{a \times q}{b}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par définition, prendre $\dfrac{a}{b}$ d'une quantité $q$ revient à calculer $\dfrac{a}{b} \times q = \dfrac{a \times q}{b}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour additionner $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$, le dénominateur commun le plus simple à choisir est $5$ (la somme des dénominateurs).

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Un dénominateur commun doit être un multiple commun des deux dénominateurs, pas leur somme. Ici, $5$ n'est multiple ni de $2$ ni de $3$. Le bon choix est $6$ (plus petit multiple commun de $2$ et $3$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : un dénominateur commun n'est pas la somme des dénominateurs, mais un multiple commun. Le plus simple ici est $6$ ($2 \times 3$ ou plus petit multiple commun).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le dénominateur commun doit être un multiple commun des deux dénominateurs ; pour $2$ et $3$, c'est $6$ (et non $5$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une fraction et un nombre entier peuvent toujours s'additionner en écrivant l'entier sous forme de fraction.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Tout entier $n$ s'écrit $\dfrac{n}{1}$, et plus généralement $\dfrac{n \times b}{b}$ pour n'importe quel dénominateur $b$. Cela permet de l'additionner ou le soustraire à n'importe quelle fraction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de penser qu'on ne peut pas mélanger entiers et fractions. En réalité, tout entier $n$ peut s'écrire $\dfrac{n}{1}$, ou avec n'importe quel dénominateur souhaité.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Un entier $n$ s'écrit $\dfrac{n}{1}$ ou plus généralement $\dfrac{n \times b}{b}$, ce qui permet de l'additionner à n'importe quelle fraction.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour toutes valeurs entières $a$, $b$, $c$, $d$ (avec $b$ et $d$ non nuls) : $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Cette « règle » est une erreur fréquente. Contre-exemple : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$. Or la formule donnerait $\dfrac{1+1}{2+2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$. Les deux résultats sont différents : la formule est fausse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas additionner les dénominateurs. La règle correcte oblige à passer par un dénominateur commun. Vérifier sur un exemple simple comme $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}$ : la formule proposée donne $\dfrac{1}{2}$, alors que le résultat juste est $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le dénominateur ne s'obtient jamais en additionnant les dénominateurs ; il faut d'abord réduire les fractions au même dénominateur.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Calculs courants sur les fractions

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les calculs courants avec des fractions, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les deux fractions ont le même dénominateur $7$. On additionne les numérateurs : $3 + 2 = 5$. Le dénominateur reste $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand deux fractions ont le même dénominateur, on additionne uniquement les numérateurs et le dénominateur reste inchangé. Ici $3 + 2 = 5$, donc $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec un même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur : $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le dénominateur a été doublé alors qu'il doit rester inchangé. Le résultat correct est $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : avec le même dénominateur, le dénominateur ne change pas. La somme $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}$ vaut $\dfrac{2}{4}$ (et non $\dfrac{2}{8}$), ce qui se simplifie en $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Avec un même dénominateur, on n'additionne pas les dénominateurs : $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{9}{10} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On soustrait les numérateurs : $\dfrac{9}{10} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{6}{10}$. On simplifie en divisant numérateur et dénominateur par $2$ : $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de ne pas penser à simplifier. La soustraction donne $\dfrac{6}{10}$, qui se simplifie en $\dfrac{3}{5}$ : la deuxième écriture est bien valable.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{9}{10} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ après simplification par $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $5 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le dénominateur a été multiplié par $5$ aussi, alors qu'il devait rester inchangé. Le résultat correct est $5 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{5 \times 2}{3} = \dfrac{10}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour multiplier une fraction par un entier, on multiplie uniquement le numérateur. Le dénominateur ne change pas : $5 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{3}$, et non $\dfrac{10}{15}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le dénominateur ne se multiplie pas : $5 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les $\dfrac{1}{3}$ de $24$ valent $8$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Prendre $\dfrac{1}{3}$ d'une quantité, c'est la diviser par $3$ : $24 \div 3 = 8$. On peut aussi écrire $\dfrac{1}{3} \times 24 = \dfrac{24}{3} = 8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : prendre $\dfrac{1}{b}$ d'un nombre, c'est le diviser par $b$. Ici, $24 \div 3 = 8$, ce qui correspond bien aux $\dfrac{1}{3}$ de $24$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les $\dfrac{1}{3}$ de $24$ s'obtiennent par $24 \div 3 = 8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{4}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Le dénominateur a été doublé, mais il doit rester inchangé. Le résultat correct est $\dfrac{4}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au dénominateur : il ne se double pas. Avec un même dénominateur, on additionne uniquement les numérateurs : $\dfrac{4}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{5}$ (et non $\dfrac{8}{10}$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le dénominateur ne change pas : $\dfrac{4}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{5}$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Multiplier une fraction et fraction d’une quantité

[enonce]
Ce QCM porte sur la multiplication d'une fraction par un nombre et le calcul d'une fraction d'une quantité. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Calculer $4 \times \dfrac{3}{5}$.
