Vrai/Faux : Formule du binôme et situations concrètes

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la formule du binôme et les situations concrètes de dénombrement, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tous réels $a$ et $b$, on a $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, ce qui correspond au cas $n = 2$ de la formule du binôme.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La formule du binôme s'écrit $(a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
Pour $n=2$ : $\binom{2}{0} a^2 + \binom{2}{1} ab + \binom{2}{2} b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la formule du binôme est $(a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
Pour $n = 2$, les trois coefficients $\binom{2}{0}, \binom{2}{1}, \binom{2}{2}$ valent $1, 2, 1$ : on retrouve l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ est le cas $n=2$ de la formule du binôme.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 4x + 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les coefficients dans $(x+1)^4$ sont les $\binom{4}{k}$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4$, soit $1, 4, 6, 4, 1$ (4ᵉ ligne du triangle de Pascal).
On a donc $(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$ (le coefficient de $x^2$ est $6$, pas $4$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au coefficient central. Les coefficients de la $4$ᵉ ligne du triangle de Pascal sont $1, 4, 6, 4, 1$, et non tous égaux à $4$ entre les bornes.
Le développement correct est $(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le développement correct est $(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$ (le coefficient de $x^2$ est $6$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout entier $n \geqslant 0$, on a $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
En appliquant la formule du binôme à $a = b = 1$ : $(1+1)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \times 1^{n-k} \times 1^k = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$.
Or $(1+1)^n = 2^n$, d'où l'égalité.
Interprétation : la somme compte le nombre total de parties d'un ensemble à $n$ éléments, qui est bien $2^n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour $a = b = 1$, la formule du binôme donne $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = (1+1)^n = 2^n$.
On peut le vérifier sur la $4$ᵉ ligne du triangle de Pascal : $1+4+6+4+1 = 16 = 2^4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est une conséquence directe de la formule du binôme avec $a = b = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance $8$ fois une pièce de monnaie (les lancers sont distinguables).

Affirmation : Le nombre de séquences de résultats donnant exactement $3$ « pile » est $\binom{8}{3} = 56$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Une séquence est entièrement déterminée par les positions (parmi les $8$ lancers) où l'on obtient « pile ».
On choisit une partie de $3$ positions parmi $8$ : il y a $\binom{8}{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$ séquences.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une séquence de résultats correspond au choix des positions des « pile » parmi les $8$ lancers.
Comme l'ordre des positions choisies n'a pas d'importance (les positions forment un ensemble), on compte $\binom{8}{3} = 56$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On choisit les $3$ positions des « pile » parmi $8$ : $\binom{8}{3} = 56$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère le développement de $(2+x)^5$.

Affirmation : Le coefficient de $x^3$ dans ce développement est $\binom{5}{3} = 10$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La formule du binôme s'écrit $(2+x)^5 = \displaystyle\sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} 2^{5-k} x^k$.
Le coefficient de $x^3$ est $\binom{5}{3} \times 2^{5-3} = 10 \times 4 = 40$, et non $\binom{5}{3}$ seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'oublier la puissance du premier terme. Quand on développe $(a+b)^n$, le terme général vaut $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$, pas seulement $\binom{n}{k} b^k$.
Ici $a = 2$ et $b = x$, donc le coefficient de $x^3$ vaut $\binom{5}{3} \times 2^{2} = 10 \times 4 = 40$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient de $x^3$ vaut $\binom{5}{3} \times 2^2 = 40$, et non $\binom{5}{3} = 10$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On tire simultanément $5$ cartes dans un jeu de $32$ cartes (qui contient $4$ dames et $28$ cartes non-dames).

