Loi binomiale : application directe (controle qualite)

Dans une usine, une machine fabrique des composants électroniques. On estime que chaque composant produit a une probabilité de $ 0{,}05 $ d'être défectueux, indépendamment des autres.

À la sortie de la chaîne, on prélève un lot de $ 20 $ composants. On note $ X $ la variable aléatoire qui compte le nombre de composants défectueux dans ce lot. On admet que $ X $ suit une loi binomiale.

Préciser les paramètres $ n $ et $ p $ de la loi suivie par $ X $.
Calculer chacune des probabilités suivantes. Arrondir les résultats au dix-millième.
1. La probabilité que le lot ne contienne aucun composant défectueux, $ p(X = 0) $.
2. La probabilité que le lot contienne exactement un composant défectueux, $ p(X = 1) $.
3. La probabilité que le lot contienne exactement deux composants défectueux, $ p(X = 2) $.
Calculer l'espérance $ E(X) $ et interpréter ce résultat dans le contexte.
Calculer l'écart-type $ \sigma(X) $. Arrondir au centième.

Corrigé

Prélever un composant est une épreuve à deux issues : « défectueux » (succès) de probabilité $ 0{,}05 $, ou « conforme » (échec). On répète cette épreuve $ 20 $ fois de manière identique et indépendante, donc $ X $ suit la loi binomiale de paramètres :

$ n = 20 $ et $ p = 0{,}05 $.

On note $ X \sim \mathscr B(20 ; 0{,}05) $.
1. Avec $ p(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $ et $ k = 0 $ :
  $ p(X = 0) = \binom{20}{0} (0{,}05)^0 (0{,}95)^{20} = (0{,}95)^{20} $
  $ p(X = 0) \approx 0{,}3585 $
  La probabilité que le lot ne contienne aucun défaut est environ $\mathbf{0{,}3585}$.
2. Pour $ k = 1 $ :
  $ p(X = 1) = \binom{20}{1} (0{,}05)^1 (0{,}95)^{19} = 20 \times 0{,}05 \times (0{,}95)^{19} $
  $ p(X = 1) \approx 0{,}3774 $
  La probabilité d'obtenir exactement un défaut est environ $\mathbf{0{,}3774}$.
3. Pour $ k = 2 $, le coefficient binomial vaut $ \binom{20}{2} = 190 $ :
  $ p(X = 2) = 190 \times (0{,}05)^2 \times (0{,}95)^{18} = 190 \times 0{,}0025 \times (0{,}95)^{18} $
  $ p(X = 2) \approx 0{,}1887 $
  La probabilité d'obtenir exactement deux défauts est environ $\mathbf{0{,}1887}$.
Pour une loi binomiale, l'espérance est $ E(X) = np $ :

$ E(X) = 20 \times 0{,}05 = 1 $

En moyenne, sur un grand nombre de lots de $ 20 $ composants, on observe $\mathbf{1}$ composant défectueux par lot.
La variance est $ V(X) = np(1-p) $ :
$ V(X) = 20 \times 0{,}05 \times 0{,}95 = 1 \times 0{,}95 = 0{,}95 $
On en déduit l'écart-type :

$ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}95} \approx 0{,}97 $

L'écart-type vaut environ $\mathbf{0{,}97}$, ce qui mesure la dispersion du nombre de défauts autour de la moyenne.

Vrai/Faux : Espérance, variance et écart-type

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur l'espérance, la variance et l'écart-type d'une loi binomiale, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Un QCM contient $20$ questions indépendantes, chacune offrant $4$ propositions dont une seule correcte.
Un élève répond entièrement au hasard. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses obtenues.

Affirmation : L'espérance du nombre de bonnes réponses est $E(X) = 4$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$X$ suit la loi $\mathscr{B}\!\left(20~;~\dfrac{1}{4}\right)$, donc $E(X) = np = 20 \times \dfrac{1}{4} = 5$, et non $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est probablement de confondre le nombre de propositions par question ($4$) avec l'espérance.
$X$ suit $\mathscr{B}\!\left(20~;~\dfrac{1}{4}\right)$, et $E(X) = 20 \times \dfrac{1}{4} = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$X \sim \mathscr{B}\!\left(20~;~\dfrac{1}{4}\right)$, donc $E(X) = np = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(100~;~0{,}5)$.