[qcm]
[option]$\dfrac{12}{20}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{12}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{15}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour multiplier une fraction par un entier, on multiplie le numérateur par cet entier et on garde le dénominateur : $4 \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{4 \times 3}{5} = \dfrac{12}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{20}$"]Non.
Le numérateur ET le dénominateur ont été multipliés par $4$. Pour multiplier une fraction par un entier, seul le numérateur est multiplié.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{5}$"]Non.
L'entier $4$ a été additionné au numérateur ($4 + 3 = 7$) au lieu d'être multiplié. Bien lire le signe de l'opération.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{15}$"]Non.
L'entier $4$ a été gardé tel quel au numérateur, et le dénominateur a été multiplié par le numérateur de la fraction ($5 \times 3 = 15$). C'est le numérateur qu'il faut multiplier par $4$, et le dénominateur reste inchangé : $\dfrac{4 \times 3}{5} = \dfrac{12}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour multiplier une fraction par un entier, multiplier le numérateur par cet entier et garder le même dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer $0{,}5 \times \dfrac{6}{7}$.
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{7}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{3{,}5}$[/option]
[option]$\dfrac{6{,}5}{7}$[/option]
[option]$\dfrac{6}{3{,}5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On multiplie le numérateur par $0{,}5$ et on garde le dénominateur : $\dfrac{0{,}5 \times 6}{7} = \dfrac{3}{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{3{,}5}$"]Non.
Le numérateur ET le dénominateur ont été multipliés par $0{,}5$. Pour multiplier une fraction par un nombre, seul le numérateur est multiplié.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6{,}5}{7}$"]Non.
Le nombre $0{,}5$ a été additionné au numérateur ($0{,}5 + 6 = 6{,}5$) au lieu d'être multiplié.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{3{,}5}$"]Non.
Le dénominateur a été multiplié par $0{,}5$ au lieu du numérateur. La règle s'applique uniquement au numérateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour multiplier une fraction par un nombre décimal, multiplier le numérateur par ce nombre et garder le même dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer les $\dfrac{3}{4}$ de $20$.
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$60$[/option]
[option correct="true"]$15$[/option]
[option]$\dfrac{80}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Prendre les $\dfrac{3}{4}$ d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par $\dfrac{3}{4}$ : $\dfrac{3}{4} \times 20 = \dfrac{3 \times 20}{4} = \dfrac{60}{4} = 15$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Seule la division $20 \div 4 = 5$ a été effectuée : c'est le quart de $20$, pas les trois-quarts. Il faut ensuite multiplier par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$60$"]Non.
Seule la multiplication $3 \times 20 = 60$ a été effectuée. Il manque la division par le dénominateur $4$ pour obtenir les $\dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{80}{3}$"]Non.
Le calcul effectué correspond à $\dfrac{4}{3}$ de $20$ (numérateur et dénominateur inversés). Bien identifier le rôle du numérateur ($3$) et du dénominateur ($4$) dans la fraction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Prendre les $\dfrac{a}{b}$ d'une quantité $q$, c'est calculer $\dfrac{a \times q}{b}$. Multiplier d'abord, diviser ensuite (ou l'inverse).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer $\dfrac{5}{8} \times 16$.
