Loi donnée : espérance, variance et écart-type

La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau suivant :

$x_i$	$-3$	$0$	$2$	$4$	$7$
$p(X = x_i)$	$0{,}1$	$0{,}25$	$0{,}3$	$0{,}2$	$0{,}15$

Vérifier que le tableau définit bien une loi de probabilité.
Calculer l'espérance $E(X)$.
Calculer la variance $V(X)$.
En déduire l'écart-type $\sigma(X)$, arrondi au centième.

Corrigé

La somme des probabilités vaut :

$0{,}1 + 0{,}25 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}15 = 1$

Toutes les probabilités sont comprises entre $0$ et $1$ et leur somme vaut $1$ : le tableau définit bien une loi de probabilité.
L'espérance est la somme des produits de chaque valeur par sa probabilité :

$E(X) = (-3) \times 0{,}1 + 0 \times 0{,}25 + 2 \times 0{,}3 + 4 \times 0{,}2 + 7 \times 0{,}15$

$E(X) = -0{,}3 + 0 + 0{,}6 + 0{,}8 + 1{,}05$

$E(X) = \mathbf{2{,}15}$
On utilise la formule $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$, avec $E(X^2) = \sum p_i x_i^2$ :

$E(X^2) = (-3)^2 \times 0{,}1 + 0^2 \times 0{,}25 + 2^2 \times 0{,}3 + 4^2 \times 0{,}2 + 7^2 \times 0{,}15$

$E(X^2) = 0{,}9 + 0 + 1{,}2 + 3{,}2 + 7{,}35 = 12{,}65$

On applique alors la formule :

$V(X) = 12{,}65 - 2{,}15^2 = 12{,}65 - 4{,}6225$

$V(X) = \mathbf{8{,}0275}$
L'écart-type est la racine carrée de la variance :

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{8{,}0275}$

$\sigma(X) \approx \mathbf{2{,}83}$

QCM Bilan : Variables aléatoires

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : lecture d'une loi de probabilité, espérance, variance et écart-type, transformations affines et jeu équitable. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau ci-dessous, où une valeur est manquante.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline p(X = x_i) & 0{,}15 & 0{,}25 & ? & 0{,}4 \\ \hline \end{array}$$

Que vaut $p(X = 3)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}8$[/option]
[option correct="true"]$0{,}2$[/option]
[option]$0{,}25$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La somme de toutes les probabilités d'une loi vaut $1$ :
$0{,}15 + 0{,}25 + p(X=3) + 0{,}4 = 1$
$p(X=3) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}8$"]Non.
$0{,}8$ correspond à la somme des trois probabilités déjà connues, pas à celle qui manque.
Cherche plutôt ce qu'il faut ajouter à $0{,}8$ pour atteindre $1$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
Tu as recopié une probabilité déjà présente dans le tableau.
Utilise la contrainte sur la somme totale des probabilités.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
Vérifie ton total : la somme de toutes les probabilités d'une loi doit valoir exactement $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La somme des probabilités d'une loi vaut toujours $1$ : ajoute les valeurs connues et complète jusqu'à $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère une variable aléatoire $X$ dont la loi est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & -2 & 0 & 1 & 3 \\ \hline p(X = x_i) & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}$$

Quelle est l'espérance $E(X)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}3$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$1{,}1$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$E(X) = (-2) \times 0{,}2 + 0 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}4 + 3 \times 0{,}1$
$E(X) = -0{,}4 + 0 + 0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}3$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
Tu as fait la moyenne des quatre valeurs sans tenir compte de leurs probabilités : $\dfrac{-2 + 0 + 1 + 3}{4}$.
Chaque valeur doit être pondérée par sa probabilité $p(X = x_i)$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Tu as seulement additionné les valeurs $x_i$ : $-2 + 0 + 1 + 3$.
Il faut multiplier chaque valeur par sa probabilité avant d'additionner.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}1$"]Non.
Le terme correspondant à $x_i = -2$ a été compté positif : $(+2) \times 0{,}2$ au lieu de $(-2) \times 0{,}2$.
Attention au signe de cette valeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'espérance est la somme des produits $x_i \times p(X = x_i)$ : vérifie le signe de chaque terme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La variable aléatoire $X$ de la question précédente a pour espérance $E(X) = 0{,}3$. Sa loi reste :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & -2 & 0 & 1 & 3 \\ \hline p(X = x_i) & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}$$

Quelle est la variance $V(X)$ ?
[qcm]
[option]$2{,}1$[/option]
[option]$0{,}09$[/option]
[option correct="true"]$2{,}01$[/option]
[option]$1{,}79$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule d'abord $E(X^2)$ :
$E(X^2) = (-2)^2 \times 0{,}2 + 0^2 \times 0{,}3 + 1^2 \times 0{,}4 + 3^2 \times 0{,}1$
$E(X^2) = 0{,}8 + 0 + 0{,}4 + 0{,}9 = 2{,}1$
Puis $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2{,}1 - 0{,}3^2 = 2{,}1 - 0{,}09 = 2{,}01$.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}1$"]Non.
Tu t'es arrêté à $E(X^2)$.
Il reste à retrancher le carré de l'espérance.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}09$"]Non.
$0{,}09$ est seulement le carré de l'espérance.
Ce n'est qu'un des deux termes de la formule de la variance.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}79$"]Non.
Tu as sans doute retranché $0{,}3$ au lieu de son carré.
Dans la formule de la variance, c'est $[E(X)]^2$ que l'on soustrait.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La variance vaut $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ : calcule séparément $E(X^2)$ puis soustrais le carré de l'espérance.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une variable aléatoire $Y$ a pour variance $V(Y) = 1{,}69$.