Affirmation : Le nombre de mains contenant exactement $2$ dames est $\binom{4}{2} \times \binom{28}{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Une telle main se construit en choisissant $2$ dames parmi $4$ ($\binom{4}{2}$ façons), puis $3$ cartes parmi les $28$ non-dames ($\binom{28}{3}$ façons).
Par le principe multiplicatif, on obtient $\binom{4}{2} \times \binom{28}{3} = 6 \times 3\,276 = 19\,656$ mains.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : on construit la main en deux étapes indépendantes.
On choisit les $2$ dames parmi $4$, puis les $3$ autres cartes parmi $28$ non-dames. Par le principe multiplicatif, le nombre total est $\binom{4}{2} \times \binom{28}{3}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On choisit $2$ dames parmi $4$ et $3$ cartes parmi les $28$ non-dames, soit $\binom{4}{2} \times \binom{28}{3}$ mains.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Combinaisons et coefficients binomiaux

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les combinaisons et les coefficients binomiaux, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tout entier naturel $n$, on a $\binom{n}{0} = 1$ et $\binom{n}{n} = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Choisir $0$ élément parmi $n$ : il y a une seule façon (l'ensemble vide), donc $\binom{n}{0} = 1$.
Choisir les $n$ éléments parmi $n$ : il y a aussi une seule façon, donc $\binom{n}{n} = 1$.
La formule $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ donne aussi $\dfrac{n!}{0! \, n!} = 1$ et $\dfrac{n!}{n! \, 0!} = 1$ avec la convention $0! = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $\binom{n}{k}$ compte le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.
Il existe une seule partie sans aucun élément (l'ensemble vide) et une seule partie contenant tous les éléments, d'où $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a toujours $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\binom{12}{4} = \binom{12}{8}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Choisir $4$ éléments parmi $12$ revient à choisir les $8$ qui restent : c'est la propriété de symétrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.
Ici $\binom{12}{4} = \binom{12}{12-4} = \binom{12}{8} = 495$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour tout $0 \leqslant k \leqslant n$, on a $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ (propriété de symétrie).
Choisir les $4$ éléments retenus ou les $8$ éléments rejetés détermine la même partie, d'où $\binom{12}{4} = \binom{12}{8}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par symétrie, $\binom{12}{4} = \binom{12}{8} = 495$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une classe compte $30$ élèves. On choisit $3$ délégués (sans hiérarchie entre eux).

Affirmation : Le nombre de choix possibles est $A_{30}^{3} = 30 \times 29 \times 28$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Sans hiérarchie entre les délégués, l'ordre n'a pas d'importance : il s'agit d'une combinaison.
Le nombre de choix est $\binom{30}{3} = \dfrac{30 \times 29 \times 28}{6} = 4\,060$, et non $A_{30}^3 = 24\,360$ (qui distinguerait par exemple un président, un vice-président et un trésorier).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de compter l'ordre des délégués alors que rien ne le justifie ici.
Quand on choisit $k$ éléments sans tenir compte de l'ordre, on utilise $\binom{n}{k}$ : ici $\binom{30}{3} = 4\,060$, soit $6$ fois moins que $A_{30}^3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Sans hiérarchie, le nombre de choix est $\binom{30}{3} = 4\,060$ (combinaison), pas $A_{30}^3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout entier $n \geqslant 1$ et tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n-1$, on a $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est la formule du triangle de Pascal : la somme de deux coefficients consécutifs d'une ligne donne le coefficient situé en dessous (entre eux deux).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la formule de Pascal s'écrit $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ et permet de construire le triangle de Pascal de proche en proche.
On peut la vérifier numériquement, par exemple : $\binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10 = \binom{5}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la formule de Pascal, qui justifie la construction du triangle de Pascal.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\binom{10}{3} = \dfrac{10!}{3!}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La formule correcte est $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! \, (n-k)!}$, le facteur $(n-k)!$ ne doit pas être oublié.
Ici $\binom{10}{3} = \dfrac{10!}{3! \, 7!} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120$, alors que $\dfrac{10!}{3!} = 604\,800$ : les deux quantités n'ont rien à voir.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, le dénominateur de $\binom{n}{k}$ contient deux factorielles : $k!$ et $(n-k)!$.
Ici la formule donne $\binom{10}{3} = \dfrac{10!}{3! \, 7!} = 120$. Sans le facteur $7!$, on obtient $\dfrac{10!}{3!} = 604\,800$, ce qui est très loin du résultat correct.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule correcte est $\binom{10}{3} = \dfrac{10!}{3! \, 7!} = 120$ (le facteur $7!$ manque).
[/solution]
[/etape]

[etape]
On tire simultanément $5$ cartes dans un jeu de $32$ cartes.