Affirmation : L'écart-type de $X$ est $\sigma(X) = 25$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]Exactement !
On a $V(X) = np(1-p) = 100 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 25$, mais l'écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre variance et écart-type.
$V(X) = np(1-p) = 25$, mais $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = 5$. La valeur $25$ correspond à la variance, pas à l'écart-type.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$V(X) = 25$ donc $\sigma(X) = \sqrt{25} = 5$, pas $25$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(50~;~0{,}4)$.

Affirmation : $V(X) = 12$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Correct !
$V(X) = np(1-p) = 50 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 50 \times 0{,}24 = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour une loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$, la variance est $V(X) = np(1-p)$.
$V(X) = 50 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 12$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$V(X) = 50 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 12$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$, avec $n$ fixé.

Affirmation : La variance $V(X)$ est maximale lorsque $p = \dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Bravo !
$V(X) = np(1-p)$. Le produit $p(1-p)$ atteint son maximum en $p = \dfrac{1}{2}$, où il vaut $\dfrac{1}{4}$ : c'est l'extremum d'une parabole. La variance maximale vaut alors $\dfrac{n}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la fonction $p \mapsto p(1-p)$ est une parabole tournée vers le bas, dont l'axe de symétrie est $p = \dfrac{1}{2}$.
À $n$ fixé, $V(X) = np(1-p)$ est donc maximale en $p = \dfrac{1}{2}$, et vaut alors $\dfrac{n}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$p(1-p)$ atteint son maximum en $p = \dfrac{1}{2}$, donc $V(X)$ aussi.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(20~;~0{,}3)$.
On définit $Y = 2X + 1$.

Affirmation : $V(Y) = 2 \times V(X)$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La constante additive $+1$ disparaît, mais le coefficient $2$ est élevé au carré : $V(2X + 1) = 2^2 \times V(X) = 4 \times V(X)$.
Numériquement : $V(X) = 20 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 4{,}2$ et $V(Y) = 4 \times 4{,}2 = 16{,}8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre la formule de l'espérance et celle de la variance pour une transformation affine.
Pour $Y = aX + b$ : $E(Y) = a E(X) + b$ mais $V(Y) = a^2 V(X)$. Le facteur est élevé au carré, donc $V(Y) = 4 V(X)$, pas $2 V(X)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Pour $Y = aX + b$, $V(Y) = a^2 V(X)$ : ici $V(Y) = 4 V(X)$, pas $2 V(X)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10~;~0{,}9)$.

Affirmation : L'écart-type de $X$ est $\sigma(X) = \sqrt{0{,}9}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$V(X) = np(1-p) = 10 \times 0{,}9 \times 0{,}1 = 0{,}9$, donc $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}9}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{np(1-p)}$.
Ici $V(X) = 10 \times 0{,}9 \times 0{,}1 = 0{,}9$, donc $\sigma(X) = \sqrt{0{,}9} \approx 0{,}949$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$V(X) = 10 \times 0{,}9 \times 0{,}1 = 0{,}9$, donc $\sigma(X) = \sqrt{0{,}9}$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Espérance, variance et écart-type d’une loi binomiale