[qcm]
[option]$\dfrac{80}{128}$[/option]
[option]$80$[/option]
[option correct="true"]$10$[/option]
[option]$\dfrac{5}{128}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On multiplie le numérateur par $16$ et on garde le dénominateur : $\dfrac{5}{8} \times 16 = \dfrac{5 \times 16}{8} = \dfrac{80}{8} = 10$. On peut aussi simplifier avant : $\dfrac{16}{8} = 2$, donc $5 \times 2 = 10$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{80}{128}$"]Non.
Le numérateur ET le dénominateur ont été multipliés par $16$. Pour multiplier une fraction par un entier, seul le numérateur est multiplié.[/reponse]
[reponse motif="$80$"]Non.
La division par le dénominateur $8$ a été oubliée : après avoir calculé $5 \times 16 = 80$, il faut encore diviser par $8$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{128}$"]Non.
L'entier $16$ a été multiplié au dénominateur ($8 \times 16 = 128$) au lieu du numérateur. La règle s'applique au numérateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour multiplier une fraction par un entier, multiplier le numérateur par cet entier et garder le dénominateur. On peut simplifier avant pour faciliter le calcul.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une recette utilise les $\dfrac{2}{5}$ d'un sac de farine de $750$ g. Quelle masse de farine est utilisée ?
[qcm]
[option correct="true"]$300$ g[/option]
[option]$150$ g[/option]
[option]$1\,500$ g[/option]
[option]$375$ g[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Prendre les $\dfrac{2}{5}$ de $750$ revient à calculer $\dfrac{2 \times 750}{5} = \dfrac{1\,500}{5} = 300$. La recette utilise $300$ g de farine.[/reponse]
[reponse motif="$150$ g"]Non.
La division $750 \div 5 = 150$ donne $\dfrac{1}{5}$ du sac, pas $\dfrac{2}{5}$. Il faut ensuite multiplier par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,500$ g"]Non.
Le calcul $2 \times 750 = 1\,500$ a été effectué, mais la division par $5$ a été oubliée. Le résultat doit être inférieur à $750$ g (puisque $\dfrac{2}{5}$ est plus petit que $1$).[/reponse]
[reponse motif="$375$ g"]Non.
$375$ g correspond à la moitié du sac, soit $\dfrac{1}{2}$. Or $\dfrac{2}{5}$ n'est pas $\dfrac{1}{2}$ : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}$, ce qui est inférieur à $\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{2}{5} \times 750$ en multipliant $2$ par $750$, puis en divisant par $5$ (ou en divisant d'abord par $5$, puis en multipliant par $2$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur un dessin, $\dfrac{3}{8}$ de la surface est colorée en rouge. La surface totale est $40$ cm$^2$. Quelle est l'aire de la zone rouge ?
[qcm]
[option]$5$ cm$^2$[/option]
[option]$\dfrac{40}{24}$ cm$^2$[/option]
[option correct="true"]$15$ cm$^2$[/option]
[option]$\dfrac{320}{3}$ cm$^2$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On calcule $\dfrac{3}{8} \times 40 = \dfrac{3 \times 40}{8} = \dfrac{120}{8} = 15$. L'aire de la zone rouge est $15$ cm$^2$.[/reponse]
[reponse motif="$5$ cm$^2$"]Non.
La division $40 \div 8 = 5$ donne $\dfrac{1}{8}$ de la surface, pas $\dfrac{3}{8}$. Il faut ensuite multiplier par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{40}{24}$ cm$^2$"]Non.
Le numérateur et le dénominateur de la fraction ont été multipliés ($3 \times 8 = 24$), au lieu de calculer $\dfrac{3 \times 40}{8}$. Bien suivre la règle de la fraction d'une quantité.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{320}{3}$ cm$^2$"]Non.
Le calcul correspond à $\dfrac{8}{3} \times 40$, c'est-à-dire que numérateur et dénominateur ont été échangés. Or la fraction utilisée est $\dfrac{3}{8}$, avec $3$ au numérateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{3}{8} \times 40$ en multipliant $3$ par $40$ puis en divisant par $8$ (on peut aussi commencer par diviser).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]