Quel est son écart-type $\sigma(Y)$ ?
[qcm]
[option]$2{,}86$[/option]
[option]$0{,}845$[/option]
[option correct="true"]$1{,}3$[/option]
[option]$1{,}69$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'écart-type est la racine carrée de la variance :
$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{1{,}69} = 1{,}3$.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}86$"]Non.
Tu as élevé la variance au carré au lieu d'en prendre la racine.
L'écart-type s'obtient par l'opération inverse.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}845$"]Non.
Diviser la variance par $2$ ne donne pas l'écart-type.
Quelle opération relie l'écart-type à la variance ?[/reponse]
[reponse motif="$1{,}69$"]Non.
Tu as recopié la variance.
L'écart-type est une autre quantité, obtenue à partir de la variance par une opération précise.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'écart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X) = 4$. On pose $Y = 3X - 2$.

Quelle est l'espérance $E(Y)$ ?
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$10$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'espérance d'une transformation affine vérifie $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ :
$E(Y) = 3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
Tu as appliqué le coefficient multiplicateur mais oublié la constante.
Reprends le terme $-2$ de la transformation.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Tu as oublié de multiplier l'espérance par le coefficient $3$.
La transformation comporte aussi une dilatation.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ est l'espérance de $X$, pas celle de $Y$.
La transformation affine modifie l'espérance.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une transformation affine, $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ : applique le coefficient puis ajoute la constante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un jeu propose le gain aléatoire $X$ suivant : on gagne $a$ euros avec une probabilité de $0{,}25$, et on perd $2$ euros avec une probabilité de $0{,}75$.

Pour quelle valeur de $a$ ce jeu est-il équitable ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$1{,}5$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain est nulle :
$E(X) = a \times 0{,}25 + (-2) \times 0{,}75 = 0{,}25\,a - 1{,}5$
$E(X) = 0 \Leftrightarrow 0{,}25\,a = 1{,}5 \Leftrightarrow a = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Tu as sans doute simplement compensé la perte de $2$ euros par un gain de $2$ euros.
Mais les deux issues n'ont pas la même probabilité : il faut écrire que l'espérance est nulle.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$"]Non.
$1{,}5$ correspond à la perte moyenne $2 \times 0{,}75$, pas à la valeur du gain.
Pense à diviser par la probabilité du gain.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
Tu as confondu le gain avec sa probabilité.
La condition d'équité porte sur l'espérance, pas sur les probabilités.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un jeu est équitable quand $E(X) = 0$ : écris l'espérance en fonction de $a$ puis résous l'équation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Déterminer une loi puis calculer espérance, variance et écart-type

[enonce]
Lors d'une kermesse, une roue de loterie est partagée en $10$ secteurs identiques. En lançant la roue, le joueur gagne le nombre de points inscrit sur le secteur où elle s'arrête :

$5$ secteurs portent $0$ point ;
$3$ secteurs portent $2$ points ;
$1$ secteur porte $5$ points ;
$1$ secteur porte $10$ points.

On note $X$ le nombre de points obtenus à l'issue d'un lancer. On souhaite établir la loi de probabilité de $X$, puis caractériser ce jeu par son espérance, sa variance et son écart-type.
[/enonce]

[etape]
Déterminer l'ensemble des valeurs que peut prendre $X$.
[qcm]
[option]$\{0\,;\,1\,;\,2\,;\,\dots\,;\,10\}$[/option]
[option correct="true"]$\{0\,;\,2\,;\,5\,;\,10\}$[/option]
[option]$\{2\,;\,5\,;\,10\}$[/option]
[option]$\{5\,;\,3\,;\,1\,;\,1\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$X$ prend uniquement les valeurs réellement inscrites sur la roue, chacune comptée une seule fois : $0$, $2$, $5$ et $10$.[/reponse]
[reponse motif="$\{5\,;\,3\,;\,1\,;\,1\}$"]Attention : ces nombres sont les effectifs de secteurs, pas les points gagnés. $X$ représente les points obtenus.[/reponse]
[reponse motif="$\{2\,;\,5\,;\,10\}$"]Un secteur peut aussi rapporter $0$ point : cette valeur fait bien partie des résultats possibles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$X$ ne prend que les valeurs effectivement présentes sur la roue, sans répétition. Relire la liste des secteurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Donner la probabilité $p(X = 0)$ sous forme de fraction irréductible : $p(X = 0) = $ [[p0]]
[math id="p0" attendu="\dfrac{1}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Cinq secteurs sur dix portent $0$ point, donc $p(X = 0) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur est juste, mais la fraction n'est pas réduite : simplifier numérateur et dénominateur par leur diviseur commun.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{5}"]Compter le nombre de secteurs favorables : combien de secteurs portent $0$ point parmi les $10$ ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Une probabilité dans une situation d'équiprobabilité se lit comme le nombre de cas favorables sur le nombre total de secteurs.[/reponse]
[aide essai="2"]Combien de secteurs portent $0$ point ? Combien y a-t-il de secteurs en tout ?[/aide]
[aide essai="3"]Il y a $5$ secteurs favorables sur $10$ ; reste à simplifier la fraction obtenue.[/aide]
[solution]Cinq secteurs sur dix portent $0$ point : $p(X = 0) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$.[/solution]
[/math]
[/etape]

[etape]
En procédant de la même manière pour chaque valeur, on obtient la loi de $X$. Donner la probabilité $p(X = 5)$ sous forme décimale : $p(X = 5) = $ [[p5]]
[math id="p5" attendu="0,1"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Un seul secteur sur dix porte $5$ points, soit $p(X = 5) = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$.
La loi complète s'écrit alors :

$x_i$	$0$	$2$	$5$	$10$
$p(X = x_i)$	$0{,}5$	$0{,}3$	$0{,}1$	$0{,}1$

On vérifie que $0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}1 + 0{,}1 = 1$, ce qui confirme la loi.[/reponse]
[reponse motif="0,3"]Cette valeur correspond à un autre gain : bien repérer le nombre de secteurs portant $5$ points.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Repérer le nombre de secteurs portant exactement $5$ points, puis diviser par le nombre total de secteurs.[/reponse]
[aide essai="2"]Combien de secteurs portent $5$ points sur les $10$ de la roue ?[/aide]
[aide essai="3"]Un seul secteur est favorable ; il reste à écrire la fraction correspondante sous forme décimale.[/aide]
[solution]Un seul secteur sur dix porte $5$ points : $p(X = 5) = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$.[/solution]
[/math]
[/etape]

