Vrai/Faux : Calcul d’intégrales, aire et valeur moyenne

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse. Pose chaque calcul avant de te prononcer.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 + 2)\,\mathrm{d}x = 12$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une primitive de $3x^2 + 2$ est $x^3 + 2x$.
Donc $\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 + 2)\,\mathrm{d}x = \left[x^3 + 2x\right]_0^2 = (8 + 4) - 0 = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le réflexe : trouver une primitive (ici $x^3 + 2x$), puis appliquer la formule $F(b) - F(a)$.
$F(2) - F(0) = (8 + 4) - 0 = 12$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left[x^3 + 2x\right]_0^2 = 12$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $]0~;~+\infty[$ est $\ln x$.
Donc $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln(\mathrm{e}) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$, et $\ln(\mathrm{e}) = 1$, $\ln(1) = 0$.
La différence vaut donc $1 - 0 = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left[\ln x\right]_1^{\mathrm{e}} = 1 - 0 = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos x\,\mathrm{d}x = 2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une primitive de $\cos x$ est $\sin x$.
Donc $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos x\,\mathrm{d}x = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : on confond souvent ce calcul avec $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x = 2$. Ici c'est $\cos$, dont la primitive est $\sin$, et $\sin(\pi) = \sin(0) = 0$.
Le résultat correct est $0$, pas $2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\left[\sin x\right]_0^{\pi} = 0 - 0 = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant les réels $a$ et $b$.

Affirmation : $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = -\displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est la propriété d'inversion des bornes : permuter $a$ et $b$ change le signe de l'intégrale.
Si $F$ est une primitive de $f$ : $F(b) - F(a) = -(F(a) - F(b))$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Cette propriété découle directement de la définition $\displaystyle\int_a^b f = F(b) - F(a)$.
En échangeant $a$ et $b$, le signe change : $F(a) - F(b) = -(F(b) - F(a))$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété d'inversion des bornes : $\displaystyle\int_a^b f = -\displaystyle\int_b^a f$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[0~;~3]$ vaut $9$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Valeur moyenne $= \dfrac{1}{3 - 0}\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$.
La valeur correcte est $3$, pas $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas oublier de diviser par la longueur de l'intervalle : $\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.
Ici $\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = 9$, mais la valeur moyenne s'obtient en divisant par $3$, donc $\mu = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La valeur moyenne vaut $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4$.

Affirmation : L'aire (en unité d'aire) du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = -2$ et $x = 2$ est égale à $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^2 - 4)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
Sur $[-2~;~2]$, $f(x) = x^2 - 4 \leqslant 0$ (la parabole est sous l'axe). L'intégrale donne donc un nombre négatif ($-\dfrac{32}{3}$), alors qu'une aire est positive.
L'aire vaut $\displaystyle\int_{-2}^{2} -(x^2 - 4)\,\mathrm{d}x = \dfrac{32}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une intégrale n'est égale à l'aire que si la fonction est positive sur l'intervalle. Ici $x^2 - 4 \leqslant 0$ sur $[-2~;~2]$, donc l'intégrale est négative.
Pour une aire, il faut prendre l'intégrale de l'opposée (ou de la valeur absolue) de $f$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $f \leqslant 0$ sur $[-2~;~2]$, l'aire vaut $\displaystyle\int_{-2}^{2} -(x^2 - 4)\,\mathrm{d}x = \dfrac{32}{3}$, alors que $\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^2 - 4)\,\mathrm{d}x = -\dfrac{32}{3}$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Aire sous la courbe et valeur moyenne