Affirmation : Le nombre de mains possibles est $\binom{32}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un tirage simultané ne tient pas compte de l'ordre des cartes : on choisit une partie de $5$ cartes parmi $32$.
Le nombre de mains est donc $\binom{32}{5} = 201\,376$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : « simultanément » signifie que l'ordre dans lequel on prend les cartes n'a pas d'importance. C'est exactement la situation modélisée par une combinaison.
Le nombre de mains est $\binom{32}{5} = 201\,376$. Si l'ordre comptait, on utiliserait $A_{32}^5$ (qui est $5!$ fois plus grand).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Un tirage simultané de $5$ cartes parmi $32$ donne $\binom{32}{5} = 201\,376$ mains.
[/solution]
[/etape]

QCM : Combinaisons et triangle de Pascal

[enonce]
Ce QCM porte sur les combinaisons et le triangle de Pascal : calcul de coefficients binomiaux, symétrie, formule de Pascal et somme des coefficients d'une ligne. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Calculer $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$.
[qcm]
[option]$30$[/option]
[option correct="true"]$15$[/option]
[option]$12$[/option]
[option]$36$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = \dfrac{6 \times 5}{2 \times 1} = \dfrac{30}{2} = 15$.[/reponse]
[reponse motif="$30$"]Non.
$30 = 6 \times 5 = A_6^2$ correspond aux arrangements (avec ordre). Pour passer aux combinaisons, il faut diviser par $2! = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12 = 6 \times 2$ : on a multiplié $n$ par $p$. La formule fait intervenir le produit $n(n-1)\cdots(n-p+1)$ au numérateur et $p!$ au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$36$"]Non.
$36 = 6^2$. Un coefficient binomial n'est pas un carré : il faut appliquer la formule $\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Formule pratique : $\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$. Appliquer avec $n=6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
En utilisant la propriété de symétrie, calculer $\begin{pmatrix} 10 \\ 8 \end{pmatrix}$.
[qcm]
[option]$90$[/option]
[option]$80$[/option]
[option correct="true"]$45$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La symétrie donne $\binom{10}{8} = \binom{10}{10-8} = \binom{10}{2}$. On calcule alors $\binom{10}{2} = \dfrac{10 \times 9}{2} = 45$.[/reponse]
[reponse motif="$90$"]Non.
$90 = 10 \times 9 = A_{10}^2$ correspond aux arrangements (sans diviser par $2!$). Pour le coefficient binomial, ne pas oublier la division par $2! = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$80$"]Non.
$80 = 10 \times 8$ : on a multiplié $n$ par $p$. La symétrie ramène le calcul à $\binom{10}{2}$, qu'il faut ensuite calculer correctement.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$\binom{10}{0} = \binom{10}{10} = 1$, mais ici $p = 8$ n'est pas une valeur extrême. La symétrie ramène à $\binom{10}{2}$, qui vaut $45$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Symétrie : $\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}$. Calculer ensuite le coefficient avec $p$ remplacé par $n-p$ (ici $2$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Au poker, une « main » est constituée de $5$ cartes choisies dans un jeu de $52$ cartes (l'ordre de réception des cartes ne compte pas). Combien de mains différentes peut-on former ?
[qcm]
[option correct="true"]$2\,598\,960$[/option]
[option]$311\,875\,200$[/option]
[option]$380\,204\,032$[/option]
[option]$260$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On choisit $5$ cartes parmi $52$ sans ordre : $\binom{52}{5} = \dfrac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5!} = 2\,598\,960$.[/reponse]
[reponse motif="$311\,875\,200$"]Non.
$311\,875\,200 = A_{52}^5 = 52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48$ correspond à un tirage ordonné. Or la main de poker ne dépend pas de l'ordre des cartes reçues : il faut diviser par $5!$.[/reponse]
[reponse motif="$380\,204\,032$"]Non.
$380\,204\,032 = 52^5$ correspond à un tirage avec remise. Or les $5$ cartes sont nécessairement distinctes (un jeu n'a pas de doublon).[/reponse]
[reponse motif="$260$"]Non.