[enonce]
Ce QCM porte sur les indicateurs $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$ et $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$ d'une loi binomiale, et sur les calculs inverses (retrouver $n$ ou $p$). Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathscr{B}(50~;~0{,}2)$. Calculer $E(X)$.
[qcm]
[option correct="true"]$10$[/option]
[option]$0{,}2$[/option]
[option]$50$[/option]
[option]$40$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$E(X) = np = 50 \times 0{,}2 = 10$.
En moyenne, on s'attend à observer $10$ succès lors de $50$ épreuves.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2$"]Non.
$0{,}2 = p$ : c'est la probabilité d'un succès lors d'une seule épreuve. L'espérance est $np$ : multiplier par le nombre d'épreuves.[/reponse]
[reponse motif="$50$"]Non.
$50 = n$ correspond au nombre d'épreuves, pas à l'espérance. L'espérance est $np$ : multiplier $n$ par $p$.[/reponse]
[reponse motif="$40$"]Non.
$40 = 50 \times 0{,}8 = n(1-p)$ : c'est l'espérance du nombre d'échecs, pas du nombre de succès. Pour les succès, utiliser $E(X) = np$ avec $p = 0{,}2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer directement la formule $E(X) = np$ avec les paramètres $n = 50$ et $p = 0{,}2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathscr{B}(25~;~0{,}4)$. Calculer $V(X)$.
[qcm]
[option]$10$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$25$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$V(X) = np(1-p) = 25 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10 = np = E(X)$ : c'est l'espérance, pas la variance. Pour la variance, multiplier en plus par $(1-p)$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4 = 25 \times 0{,}4^2 = np^2$ : la formule est $np(1-p)$, pas $np^2$. Le second facteur est $(1-p) = 0{,}6$, pas $p$.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
$25 = n$ correspond au nombre d'épreuves, pas à la variance. La formule est $V(X) = np(1-p)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $V(X) = np(1-p)$ avec $n = 25$, $p = 0{,}4$ et $1-p = 0{,}6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathscr{B}(100~;~0{,}5)$. Calculer l'écart-type $\sigma(X)$ (donner la valeur exacte).
[qcm]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$25$[/option]
[option]$50$[/option]
[option]$12{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$V(X) = np(1-p) = 100 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 25$, donc $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
$25 = V(X)$ est la variance, pas l'écart-type. L'écart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.[/reponse]
[reponse motif="$50$"]Non.
$50 = np = E(X)$ correspond à l'espérance, pas à l'écart-type. L'écart-type s'obtient à partir de la variance par $\sigma = \sqrt{V}$.[/reponse]
[reponse motif="$12{,}5$"]Non.
$12{,}5 = \dfrac{V(X)}{2}$ : la moitié de la variance n'a pas de signification statistique ici. L'écart-type est $\sqrt{V(X)}$, pas $\dfrac{V(X)}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $V(X) = np(1-p)$, puis prendre la racine carrée pour obtenir $\sigma(X)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathscr{B}(30~;~p)$. On sait que $E(X) = 9$. Déterminer la valeur de $p$.
[qcm]
[option]$9$[/option]
[option]$0{,}7$[/option]
[option correct="true"]$0{,}3$[/option]
[option]$0{,}03$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$E(X) = np$ donne $30p = 9$, donc $p = \dfrac{9}{30} = 0{,}3$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ est la valeur de $E(X)$ donnée dans l'énoncé : il faut isoler $p$ dans l'équation $30p = 9$ en divisant par $30$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}7$"]Non.
$0{,}7 = 1 - 0{,}3$ correspond à la probabilité d'un échec : la résolution donne bien $p = 0{,}3$, mais c'est le succès qui est demandé.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}03$"]Non.
$0{,}03 = \dfrac{9}{300}$ : il y a une erreur dans la division par $30$. Reprendre $p = \dfrac{9}{30}$ et simplifier en décimale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Partir de $E(X) = np$, remplacer $E(X)$ et $n$, puis isoler $p$ par division.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathscr{B}(n~;~0{,}25)$. On sait que $E(X) = 8$. Déterminer la valeur de $n$.
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$8$[/option]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$32$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$E(X) = np$ donne $0{,}25 \times n = 8$, donc $n = \dfrac{8}{0{,}25} = 32$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2 = 8 \times 0{,}25 = E(X) \times p$ : il s'agit d'une multiplication, alors que $n$ s'obtient par division. Pour isoler $n$ dans $0{,}25 n = 8$, diviser les deux membres par $0{,}25$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8$ est la valeur de $E(X)$ donnée dans l'énoncé : ce n'est pas $n$. Résoudre $0{,}25 n = 8$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ pourrait venir de $\dfrac{8}{2}$ (mauvaise division) : $\dfrac{8}{0{,}25}$ équivaut à multiplier par $4$ (et non diviser par $2$), donc on obtient $32$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Partir de $E(X) = np$, remplacer $E(X)$ et $p$, puis isoler $n$ par division.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathscr{B}(20~;~p)$ avec $V(X) = 4{,}8$. Quelles sont les valeurs possibles de $p$ ?
[qcm]
[option]$p = 0{,}5$ uniquement[/option]
[option correct="true"]$p = 0{,}4$ ou $p = 0{,}6$[/option]
[option]$p = 0{,}24$[/option]
[option]$p = 0{,}2$ ou $p = 0{,}8$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
$V(X) = np(1-p)$ donne $20 p(1-p) = 4{,}8$, soit $p(1-p) = 0{,}24$.
On résout $p^2 - p + 0{,}24 = 0$ : $\Delta = 1 - 0{,}96 = 0{,}04$ et $p = \dfrac{1 \pm 0{,}2}{2}$.
Donc $p = 0{,}4$ ou $p = 0{,}6$.[/reponse]
[reponse motif="$p = 0{,}5$ uniquement"]Non.
La fonction $p \mapsto p(1-p)$ est symétrique par rapport à $0{,}5$ et atteint son maximum en ce point. Pour une variance donnée (autre que la variance maximale), il y a deux valeurs possibles de $p$, symétriques par rapport à $0{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$p = 0{,}24$"]Non.
$0{,}24$ est la valeur de $p(1-p)$ après division par $n = 20$ : il reste à résoudre l'équation du second degré $p(1-p) = 0{,}24$ pour trouver les valeurs de $p$.[/reponse]
[reponse motif="$p = 0{,}2$ ou $p = 0{,}8$"]Non.
Vérification : $20 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 3{,}2 \neq 4{,}8$. Reprendre l'équation $20 p(1-p) = 4{,}8$ et résoudre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Poser $V(X) = np(1-p)$, isoler $p(1-p)$, puis résoudre l'équation du second degré obtenue (deux solutions symétriques par rapport à $0{,}5$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Loi binomiale

