Angles d’une charpente symétrique

La figure ci-dessous représente la coupe d'une charpente symétrique. Le triangle $ ABC $ correspond aux deux pans du toit ; il est isocèle en $ C $. La sablière $ [AB] $ est horizontale et l'angle de pente du toit vaut $ \widehat{CAB} = 32° $.
Le charpentier ajoute :

une poutre horizontale $ [DE] $ avec $ D $ sur $ [CA] $ et $ E $ sur $ [CB] $, telle que $ (DE) $ soit parallèle à $ (AB) $ ;
une poutre verticale $ [CH] $ avec $ H $ sur $ [AB] $, perpendiculaire à $ (AB) $.

Coupe d'une charpente symétrique avec triangle isocèle ABC, poutre DE parallèle à AB et poutre verticale CH

Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{ACB} $ formé au faîte du toit.
Justifier que $ \widehat{CDE} = 32° $.
En déduire la mesure de l'angle $ \widehat{ADE} $.
Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{ACH} $ formé entre le pan de toit $ [CA] $ et la poutre verticale $ [CH] $.

Corrigé

Le triangle $ ABC $ est isocèle en $ C $, donc les deux angles à la base sont égaux : $ \widehat{CBA} = \widehat{CAB} = 32° $.
La somme des trois angles d'un triangle vaut $ 180° $ :
$ \widehat{ACB} = 180 - 32 - 32 $
$ \widehat{ACB} = $ $\mathbf{116°}$.
Les droites $ (DE) $ et $ (AB) $ sont parallèles, et la droite $ (CA) $ est sécante : elle coupe $ (DE) $ en $ D $ et $ (AB) $ en $ A $. Les angles $ \widehat{CDE} $ et $ \widehat{CAB} $ ont pour sommets $ D $ et $ A $, ils sont du même côté de la sécante $ (CA) $ et tous deux situés au-dessus de leur droite respective : ce sont des angles correspondants.
Comme $ (DE) $ et $ (AB) $ sont parallèles, ces angles ont la même mesure :
$ \widehat{CDE} = \widehat{CAB} = $ $\mathbf{32°}$.
Les points $ A $, $ D $ et $ C $ sont alignés sur la droite $ (CA) $. Les angles $ \widehat{CDE} $ et $ \widehat{ADE} $ sont donc adjacents et supplémentaires :
$ \widehat{ADE} = 180 - 32 $
$ \widehat{ADE} = $ $\mathbf{148°}$.
La poutre $ [CH] $ est perpendiculaire à $ (AB) $, donc le triangle $ ACH $ est rectangle en $ H $ : $ \widehat{AHC} = 90° $.
Le point $ H $ appartient à $ [AB] $, donc $ \widehat{HAC} = \widehat{BAC} = 32° $.
La somme des angles du triangle $ ACH $ vaut $ 180° $ :
$ \widehat{ACH} = 180 - 90 - 32 $
$ \widehat{ACH} = $ $\mathbf{58°}$.

Remarque : dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi bissectrice de l'angle au sommet. On vérifie ici que $ 2 \times 58 = 116 = \widehat{ACB} $.

Angles formés par deux parallèles et une sécante

Sur la figure ci-dessous, les droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont parallèles. La sécante $ (AB) $ les coupe en $ A $ et en $ B $. Sur $ (d_1) $, le point $ M $ est à droite de $ A $ et le point $ M' $ à gauche. Sur $ (d_2) $, le point $ N $ est à droite de $ B $ et le point $ N' $ à gauche. On donne $ \widehat{MAB} = 58° $.

Deux droites parallèles d1 et d2 coupées par la sécante AB avec angle MAB de 58 degrés

Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{ABN'} $.
En déduire la mesure de l'angle $ \widehat{ABN} $.
Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{BAM'} $.

Corrigé

Les droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont parallèles et coupées par la sécante $ (AB) $. Les angles $ \widehat{MAB} $ et $ \widehat{ABN'} $ ont pour sommets $ A $ et $ B $, ils sont situés entre les deux parallèles et de part et d'autre de la sécante $ (AB) $ : ce sont des angles alternes-internes.
Comme $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont parallèles, ces angles ont la même mesure :
$ \widehat{ABN'} = $ $\mathbf{58°}$.
Les points $ N' $, $ B $ et $ N $ sont alignés sur la droite $ (d_2) $. Les angles $ \widehat{ABN'} $ et $ \widehat{ABN} $ sont donc adjacents et supplémentaires :
$ \widehat{ABN} = 180 - 58 $
$ \widehat{ABN} = $ $\mathbf{122°}$.
Les points $ M' $, $ A $ et $ M $ sont alignés sur la droite $ (d_1) $. Les angles $ \widehat{MAB} $ et $ \widehat{BAM'} $ sont donc adjacents et supplémentaires :
$ \widehat{BAM'} = 180 - 58 $
$ \widehat{BAM'} = $ $\mathbf{122°}$.

Pour réviser : Calculer un angle à l'aide de droites parallèles.