$260 = 52 \times 5$ correspond à une simple multiplication. Pour choisir $5$ cartes parmi $52$, il faut un coefficient binomial.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$5$ cartes choisies sans ordre dans un paquet de $52$ : $\binom{52}{5}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une classe de $25$ élèves, on doit constituer une équipe de $3$ délégués ayant tous le même rôle. Combien d'équipes différentes peut-on former ?
[qcm]
[option]$13\,800$[/option]
[option]$15\,625$[/option]
[option]$75$[/option]
[option correct="true"]$2\,300$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les $3$ délégués ont le même rôle : l'ordre du choix ne compte pas. C'est une combinaison : $\binom{25}{3} = \dfrac{25 \times 24 \times 23}{6} = \dfrac{13\,800}{6} = 2\,300$.[/reponse]
[reponse motif="$13\,800$"]Non.
$13\,800 = A_{25}^3 = 25 \times 24 \times 23$ correspond à un choix ordonné. Comme les trois rôles sont identiques, il faut diviser par $3! = 6$ pour ne pas compter plusieurs fois la même équipe.[/reponse]
[reponse motif="$15\,625$"]Non.
$15\,625 = 25^3$ correspond à un choix avec répétition. Or un même élève ne peut pas être choisi plusieurs fois.[/reponse]
[reponse motif="$75$"]Non.
$75 = 25 \times 3$ correspond à une simple multiplication. Pour choisir $3$ élèves parmi $25$ sans ordre, il faut un coefficient binomial.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$3$ élèves choisis sans ordre parmi $25$ : $\binom{25}{3}$. Bien diviser par $3!$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans le triangle de Pascal, on lit $\binom{6}{2} = 15$ et $\binom{6}{3} = 20$. En déduire la valeur de $\binom{7}{3}$ à l'aide de la formule de Pascal.
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$300$[/option]
[option correct="true"]$35$[/option]
[option]$25$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La formule de Pascal s'écrit $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$. En prenant $n=6$ et $k=2$ : $\binom{6}{2} + \binom{6}{3} = \binom{7}{3}$, soit $15 + 20 = 35$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5 = 20 - 15$ correspond à une différence. La formule de Pascal est une somme : on additionne les deux coefficients de la ligne $n$ pour obtenir celui de la ligne $n+1$.[/reponse]
[reponse motif="$300$"]Non.
$300 = 15 \times 20$ : la formule de Pascal n'est pas un produit mais une somme. Visuellement, on fait la somme des deux cases situées juste au-dessus dans le triangle.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
On a probablement appliqué $15 + 10$ ou un calcul approximatif. La formule donne directement $\binom{7}{3} = \binom{6}{2} + \binom{6}{3}$, soit $15 + 20$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Formule de Pascal : chaque coefficient est la somme des deux coefficients situés au-dessus de lui dans le triangle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour tout entier naturel $n$, à quoi est égale la somme $\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} + \cdots + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$2^n$[/option]
[option]$n!$[/option]
[option]$n^2$[/option]
[option]$n+1$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La somme des coefficients binomiaux de la ligne $n$ vaut $2^n$. Interprétation : c'est le nombre total de parties d'un ensemble à $n$ éléments (parties à $0$ élément, à $1$ élément, ..., à $n$ éléments).[/reponse]
[reponse motif="$n!$"]Non.
$n!$ est le nombre de permutations de $n$ éléments, pas le nombre total de parties. La somme cherchée compte toutes les parties, indépendamment de leur taille.[/reponse]
[reponse motif="$n^2$"]Non.
La formule de la somme n'est pas un carré. Pour $n = 3$ par exemple, $\binom{3}{0} + \binom{3}{1} + \binom{3}{2} + \binom{3}{3} = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3$, et non $9$.[/reponse]
[reponse motif="$n+1$"]Non.
$n+1$ est le nombre de termes de la somme (de $\binom{n}{0}$ à $\binom{n}{n}$), pas la valeur de cette somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester sur de petits exemples : pour $n=3$, $1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3$. La formule est $2^n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Somme des chiffres et dénombrement

Déterminer le nombre d'entiers naturels inférieurs à 1 000 000 dont la somme des chiffres est égale à 4.
Écrire une programme en Python qui liste ces entiers et qui vérifie le résultat de la question 1.