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On lance $4$ fois un dé équilibré à six faces.

Affirmation : La probabilité d'obtenir au moins un « 6 » est égale à $1 - \dfrac{5^4}{6^4}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On note $A$ l'événement « obtenir au moins un 6 ». L'événement contraire $\overline{A}$ est « n'obtenir aucun 6 » :

$p(\overline{A}) = \binom{4}{0}\left(\dfrac{1}{6}\right)^0\left(\dfrac{5}{6}\right)^4 = \dfrac{5^4}{6^4}$

Donc $p(A) = 1 - \dfrac{5^4}{6^4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention, il ne faut pas chercher à calculer directement $p(\text{au moins un 6})$, ce qui est complexe. Il est plus simple de passer par le complémentaire : $p(\text{aucun 6}) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^4$.
Par complémentarité : $p(\text{au moins un 6}) = 1 - p(\text{aucun 6}) = 1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 = 1 - \dfrac{5^4}{6^4}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Par complémentarité : $p(\text{au moins un 6}) = 1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 = 1 - \dfrac{5^4}{6^4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On tire trois fois de suite et avec remise une boule d'un sac contenant $2$ boules rouges et $3$ boules noires.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules noires tirées.

Affirmation : $p(X = 1) = \dfrac{36}{125}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}\!\left(3~;~\dfrac{3}{5}\right)$, donc :

$p(X=1) = \binom{3}{1}\left(\dfrac{3}{5}\right)^1\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = 3 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{25} = \dfrac{36}{125}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas oublier le coefficient binomial $\binom{3}{1} = 3$ qui compte le nombre de façons d'obtenir exactement une boule noire parmi trois tirages.
$X \sim \mathscr{B}\!\left(3~;~\dfrac{3}{5}\right)$, donc $p(X=1) = \dbinom{3}{1}\left(\dfrac{3}{5}\right)\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{36}{125}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$X \sim \mathscr{B}\left(3~;~\dfrac{3}{5}\right)$ : $p(X=1) = 3 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{25} = \dfrac{36}{125}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance $30$ fois un dé équilibré à six faces. Soit $X$ le nombre de « 6 » obtenus.

Affirmation : En moyenne, le nombre de « 6 » obtenus sera égal à $5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}\!\left(30~;~\dfrac{1}{6}\right)$, donc :

$E(X) = np = 30 \times \dfrac{1}{6} = 5$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la moyenne se calcule avec la formule de l'espérance $E(X) = np$, et non en utilisant directement la probabilité $\dfrac{1}{6}$.
$X \sim \mathscr{B}\!\left(30~;~\dfrac{1}{6}\right)$ et $E(X) = np = 30 \times \dfrac{1}{6} = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$E(X) = np = 30 \times \dfrac{1}{6} = 5$ : en moyenne, on obtient 5 fois le chiffre 6.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance six fois une pièce de monnaie bien équilibrée (lancers indépendants).
À chaque lancer, on gagne $2$€ si le résultat est « Pile », on perd $3$€ sinon.
On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue des six lancers.

