Hauteur dans un triangle quelconque

$ABC$ est un triangle tel que $AC = 10$ cm, $BC = 14$ cm et $\widehat{ACB} = 50^{\circ}$. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ : $H$ appartient à la droite $(BC)$ et $(AH) \perp (BC)$.

On admet que $H$ appartient au segment $[BC]$.

Triangle ABC avec AC = 10 cm, BC = 14 cm, angle ACB = 50 degrés et H pied de la hauteur issue de A

Justifier que le triangle $ACH$ est rectangle en $H$, puis calculer la longueur $CH$, arrondie au mm.
Calculer la longueur $AH$ (la hauteur du triangle issue de $A$), arrondie au mm.
En déduire la longueur $BH$, puis la longueur $AB$, arrondie au mm.
Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$, arrondie au degré.

Corrigé

Par construction, $(AH) \perp (BC)$ et $H \in (BC)$. Le triangle $ACH$ est donc rectangle en $H$.

L'hypoténuse de $ACH$ est $[AC]$ ($10$ cm). Le côté adjacent à $\widehat{ACH} = 50^{\circ}$ est $[CH]$.

$\cos(\widehat{ACH}) = \dfrac{CH}{AC}$
$\cos(50^{\circ}) = \dfrac{CH}{10}$
$CH = 10 \times \cos(50^{\circ}) \approx 10 \times 0{,}6428 \approx 6{,}428$ cm

On obtient $CH \approx 6{,}4$ cm.
Le triangle $ACH$ est rectangle en $H$. D'après le théorème de Pythagore :
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
$10^2 = AH^2 + (10\cos(50^{\circ}))^2$
$AH^2 = 100 - 41{,}32$
$AH^2 \approx 58{,}68$
$AH \approx \sqrt{58{,}68} \approx 7{,}66$ cm

On obtient $AH \approx 7{,}7$ cm.
Comme $H$ appartient au segment $[BC]$ :
$BH = BC - CH \approx 14 - 6{,}428 \approx 7{,}572$ cm

Donc $BH \approx 7{,}6$ cm.

Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ (par construction de $H$). D'après le théorème de Pythagore :
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$AB^2 \approx 58{,}68 + 57{,}33$
$AB^2 \approx 116{,}01$
$AB \approx \sqrt{116{,}01} \approx 10{,}77$ cm

On obtient $AB \approx 10{,}8$ cm.
Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$, $[AB]$ est l'hypoténuse, et $[BH]$ est le côté adjacent à $\widehat{ABH}$.

$\cos(\widehat{ABH}) = \dfrac{BH}{AB} \approx \dfrac{7{,}572}{10{,}77} \approx 0{,}703$
$\widehat{ABH} = \cos^{-1}(0{,}703) \approx 45^{\circ}$

L'angle $\widehat{ABC}$ et l'angle $\widehat{ABH}$ sont identiques (puisque $H \in [BC]$), donc $\mathbf{\widehat{ABC} \approx 45^{\circ}}$.

Pour réviser : Résoudre un problème concret avec le cosinus.

Échelle de pompier

Une échelle de pompier mesure $12$ m. Elle est posée contre un mur vertical, son pied étant placé à $3{,}5$ m du mur.

Calculer la mesure $\alpha$ de l'angle que fait l'échelle avec le sol, arrondie au degré.
Calculer la hauteur atteinte par le sommet de l'échelle sur le mur, arrondie au cm. (On pourra utiliser le théorème de Pythagore.)

Corrigé

On note $P$ le pied de l'échelle, $S$ son sommet et $M$ le point du mur situé au pied du mur (juste sous $S$). Le triangle $PMS$ est rectangle en $M$ (mur vertical, sol horizontal).

L'hypoténuse est $[PS]$ (l'échelle, $12$ m).
Le côté adjacent à $\alpha = \widehat{SPM}$ est $[PM]$ (la distance au sol, $3{,}5$ m).