Quatre angles formés par deux droites sécantes

Les droites $ (AB) $ et $ (CD) $ se coupent en $ O $. On donne $ \widehat{AOC} = 73° $.

Deux droites AB et CD sécantes en O avec un angle AOC marqué

Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{BOD} $.
Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{BOC} $.
En déduire la mesure de l'angle $ \widehat{AOD} $.

Corrigé

Les droites $ (AB) $ et $ (CD) $ sont sécantes en $ O $. Les angles $ \widehat{AOC} $ et $ \widehat{BOD} $ sont opposés par le sommet : ils sont formés par les deux mêmes droites et ne sont pas adjacents.
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure, donc :
$ \widehat{BOD} = $ $\mathbf{73°}$.
Les angles $ \widehat{AOC} $ et $ \widehat{BOC} $ sont adjacents et leurs côtés extérieurs $ [OA) $ et $ [OB) $ forment la droite $ (AB) $ : ces deux angles sont supplémentaires.
$ \widehat{BOC} = 180 - 73 $
$ \widehat{BOC} = $ $\mathbf{107°}$.
Les angles $ \widehat{BOC} $ et $ \widehat{AOD} $ sont opposés par le sommet, donc ils ont la même mesure :
$ \widehat{AOD} = $ $\mathbf{107°}$.

Pour réviser : le cours sur les angles et le parallélisme.

Vrai/Faux : Synthèse — raisonner sur des configurations d’angles

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, qui combine plusieurs propriétés du chapitre, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Lire attentivement chaque énoncé avant de conclure.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est une propriété fondamentale du parallélisme : deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. On peut le démontrer en utilisant l'égalité des angles correspondants formés par une sécante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si $(d_1) \parallel (d_3)$ et $(d_2) \parallel (d_3)$, alors $(d_1) \parallel (d_2)$. Le parallélisme se "transmet" via une droite intermédiaire.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle $ABC$, on trace par $A$ la droite $(d)$ parallèle à $(BC)$. Alors les trois angles formés en $A$ entre $(AB)$, $(AC)$ et $(d)$ ont une somme égale à $180°$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les trois angles en $A$ se trouvent de part et d'autre du point $A$ sur la droite $(d)$, qui est plate.
Leur somme couvre exactement le demi-plan défini par $(d)$, donc vaut $180°$.

C'est d'ailleurs ce raisonnement qui permet de démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut $180°$ : en utilisant la parallèle à $(BC)$ passant par $A$, les angles à la base se transposent en $A$ par alternes-internes, et leur somme avec $\widehat{BAC}$ vaut $180°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : trois angles côte à côte couvrant un demi-plan (alignés sur une droite) ont une somme égale à $180°$. C'est le principe de la démonstration de la somme des angles du triangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Trois angles adjacents qui couvrent un demi-plan ont nécessairement une somme égale à $180°$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par deux sécantes parallèles entre elles, alors les angles correspondants formés sur $(d_1)$ ont la même mesure.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La propriété d'égalité des angles correspondants concerne deux droites parallèles coupées par une sécante.
Ici, les deux droites sont $(d_1)$ et $(d_2)$ (qui ne sont pas forcément parallèles), et les sécantes parallèles ne jouent pas le rôle requis.
On ne peut donc rien conclure directement avec cette propriété.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à bien identifier qui sont les "deux droites parallèles" et qui est la "sécante" dans la propriété.
Ici, le rôle est inversé : la propriété ne s'applique pas dans cette configuration.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La propriété des angles correspondants demande que les deux droites coupées soient parallèles, pas les deux sécantes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si dans un triangle $ABC$ on a $\widehat{BAC} = 40°$ et $\widehat{ABC} = 75°$, alors $\widehat{BCA}$ est un angle aigu.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\widehat{BCA} = 180° - 40° - 75° = 65°$.
$65°$ est strictement compris entre $0°$ et $90°$ : c'est un angle aigu.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour vérifier la nature du troisième angle, le calculer ($180 - 40 - 75 = 65$), puis comparer à $90°$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\widehat{BCA} = 180° - 40° - 75° = 65°$, qui est strictement inférieur à $90°$ : l'angle est aigu.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une sécante. Si deux angles alternes-internes formés ont pour somme $180°$, alors les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour conclure au parallélisme par la réciproque, les angles alternes-internes doivent être égaux (même mesure), pas avoir une somme de $180°$.
Si leur somme est $180°$, on peut seulement dire qu'ils sont supplémentaires, ce qui est insuffisant pour conclure au parallélisme dans le cas général.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre les conditions de la réciproque : pour les alternes-internes, c'est l'égalité (et non la supplémentarité) qui entraîne le parallélisme.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La réciproque demande que les angles alternes-internes soient égaux, pas seulement supplémentaires.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle isocèle, l'angle au sommet et un angle à la base peuvent à eux deux mesurer plus de $180°$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La somme des trois angles d'un triangle vaut $180°$.
La somme de deux des trois angles est donc nécessairement inférieure à $180°$ (sinon, le troisième angle serait nul ou négatif, ce qui est impossible).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : si la somme de deux angles dépassait $180°$, le troisième angle (positif) ne pourrait pas compléter à $180°$ pour respecter la somme totale du triangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Dans tout triangle, la somme de deux angles est strictement inférieure à $180°$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Angles alternes-internes et correspondants — pièges fréquents