Affirmation : $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}\!\left(6~;~\dfrac{1}{2}\right)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$X$ ne compte pas le nombre de succès : elle représente un gain algébrique qui prend des valeurs négatives.
Une variable binomiale ne prend que des valeurs entières positives, ce qui n'est pas le cas de $X$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre le nombre de « Pile » (qui suit bien $\mathscr{B}\left(6~;~\dfrac{1}{2}\right)$) avec le gain algébrique $X$, qui prend des valeurs dans $\{-18, -13, \ldots, 12\}$ et peut être négatif.
$X$ n'est pas le nombre de Pile obtenus mais le gain algébrique : elle peut être négative.
Une loi binomiale ne prend que des valeurs dans $\{0, 1, \ldots, n\}$, donc $X$ ne suit pas $\mathscr{B}\left(6~;~\dfrac{1}{2}\right)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$X$ représente un gain algébrique pouvant être négatif, ce qui est incompatible avec une loi binomiale.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10~;~0{,}5)$.

Affirmation : $p(X = 5) = \dbinom{10}{5} \times 0{,}5^{10}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

$p(X=5) = \binom{10}{5} \times 0{,}5^5 \times 0{,}5^5 = \binom{10}{5} \times 0{,}5^{10}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention à ne pas écrire $p(X=5) = \dbinom{10}{5} \times 0{,}5^5$ en oubliant le facteur $(1-p)^{n-k} = 0{,}5^5$, qui vaut aussi $0{,}5^5$ ici car $p = 0{,}5$.
$p(X=5) = \dbinom{10}{5} \times 0{,}5^5 \times (1-0{,}5)^5 = \dbinom{10}{5} \times 0{,}5^{10}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Comme $p = 1 - p = 0{,}5$, les deux facteurs $p^5$ et $(1-p)^5$ se combinent en $0{,}5^{10}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$.

Affirmation : La variance $V(X)$ est toujours inférieure ou égale à l'espérance $E(X)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p) = E(X) \times (1-p)$.
Comme $1-p \leqslant 1$, on a bien $V(X) \leqslant E(X)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La clé est d'exploiter la relation $V(X) = E(X) \times (1-p)$ au lieu de traiter variance et espérance comme des quantités indépendantes.
$V(X) = np(1-p) = E(X)(1-p)$.
Puisque $0 \leqslant p \leqslant 1$, le facteur $(1-p) \leqslant 1$, donc $V(X) \leqslant E(X)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$V(X) = E(X) \times (1-p) \leqslant E(X)$ car $1-p \leqslant 1$.
[/solution]
[/etape]

Sujet 0 – Probabilités

Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points.

Partie I

Le premier exercice est constitué de deux questions $ Q_1 $ et $ Q_2 $. Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.

On considère que :

Un candidat pris au hasard a une probabilité 0,8 de répondre correctement à la question $ Q_1 $.
Si le candidat répond correctement à $ Q_1 $, il a une probabilité 0,6 de répondre correctement à $ Q_2 $; s’il ne répond pas correctement à $ Q_1 $, il a une probabilité 0,1 de répondre correctement à $ Q_2 $.

On prend un candidat au hasard et on note :

$ A $ l’évènement : « le candidat répond correctement à la question $ Q_1 $ » ;
$ B $ l’évènement : « le candidat répond correctement à la question $ Q_2 $ ».

On note $ \bar{A} $ et $ \bar{B} $ les évènements contraires de $ A $ et de $ B $.

Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-dessous.

Arbre de probabilité à deux niveaux : premier niveau A et A barre, second niveau B et B barre sur chaque branche ; toutes les probabilités sont remplacées par des pointillés à compléter

Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions $ Q_1 $ et $ Q_2 $.
Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question $ Q_2 $.
On note :
- $ X_1 $ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question $ Q_1 $;
- $ X_2 $ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question $ Q_2 $;
- $ X $ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l’exercice, c’est-à-dire $ X = X_1 + X_2 $.
Déterminer l’espérance de $ X_1 $ et de $ X_2 $. En déduire l’espérance de $ X $. Donner une interprétation de l’espérance de $ X $ dans le contexte de l’exercice.
On souhaite déterminer la variance de $ X $.
1. Déterminer $ P(X = 0) $ et $ P(X = 2) $. En déduire $ P(X = 1) $.
2. Montrer que la variance de $ X $ vaut 0,57.
3. A-t-on $ V(X) = V(X_1) + V(X_2) $?
  Est-ce surprenant ?