$\cos(\alpha) = \dfrac{PM}{PS} = \dfrac{3{,}5}{12}$

À la calculatrice (en mode degrés) :
$\alpha = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{3{,}5}{12}\right) \approx 73^{\circ}$

L'échelle fait un angle d'environ $\mathbf{73^{\circ}}$ avec le sol.
La hauteur cherchée est $MS$. Comme le triangle $PMS$ est rectangle en $M$, le théorème de Pythagore donne :
$PS^2 = PM^2 + MS^2$
$12^2 = 3{,}5^2 + MS^2$
$144 = 12{,}25 + MS^2$
$MS^2 = 144 - 12{,}25$
$MS^2 = 131{,}75$
$MS = \sqrt{131{,}75}$
$MS \approx 11{,}478$ m

Le sommet de l'échelle atteint une hauteur d'environ $11{,}48$ m, soit $1148$ cm.

Pour réviser : Résoudre un problème concret avec le cosinus.

Pylône maintenu par un hauban

Un pylône vertical est maintenu par un hauban (câble en tension) attaché à son sommet et fixé au sol. Le hauban mesure $18$ m et son point d'ancrage au sol est situé à $7$ m du pied du pylône.

Pylône vertical maintenu par un hauban de 18 m, ancré à 7 m du pied du pylône

Calculer la mesure de l'angle $\alpha$ que fait le hauban avec le sol, arrondie au degré.
Pour qu'un hauban maintienne efficacement un pylône, il doit faire avec le sol un angle compris entre $60^{\circ}$ et $75^{\circ}$. Le hauban de l'exercice respecte-t-il ces conditions ?

Corrigé

On note $P$ le pied du pylône, $S$ son sommet et $A$ le point d'ancrage du hauban au sol. Comme le pylône est vertical et le sol horizontal, le triangle $PSA$ est rectangle en $P$.

L'hypoténuse est $[SA]$ (le hauban, $18$ m).
Le côté adjacent à l'angle $\alpha = \widehat{SAP}$ est $[PA]$ (la distance au sol, $7$ m).

$\cos(\alpha) = \dfrac{PA}{SA} = \dfrac{7}{18}$

À la calculatrice (en mode degrés) :
$\alpha = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{7}{18}\right) \approx 67^{\circ}$

Le hauban fait un angle d'environ $\mathbf{67^{\circ}}$ avec le sol.
On a $60^{\circ} \leqslant 67^{\circ} \leqslant 75^{\circ}$, donc le hauban respecte bien les conditions de maintien. Le pylône est correctement haubanné.

Pour réviser : Calculer la mesure d'un angle avec le cosinus.

Cosinus dans un triangle 8-15-17

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ tel que $AB = 15$ cm, $AC = 8$ cm et $BC = 17$ cm.

Triangle ABC rectangle en A avec AB = 15 cm, AC = 8 cm et BC = 17 cm

Calculer $\cos(\widehat{ABC})$.
Calculer $\cos(\widehat{ACB})$.
En déduire les mesures des angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$, arrondies au degré.

Corrigé

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, donc $[BC]$ est l'hypoténuse.

Le côté adjacent à l'angle $\widehat{ABC}$ est $[BA]$.
$\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{BA}{BC} = \dfrac{15}{17}$

On obtient $\mathbf{\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{15}{17} \approx 0{,}882}$.
Le côté adjacent à l'angle $\widehat{ACB}$ est $[CA]$.
$\cos(\widehat{ACB}) = \dfrac{CA}{BC} = \dfrac{8}{17}$

On obtient $\mathbf{\cos(\widehat{ACB}) = \dfrac{8}{17} \approx 0{,}471}$.
En utilisant la touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice (en mode degrés) :
$\widehat{ABC} = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{15}{17}\right) \approx 28^{\circ}$
$\widehat{ACB} = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{8}{17}\right) \approx 62^{\circ}$

On vérifie que $\widehat{ABC} + \widehat{ACB} \approx 28^{\circ} + 62^{\circ} = 90^{\circ}$, ce qui est cohérent puisque les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires.

Pour réviser : Calculer la mesure d'un angle avec le cosinus.

QCM : Calculer un angle avec le cosinus

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul d'un angle aigu à partir des longueurs d'un triangle rectangle, en utilisant la touche $\cos^{-1}$ (ou arccos) de la calculatrice. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions. Les valeurs sont arrondies au degré près.