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les angles alternes-internes et correspondants, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes formés ont la même mesure.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est la propriété fondamentale : lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes ont la même mesure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : c'est la propriété directe à connaître. La condition essentielle est que les deux droites soient parallèles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété directe des angles alternes-internes formés par deux parallèles et une sécante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Quels que soient les deux droites coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont égaux.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La propriété n'est valable que si les droites sont parallèles.
Si elles ne le sont pas, deux angles alternes-internes ont en général des mesures différentes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'oublier la condition essentielle : les angles alternes-internes ne sont égaux que si les deux droites sont parallèles.
Sans cette condition, l'égalité ne tient pas.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'égalité des angles alternes-internes n'est garantie que si les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux angles correspondants formés par deux droites parallèles et une sécante ont la même mesure.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La propriété fonctionne aussi bien pour les alternes-internes que pour les correspondants : si les droites sont parallèles, ces angles ont la même mesure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la propriété d'égalité des angles s'applique à la fois aux alternes-internes et aux correspondants, à condition que les droites soient parallèles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Deux angles correspondants formés par deux parallèles et une sécante ont la même mesure.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants de mesures $80°$ et $80°$, alors elles sont parallèles.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
C'est la réciproque de la propriété : si deux angles correspondants formés par deux droites et une sécante ont la même mesure, alors les deux droites sont parallèles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est d'oublier que la propriété fonctionne aussi dans l'autre sens : la réciproque permet de conclure au parallélisme à partir de l'égalité des angles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la réciproque : l'égalité des angles correspondants entraîne le parallélisme des droites.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de $58°$ et $122°$. Les droites sont parallèles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour conclure au parallélisme par la réciproque, les deux angles alternes-internes doivent être égaux.
Or $58° \neq 122°$, donc les droites ne sont pas parallèles.

Remarque : $58° + 122° = 180°$, mais cette relation correspond aux angles adjacents sur une même droite, pas à la condition de parallélisme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de penser que toute relation entre les angles donne du parallélisme.
Pour la réciproque, c'est l'égalité des alternes-internes qui compte ; ici les mesures sont différentes.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les deux angles alternes-internes doivent être égaux pour conclure au parallélisme. Avec $58°$ et $122°$, l'égalité n'est pas vérifiée.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, deux angles alternes-internes et un angle correspondant à l'un d'eux ont tous les trois la même mesure.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Lorsque les droites sont parallèles :
- Les deux angles alternes-internes sont égaux (propriété directe).
- L'angle correspondant à l'un d'eux est aussi égal (propriété correspondante).
On peut donc relier trois angles de même mesure par les deux propriétés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : avec deux parallèles et une sécante, plusieurs paires d'angles sont égales.
On peut combiner alternes-internes (égaux) et correspondants (égaux) pour relier plusieurs angles de même mesure.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec deux parallèles et une sécante, on peut chaîner les égalités d'angles (alternes-internes et correspondants) pour obtenir trois angles égaux.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Angles opposés par le sommet et droites sécantes