Partie II

Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes. Chaque question est notée sur un point.
Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point.

Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité $ \dfrac{3}{4} $ de répondre correctement, indépendamment des autres questions.

On note $ Y $ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c’est-à-dire le nombre de bonnes réponses.

Justifier que $ Y $ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Donner la valeur exacte de $ P(Y = 8) $.
Donner l’espérance et la variance de $ Y $.

Partie III

On suppose que les deux variables aléatoires $ X $ et $ Y $ sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l’examen : $ Z = X + Y $.

Calculer l’espérance et la variance de $ Z $.
Soit $ n $ un nombre entier strictement positif. Pour $ i $ entier variant de 1 à $ n $, on note $ Z_i $ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $ n $ élèves, associe la note de l’élève numéro $ i $ à l’examen. On admet que les variables aléatoires $ Z_1, Z_2, \ldots, Z_n $ sont identiques à $ Z $ et indépendantes. On note $ M_n $ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $ n $ élèves, associe la moyenne de leurs $ n $ notes, c’est-à-dire :

$ M_n = \dfrac{Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n}{n} $
1. Quelle est l’espérance de $ M_n $ ?
2. Quelles sont les valeurs de $ n $ telles que l’écart type de $ M_n $ soit inférieur ou égal à 0,5 ?
3. Pour les valeurs trouvées en b., montrer que la probabilité que $ 6{,}3 \leqslant M_n \leqslant 8{,}3 $ est supérieure ou égale à 0,75.

Corrigé

La probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions est :

$ P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) $

Substituons les valeurs :

$ P(A \cap B) = 0{,}8 \times 0{,}6 = 0{,}48 $
Pour trouver $ P(B) $, nous utilisons la formule des probabilités totales :

$ P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A}) $

$ P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B) $

Substituons les valeurs :

$ P(B) = 0{,}8 \times 0{,}6 + 0{,}2 \times 0{,}1 = 0{,}48 + 0{,}02 = 0{,}5 $
Pour $ X_1 $, la probabilité que le candidat obtienne 1 point est $ P(A) $, et 0 point est $ P(\bar{A}) $ :

$ E(X_1) = 1 \times P(A) + 0 \times P(\bar{A}) = 1 \times 0{,}8 + 0 \times 0{,}2 = 0{,}8 $

Pour $ X_2 $, la probabilité que le candidat obtienne 1 point est $ P(B) $, et 0 point est $ P(\bar{B}) $ :

$ E(X_2) = 1 \times P(B) + 0 \times P(\bar{B}) = 1 \times 0{,}5 + 0 \times 0{,}5 = 0{,}5 $

L’espérance de $ X = X_1 + X_2 $ est :

$ E(X) = E(X_1) + E(X_2) = 0{,}8 + 0{,}5 = 1{,}3 $

Interprétation : En moyenne, un candidat obtient une note de 1,3 points sur 2 à l’exercice.
1. $ P(X = 0) $ est la probabilité que le candidat échoue aux deux questions :
  
  $ P(X = 0) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}|\bar{A}) = 0{,}2 \times 0{,}9 = 0{,}18 $
  
  $ P(X = 2) $ est la probabilité que le candidat réussisse les deux questions :
  
  $ P(X = 2) = P(A \cap B) = 0{,}48 $
  
  $ P(X = 1) $ est la probabilité que le candidat réussisse une question et échoue à l'autre.
  
  $ P(X = 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 2) $
  
  $ P(X = 1) = 1 - 0{,}18 - 0{,}48 = 0{,}34 $
2. La variance de $ X $ se calcule à partir de la formule :
  
  $ V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $
  
  Calculons $ E(X^2) $ :
  
  $ E(X^2) = 0^2 \times P(X = 0) + 1^2 \times P(X = 1) + 2^2 \times P(X = 2) $
  
  $ E(X^2) = 0 \times 0{,}18 + 1 \times 0{,}34 + 4 \times 0{,}48 $
  
  $ E(X^2) = 0 + 0{,}34 + 1{,}92 = 2{,}26 $
  
  Sachant que $ E(X) = 1{,}3 $, calculons $ [E(X)]^2 $ :
  
  $ [E(X)]^2 = 1{,}3^2 = 1{,}69 $
  
  Enfin, calculons $ V(X) $ :
  
  $ V(X) = 2{,}26 - 1{,}69 = 0{,}57 $
3. Calculons les variances de $ X_1 $ et $ X_2 $.
  