[enonce]
Ce QCM porte sur l'aire sous la courbe, l'aire entre deux courbes et la valeur moyenne d'une fonction. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. Quelle est l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{8}{3}$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f$ est positive sur $[0\,;\,2]$, donc l'aire vaut :
$\displaystyle\int_{0}^{2} x^2 \, \mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \dfrac{8}{3} - 0 = \dfrac{8}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Non.
Cette valeur correspondrait à $\dfrac{x^3}{3}$ évalué en $1$, pas en $2$. Bien substituer la borne supérieure $2$ : $2^3 = 8$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{3}$"]Non.
Confusion possible avec le calcul $\dfrac{2^2}{3}$. La primitive de $x^2$ est $\dfrac{x^3}{3}$ : c'est $2^3 = 8$ qui apparaît au numérateur, pas $2^2$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
La primitive de $x^2$ est $\dfrac{x^3}{3}$ (et non $x^3$). Le facteur $\dfrac{1}{3}$ a été oublié.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver une primitive de $x^2$, puis évaluer entre $0$ et $2$. Comme $f \geqslant 0$ sur $[0\,;\,2]$, l'intégrale donne directement l'aire.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x$. Quelle est l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = -1$ et $x = 1$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
La fonction $f$ change de signe en $0$ : elle est négative sur $[-1\,;\,0]$ et positive sur $[0\,;\,1]$.
Sur $[-1\,;\,0]$, l'aire vaut $\displaystyle\int_{-1}^{0} (-x)\, \mathrm{d}x = \left[-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} = 0 - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}$.
Sur $[0\,;\,1]$, l'aire vaut $\displaystyle\int_{0}^{1} x \, \mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}$.
Aire totale = $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$\displaystyle\int_{-1}^{1} x \, \mathrm{d}x = 0$ par symétrie, mais une aire géométrique est toujours positive : il faut découper l'intervalle selon le signe de $f$ et sommer les aires positives.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Seule la moitié de l'aire (la partie positive ou la partie négative) a été comptée. L'aire totale comprend les deux morceaux.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Calcul trop large : chaque triangle (de base $1$ et hauteur $1$) a une aire de $\dfrac{1}{2}$. La somme donne $1$, pas $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier d'abord le signe de $f$ sur l'intervalle, puis découper l'intégrale et changer le signe sur la zone où $f$ est négative.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0\,;\,1]$ par $f(x) = x^2$ et $g(x) = 1$. Quelle est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre les courbes de $f$ et $g$ et les droites $x = 0$ et $x = 1$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$\dfrac{4}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Sur $[0\,;\,1]$, on a $g(x) = 1 \geqslant x^2 = f(x)$.
L'aire vaut donc $\displaystyle\int_{0}^{1} (g(x) - f(x))\, \mathrm{d}x = \displaystyle\int_{0}^{1} (1 - x^2)\, \mathrm{d}x = \left[x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
Cette valeur correspond à l'aire sous la courbe de $f$ ($\displaystyle\int_0^1 x^2 = \dfrac{1}{3}$). Ce qu'on cherche est l'aire entre les deux courbes : il faut la retrancher du rectangle.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1$ est l'aire sous la courbe de $g$ (le rectangle complet). L'aire entre les deux courbes est ce rectangle privé de l'aire sous $f$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{3}$"]Non.
Erreur de signe dans l'intégrale : on intègre $g - f = 1 - x^2$, donc la primitive est $x - \dfrac{x^3}{3}$, qui donne $\dfrac{2}{3}$ entre $0$ et $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier laquelle des deux fonctions est au-dessus, puis intégrer la différence (fonction du dessus moins fonction du dessous).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2$ sur $[0\,;\,3]$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$9$[/option]
[option]$27$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\mu = \dfrac{1}{3 - 0} \displaystyle\int_{0}^{3} x^2 \, \mathrm{d}x = \dfrac{1}{3} \times \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{3} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{27}{3} = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
La primitive de $x^2$ est $\dfrac{x^3}{3}$ et donne $9$ entre $0$ et $3$. En divisant par $b - a = 3$, on obtient $3$, pas $1$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ est la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_0^3 x^2\, \mathrm{d}x$, mais il faut encore diviser par la longueur de l'intervalle ($b - a = 3$) pour obtenir la valeur moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$27$"]Non.
$27$ correspond à la primitive $\dfrac{x^3}{3}$ au numérateur ($3^3 = 27$), mais la division par $3$ (puis encore par $3$ pour la valeur moyenne) a été oubliée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $\mu = \dfrac{1}{b - a} \displaystyle\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x$ avec $a = 0$ et $b = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(t) = \cos t$ sur $[0\,;\,\pi]$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$\dfrac{1}{\pi}$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$-1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\mu = \dfrac{1}{\pi - 0} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos t \, \mathrm{d}t = \dfrac{1}{\pi} \times \left[\sin t\right]_{0}^{\pi} = \dfrac{1}{\pi} \times (\sin \pi - \sin 0) = \dfrac{1}{\pi} \times (0 - 0) = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$\sin \pi$ vaut $0$ (et non $1$, qui correspond à $\sin\dfrac{\pi}{2}$). Les bornes ici sont $0$ et $\pi$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\pi}$"]Non.
Le facteur $\dfrac{1}{\pi}$ apparaît bien dans la formule, mais il multiplie une intégrale qui vaut $0$ : $\dfrac{1}{\pi} \times 0 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Erreur de signe ou de valeur de $\sin\pi$. Bien évaluer $\sin\pi = 0$ et $\sin 0 = 0$, donc la différence est nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi} \cos t\, \mathrm{d}t = \left[\sin t\right]_0^{\pi}$, puis diviser par $\pi - 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$. Laquelle des expressions suivantes définit la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur $[a\,;\,b]$ ?
[qcm]
[option]$\mu = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x$[/option]
[option]$\mu = \dfrac{1}{b}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x$[/option]
[option]$\mu = (b - a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x$[/option]
[option correct="true"]$\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ est $\mu = \dfrac{1}{b - a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x$.
Géométriquement, c'est la hauteur du rectangle de base $[a\,;\,b]$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe.[/reponse]
[reponse motif="$\mu = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x$"]Non.
Cette expression donne l'intégrale de $f$, pas sa valeur moyenne. Il manque la division par la longueur de l'intervalle.[/reponse]
[reponse motif="$\mu = \dfrac{1}{b}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x$"]Non.
On divise par la longueur de l'intervalle, c'est-à-dire $b - a$, et non par $b$ seul.[/reponse]
[reponse motif="$\mu = (b - a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x$"]Non.
Il faut diviser par $b - a$, et non multiplier. La formule produit sinon des grandeurs incohérentes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revoir la définition de la valeur moyenne : on divise l'intégrale par la longueur de l'intervalle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Propriétés des intégrales