Corrigé

En préfixant un nombre par des zéros ( par exemple 301 = 000301 ), on peut considérer que les entiers naturels inférieurs à 1 000 000 sont les entiers de six chiffres.

Pour que la somme des chiffres soit égal à 4, on a les possibilités suivantes :
- 4 chiffres « $ 1 $ » (et 2 chiffres « $ 0 $ ») ce qui donne $ \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} = 15 $ possibilités ;
- 2 chiffres « $ 1 $ », 1 chiffre « $ 2 $ » (et 3 chiffres « $ 0 $ ») ce qui donne $ \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = 15 $ possibilités pour le chiffre « $ 1 $ » et 4 possibilités pour le chiffre « $ 2 $ » (car il ne reste plus que 4 positions une fois que les 2 chiffres « $ 1 $ » ont été placés), soit au total $ 15 \times 4 = 60 $ possibilités ;
- 2 chiffres « $ 2 $ » (et 4 chiffres « $ 0 $ ») ce qui donne $ \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = 15 $ possibilités ;
- 1 chiffre « $ 1 $ », 1 chiffre « $ 3 $ » (et 4 chiffres « $ 0 $ ») ce qui donne $ 6 \times 5 = 30 $ possibilités ;
- 1 chiffre « $ 4 $ » (et 5 chiffres « $ 0 $ ») ce qui donne 6 possibilités .
  
  Au total, le nombre d'entiers naturels inférieurs à 1 000 000 dont la somme des chiffres est égale à 4 est ;
  
  $ 15 + 60 + 15 + 30 + 6= 126. $
  
  Remarque : On peut retrouver ce résultat en utilisant l'exercice Combinaisons avec répétition ; on est en effet amené à chercher les solutions entières et positives de l'équation $ x+y+z+t+u+v = 4 $ qui d'après cet exercice est : $ \begin{pmatrix} 9 \\ 4 \end{pmatrix} = 126. $

Voici un exemple de programme Python assez simple qui répond au problème en bouclant sur les six chiffres :

compteur = 0
for i_1 in range(0,5) :
    for i_2 in range(0,5) :
        for i_3 in range(0,5) :
            for i_4 in range(0,5) :
                for i_5 in range(0,5) :
                    for i_6 in range(0,5) :
                        if ( i_1 + i_2 + i_3 + i_4 + i_5 + i_6 == 4) :
                            compteur = compteur + 1
print('total : ', compteur)

Aucun chiffre ne pouvant être strictement supérieur à 4, on a limité les boucles à un range(0, 5) pour optimiser le programme (il est possible d'optimiser davantage mais on obtient alors un programme plus complexe).

Propriétés des combinaisons

$ n $ et $ p $ désignent deux entiers naturels tels que $ p \leqslant n $.
À partir de la formule $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \dfrac{ n! }{ p!(n - p)! } $ :

Montrer que $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n - p \end{pmatrix} $
Montrer que $ \begin{pmatrix} n - 1 \\ p - 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n - 1 \\ p \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} $
Montrer que $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}= \dfrac{ n }{ p } \times \begin{pmatrix} n - 1 \\ p - 1 \end{pmatrix} $

Corrigé

D'après la formule $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \dfrac{ n! }{ p!(n - p)! } $ :

$ \begin{aligned}\begin{pmatrix} n \\ n - p \end{pmatrix} &=\dfrac{n!}{\left( n - p\right) !\left( n - \left( n - p\right) \right) !}\\ \\ &=\dfrac{n!}{\left( n - p\right)!\ p!}\\ \\ &=\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}\end{aligned} $
De même :