[etape]
À partir de la loi de $X$, calculer l'espérance $E(X)$ : $E(X) = $ [[esp]]
[math id="esp" attendu="2,1"]
[reponse statut="correct"]Parfait !
$E(X) = 0 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}3 + 5 \times 0{,}1 + 10 \times 0{,}1 = 0{,}6 + 0{,}5 + 1 = 2{,}1$.
En moyenne, un lancer rapporte donc $2{,}1$ points.[/reponse]
[reponse motif="4,25"]Il ne faut pas faire la moyenne des valeurs seules : chaque valeur doit être pondérée par sa probabilité.[/reponse]
[reponse motif="17"]C'est la somme des valeurs $0 + 2 + 5 + 10$ : il manque la pondération par les probabilités.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'espérance est une moyenne pondérée : multiplier chaque valeur par sa probabilité avant d'additionner.[/reponse]
[aide essai="2"]L'espérance combine chaque valeur $x_i$ avec sa probabilité $p_i$ sous la forme $\sum p_i x_i$.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $0 \times 0{,}5$, puis $2 \times 0{,}3$, $5 \times 0{,}1$ et $10 \times 0{,}1$, et additionner ces quatre produits.[/aide]
[solution]$E(X) = 0 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}3 + 5 \times 0{,}1 + 10 \times 0{,}1 = 2{,}1$.[/solution]
[/math]
[/etape]

[etape]
Déterminer $E(X^2)$ : $E(X^2) = $ [[esp2]]
[math id="esp2" attendu="13,7"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$E(X^2) = 0^2 \times 0{,}5 + 2^2 \times 0{,}3 + 5^2 \times 0{,}1 + 10^2 \times 0{,}1 = 0 + 1{,}2 + 2{,}5 + 10 = 13{,}7$.[/reponse]
[reponse motif="4,41"]C'est $E(X)^2$, le carré de l'espérance, et non $E(X^2)$ : ici chaque valeur doit être élevée au carré avant la pondération.[/reponse]
[reponse motif="2,1"]C'est l'espérance $E(X)$ : pour $E(X^2)$, élever d'abord chaque valeur au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Dans $E(X^2)$, on pondère les carrés des valeurs : remplacer chaque $x_i$ par $x_i^2$ avant de multiplier par $p_i$.[/reponse]
[aide essai="2"]$E(X^2)$ se calcule comme une espérance, mais en utilisant les valeurs $x_i^2$ au lieu des $x_i$.[/aide]
[aide essai="3"]Élever au carré : $0^2 = 0$, $2^2 = 4$, $5^2 = 25$, $10^2 = 100$, puis pondérer chacun par sa probabilité.[/aide]
[solution]$E(X^2) = 0 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}3 + 25 \times 0{,}1 + 100 \times 0{,}1 = 13{,}7$.[/solution]
[/math]
[/etape]

[etape]
Déduire des résultats précédents la variance $V(X)$, puis l'écart-type $\sigma(X)$ arrondi au centième.
$V(X) = $ [[var]] et $\sigma(X) \approx $ [[ect]]
[math id="var" attendu="9,29"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 13{,}7 - 2{,}1^2 = 13{,}7 - 4{,}41 = 9{,}29$.[/reponse]
[reponse motif="11,6"]Vérifier le carré de l'espérance : c'est $E(X)^2$ qu'il faut retrancher, pas $E(X)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]La variance se déduit de $E(X^2)$ et de $E(X)$ : retrancher à $E(X^2)$ le carré de l'espérance.[/reponse]
[aide essai="2"]La variance relie $E(X^2)$ et $E(X)$ : il s'agit d'une soustraction faisant intervenir le carré de l'espérance.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer d'abord $2{,}1^2 = 4{,}41$, puis le retrancher à $13{,}7$.[/aide]
[solution]$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 13{,}7 - 4{,}41 = 9{,}29$.[/solution]
[/math]
[math id="ect" attendu="3,05"]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{9{,}29} \approx 3{,}05$.
Les gains sont donc en moyenne dispersés d'environ $3$ points autour de l'espérance $2{,}1$.[/reponse]
[reponse motif="9,29"]C'est la variance : l'écart-type s'obtient en prenant sa racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'écart-type est la racine carrée de la variance ; ne pas oublier de prendre la racine.[/reponse]
[aide essai="2"]L'écart-type s'obtient à partir de la variance par une opération qui ramène à la même unité que $X$.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $\sqrt{9{,}29}$, puis arrondir le résultat au centième.[/aide]
[solution]$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{9{,}29} \approx 3{,}05$.[/solution]
[/math]
[/etape]

Vrai/Faux : Variables aléatoires réelles

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Une variable aléatoire $X$ suit la loi de probabilité ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline p(X=x_i) & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}$$

Affirmation : $p(X = 8) = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$X$ ne prend que les valeurs $1, 2, \ldots, 7$.
La valeur $8$ n'appartient pas à l'ensemble des valeurs possibles, donc $p(X = 8) = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de croire que $p(X = 8)$ n'est pas défini plutôt que d'être égal à $0$ : une valeur hors du support d'une variable aléatoire a une probabilité nulle.
$X$ ne prend que les valeurs $1$ à $7$. La valeur $8$ est impossible, donc $p(X = 8) = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$8$ n'appartient pas aux valeurs possibles de $X$, donc $p(X = 8) = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une variable aléatoire $X$ suit la loi de probabilité ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \hline p(X=x_i) & 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}$$

Affirmation : $p(X < 7) = 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$X$ ne prend que les valeurs $0, 2, 4, 6$, qui sont toutes strictement inférieures à $7$.
L'événement $(X < 7)$ est donc l'événement certain : $p(X < 7) = 1 \neq 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre « $7$ n'est pas une valeur possible de $X$ » avec « $p(X < 7) = 0$ » : puisque toutes les valeurs de $X$ sont inférieures à $7$, l'événement $(X < 7)$ est l'événement certain.
Toutes les valeurs de $X$ ($0, 2, 4, 6$) sont inférieures à $7$, donc $(X < 7)$ est l'événement certain : $p(X < 7) = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Toutes les valeurs possibles ($0, 2, 4, 6$) sont $< 7$, donc $(X < 7)$ est l'événement certain et $p(X < 7) = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
La variable aléatoire $X$ représente le gain algébrique (en euros) d'un jeu, de loi :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & -2 & 0 & 1 & 2 \\ \hline p(X=x_i) & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}$$

Affirmation : Ce jeu est équitable (d'espérance nulle).