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les angles formés par deux droites sécantes, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Deux angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est précisément la propriété : deux angles opposés par le sommet (formés par deux droites sécantes et non adjacents) ont toujours la même mesure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : lorsque deux droites se coupent, elles forment quatre angles, regroupés en deux paires d'angles opposés par le sommet, et chaque paire est constituée d'angles de même mesure.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux : c'est la propriété fondamentale des droites sécantes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux droites sécantes forment exactement $4$ angles autour du point d'intersection.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Deux droites distinctes qui se coupent partagent le plan en $4$ secteurs angulaires : elles forment donc bien $4$ angles autour du point d'intersection.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Visualise deux droites qui se croisent : elles partagent le plan en $4$ régions, donc elles forment $4$ angles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Deux droites sécantes forment $4$ angles autour de leur point d'intersection.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux droites sécantes forment toujours quatre angles tous égaux.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les quatre angles formés sont seulement égaux deux à deux (par paires d'angles opposés par le sommet).
Ils ne sont tous les quatre égaux que dans le cas particulier de deux droites perpendiculaires (chaque angle vaut alors $90°$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : les quatre angles sont seulement égaux deux à deux. Ils sont tous égaux uniquement si les droites sont perpendiculaires.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les quatre angles formés sont égaux deux à deux. Tous les quatre ne sont égaux que si les droites sont perpendiculaires.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux angles adjacents formés par deux droites sécantes sont toujours supplémentaires.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Deux angles adjacents formés par deux droites sécantes sont situés de part et d'autre d'un côté commun (l'une des droites). Leur réunion est un demi-plan limité par cette droite, c'est-à-dire un angle plat.
Leur somme vaut donc $180°$ : ils sont supplémentaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : deux angles adjacents formés par deux droites sécantes recouvrent un demi-plan et donc forment un angle plat. Leur somme vaut $180°$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Deux angles adjacents formés par deux droites sécantes ont pour somme $180°$ : ils sont supplémentaires.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux droites se coupent en formant un angle de $63°$. L'un des angles adjacents à cet angle mesure $27°$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Deux angles adjacents formés par deux droites sécantes sont supplémentaires.
L'angle adjacent à $63°$ vaut donc $180 - 63 = 117°$, et non $27°$.
$27°$ est le complémentaire de $63°$, ce qui n'est pas la propriété en jeu ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre complémentaire ($90°$) et supplémentaire ($180°$).
Deux angles adjacents formés par deux droites sécantes sont supplémentaires : leur somme vaut $180°$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Un angle adjacent à $63°$ vaut $117°$ (somme $180°$). $27°$ serait le complémentaire, ce qui ne correspond pas à la situation.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux droites se coupent en formant un angle de $90°$, alors les quatre angles formés sont tous droits.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'angle opposé par le sommet à l'angle de $90°$ vaut aussi $90°$.
Les deux autres angles sont adjacents à un angle droit, donc supplémentaires de $90°$ : $180 - 90 = 90°$.
Les quatre angles sont donc tous droits : les deux droites sont perpendiculaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si deux droites forment un angle de $90°$, l'opposé par le sommet vaut aussi $90°$, et les deux angles adjacents sont supplémentaires d'un angle droit, donc également de $90°$. Les quatre angles sont identiques.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Si l'un des angles vaut $90°$, alors les trois autres aussi : les droites sont perpendiculaires.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Angles et parallélisme

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : vocabulaire et calculs d'angles, angles alternes-internes / correspondants, somme des angles d'un triangle. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Deux droites se coupent en $O$, formant quatre angles. Trois des angles mesurent $\alpha$, $\alpha$ et $\beta$. Combien mesure le quatrième angle ?
[qcm]
[option]$\alpha$[/option]
[option correct="true"]$\beta$[/option]
[option]$\alpha + \beta$[/option]
[option]$180° - \alpha - \beta$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Deux droites sécantes forment $4$ angles regroupés en $2$ paires d'angles opposés par le sommet, de mesures $\alpha$ et $\beta$.
Les deux angles déjà notés $\alpha$ sont opposés par le sommet ; les deux autres sont donc tous deux égaux à $\beta$.[/reponse]
[reponse motif="$\alpha$"]Non.
Trois angles ne peuvent pas valoir $\alpha$ : il y a exactement deux angles opposés par le sommet égaux à $\alpha$, les deux autres sont égaux entre eux mais différents (sauf droites perpendiculaires).[/reponse]
[reponse motif="$\alpha + \beta$"]Non.
La somme $\alpha + \beta$ vaut $180°$ (angles adjacents formés par les droites). Le quatrième angle, lui, mesure simplement $\beta$.[/reponse]
[reponse motif="$180° - \alpha - \beta$"]Non.
Comme $\alpha + \beta = 180°$, cette expression donne $0°$, ce qui n'a pas de sens pour un angle non nul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quatre angles formés par deux droites sécantes : deux paires d'angles opposés par le sommet (donc deux égaux deux à deux).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur la figure, $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, et $(EF)$ est sécante. L'angle $\widehat{AEF}$ mesure $112°$. Quelle est la mesure de $\widehat{EFD}$, sachant qu'il est alterne-interne avec $\widehat{AEF}$ ?
[qcm]
[option]$68°$[/option]
[option correct="true"]$112°$[/option]
[option]$22°$[/option]
[option]$248°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Comme $(AB) \parallel (CD)$, deux angles alternes-internes ont la même mesure.
Donc $\widehat{EFD} = \widehat{AEF} = 112°$.[/reponse]
[reponse motif="$68°$"]Non.
$68°$ est le supplémentaire de $112°$. C'est la mesure d'un angle adjacent à l'alterne-interne, pas de l'alterne-interne lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$22°$"]Non.
$22°$ est le complémentaire à $90°$ de $68°$. Cette relation n'intervient pas ici.[/reponse]
[reponse motif="$248°$"]Non.
Une mesure d'angle simple ne dépasse pas $180°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lorsque les droites sont parallèles, deux angles alternes-internes ont la même mesure : reporte la valeur connue.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle $ABC$, on sait que $\widehat{ABC} = 35°$. La hauteur issue de $A$ coupe $[BC]$ en $H$. Quelle est la mesure de $\widehat{BAH}$ ?
[qcm]
[option]$35°$[/option]
[option]$145°$[/option]
[option correct="true"]$55°$[/option]
[option]$70°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La hauteur issue de $A$ est perpendiculaire à $(BC)$ en $H$, donc $\widehat{AHB} = 90°$.
Dans le triangle $ABH$, la somme des angles vaut $180°$ :
$\widehat{BAH} = 180° - 90° - 35° = 55°$.[/reponse]
[reponse motif="$35°$"]Non.
Rien n'indique que $\widehat{BAH}$ et $\widehat{ABC}$ soient égaux. Calcule à partir du triangle rectangle $ABH$.[/reponse]
[reponse motif="$145°$"]Non.
$145°$ est le supplémentaire de $35°$. Mais ici il faut utiliser la somme des angles dans le triangle rectangle $ABH$, pas une simple supplémentarité.[/reponse]
[reponse motif="$70°$"]Non.
Tu as peut-être doublé $35°$. Le calcul attendu est $180 - 90 - 35$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une hauteur forme un angle droit avec le côté opposé. Travaille ensuite dans le triangle rectangle ainsi obtenu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une sécante. Un angle correspondant sur $(d_1)$ mesure $74°$, et l'angle correspondant sur $(d_2)$ mesure aussi $74°$. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent à un angle de $74°$.[/option]
[option correct="true"]Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.[/option]
[option]Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont confondues.[/option]
[option]On ne peut rien dire sans connaître la sécante.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La réciproque de la propriété des angles correspondants assure que si deux angles correspondants formés par deux droites et une sécante ont la même mesure, alors les deux droites sont parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent à un angle de $74°$."]Non.
L'égalité des angles correspondants exclut justement que les deux droites se coupent : elles sont parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont confondues."]Non.
Si les droites étaient confondues, la sécante les couperait au même point. Ici, les angles sont sur des points différents : les droites sont distinctes mais parallèles.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien dire sans connaître la sécante."]Non.
La réciproque s'applique avec n'importe quelle sécante : elle suffit pour conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La réciproque de la propriété des angles correspondants donne directement la conclusion à partir de l'égalité des deux mesures.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle isocèle en $A$, l'angle au sommet $\widehat{BAC}$ vaut $80°$. La bissectrice de $\widehat{BAC}$ coupe $[BC]$ en $H$. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{AHB}$ ?
[qcm]
[option]$50°$[/option]
[option]$80°$[/option]
[option correct="true"]$90°$[/option]
[option]$130°$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Dans un triangle isocèle en $A$, la bissectrice de l'angle au sommet est aussi la médiatrice de la base et la hauteur issue de $A$.
Donc $(AH) \perp (BC)$, et $\widehat{AHB} = 90°$.