$ \begin{aligned}\begin{pmatrix} n - 1 \\ p - 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n - 1 \\ p \end{pmatrix} &=\dfrac{\left( n - 1\right) !}{\left( p - 1\right) !\left( n - 1 - \left( p - 1\right) \right) !}+\dfrac{\left( n - 1\right) !}{p!\left( n - p - 1\right) !}\\ \\ &=\dfrac{\left( n - 1\right) !}{\left( p - 1\right) !\left( n - p\right) !}+\dfrac{\left( n - 1\right) !}{p!\left( n - p - 1\right) !}\\ \\ &=\dfrac{\left( n - 1\right) !p}{p\left( p - 1\right) !\left( n - p\right) !} +\dfrac{\left( n - 1\right) !\left( n - p\right) }{p!\left( n - p - 1\right) \left( n - p\right) }\end{aligned} $

or $ (n - p)!=(n - p)(n - p - 1)! $ et $ p!=p(p - 1)! $ donc :

$ \begin{aligned}\begin{pmatrix} n - 1 \\ p - 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n - 1 \\ p \end{pmatrix} &=\dfrac{\left( n - 1\right) !p+\left( n - 1\right) !\left( n - p\right) }{p!\left( n - p\right) !}\\ \\ &=\dfrac{\left( n - 1\right) !\left( p+n - p\right) }{p!\left( n - p\right) !}\\ \\ &=\dfrac{\left( n - 1\right) !n}{p!\left( n - p\right) !}\\ \\ &=\dfrac{n!}{p!\left( n - p\right) !}\\ \\ &= \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} \end{aligned} $
Enfin :

$ \begin{aligned}\dfrac{n}{p}\times \begin{pmatrix}n - 1 \\ p - 1\end{pmatrix} &=\dfrac{n}{p}\times \dfrac{\left( n - 1\right) !}{\left( p - 1\right) !\left( n - 1 - \left( p - 1\right) \right) !}\\ \\ &=\dfrac{n\left( n - 1\right) !}{p\left( p - 1\right)! \left( n - p\right) !}\\ \\ &=\dfrac{n!}{p!\left( n - p\right) !}\\ \\ &= \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}\end{aligned} $

Dénombrement en Python

Compléter le programme Python ci-dessous de telle sorte que la fonction factorielle retourne $ n! $ où $ n $ désigne un entier naturel passé en argument.
```
def factorielle(n) :
   f = ...
   for i in range(...) :
      f = ...
   return ...
```
Sur le modèle de la question précédente, écrire une fonction arrangement qui prend en arguments deux entiers naturels $ n $ et $ p $ et qui retourne le nombre de $ p $-uplets formés d'éléments distincts d'un ensemble à $ n $ éléments.
Écrire une fonction Python qui prend en arguments deux entiers naturels $ n $ et $ p $ et qui retourne le nombre de combinaisons $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} $.
On pourra faire appel aux fonctions définies dans les questions précédentes.

Corrigé

On utilise la définition de $ n! $ :

$ n! = n\times \left(n - 1\right)\times . . .\times 1 $

(voir Factorielle et permutations )

Le programme Python peut être complété de la façon suivante :
```
def factorielle(n) :
   f = 1
   for i in range(1, n+1) :
      f = f * i
   return f
```
Remarque : On rappelle que l'instruction for i in range(1, n+1) effectue une boucle pour i variant de 1 à n.
Le nombre de p-uplets formés de p éléments distincts d'un ensemble à $ n $ éléments est :

$ A_n^p = n \times (n - 1) \times \cdots \times (n - p+1) $

$ = \dfrac{ n! }{ (n - p) !} $

(voir p-uplets formés de p éléments distincts - Arrangements)

La fonction arrangement sera donc assez similaire à la fonction factorielle :
```
def arrangement (n, p) :
   a = 1
   for i in range(n-p+1, n+1) :
      a = a * i
   return a
```
En utilisant les fonctions définies dans les questions précédentes et le fait que :

$ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{p!\left(n - p\right)!} = \dfrac{ A_n^p }{ p! } $

(voir Combinaisons)

on obtient la fonction Python :
```
def combinaison (n, p) :
    return arrangement(n,p)//factorielle(p)
```

Remarque : L'opérateur // effectue la division entière alors que l'opérateur / (acceptable ici aussi) effectue la division décimale.