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un jeu est équitable si $E(X) = 0$. On calcule :
$E(X) = (-2) \times 0{,}3 + 0 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}2$
$= -0{,}6 + 0 + 0{,}2 + 0{,}4 = 0$
Donc le jeu est bien équitable.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier le signe de la valeur $-2$ dans le calcul de l'espérance, ou de négliger la contribution de la valeur $0$ (qui est nulle).
$E(X) = (-2) \times 0{,}3 + 0 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}2 = -0{,}6 + 0 + 0{,}2 + 0{,}4 = 0$.
L'espérance est nulle, le jeu est équitable.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$E(X) = -0{,}6 + 0 + 0{,}2 + 0{,}4 = 0$ : espérance nulle, jeu équitable.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance trois fois une pièce bien équilibrée. On note $X$ le nombre de « Pile » obtenues.

Affirmation : $p(X = 3) = \dfrac{1}{6}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'événement $(X = 3)$ correspond à « Pile » à chaque lancer.
Comme la pièce est équilibrée et les lancers sont indépendants :
$p(X = 3) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8} \neq \dfrac{1}{6}$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre $\dfrac{1}{6}$ (probabilité associée à un dé) avec $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$ pour une pièce équilibrée lancée trois fois.
$p(X = 3) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$, pas $\dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$p(X = 3) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8} \neq \dfrac{1}{6}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance cinq fois une pièce de monnaie. La variable aléatoire $X$ désigne le nombre de « Face » obtenues.

Affirmation : L'ensemble des valeurs possibles de $X$ est $\{1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$X$ peut aussi valoir $0$ si on n'obtient aucune « Face » sur les cinq lancers.
L'ensemble des valeurs possibles est $\{0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'oublier la valeur $0$, qui correspond au cas (possible) où aucun lancer ne donne « Face ».
La valeur $0$ est oubliée : si aucun lancer ne donne « Face », alors $X = 0$.
L'ensemble correct est $\{0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
La valeur $0$ est possible (aucun Face) : l'ensemble correct est $\{0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un standard téléphonique reçoit $X$ appels en 15 minutes, selon la loi :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline p(X=x_i) & 0{,}35 & 0{,}2 & 0{,}15 & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}$$

Affirmation : $p(X \geqslant 3) = 0{,}3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$p(X \geqslant 3) = p(X=3) + p(X=4) + p(X=5) = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}3$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de calculer $p(X \geqslant 3) = 1 - p(X \leqslant 3)$ en incluant ou excluant incorrectement la valeur $3$ dans le complémentaire.
$p(X \geqslant 3) = p(X=3) + p(X=4) + p(X=5) = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$p(X \geqslant 3) = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}3$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Variables aléatoires, espérance, variance

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soient $p \in \left]0~;~0{,}5\right[$ et $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\{-1~;~0~;~1\}$ telle que $p(X = -1) = p(X = 1) = p$.

Affirmation : La variance de $X$ vaut $V(X) = 2p$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'espérance de $X$ est :
$E(X) = (-1) \times p + 0 \times (1-2p) + 1 \times p = 0$
Comme $E(X) = 0$, la variance se simplifie en $V(X) = E(X^2)$ :
$E(X^2) = (-1)^2 \times p + 0^2 \times (1-2p) + 1^2 \times p = 2p$
Donc $V(X) = 2p$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $V(X) = E(X^2) - \left[E(X)\right]^2$.
Ici $E(X) = 0$ par symétrie de la loi, donc $V(X) = E(X^2)$ et il suffit de calculer $E(X^2)$ pour conclure.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $E(X) = 0$, on a $V(X) = E(X^2) = (-1)^2 \times p + 0 + 1^2 \times p = 2p$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

Affirmation : La variable aléatoire $-X$ a pour espérance $-\mu$ et pour écart-type $-\sigma$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'espérance de $-X$ est bien $-\mu$ : $E(-X) = -E(X) = -\mu$.
Mais un écart-type est toujours positif ou nul : il ne peut pas valoir $-\sigma$.
Quand on multiplie $X$ par $\lambda$, l'écart-type est multiplié par $|\lambda|$.
Donc l'écart-type de $-X$ est $|-1| \times \sigma = \sigma$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : un écart-type ne peut jamais être négatif.
La propriété à mobiliser est $\sigma(\lambda X) = |\lambda| \times \sigma(X)$ : la valeur absolue impose un résultat positif.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'espérance de $-X$ est bien $-\mu$, mais l'écart-type est toujours positif : l'écart-type de $-X$ vaut $|-1| \times \sigma = \sigma$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui ne prend que des valeurs négatives ou nulles.

Affirmation : L'espérance mathématique de $X$ est négative ou nulle.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La formule $E(X) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \dots + p_n x_n$ montre que $E(X)$ est une somme de termes $p_i x_i$ où chaque $x_i \leqslant 0$ et chaque $p_i \geqslant 0$.
Donc $E(X) \leqslant 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'espérance est une moyenne pondérée des valeurs prises par $X$.
Si toutes les valeurs sont $\leqslant 0$ et que les coefficients (les probabilités) sont $\geqslant 0$, le résultat ne peut pas être strictement positif.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'espérance est une moyenne pondérée $E(X) = \sum p_i x_i$ avec tous les $x_i \leqslant 0$ et tous les $p_i \geqslant 0$, donc $E(X) \leqslant 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi est donnée par le tableau incomplet ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline p(X = x_i) & 0{,}1 & 0{,}3 & ? & 0{,}1 \\ \hline \end{array}$$

Affirmation : $p(X = 3) = 0{,}5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La somme de toutes les probabilités doit être égale à $1$ :
$0{,}1 + 0{,}3 + p(X=3) + 0{,}1 = 1$
$p(X = 3) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas oublier la propriété fondamentale d'une loi de probabilité : la somme des $p(X = x_i)$ vaut toujours $1$.
Cette contrainte permet de retrouver la probabilité manquante par soustraction.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme des probabilités doit valoir $1$ : $0{,}1 + 0{,}3 + p(X=3) + 0{,}1 = 1$, donc $p(X=3) = 0{,}5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé bien équilibré à six faces. Si le « 6 » sort, on gagne $x$ euros ; dans les autres cas, on perd $1$ euro.