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} t\sin t\;\mathrm{d}t$.

Affirmation : La fonction $g$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto x\sin x$ sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $a$ un réel quelconque, alors $x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est une primitive de $f$.
Ici $f(t) = t\sin t$, donc $g$ est bien une primitive de $x \mapsto x\sin x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre $g(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$ (une primitive de $f$) avec le calcul de l'intégrale lui-même : le théorème fondamental du calcul intégral stipule que cette fonction est bien une primitive de $f$.
Par le théorème fondamental du calcul intégral : si $f$ est continue et $g(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$, alors $g' = f$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Par le théorème fondamental : $g'(x) = x\sin x$, donc $g$ est une primitive de $x \mapsto x\sin x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit le réel $I = \displaystyle\int_{0}^{\pi} t^4 \sin t\;\mathrm{d}t$.

Affirmation : $I$ est positif ou nul.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Sur $[0~;~\pi]$ : $t^4 \geqslant 0$ et $\sin t \geqslant 0$, donc $t^4\sin t \geqslant 0$.
Par la propriété de positivité des intégrales, $I \geqslant 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'hésiter sur le signe de $\sin t$ sur $[0~;~\pi]$ : rappelons que $\sin t \geqslant 0$ sur cet intervalle (c'est sur $[\pi~;~2\pi]$ que $\sin t \leqslant 0$).
Sur $[0~;~\pi]$, la fonction $t^4\sin t$ est positive ou nulle, donc son intégrale l'est aussi.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Sur $[0~;~\pi]$, $t^4 \geqslant 0$ et $\sin t \geqslant 0$, donc $I \geqslant 0$ par positivité de l'intégrale.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient les réels $I = \displaystyle\int_{0}^{1} x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{0}^{1} x^2\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$.