Valeurs utiles : $\cos^{-1}(0{,}25) \approx 76^{\circ}$ ; $\cos^{-1}(0{,}5) = 60^{\circ}$ ; $\cos^{-1}(0{,}75) \approx 41^{\circ}$ ; $\cos^{-1}(0{,}8) \approx 37^{\circ}$ ; $\cos^{-1}(0{,}9) \approx 26^{\circ}$.
[/enonce]

[etape]
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 4$ cm et $BC = 8$ cm. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{B}$, arrondie au degré près ?
[qcm]
[option]$30^{\circ}$[/option]
[option correct="true"]$60^{\circ}$[/option]
[option]$45^{\circ}$[/option]
[option]$26^{\circ}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour $\widehat{B}$, le côté adjacent est $[AB]$ et l'hypoténuse est $[BC]$.
$\cos(\widehat{B}) = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$, donc $\widehat{B} = \cos^{-1}(0{,}5) = 60^{\circ}$.[/reponse]
[reponse motif="$30^{\circ}$"]Non.
$30^{\circ}$ correspondrait à $\cos^{-1}(0{,}866)$, pas à $\cos^{-1}(0{,}5)$. Vérifier le quotient et la touche de la calculatrice.[/reponse]
[reponse motif="$45^{\circ}$"]Non.
$45^{\circ}$ correspondrait à un cosinus de $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$, pas à $0{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$26^{\circ}$"]Non.
$26^{\circ}$ correspondrait à un cosinus proche de $0{,}9$. Recalculer le quotient $\dfrac{4}{8}$ et utiliser $\cos^{-1}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\cos(\widehat{B}) = 0{,}5$, donc $\widehat{B} = 60^{\circ}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$ avec $DE = 6$ cm et $EF = 7{,}5$ cm. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{E}$, arrondie au degré près ?
[qcm]
[option]$53^{\circ}$[/option]
[option]$45^{\circ}$[/option]
[option correct="true"]$37^{\circ}$[/option]
[option]$60^{\circ}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour $\widehat{E}$, le côté adjacent est $[DE]$ et l'hypoténuse est $[EF]$.
$\cos(\widehat{E}) = \dfrac{6}{7{,}5} = 0{,}8$, donc $\widehat{E} = \cos^{-1}(0{,}8) \approx 37^{\circ}$.[/reponse]
[reponse motif="$53^{\circ}$"]Non.
$53^{\circ}$ correspondrait à $\cos^{-1}(0{,}6)$, pas à $\cos^{-1}(0{,}8)$. Vérifier le quotient.[/reponse]
[reponse motif="$45^{\circ}$"]Non.
$45^{\circ}$ correspondrait à un cosinus d'environ $0{,}707$, pas à $0{,}8$.[/reponse]
[reponse motif="$60^{\circ}$"]Non.
$60^{\circ}$ correspondrait à $\cos^{-1}(0{,}5)$. Recalculer $\dfrac{6}{7{,}5}$ avec attention.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\cos(\widehat{E}) = 0{,}8$ donc $\widehat{E} \approx 37^{\circ}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour calculer un angle aigu avec le cosinus, dans quel ordre effectue-t-on les opérations à la calculatrice ?
[qcm]
[option]Calculer $\cos$ du quotient des deux longueurs[/option]
[option correct="true"]Calculer le quotient adjacent / hypoténuse, puis appliquer la touche $\cos^{-1}$ au résultat[/option]
[option]Multiplier l'hypoténuse par le côté adjacent, puis appliquer la touche $\cos^{-1}$[/option]
[option]Calculer $\cos$ de l'hypoténuse, puis diviser par le côté adjacent[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule d'abord $k = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, puis on applique $\cos^{-1}$ pour retrouver l'angle dont le cosinus vaut $k$.[/reponse]
[reponse motif="Calculer $\cos$ du quotient des deux longueurs"]Non.
La touche $\cos$ donne le cosinus d'un angle, pas un angle. Pour retrouver un angle à partir d'un cosinus, on utilise la touche inverse $\cos^{-1}$.[/reponse]
[reponse motif="Multiplier l'hypoténuse par le côté adjacent, puis appliquer la touche $\cos^{-1}$"]Non.
Le cosinus est un quotient, pas un produit. Et $\cos^{-1}$ s'applique à un nombre compris entre $0$ et $1$ (un cosinus), pas à un produit de longueurs.[/reponse]
[reponse motif="Calculer $\cos$ de l'hypoténuse, puis diviser par le côté adjacent"]Non.