Affirmation : Le jeu est équitable (d'espérance nulle) si et seulement si $x = 6$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'espérance du gain est :
$E(X) = 5 \times \dfrac{-1}{6} + 1 \times \dfrac{x}{6} = \dfrac{-5 + x}{6}$
$E(X) = 0 \Leftrightarrow x = 5$.
Le jeu est équitable pour $x = 5$, et non pour $x = 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de calquer le gain sur le nombre de faces du dé, sans tenir compte du fait que l'on perd sur $5$ faces et gagne sur une seule.
La condition à écrire est $E(X) = 0$ ; le résultat à trouver est plus petit que $6$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'espérance est $E(X) = \dfrac{-5 + x}{6}$. Pour un jeu équitable, $E(X) = 0$ donne $x = 5$, et non $x = 6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$.

Affirmation : On a nécessairement $p(X < \mu) = p(X > \mu)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est faux en général. Voici un contre-exemple :

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x_i & -1 & 9 \\ \hline p(X = x_i) & 0{,}9 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}$$

$\mu = -1 \times 0{,}9 + 9 \times 0{,}1 = 0$
$p(X < 0) = 0{,}9$ tandis que $p(X > 0) = 0{,}1$.
Les deux probabilités sont différentes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre l'espérance avec la médiane.
La médiane partage les probabilités en deux moitiés égales ; l'espérance, elle, est une moyenne pondérée et peut très bien se trouver loin du milieu de la distribution.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'espérance n'est pas la médiane. Par exemple, si $p(X=-1) = 0{,}9$ et $p(X=9) = 0{,}1$, alors $\mu = 0$ mais $p(X < 0) = 0{,}9 \neq p(X > 0) = 0{,}1$.
[/solution]
[/etape]

Loi de probabilité – Espérance mathématique

Une cantine scolaire propose chaque jour aux enfants de choisir un plat entre « steak-frites » et « plat du jour ».

Le responsable de la cantine fait le bilan après un nombre élevé de jours et remarque que les enfants ont choisi le « plat du jour » dans 45% des cas et le « steak-frites » dans 55% des cas.

On observe le comportement alimentaire d'un enfant choisi au hasard pendant trois jours consécutifs et on admet que ses choix sont indépendants d'un jour à l'autre.
1. Représenter les choix possibles de l'enfant pendant ces trois jours à l'aide d'un arbre pondéré (on notera $ S $ l'événement : l'enfant choisi le « steak-frites » un jour donné et $ \overline{S} $ l'événement contraire).
2. Quelle est la probabilité que l'enfant ait choisi le « plat du jour » à tous les repas ?
3. Quelle est la probabilité que l'enfant ait choisi davantage de « steak-frites » que de « plat du jour » durant ces trois jours ?
Un repas se compose d'un plat principal ( « steak-frites » ou « plat du jour » ), d'une entrée au coût fixe de 1,5 euros et d'un dessert au coût fixe de 2 euros.

Le coût du « plat du jour » est de 5 euros en moyenne tandis que le « steak-frite » revient à 4,5 euros.

On note $ X $ la variable aléatoire donnant le coût des repas scolaires d'un enfant pendant trois jours.
1. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $ X $ ?
2. Donner la loi de probabilité de $ X $.
3. Calculer l'espérance mathématique de $ X $. Quelle interprétation peut-on donner de cette espérance mathématique ?

Corrigé

On observe le comportement alimentaire d'un enfant pendant trois jours consécutifs :
1. Puisque les choix sont indépendants d'un jour à l'autre, on peut modéliser la situation par un arbre pondéré à trois niveaux :
2. L'événement « l'enfant a choisi le plat du jour à tous les repas » correspond au chemin unique $(\overline{S}, \overline{S}, \overline{S})$.
  La probabilité est donc :
  
  $ p(\overline{S} \cap \overline{S} \cap \overline{S}) = 0{,}45 \times 0{,}45 \times 0{,}45 = 0{,}45^3 = 0{,}091125 $
3. L'événement « l'enfant a choisi davantage de steak-frites que de plat du jour » correspond à choisir au moins deux fois « steak-frites » sur les trois jours (c'est-à-dire 2 ou 3 « steak-frites »).
  Les chemins favorables sont : $(S, S, S)$, $(S, S, \overline{S})$, $(S, \overline{S}, S)$ et $(\overline{S}, S, S)$.
  
  La probabilité de chacun des trois chemins avec deux « steak-frites » est :
  $ 0{,}55^2 \times 0{,}45 = 0{,}136125 $
  
  La probabilité du chemin avec trois « steak-frites » est :
  $ 0{,}55^3 = 0{,}166375 $
  
  La probabilité cherchée est donc la somme des probabilités de ces quatre chemins :
  