On peut aussi le vérifier par calcul : $\widehat{ABH} = \dfrac{180° - 80°}{2} = 50°$ et $\widehat{BAH} = \dfrac{80°}{2} = 40°$, donc $\widehat{AHB} = 180° - 50° - 40° = 90°$.[/reponse]
[reponse motif="$50°$"]Non.
$50°$ est la mesure de l'angle à la base $\widehat{ABC}$. L'angle $\widehat{AHB}$ est différent.
Calcule la somme des angles dans le triangle $ABH$.[/reponse]
[reponse motif="$80°$"]Non.
$80°$ est l'angle au sommet du triangle isocèle. La bissectrice le partage en deux, mais elle ne reproduit pas cet angle en $H$.[/reponse]
[reponse motif="$130°$"]Non.
$130°$ est le supplémentaire de $50°$. Mais $\widehat{AHB}$ se calcule avec la somme des angles dans le triangle $ABH$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule d'abord $\widehat{ABH}$ (angle à la base) et $\widehat{BAH}$ (la moitié de l'angle au sommet), puis utilise la somme des angles dans le triangle $ABH$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle $RST$, on sait que $\widehat{TRS} = 50°$ et $\widehat{RST} = 80°$. Une droite $(d)$ passe par $T$ et est parallèle à $(RS)$. Quelle est la mesure de l'angle entre $(d)$ et $(TR)$, du côté contenant $S$ ?
[qcm]
[option]$80°$[/option]
[option]$130°$[/option]
[option correct="true"]$50°$[/option]
[option]$30°$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(d) \parallel (RS)$, et $(TR)$ est une sécante.
L'angle entre $(d)$ et $(TR)$ du côté de $S$ et l'angle $\widehat{TRS}$ sont alternes-internes.
Comme les droites sont parallèles, ils ont la même mesure : $50°$.[/reponse]
[reponse motif="$80°$"]Non.
$80°$ est l'angle $\widehat{RST}$. La sécante considérée ici est $(TR)$, donc on transporte par parallélisme l'angle en $R$, pas en $S$.[/reponse]
[reponse motif="$130°$"]Non.
$130°$ est le supplémentaire de $50°$. Or l'angle alterne-interne est égal (et non supplémentaire) à $\widehat{TRS}$.[/reponse]
[reponse motif="$30°$"]Non.
$30°$ ne correspond à aucune relation directe : ni alterne-interne, ni somme/différence pertinente.
Repère bien la paire d'angles alternes-internes formée par les parallèles et la sécante $(TR)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Avec la sécante $(TR)$ et les parallèles $(RS)$ et $(d)$, l'angle cherché en $T$ et l'angle $\widehat{TRS}$ sont alternes-internes : ils sont égaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Angles alternes-internes et correspondants