Dénombrement au poker

Au poker, on utilise un jeu de 52 cartes réparties en quatre « couleurs » (trèfle, carreau, cœur, pique), chaque couleur comportant treize « hauteurs » différentes (as, roi, dame, valet, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2).

Une main est constituée de cinq cartes différentes tirées parmi les 52 cartes du jeu.

Combien de mains différentes peut-on former au poker ?
Combien y a-t-il de mains comportant un carré d'as (c'est à dire les quatre as et une autre carte) ?
Combien y a-t-il de mains comportant un carré (c'est à dire quatre cartes de même hauteur et une autre carte) ?
Un « full » est une main composée de 3 cartes de même hauteur et de 2 autres cartes également de même hauteur (par exemple, 3 valets et 2 as).
Combien y a-t-il de mains formant un full ?

Corrigé

Combien de mains différentes peut-on former au poker ?

Dans une main, l'ordre des cartes n'a pas d'importance et on ne peut pas avoir plusieurs fois la même carte.

On doit donc déterminer le nombre de sous-ensembles à 5 éléments d'un ensemble de 52 éléments.

Ce nombre est donc :

$ N_1 = \begin{pmatrix} 52 \\ 5 \end{pmatrix} = 2\,598\,960. $
Combien y a-t-il de mains comportant un carré d'as (c'est à dire les quatre as et une autre carte) ? Un carré d'as contient les quatre as, ce qui laisse une seule possibilité, et une autre carte, ce qui donne 52 - 4 = 48 possibilité.
Au total on a donc :

$ N_2 = 1 \times 48 = 48 $

mains comportant un carré d'as (d'après le principe multiplicatif).
Combien y a-t-il de mains comportant un carré (c'est à dire quatre cartes de même hauteur et une autre carte) ?

Il y a 13 hauteurs différentes au poker (as, roi, dame, valet, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2).
D'après la question précédente, 48 mains contiennent un carré de cette hauteur.
Au total, le nombre de mains comportant un carré est donc :

$ N_3 = 48 \times 13 = 624. $
Combien y a-t-il de mains formant un full ?

Un full contient trois cartes de même hauteur.
Pour chacune des 13 hauteurs, on choisit donc trois cartes parmi les 4 possibles (trèfle, carreau, cœur, pique) ce qui donne :

$ 13 \times \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = 13 \times 4 = 52 $

possibilités.

Par ailleurs, les deux autres cartes sont également de même hauteur.
Pour chacune des 12 hauteurs restantes, on choisit alors deux cartes parmi les 4 possibles ce qui donne :

$ 12 \times \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 12 \times 6 = 72 $

possibilités.

D'après le principe multiplicatif, le nombre de mains formant un full est :

$ N_4 = 52 \times 72 = 3~744 $

Combinaisons avec répétition

Partie A - Étude d'un exemple

On souhaite ranger 4 boules identiques dans 3 casiers.

Voici un exemple de rangement possible :

Rangement de 4 boules dans 3 casiers

On cherche à déterminer le nombre de rangements possibles. Pour cela on modélise chaque rangement à l'aide d'une suite de caractères $ \star $ et | de la manière suivante :

chaque boule est représentée par un caractère $ \star $
les caractères | sont utilisés comme séparateurs entre les différents casiers.

Par exemple, le rangement précédent (trois boules dans le premier casier, aucune dans le second et une dans le troisième) sera représenté par la suite de caractères :

$ \star \star \star $ | | $ \star $

Il faut alors 6 caractères ( 4 $ \star $ et 2 | ) pour représenter un rangement.

À l'aide de cette modélisation, déterminer le nombre de façons de ranger 4 boules identiques dans 3 casiers.

Partie B - Étude du cas général

On dispose, cette fois de $ p $ boules et de $ n $ casiers.

On représentera chacun des rangement possible par une suite de caractères $ \star $ et | comme indiqué dans la partie A.

Combien de caractères $ \star $ et | seront nécessaires pour modéliser un rangement ?
De combien de manières peut-on ranger $ p $ boules dans $ n $ casiers ?