  Variance de $ X_1 $ :
  
  $ V(X_1) = E(X_1^2) - [E(X_1)]^2 $
  
  Sachant que $ X_1 $ ne peut prendre que les valeurs 0 et 1 :
  
  $ E(X_1^2) = 0^2 \times P(X_1 = 0) + 1^2 \times P(X_1 = 1) = 0 \times 0{,}2 + 1 \times 0{,}8 = 0{,}8 $
  
  $ [E(X_1)]^2 = 0{,}8^2 = 0{,}64 $
  
  $ V(X_1) = 0{,}8 - 0{,}64 = 0{,}16 $
  
  Variance de $ X_2 $ :
  
  $ V(X_2) = E(X_2^2) - [E(X_2)]^2 $
  
  Sachant que $ X_2 $ ne peut prendre que les valeurs 0 et 1 :
  
  $ E(X_2^2) = 0^2 \times P(X_2 = 0) + 1^2 \times P(X_2 = 1) = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}5 = 0{,}5 $
  
  $ [E(X_2)]^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25 $
  
  $ V(X_2) = 0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25 $
  
  On remarque que $ V(X) \neq V(X_1) + V(X_2) $ ce qui est logique et signifie que les variables aléatoires $ X_1 $ et $ X_2 $ ne sont pas indépendantes.

Partie II

Pour qu'une variable aléatoire suive une loi binomiale, les conditions suivantes doivent être satisfaites :
- Il y a un nombre fixe d'essais indépendants, noté $ n $. Chaque essai a deux issues possibles : succès (bonne réponse) ou échec (mauvaise réponse ou absence de réponse).
- Les essais sont identiques et indépendants.
- La variable aléatoire comptabilise le nombre de succès
Dans notre cas :
- Le nombre de questions est $ n = 8 $, donc il y a 8 essais.et chaque question a deux issues possibles : une bonne réponse (succès) ou une mauvaise réponse/absence de réponse (échec).
  La probabilité de succès (répondre correctement) est $ p = \dfrac{3}{4} $.
- Les questions sont indépendantes.
- La note comptabilise le nombre de succès
Ainsi, $ Y $ suit une loi binomiale de paramètres $ n = 8 $ et $ p = \dfrac{3}{4} $.
La probabilité que le candidat réponde correctement à toutes les 8 questions (c'est-à-dire que $ Y = 8 $) est donnée par la formule de la loi binomiale :

$ P(Y = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} $

Pour $ k = 8 $, $ n = 8 $ et $ p = \dfrac{3}{4} $, nous avons :

$ P(Y = 8) = \binom{8}{8} \left( \dfrac{3}{4} \right)^8 \left( 1 - \dfrac{3}{4} \right)^{8 - 8} $

$ P(Y = 8) = 1 \times \left( \dfrac{3}{4} \right)^8 \times 1 $

$ P(Y = 8) = \left( \dfrac{3}{4} \right)^8 $
Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale $ Y $ de paramètres $ n $ et $ p $, l'espérance $ E(Y) $ et la variance $ V(Y) $ sont données par les formules suivantes :

$ E(Y) = n \times p $

$ V(Y) = n \times p \times (1 - p) $

Dans notre cas, $ n = 8 $ et $ p = \dfrac{3}{4} $.

Calculons l'espérance :

$ E(Y) = 8 \times \dfrac{3}{4} = 6 $

Calculons la variance :

$ V(Y) = 8 \times \dfrac{3}{4} \times \left(1 - \dfrac{3}{4}\right) $

$ V(Y) = 8 \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{4} $

$ V(Y) = 8 \times \dfrac{3}{16} = 1{,}5 $

Donc, l'espérance de $ Y $ est 6 et la variance de $ Y $ est 1,5.