[enonce]
Ce QCM porte sur les angles formés par deux droites coupées par une sécante, en particulier les angles alternes-internes et correspondants. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternes-internes :
[qcm]
[option]sont supplémentaires[/option]
[option]sont complémentaires[/option]
[option correct="true"]ont la même mesure[/option]
[option]ont une somme de $360°$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, deux angles alternes-internes ont la même mesure. Cette propriété est aussi valable pour les angles correspondants.[/reponse]
[reponse motif="sont supplémentaires"]Non.
Les angles supplémentaires (somme $180°$) ne sont pas la propriété cherchée. Les alternes-internes formés par des parallèles sont égaux.[/reponse]
[reponse motif="sont complémentaires"]Non.
Une somme de $90°$ n'est pas la bonne propriété. Les angles alternes-internes formés par des parallèles sont égaux.[/reponse]
[reponse motif="ont une somme de $360°$"]Non.
$360°$ correspond à un tour complet. Les angles alternes-internes formés par des parallèles sont simplement égaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand deux droites sont parallèles, la sécante "transporte" la même mesure d'angle d'une droite à l'autre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux droites parallèles $(d)$ et $(d')$ sont coupées par une sécante. Un angle alterne-interne mesure $54°$ sur $(d)$. Quelle est la mesure de l'angle alterne-interne correspondant sur $(d')$ ?
[qcm]
[option]$36°$[/option]
[option]$126°$[/option]
[option correct="true"]$54°$[/option]
[option]$306°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Comme $(d)$ et $(d')$ sont parallèles, deux angles alternes-internes ont la même mesure. L'angle cherché vaut donc $54°$.[/reponse]
[reponse motif="$36°$"]Non.
$36°$ est le complémentaire de $54°$. Or les angles alternes-internes formés par des parallèles sont égaux, pas complémentaires.[/reponse]
[reponse motif="$126°$"]Non.
$126°$ est le supplémentaire de $54°$. Cette mesure correspondrait à un angle non alterne-interne (par exemple un angle correspondant supplémentaire de l'autre côté), pas à l'angle alterne-interne lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$306°$"]Non.
La mesure d'un angle simple ne dépasse pas $180°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lorsque les droites sont parallèles, deux angles alternes-internes ont la même mesure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle correspondant mesure $123°$. Que peut-on dire de l'angle alterne-interne situé du même côté que cet angle, par rapport à la sécante, sur l'autre droite ?
[qcm]
[option]Il mesure aussi $123°$.[/option]
[option correct="true"]Il mesure $57°$.[/option]
[option]Il mesure $33°$.[/option]
[option]On ne peut pas savoir.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'angle correspondant à $123°$ a la même mesure : $123°$ sur l'autre droite.
L'angle alterne-interne situé du même côté de la sécante est adjacent à cet angle correspondant : ils sont supplémentaires.
$180° - 123° = 57°$.[/reponse]
[reponse motif="Il mesure aussi $123°$."]Non.
L'angle de $123°$ obtenu par correspondance est sur l'autre droite, du même côté de la sécante. L'angle alterne-interne du même côté lui est adjacent (et non égal).[/reponse]
[reponse motif="Il mesure $33°$."]Non.
$33°$ correspond à un complément à $90°$ ou à $156°$, ce qui n'est pas la propriété ici.
Pense à la relation entre angles correspondants et angles adjacents.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas savoir."]Non.
On a toutes les informations nécessaires : les droites sont parallèles, ce qui permet de déduire toutes les mesures à partir des angles correspondants et adjacents.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise d'abord la propriété des angles correspondants (égaux), puis remarque que l'angle cherché est adjacent à ce dernier (donc supplémentaire).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une sécante. On observe deux angles alternes-internes de mesures $68°$ et $72°$. Que peut-on en déduire ?
[qcm]
[option]Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.[/option]
[option correct="true"]Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles.[/option]
[option]Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont perpendiculaires.[/option]
[option]On ne peut rien conclure.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La réciproque dit : si les droites étaient parallèles, les deux angles alternes-internes auraient la même mesure.
Or $68° \neq 72°$, donc les droites ne sont pas parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles."]Non.
Pour conclure au parallélisme, les angles alternes-internes doivent être égaux. Ici, $68° \neq 72°$, donc le parallélisme n'est pas vérifié.[/reponse]
[reponse motif="Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont perpendiculaires."]Non.
Aucune information n'évoque un angle de $90°$. Les mesures données ne permettent pas de conclure à une perpendicularité.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien conclure."]Non.
On peut conclure : la réciproque permet justement d'utiliser l'inégalité des angles pour exclure le parallélisme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La réciproque s'applique : compare les deux mesures et tire la conclusion correspondante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, deux droites parallèles $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par la sécante $(s)$ aux points $A$ et $B$. L'angle marqué en $A$ mesure $63°$. Quelle est la mesure de l'angle marqué en $B$, situé du même côté de la sécante mais entre $(d_1)$ et $(d_2)$ ?