Partie C - Applications

$ x, y $ et $ z $ étant trois entiers naturels, combien l'équation :

$ x + y + z = 6 $

admet-elle de solutions ?
On dispose de bonbons de trois parfums différents : caramels, chocolats, pralinés.
On souhaite réaliser des sachets de 10 bonbons.

Combien de sortes de sachets peut-on réaliser ?

Corrigé

Partie A - Étude d'un exemple

La suite de caractères utilisée pour modéliser un rangement utilise 4 caractères $ \star $ (qui correspondent aux 4 boules) et 2 caractères séparateurs | (le nombre de séparateurs est égal au nombre de casiers moins un).

On utilise donc, au total, 6 caractères pour représenter un rangement de 4 boules dans 3 casiers.

Chaque suite de caractères ainsi formée représente un rangement et chaque rangement peut être modélisé par une telle représentation (on dit qu'il y a « bijection » entre les rangements et leurs représentations).

Le nombre de rangements possibles est donc égal au nombre de représentations comportant 4 $ \star $ parmi 6 caractères.

Ce nombre est donc :

$ N = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} = 15 $

Remarque : On peut également raisonner sur la position des caractères | ; on trouve le même résultat $ \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = 15. $

Partie B - Étude du cas général

Avec un raisonnement identique à celui de la partie A., on constate alors que chaque rangement peut être représenté par une suite de caractères comprenant $ p $ étoiles et $ n - 1 $ séparateurs (soit au total $ n + p - 1 $ caractères).

Le nombre de ces suites est alors :

$ N= \begin{pmatrix} n+p - 1 \\ p \end{pmatrix} $

Partie C - Applications

Si l'on écrit 6 sous la forme 1+1+1+1+1+1, on remarque que résoudre l'équation $ x+ y + z = 6 $ dans $ \mathbb{N} ^3 $ revient à regrouper les termes 1 dans la somme 1+1+1+1+1+1 en trois groupes ;
par exemple :

6 = (1+1+1) + (1+1) + (1)

donnera 6 = 3 + 2 + 1 et la solution (3 ; 2 ; 1)

et

6 = (1+1+1+1) + (1+1) + ()

donnera 6 = 4 + 2 + 0 et la solution (4 ; 2 ; 0).

On est donc ramené au problèmes qui consiste à placer 6 objets (les nombres 1) dans 3 casiers (l'intérieur des parenthèses).

D'après la partie B., ce nombre est :

$ N = \begin{pmatrix} 6+3 - 1 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix} = 28 $

.

Remarque : sur le modèle de l'exercice Somme des chiffres et dénombrement, on peut écrire un programme en Python pour lister ces 28 solutions qui sont :
(0 ; 0 ; 6) ; (0 ; 1 ; 5) ; (0 ; 2 ; 4) ; (0 ; 3 ; 3) ; (0 ; 4 ; 2) ; (0 ; 5 ; 1) ; (0 ; 6 ; 0) ; (1 ; 0 ; 5) ; (1 ; 1 ; 4) ; (1 ; 2 ; 3) ; (1 ; 3 ; 2) ; (1 ; 4 ; 1) ; (1 ; 5 ; 0) ; (2 ; 0 ; 4) ; (2 ; 1 ; 3) ; (2 ; 2 ; 2) ; (2 ; 3 ; 1) ; (2 ; 4 ; 0) ; (3 ; 0 ; 3) ; (3 ; 1 ; 2) ; (3 ; 2 ; 1) ; (3 ; 3 ; 0) ; (4 ; 0 ; 2) ; (4 ; 1 ; 1) ; (4 ; 2 ; 0) ; (5 ; 0 ; 1) ; (5 ; 1 ; 0) ; (6 ; 0 ; 0)
Si l'on note $ x $ le nombre de caramels, $ y $ le nombre de chocolats et $ z $ le nombre de pralinés, le nombre de sachets de 10 bonbons que l'on peut réaliser est égal au nombre de solutions dans $ \mathbb{N} ^3 $ de l'équation :

$ x + y + z = 10 $

D'après la partie B., ce nombre est :

$ N = \begin{pmatrix} 10+3 - 1 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 10 \end{pmatrix} = 66 $

.