  $ p = 3 \times 0{,}136125 + 0{,}166375 = 0{,}408375 + 0{,}166375 = 0{,}57475 $
Étude du coût des repas : chaque repas se compose d'un plat principal, d'une entrée fixe à 1,5 € et d'un dessert fixe à 2 € (soit un coût fixe de 3,5 € par jour).
1. Calcul des coûts journaliers :
  - Si l'enfant choisit « steak-frites » : le repas coûte $ 4{,}5 + 3{,}5 = 8 $ euros.
  - Si l'enfant choisit « plat du jour » : le repas coûte $ 5 + 3{,}5 = 8{,}5 $ euros.
  Les valeurs possibles de $ X $ sur trois jours sont :
  - 3 « steak-frites » : $ X = 3 \times 8 = 24 $
  - 2 « steak-frites » et 1 « plat du jour » : $ X = 2 \times 8 + 8{,}5 = 24{,}5 $
  - 1 « steak-frite » et 2 « plat du jour » : $ X = 8 + 2 \times 8{,}5 = 25 $
  - 3 « plat du jour » : $ X = 3 \times 8{,}5 = 25{,}5 $
  Les valeurs prises par $ X $ sont donc : $ \{24\ ;\ 24{,}5\ ;\ 25\ ;\ 25{,}5\} $.
2. À l'aide de l'arbre et du dénombrement des chemins :
  - Pour $ X = 24 $ (3 « steak-frites ») : un seul chemin, $ p = 0{,}55^3 = 0{,}166375 $.
  - Pour $ X = 24{,}5 $ (2 « steak-frites ») : trois chemins, $ p = 3 \times 0{,}55^2 \times 0{,}45 = 0{,}408375 $.
  - Pour $ X = 25 $ (1 « steak-frite ») : trois chemins, $ p = 3 \times 0{,}55 \times 0{,}45^2 = 0{,}334125 $.
  - Pour $ X = 25{,}5 $ (0 « steak-frite ») : un seul chemin, $ p = 0{,}45^3 = 0{,}091125 $.
  Loi de probabilité de $ X $ :
  
  $ x_i $ 24 24,5 25 25,5
  
  $ p(X = x_i) $ 0,166375 0,408375 0,334125 0,091125
3. Espérance mathématique de $ X $ :
  $ E(X) = 24 \times 0{,}166375 + 24{,}5 \times 0{,}408375 + 25 \times 0{,}334125 + 25{,}5 \times 0{,}091125 $
  
  $\mathbf{E(X) = 24{,}675}$
  
  Interprétation : Sur un grand nombre de périodes de trois jours, le coût moyen des repas d'un enfant est de 24,675 euros.

Espérance mathématique maximale

Une urne contient $ n $ boules blanches et $ 2n $ boules rouges (avec $ n \geqslant 1 $).

On tire au hasard et sans remise, trois boules de l'urne.

Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
On considère le jeu suivant :
- Si toutes les boules tirées sont blanches, le joueur perd 16 euros.
- Si toutes les boules tirées sont rouges, le joueur gagne 2 euros.
- Dans les autres cas, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.
On note $ X $ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.

Déterminer la loi de probabilité de $ X $.

Calculer l'espérance mathématique $ E(X) $.
Soit la fonction $ f $ définie sur $ \left[1~;~+\infty\right[ $ par $ f(x)=\dfrac{x - 1}{(3x - 1)(3x - 2)} $.
1. Étudier les variations de la fonction $ f $.
2. Combien de boules doit contenir l'urne pour que l'espérance mathématique $ E(X) $ soit maximale ?
  
  Quelle est alors la valeur de cette espérance mathématique ?

Corrigé

Pour ne pas surcharger la figure, seules les probabilités utilisées lors des questions suivantes ont été indiquées.
- Au premier niveau (tirage de la première boule), l'urne contient $ n $ boules blanches sur un total de $ 3n $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc $ \dfrac{n}{3n} = \dfrac{1}{3} $.
  
  L'urne contient $ 2n $ boules rouges sur un total de $ 3n $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc $ \dfrac{2n}{3n} = \dfrac{2}{3} $.
- Au second niveau (tirage de la seconde boule) :
  - Si l'on a tiré une boule blanche en premier , il reste alors $ n - 1 $ boules blanches sur un total de $ 3n - 1 $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors $ \dfrac{n - 1}{3n - 1} $.
  - ...
  - Si l'on a tiré une boule rouge en premier , il reste alors $ 2n - 1 $ boules rouges sur un total de $ 3n - 1 $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors $ \dfrac{2n - 1}{3n - 1} $.
- Au troisième niveau (tirage de la troisième boule) :
  - Si l'on a tiré deux boules blanches lors des deux premiers tirages, il reste alors $ n - 2 $ boules blanches sur un total de $ 3n - 2 $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors $ \dfrac{n - 2}{3n - 2} $.
  - ...
  - Si l'on a tiré deux boules rouges lors des deux premiers tirages, il reste alors $ 2n - 2 $ boules rouges sur un total de $ 3n - 2 $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors $ \dfrac{2n - 2}{3n - 2} $.

$ X $ prend la valeur -16 si les trois boules sont blanches, c'est à dire avec une probabilité :

$ p(X= - 16)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{n - 1}{3n - 1} \times \dfrac{n - 2}{3n - 2} $

$ p(X= - 16)=\dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

$ X $ prend la valeur 2 si les trois boules sont rouges, c'est à dire avec une probabilité :

$ p(X=2)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2n - 1}{3n - 1} \times \dfrac{2n - 2}{3n - 2} $

$ p(X=2)=\dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

Dans les autres cas $ X $ prend la valeur $ 0 $.

Le total des probabilités étant égal à $ 1 $ on obtient :

$ p(X=0)=1 - p(X= - 16) - p(X=2) $

$ p(X=0)=1 - \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} - \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

$ p(X=0)=\dfrac{6n^2 - 4n}{(3n - 1)(3n - 2)} $

La loi de probabilité de $ X $ est donc :

$ x_i $	$ - 16 $	$ 0 $	$ 2 $
$ p(X=x_i) $	$ \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $	$ \dfrac{6n^2 - 4n}{(3n - 1)(3n - 2)} $	$ \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

L'espérance mathématique de $ X $ est :

$ E(X)= - 16\times p(X= - 16)+0 \times p(X=0)+2 \times p(X=2) $

$ \phantom{E(X)}= - 16\times \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} + 2 \times \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

$ \phantom{E(X)}= - 16\times \dfrac{n^2 - 3n+2}{3(3n - 1)(3n - 2)} + 2 \times \dfrac{8n^2 - 12n+4}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

$ \phantom{E(X)}=\dfrac{24n - 24}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