Deux droites parallèles coupées par une sécante avec un angle correspondant marqué

[qcm]
[option]$63°$[/option]
[option]$27°$[/option]
[option correct="true"]$117°$[/option]
[option]$297°$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'angle de $63°$ en $A$ et l'angle correspondant en $B$ ont la même mesure (les droites sont parallèles).
Or l'angle marqué en $B$ est adjacent à ce correspondant : ils sont supplémentaires.
L'angle cherché vaut donc $180° - 63° = 117°$.[/reponse]
[reponse motif="$63°$"]Non.
L'angle marqué en $B$ n'est pas l'angle correspondant à celui de $A$ : il est de l'autre côté de la sécante (à l'intérieur entre les deux droites).
Il est en fait alterne-interne avec l'angle adjacent à celui marqué en $A$.[/reponse]
[reponse motif="$27°$"]Non.
$27°$ est le complémentaire de $63°$. Or aucune relation n'amène ici à un complément à $90°$.[/reponse]
[reponse motif="$297°$"]Non.
La mesure d'un angle simple est inférieure à $180°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repère d'abord l'angle correspondant à $63°$ en $B$, puis observe que l'angle marqué en $B$ est adjacent à ce correspondant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une sécante. On constate que deux angles correspondants ont la même mesure : ils valent tous les deux $48°$. Que peut-on en déduire ?
[qcm]
[option]Les deux droites se coupent forcément.[/option]
[option correct="true"]Les deux droites sont parallèles.[/option]
[option]Les angles cherchés sont supplémentaires.[/option]
[option]On ne peut rien conclure sans plus d'informations.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La réciproque s'applique aussi pour les angles correspondants : si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants de même mesure, alors les droites sont parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Les deux droites se coupent forcément."]Non.
Au contraire : l'égalité des angles correspondants prouve que les droites ne se coupent pas, donc qu'elles sont parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Les angles cherchés sont supplémentaires."]Non.
Deux angles de $48°$ chacun ont pour somme $96°$, pas $180°$. Ils ne sont donc pas supplémentaires.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien conclure sans plus d'informations."]Non.
La propriété réciproque suffit pour conclure quelque chose à partir de l'égalité des angles correspondants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La réciproque de la propriété des angles correspondants permet, à partir de l'égalité de deux angles correspondants, d'obtenir une information sur la position des droites.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Angles opposés par le sommet et adjacents