Partie III

Puisque $ Z = X + Y $ :

$ E(Z) = E(X) + E(Y) $

De plus, comme $ X $ et $ Y $ sont indépendantes :

$ V(Z) = V(X) + V(Y) $

De la Partie I, nous avons :

$ E(X) = 1{,}3 \quad \text{et} \quad V(X) = 0{,}57 $

De la Partie II, nous avons :

$ E(Y) = 6 \quad \text{et} \quad V(Y) = 1{,}5 $

Calculons l'espérance de $ Z $ :

$ E(Z) = E(X) + E(Y) = 1{,}3 + 6 = 7{,}3 $

Calculons la variance de $ Z $ :

$ V(Z) = V(X) + V(Y) = 0{,}57 + 1{,}5 = 2{,}07 $
1. L'espérance de la moyenne de $ n $ variables identiques et indépendantes est donnée par :
  
  $ E(M_n) = E\left( \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i \right) $
  
  Par linéarité de l'espérance :
  
  $ E(M_n) = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(Z_i) $
  
  Puisque $ Z_i $ ont toutes la même espérance $ E(Z) $ :
  
  $ E(M_n) = \dfrac{1}{n} \times n \times E(Z) = E(Z) $
  
  Donc :
  
  $ E(M_n) = 7{,}3 $
2. L'écart type de $ M_n $ est donné par :
  
  $ \sigma(M_n) = \sqrt{V(M_n)} $
  
  La variance de $ M_n $ est :
  
  $ V(M_n) = V\left( \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i \right) $
  
  Par indépendance des $ Z_i $ :
  
  $ V(M_n) = \dfrac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V(Z_i) $
  
  Puisque $ Z_i $ ont toutes la même variance $ V(Z) $ :
  
  $ V(M_n) = \dfrac{1}{n^2} \times n \times V(Z) = \dfrac{V(Z)}{n} $
  
  Donc :
  
  $ \sigma(M_n) = \sqrt{\dfrac{V(Z)}{n}} $
  
  Nous voulons que cet écart type soit inférieur ou égal à 0,5 :
  
  $ \sqrt{\dfrac{V(Z)}{n}} \leqslant 0{,}5 $
  
  Élevons au carré :
  
  $ \dfrac{V(Z)}{n} \leqslant 0{,}25 $
  
  $ n \geqslant \dfrac{V(Z)}{0{,}25} = \dfrac{2{,}07}{0{,}25} = 8{,}28 $
  
  Comme $ n $ doit être un entier strictement positif, les valeurs possibles de $ n $ sont :
  
  $ n \geqslant 9 $
3. Nous allons utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Cette inégalité nous dit que pour toute variable aléatoire $ X $ avec espérance $ \mu $ et variance $ \sigma^2 $,
  
  $ P(|X - \mu| \geqslant k\sigma) \leqslant \dfrac{1}{k^2} $
  
  Pour $ M_n $, nous avons $ \mu = 7{,}3 $ et $ \sigma^2 = \dfrac{2{,}07}{n} $. Nous voulons trouver la probabilité que $ M_n $ soit dans l'intervalle $ [6{,}3, 8{,}3] $. Cela signifie que nous cherchons $ P(6{,}3 \leqslant M_n \leqslant 8{,}3) $.
  
  $ P(6{,}3 \leqslant M_n \leqslant 8{,}3) = P(|M_n - 7{,}3| \leqslant 1) $
  
  Nous avons $ \sigma(M_n) = \sqrt{\dfrac{2{,}07}{n}} $.
  
  Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
  
  $ P(|M_n - 7{,}3| \geqslant 1) \leqslant \dfrac{\sigma^2(M_n)}{1^2} = \dfrac{2{,}07}{n} $
  
  Pour $ n \geqslant 9 $, nous avons :
  
  $ P(|M_n - 7{,}3| \geqslant 1) \leqslant \dfrac{2{,}07}{9} \approx 0{,}23 $
  
  En passant à l'événement contraire, on obtient :
  
  $ P(|M_n - 7{,}3| < 1) = 1 - P(|M_n - 7{,}3| \geqslant 1) $
  
  $ P(|M_n - 7{,}3| < 1) \geqslant 1 - 0{,}23 = 0{,}77 $
  
  Ainsi, pour $ n \geqslant 9 $, la probabilité que $ 6{,}3 \leqslant M_n \leqslant 8{,}3 $ est supérieure ou égale à 0,75.