$ \phantom{E(X)}=\dfrac{8(n - 1)}{(3n - 1)(3n - 2)} $

1. La fonction $ f $ est définie et dérivable sur $ \left[1;+\infty \right[ $.
  
  $ f $ est de la forme $ \dfrac{u}{v} $ avec
  
  $ u(x)=x - 1 $ donc $ u ^{\prime}(x)=1 $
  
  $ v(x)=(3x - 1)(3x - 2)=9x^2 - 9x+2 $ donc $ v^{\prime}(x) = 18x - 9 $
  
  Par conséquent :
  
  $ f^{\prime}(x)=\dfrac{9x^2 - 9x+2 - (x - 1)(18x - 9)}{(3x - 1)(3x - 2))^2} $
  
  $ f^{\prime}(x)=\dfrac{ - 9x^2+18x - 7}{((3x - 1)(3x - 2))^2} $
  
  Le dénominateur est positif et le numérateur est un polynôme du second degré.
  
  $ \Delta = 18^2 - 4 \times 7 \times 9=72 > 0 $
  
  Le numérateur admet deux racines :
  
  $ x_1 = \dfrac{ - 18+6\sqrt{2}}{ - 18}= \dfrac{3 - \sqrt{2}}{3} $
  
  $ x_2 = \dfrac{ - 18 - 6\sqrt{2}}{ - 18}= \dfrac{3+\sqrt{2}}{3} $
  
  $ x_1 $ est inférieur à $ 1 $ et $ x_2 \approx 1{,}47 \in \left[1;+\infty \right[ $.
  
  On obtient le tableau de variations suivant sur $ \left[1;+\infty \right[ $ :
2. D'après la question 2., $ E(X)=8f(n) $
  
  L'espérance mathématique est donc maximale pour la valeur de $ n $ qui maximise $ f(n) $.
  
  D'après la question précédente $ f $ est décroissante sur $ \left[x_2;+\infty\right[ $ donc sur $ \left[2;+\infty\right[ $ puisque $ x_2 < 2 $.
  
  Les seules valeurs entières susceptibles de maximiser $ f $ sont donc $ 1 $ ou $ 2 $.
  
  Or $ f(1)=0 $ et $ f(2)=\dfrac{1}{20} $.
  
  Donc, l'espérance mathématique est maximale pour $ n=2 $ c'est à dire si l'urne contient $ 2 $ boules blanches et $ 4 $ boules rouges.
  
  Cette espérance vaut alors $ E(X)=8f(2)=\dfrac{8}{20}=0{,}4 $

Pour réviser : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire

Espérance mathématique – Ecart-type

On lance une pièce de monnaie et on considère la variable aléatoire $ X $ qui vaut $ 1 $ si la pièce tombe sur « pile » et $ 0 $ si la pièce tombe sur « face »

On suppose la pièce parfaitement équilibrée.

Donner la loi de probabilité de $ X $. Calculer l'espérance mathématique, la variance et l'écart-type de $ X $
Dans cette question, on ne suppose plus la pièce parfaitement équilibrée et on note $ p $ la probabilité que la pièce tombe sur « pile ».

Quelle est alors la loi de probabilité de $ X $, son espérance mathématique, sa variance, son écart-type ?

Pour quelle valeur de $ p $ l'écart-type est-il maximal ?

Corrigé

La pièce est parfaitement équilibrée, donc la probabilité d'obtenir « pile » est $ 0{,}5 $ et la probabilité d'obtenir « face » est $ 0{,}5 $.

La variable aléatoire $ X $ prend les valeurs $ 0 $ et $ 1 $.

La loi de probabilité de $ X $ est donnée par le tableau suivant :

$ x_i $ $ 0 $ $ 1 $

$ P(X=x_i) $ $ 0{,}5 $ $ 0{,}5 $

L'espérance mathématique de $ X $ est :

$ E(X) = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}5 = 0{,}5 $

La variance de $ X $ est donnée par la formule $ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 $.

Calculons d'abord $ E(X^2) $ :

$ E(X^2) = 0^2 \times 0{,}5 + 1^2 \times 0{,}5 = 0{,}5 $

D'où :

$ V(X) = 0{,}5 - 0{,}5^2 = 0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25 $

L'écart-type est la racine carrée de la variance :

$ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 $
On note $ p $ la probabilité d'obtenir « pile ».

Comme la somme des probabilités est égale à $ 1 $, la probabilité d'obtenir « face » est $ 1-p $.

La loi de probabilité de $ X $ est :

$ x_i $ $ 0 $ $ 1 $

$ P(X=x_i) $ $ 1-p $ $ p $

L'espérance mathématique est :

$ E(X) = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p $

Pour la variance :

$ E(X^2) = 0^2 \times (1-p) + 1^2 \times p = p $

Donc :

$ V(X) = p - p^2 = p(1-p) $

L'écart-type vaut :

$ \sigma(X) = \sqrt{p(1-p)} $

On cherche pour quelle valeur de $ p $ l'écart-type est maximal.

Cela revient à chercher pour quelle valeur de $ p $ la variance $ V(X) = p - p^2 $ est maximale (car la fonction racine carrée est croissante sur $ [0; +\infty[ $).

Considérons la fonction $ f $ définie sur $ [0; 1] $ par $ f(p) = -p^2 + p $.

C'est un polynôme du second degré de la forme $ ap^2 + bp + c $ avec $ a = -1 $ et $ b = 1 $.

Comme $ a < 0 $, la parabole représentant cette fonction est orientée vers le bas et admet un maximum pour $ p = -\dfrac{b}{2a} $.

$ p = -\dfrac{1}{2 \times (-1)} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 $

L'écart-type est donc maximal lorsque la pièce est parfaitement équilibrée ($ p = 0{,}5 $).

[Bac] Probabilités – Variables aléatoires

[D'après Bac S Liban 2008]

Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.

Partie A

Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A, sinon il tire au hasard une boule de l'urne B.

Soit $ R $ l'événement « le joueur obtient une boule rouge ». Montrer que $ p\left(R\right)=0{,}15 $.