[enonce]
Ce QCM porte sur les angles formés par deux droites sécantes : angles opposés par le sommet et angles adjacents. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Deux angles opposés par le sommet ont :
[qcm]
[option]des mesures complémentaires[/option]
[option]des mesures supplémentaires[/option]
[option correct="true"]la même mesure[/option]
[option]des mesures dont la somme vaut $360°$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Deux angles opposés par le sommet sont formés par deux droites sécantes et ne sont pas adjacents. Ils ont toujours la même mesure.[/reponse]
[reponse motif="des mesures complémentaires"]Non.
Deux angles complémentaires ont pour somme $90°$, ce n'est pas la propriété des angles opposés par le sommet.[/reponse]
[reponse motif="des mesures supplémentaires"]Non.
Ce sont les angles adjacents formés par deux droites sécantes qui sont supplémentaires (somme $180°$). Les angles opposés par le sommet, eux, sont égaux.[/reponse]
[reponse motif="des mesures dont la somme vaut $360°$"]Non.
$360°$ correspond au tour complet autour du point d'intersection. Ce n'est pas la propriété cherchée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lorsque deux droites se croisent, les angles situés "en face" l'un de l'autre ont la même mesure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux droites se coupent en $O$. L'un des angles formés mesure $42°$. Quelle est la mesure de l'angle qui lui est opposé par le sommet ?
[qcm]
[option]$48°$[/option]
[option]$138°$[/option]
[option correct="true"]$42°$[/option]
[option]$318°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. L'angle cherché vaut donc $42°$.[/reponse]
[reponse motif="$48°$"]Non.
$48°$ est le complémentaire de $42°$. Or les angles opposés par le sommet ne sont pas complémentaires : ils sont égaux.[/reponse]
[reponse motif="$138°$"]Non.
$138°$ est le supplémentaire de $42°$. Ce serait la mesure d'un angle adjacent aux deux angles de $42°$, pas de l'angle opposé par le sommet.[/reponse]
[reponse motif="$318°$"]Non.
$318° = 360° - 42°$. La mesure d'un angle ne dépasse pas $180°$ à ce niveau.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Deux angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure : ici la même que celle donnée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux droites se coupent en $O$ et forment un angle de $115°$. Quelle est la mesure d'un angle adjacent à cet angle ?
[qcm]
[option correct="true"]$65°$[/option]
[option]$115°$[/option]
[option]$25°$[/option]
[option]$245°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Deux angles adjacents formés par deux droites sécantes sont supplémentaires : leur somme vaut $180°$.
$180° - 115° = 65°$.[/reponse]
[reponse motif="$115°$"]Non.
$115°$ est l'angle opposé par le sommet, pas l'angle adjacent. Ils ne se trouvent pas du même côté.[/reponse]
[reponse motif="$25°$"]Non.
Tu as calculé un complément à $90°$ (ou $140 - 115$). Mais deux angles adjacents formés par des droites sécantes sont supplémentaires (somme $180°$).[/reponse]
[reponse motif="$245°$"]Non.
Tu as additionné $115 + 130$ ou $360 - 115$. Cherche un angle inférieur à $180°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lorsque deux droites se coupent, deux angles adjacents formés sont supplémentaires : soustrais l'angle connu à $180°$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux droites se coupent en $A$. On note $\alpha$ l'un des quatre angles formés. Combien d'autres angles parmi les trois restants ont la même mesure que $\alpha$ ?
[qcm]
[option]$0$ (aucun)[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$3$ (les trois autres)[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Deux droites sécantes forment $4$ angles, regroupés en $2$ paires d'angles opposés par le sommet.
Un seul autre angle est égal à $\alpha$ : son opposé par le sommet. Les deux autres lui sont supplémentaires.[/reponse]
[reponse motif="$0$ (aucun)"]Non.
L'angle opposé par le sommet à $\alpha$ a toujours la même mesure que $\alpha$ : il y en a au moins un.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Les deux angles adjacents à $\alpha$ sont supplémentaires de $\alpha$ (et non égaux), sauf si $\alpha = 90°$.
Dans le cas général, un seul angle est égal à $\alpha$.[/reponse]
[reponse motif="$3$ (les trois autres)"]Non.
Cela ne serait possible que si tous les angles étaient égaux, donc tous égaux à $90°$ (cas particulier de droites perpendiculaires).
Dans le cas général, seul l'opposé par le sommet est égal à $\alpha$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Deux droites sécantes forment $4$ angles. Compte combien sont opposés par le sommet à $\alpha$ et combien lui sont adjacents.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Trois demi-droites $[Ox)$, $[Oy)$ et $[Oz)$ sont telles que $\widehat{xOy}$ et $\widehat{yOz}$ sont adjacents. On a $\widehat{xOy} = 50°$ et $\widehat{xOz} = 145°$. Combien mesure $\widehat{yOz}$ ?
[qcm]
[option]$50°$[/option]
[option]$35°$[/option]
[option correct="true"]$95°$[/option]
[option]$195°$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Comme $\widehat{xOy}$ et $\widehat{yOz}$ sont adjacents, on a $\widehat{xOz} = \widehat{xOy} + \widehat{yOz}$.
Donc $\widehat{yOz} = 145° - 50° = 95°$.[/reponse]
[reponse motif="$50°$"]Non.
Rien n'indique que les deux angles adjacents sont égaux : il faut les calculer à partir de la décomposition.[/reponse]
[reponse motif="$35°$"]Non.
Tu as peut-être effectué $90 - 50 - 5$ ou une erreur de calcul. Soustrais directement : $145 - 50$.[/reponse]
[reponse motif="$195°$"]Non.
Tu as additionné $145 + 50$. Or $\widehat{xOz}$ est la somme des deux angles adjacents : il faut soustraire l'angle connu, pas l'ajouter.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour des angles adjacents : $\widehat{xOz} = \widehat{xOy} + \widehat{yOz}$. Isole $\widehat{yOz}$ par soustraction.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux droites se coupent en $A$, formant un angle $\alpha$ et son opposé par le sommet, ainsi qu'un angle $\beta$ et son opposé. Quelle relation est toujours vérifiée ?
[qcm]
[option]$\alpha + \beta = 90°$[/option]
[option correct="true"]$\alpha + \beta = 180°$[/option]
[option]$\alpha = \beta$[/option]
[option]$\alpha + \beta = 360°$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\alpha$ et $\beta$ sont deux angles adjacents formés par les deux droites sécantes : ils sont supplémentaires.
Donc $\alpha + \beta = 180°$.[/reponse]
[reponse motif="$\alpha + \beta = 90°$"]Non.
Une somme de $90°$ correspond à des angles complémentaires, ce qui n'est pas le cas ici.
Vérifie ce qui se passe avec deux droites perpendiculaires : alors les quatre angles font chacun $90°$, donc $\alpha + \beta = 180°$.[/reponse]
[reponse motif="$\alpha = \beta$"]Non.
Cette égalité n'est vraie que dans le cas particulier où les droites sont perpendiculaires (alors $\alpha = \beta = 90°$). Dans le cas général, ils sont seulement supplémentaires.[/reponse]
[reponse motif="$\alpha + \beta = 360°$"]Non.
$360°$ correspond aux quatre angles cumulés autour du point. Pour deux angles adjacents seulement, la somme est plus petite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les angles $\alpha$ et $\beta$ sont adjacents (côte à côte sur l'une des deux droites) : ils forment un angle plat.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]