$\cos$ s'applique à un angle, pas à une longueur. Et la procédure mélange les rôles des grandeurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On calcule d'abord le quotient adjacent / hypoténuse, puis on applique $\cos^{-1}$ à ce quotient.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$ avec $MN = 3$ cm et $MP = 12$ cm. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{M}$, arrondie au degré près ?
[qcm]
[option]$15^{\circ}$[/option]
[option]$60^{\circ}$[/option]
[option correct="true"]$76^{\circ}$[/option]
[option]$45^{\circ}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour $\widehat{M}$, le côté adjacent est $[MN]$ et l'hypoténuse est $[MP]$.
$\cos(\widehat{M}) = \dfrac{3}{12} = 0{,}25$, donc $\widehat{M} = \cos^{-1}(0{,}25) \approx 76^{\circ}$.[/reponse]
[reponse motif="$15^{\circ}$"]Non.
Un cosinus très petit (proche de $0$) correspond à un angle proche de $90^{\circ}$, pas proche de $0^{\circ}$.[/reponse]
[reponse motif="$60^{\circ}$"]Non.
$60^{\circ}$ correspondrait à $\cos^{-1}(0{,}5)$. Le quotient ici est $0{,}25$, plus petit.[/reponse]
[reponse motif="$45^{\circ}$"]Non.
$45^{\circ}$ correspondrait à un cosinus d'environ $0{,}707$. Le quotient calculé est très différent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\cos(\widehat{M}) = 0{,}25$ donc $\widehat{M} \approx 76^{\circ}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
À l'aide de la calculatrice, on tape `cos⁻¹(2)`. Que se passe-t-il ?
[qcm]
[option]Le résultat est $2^{\circ}$[/option]
[option]Le résultat est $90^{\circ}$[/option]
[option correct="true"]La calculatrice affiche un message d'erreur[/option]
[option]Le résultat est $0^{\circ}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le cosinus d'un angle aigu est toujours strictement compris entre $0$ et $1$. La touche $\cos^{-1}$ n'accepte donc pas un nombre supérieur à $1$ : la calculatrice renvoie une erreur ("Domain error" ou similaire).[/reponse]
[reponse motif="Le résultat est $2^{\circ}$"]Non.
$\cos^{-1}$ ne renvoie jamais l'argument d'entrée tel quel. C'est une fonction qui inverse le cosinus, pas une fonction identité.[/reponse]
[reponse motif="Le résultat est $90^{\circ}$"]Non.
$\cos^{-1}(0) = 90^{\circ}$, mais ici on a tapé $\cos^{-1}(2)$, ce qui n'est pas défini.[/reponse]
[reponse motif="Le résultat est $0^{\circ}$"]Non.
$\cos^{-1}(1) = 0^{\circ}$, mais ici on a tapé $\cos^{-1}(2)$, ce qui n'est pas défini.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\cos^{-1}$ n'est défini que pour des nombres entre $0$ et $1$ (cosinus d'angles aigus). $\cos^{-1}(2)$ déclenche une erreur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ avec $RS = 9$ cm et $RT = 10$ cm. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{R}$, arrondie au degré près ?
[qcm]
[option]$64^{\circ}$[/option]
[option correct="true"]$26^{\circ}$[/option]
[option]$48^{\circ}$[/option]
[option]$76^{\circ}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour $\widehat{R}$, le côté adjacent est $[RS]$ et l'hypoténuse est $[RT]$.
$\cos(\widehat{R}) = \dfrac{9}{10} = 0{,}9$, donc $\widehat{R} = \cos^{-1}(0{,}9) \approx 26^{\circ}$.[/reponse]
[reponse motif="$64^{\circ}$"]Non.
$64^{\circ}$ correspondrait à $\cos^{-1}(0{,}438)$. C'est l'angle complémentaire de $26^{\circ}$ : on a peut-être lu le mauvais angle dans le triangle.[/reponse]
[reponse motif="$48^{\circ}$"]Non.
$48^{\circ}$ correspondrait à un cosinus d'environ $0{,}669$, très différent de $0{,}9$.[/reponse]
[reponse motif="$76^{\circ}$"]Non.
$76^{\circ}$ correspondrait à $\cos^{-1}(0{,}25)$. Recalculer le quotient $\dfrac{9}{10}$ avec attention.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\cos(\widehat{R}) = 0{,}9$ donc $\widehat{R} \approx 26^{\circ}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]