Partie B

Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).

Soit $ x $ un entier naturel non nul.

Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne $ x $ euros s'il obtient une boule rouge et perd deux euros s'il obtient une boule noire.

On désigne par $ G $ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire $ G $ prend donc les valeurs $ 2x, x - 2 $ et $ - 4 $.

Déterminer la loi de probabilité de $ G $.
Exprimer l'espérance $ E\left(G\right) $ de la variable aléatoire $ G $ en fonction de $ x $.
Pour quelles valeurs de $ x $ a-t-on $ E\left(G\right) \geqslant 0 $ ?

Corrigé

Partie A

On note $ A $ l'événement « le joueur tire une boule de l'urne A » et $ B $ l'événement « le joueur tire une boule de l'urne B ». Comme le dé est équilibré :

$ p\left(A\right)=\dfrac{1}{6} \quad \text{et} \quad p\left(B\right)=\dfrac{5}{6} $

L'urne A contient $ 4 $ rouges parmi $ 10 $ boules et l'urne B contient $ 1 $ rouge parmi $ 10 $ boules :

$ p_{A}\left(R\right)=\dfrac{4}{10} \quad \text{et} \quad p_{B}\left(R\right)=\dfrac{1}{10} $

Les événements $ A $ et $ B $ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$ p\left(R\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(R\right)+p\left(B\right)\times p_{B}\left(R\right) $

$ p\left(R\right)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{4}{10}+\dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{10}=\dfrac{4}{60}+\dfrac{5}{60}=\dfrac{9}{60} $

D'où $\mathbf{p\left(R\right)=0{,}15}$.

Partie B

Les deux épreuves sont indépendantes et identiques. À chaque épreuve, $ p\left(R\right)=0{,}15 $ et $ p\left(\overline{R}\right)=0{,}85 $.

$ G $ prend la valeur $ 2x $ lorsque le joueur obtient deux boules rouges :

$ p\left(G=2x\right)=0{,}15\times 0{,}15=0{,}0225 $

$ G $ prend la valeur $ x-2 $ lorsque le joueur obtient une rouge et une noire (deux ordres possibles) :

$ p\left(G=x-2\right)=2\times 0{,}15\times 0{,}85=0{,}255 $

$ G $ prend la valeur $ -4 $ lorsque le joueur obtient deux boules noires :

$ p\left(G=-4\right)=0{,}85\times 0{,}85=0{,}7225 $

Vérification : $ 0{,}0225+0{,}255+0{,}7225=1 $.

La loi de probabilité de $ G $ est donnée par le tableau :

$ g_{i} $ $ 2x $ $ x-2 $ $ -4 $

$ p\left(G=g_{i}\right) $ $ 0{,}0225 $ $ 0{,}255 $ $ 0{,}7225 $
Par définition de l'espérance :

$ E\left(G\right)=2x\times 0{,}0225+\left(x-2\right)\times 0{,}255+\left(-4\right)\times 0{,}7225 $

$ E\left(G\right)=0{,}045x+0{,}255x-0{,}51-2{,}89 $

D'où $\mathbf{E\left(G\right)=0{,}3x-3{,}4}$.
On résout :

$ E\left(G\right)\geqslant 0 \iff 0{,}3x-3{,}4\geqslant 0 \iff x\geqslant \dfrac{3{,}4}{0{,}3}=\dfrac{34}{3}\approx 11{,}33 $

Comme $ x $ est un entier naturel non nul, le jeu est favorable au joueur (en moyenne) lorsque $\mathbf{x\geqslant 12}$.

[Bac] Variables aléatoires – Espérance mathématique

[D'après Bac S Métropole 2009) Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :

7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3.

On tire simultanément deux jetons de ce sac.

On note A l'événement « obtenir deux jetons blancs ».

Démontrer que la probabilité de l'événement A est égale à $ \dfrac{7}{15} $. (On pourra utiliser un arbre pondéré)
Soit $ X $ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.
1. Déterminer la loi de probabilité de $ X $.
2. Calculer l'espérance mathématique de $ X $.

Corrigé

L'expérience peut être modélisée par l'arbre ci-dessous (les fractions n'ont volontairement pas été simplifiées) :

La probabilité d'obtenir deux jetons blancs est :

$ p\left(A\right)=\dfrac{7}{10}\times \dfrac{6}{9}=\dfrac{7}{15} $
1. $ X $ peut prendre les valeurs $ 0; 1 $ et $ 2 $.
  
  Grâce à l'arbre ci-dessus on trouve :
  
  $ p\left(X=0\right)=\dfrac{3}{10}\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{15} $
  
  $ p\left(X=1\right)=\dfrac{7}{10}\times \dfrac{3}{9}+\dfrac{3}{10}\times \dfrac{7}{9}=\dfrac{21+21}{90}=\dfrac{7}{15} $
  
  La loi de probabilité de $ X $ est donnée par le tableau :
  
  $ x_{i} $ $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $
  
  $ p\left(X=x_{i}\right) $ $ \dfrac{1}{15} $ $ \dfrac{7}{15} $ $ \dfrac{7}{15} $
2. L'espérance mathématique est égale à :
  
  $ E\left(X\right)=0\times \dfrac{1}{15}+1\times \dfrac{7}{15}+2\times \dfrac{7}{15}=\dfrac{7}{5} $

Pour réviser : Calculer l'espérance d'une variable aléatoire

$ x_i $	24	24,5	25	25,5
$ p(X = x_i) $	0,166375	0,408375	0,334125	0,091125

$ g_{i} $	$ 2x $	$ x-2 $	$ -4 $
$ p\left(G=g_{i}\right) $	$ 0{,}0225 $	$ 0{,}255 $	$ 0{,}7225 $

$ x_{i} $	$ 0 $	$ 1 $	$ 2 $
$ p\left(X=x_{i}\right) $	$ \dfrac{1}{15} $	$ \dfrac{7}{15} $	$ \dfrac{7}{15} $

$ x_i $	$ 0 $	$ 1 $
$ P(X=x_i) $	$ 1-p $	$ p $