[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Soient $\alpha = \dfrac{\pi}{5}$ et $\beta = \dfrac{21\pi}{5}$.
Les réels $\alpha$ et $\beta$ sont repérés par le même point sur le cercle trigonométrique.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule : $\beta = \dfrac{21\pi}{5} = \dfrac{\pi + 20\pi}{5} = \dfrac{\pi}{5} + 4\pi = \alpha + 2 \times 2\pi.$
Les nombres $\alpha$ et $\beta$ diffèrent d'un multiple de $2\pi$, donc ils représentent le même point sur le cercle trigonométrique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de comparer $\alpha$ et $\beta$ directement sans décomposer $\beta$ pour faire apparaître $\alpha$ plus un multiple de $2\pi$.
On calcule : $\beta = \dfrac{21\pi}{5} = \dfrac{\pi + 20\pi}{5} = \dfrac{\pi}{5} + 4\pi = \alpha + 2 \times 2\pi.$
Les nombres $\alpha$ et $\beta$ diffèrent d'un multiple de $2\pi$, donc ils représentent bien le même point.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\beta = \dfrac{21\pi}{5} = \dfrac{\pi}{5} + 4\pi = \alpha + 2 \times 2\pi$, donc $\alpha$ et $\beta$ correspondent au même point sur le cercle.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Soient $A$ et $B$ les images respectives des réels $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ sur le cercle trigonométrique.
Les points $A$ et $B$ ont la même ordonnée.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les angles $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Ils ont donc le même sinus (la même ordonnée).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre l'abscisse (cosinus) et l'ordonnée (sinus) : ici $\cos \dfrac{\pi}{3} \neq \cos \dfrac{2\pi}{3}$ mais $\sin \dfrac{\pi}{3} = \sin \dfrac{2\pi}{3}$.
Les angles $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Ils ont donc le même sinus, c'est-à-dire la même ordonnée sur le cercle trigonométrique.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, donc $\sin\dfrac{\pi}{3} = \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : même ordonnée.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Soit $\alpha$ un nombre réel et $M$, $N$ les images respectives de $\alpha$ et $\alpha + \pi$ sur le cercle trigonométrique.
Les points $M$ et $N$ sont symétriques par rapport à l'origine $O$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Ajouter $\pi$ à un angle correspond à faire un demi-tour sur le cercle. Les points $M$ et $N$ sont diamétralement opposés, donc symétriques par rapport à l'origine $O$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre la symétrie par rapport à l'origine (demi-tour, $\alpha + \pi$) avec la symétrie par rapport à l'axe des abscisses (remplacement de $\alpha$ par $-\alpha$).
Ajouter $\pi$ à un angle correspond à faire un demi-tour sur le cercle. Les points $M$ et $N$ sont donc diamétralement opposés et bien symétriques par rapport à l'origine $O$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Ajouter $\pi$ revient à faire un demi-tour : $M$ et $N$ sont diamétralement opposés, donc symétriques par rapport à $O$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Soient $a = \dfrac{\pi}{5}$ et $b = -\dfrac{4\pi}{5}$.
Les réels $a$ et $b$ sont repérés par le même point sur le cercle trigonométrique.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On remarque que $b = -\dfrac{4\pi}{5} = \dfrac{\pi - 5\pi}{5} = \dfrac{\pi}{5} - \pi = a - \pi$. Les points repérant $a$ et $b$ sont diamétralement opposés (symétriques par rapport à l'origine), pas confondus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de vérifier si $b - a$ est un multiple de $2\pi$ sans remarquer que $b - a = -\pi$, qui est un multiple de $\pi$ mais pas de $2\pi$.
On calcule $b = -\dfrac{4\pi}{5} = \dfrac{\pi}{5} - \pi = a - \pi$. Les points repérant $a$ et $b$ sont diamétralement opposés, donc ils ne sont pas confondus.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $b = a - \pi$ : les deux points sont diamétralement opposés sur le cercle, pas confondus.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Soient $M$ et $N$ les images des réels $\dfrac{\pi}{4}$ et $-\dfrac{\pi}{4}$ sur le cercle trigonométrique.
Les points $M$ et $N$ ont la même abscisse.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les angles $\alpha$ et $-\alpha$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Les points $M$ et $N$ ont donc la même abscisse (le même cosinus) et des ordonnées opposées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre symétrie par rapport à l'axe des abscisses (qui conserve le cosinus) et symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (qui conserve le sinus).
Les angles $\dfrac{\pi}{4}$ et $-\dfrac{\pi}{4}$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Les points $M$ et $N$ ont donc bien la même abscisse (le même cosinus).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{\pi}{4}$ et $-\dfrac{\pi}{4}$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, donc $\cos\dfrac{\pi}{4} = \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : même abscisse.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Soit $\alpha$ un nombre réel et $P$, $Q$ les images respectives de $\alpha$ et $-\alpha$ sur le cercle trigonométrique.
Les points $P$ et $Q$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est une propriété générale du cercle trigonométrique. Le point repérant $-\alpha$ est le symétrique de celui repérant $\alpha$ par rapport à l'axe des abscisses.
On a ainsi $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ et $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre la symétrie par rapport à l'axe des abscisses ($\alpha \to -\alpha$) avec la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ($\alpha \to \pi - \alpha$).
C'est pourtant bien une propriété du cercle trigonométrique : le point repérant $-\alpha$ est le symétrique du point repérant $\alpha$ par rapport à l'axe des abscisses.
On a $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ et $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété de symétrie par rapport à l'axe des abscisses : $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ et $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$.
[/solution]
[/etape]