Affirmation : $I \leqslant J$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Sur $[0~;~1]$, on a $x \geqslant x^2$ (la parabole $y = x^2$ est sous la droite $y = x$).
Donc $x\,\mathrm{e}^x \geqslant x^2\,\mathrm{e}^x$, ce qui donne $I \geqslant J$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de penser que $x^2 > x$ en oubliant que sur $[0~;~1]$ c'est l'inverse : $0 \leqslant x^2 \leqslant x \leqslant 1$, donc $x\mathrm{e}^x \geqslant x^2\mathrm{e}^x$.
Sur $[0~;~1]$, $x \geqslant x^2$, donc $x\,\mathrm{e}^x \geqslant x^2\,\mathrm{e}^x$, et par comparaison des intégrales $I \geqslant J$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Sur $[0~;~1]$, $x \geqslant x^2$ donc $I \geqslant J$ (l'inégalité est dans l'autre sens).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \displaystyle\int_{0}^{1} x^n\,\mathrm{d}x$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est croissante.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Sur $[0~;~1]$, $x^n \geqslant x^{n+1}$, donc $u_n \geqslant u_{n+1}$.
La suite $(u_n)$ est décroissante.
(On peut aussi calculer : $u_n = \dfrac{1}{n+1} \to 0$.)[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de croire que des puissances plus grandes donnent des valeurs plus grandes, en oubliant que sur $[0~;~1]$, $x < 1$ implique $x^n > x^{n+1}$.
Sur $[0~;~1]$, $x^n \geqslant x^{n+1}$, donc $u_n \geqslant u_{n+1}$ : la suite est décroissante.
En calculant : $u_n = \dfrac{1}{n+1}$, qui est bien une suite décroissante.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Sur $[0~;~1]$, $x^n \geqslant x^{n+1}$, donc $u_n = \dfrac{1}{n+1}$ est décroissante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $\mathscr{A}$ l'aire (en unité d'aire) du domaine délimité par la courbe de la fonction carré, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.

Affirmation : $\mathscr{A} = \dfrac{1}{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

$\mathscr{A} = \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier de diviser par $3$ lors du calcul de la primitive de $x^2$ : la primitive est $\dfrac{x^3}{3}$ et non $x^3$.
$\mathscr{A} = \displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $A = \displaystyle\int_{-1}^{0} t^2\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$.

Affirmation : $A \geqslant 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Sur $[-1~;~0]$ : $t^2 \geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{-t} \geqslant 0$, donc $t^2\,\mathrm{e}^{-t} \geqslant 0$.
Par positivité de l'intégrale, $A \geqslant 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de s'inquiéter du signe de l'intégrale à cause des bornes négatives ($-1$ à $0$) : mais c'est le signe de l'intégrande qui compte, et $t^2\mathrm{e}^{-t} \geqslant 0$ partout.
$t^2 \geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{-t} > 0$ sur tout intervalle, donc l'intégrale est bien positive ou nulle.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$t^2 \geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{-t} > 0$ sur $[-1~;~0]$, donc $A \geqslant 0$ par positivité de l'intégrale.
[/solution]
[/etape]

Sujet 0 – Intégrales

L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.

Partie I

Pour tout entier $ n $ supérieur ou égal à 1, on désigne par $ f_n $ la fonction définie sur $ [0 ; 1] $ par $ f_n(x) = x^n e^x $.

On note $ C_n $ la courbe représentative de la fonction $ f_n $ dans un repère $ (O, \vec{i}, \vec{j}) $ du plan.

On désigne par $ (I_n) $ la suite définie pour tout entier $ n $ supérieur ou égal à 1 par :

$ I_n = \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx $

1. On désigne par $ F_1 $ la fonction définie sur $ [0;1] $ par
  
  $ F_1(x) = (x - 1)e^x $
  
  Vérifier que $ F_1 $ est une primitive de la fonction $ f_1 $.
2. Calculer $ I_1 $.
À l’aide d’une intégration par parties, établir la relation pour tout $ n $ supérieur ou égal à 1,

$ I_{n+1} = e - (n + 1)I_n $
Calculer $ I_2 $.

On considère la fonction mystère écrite dans le langage Python :

from math import e # la constante d’Euler e

def mystere(n):
    a = 1
    L = [a]
    for i in range(1,n):
        a = e - (i + 1)*a
        L.append(a)
    return L

À l’aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l’appel mystere(5).

Partie II

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes $ C_1, C_2, C_3, C_{10}, C_{20} $ et $ C_{30} $.

1. Donner une interprétation graphique de $ I_n $.
2. Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $ (I_n) $?
Montrer que pour tout $ n $ supérieur ou égal à 1,

$ 0 \leq I_n \leq e \int_{0}^{1} x^n \, dx $
En déduire $ \lim_{n \to +\infty} I_n $.

Corrigé

Partie I

a) Pour vérifier que $ F_1 $ est une primitive de $ f_1 $, nous pouvons montrer que $ F_1^{\prime}(x) = f_1(x) $.

Calculons la dérivée de $ F_1(x) $ en la règle du produit $ (uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} $ :
$ F_1^{\prime}(x) = e^x + (x - 1)e^x $
$ F_1^{\prime}(x) = e^x + xe^x - e^x $
$ F_1^{\prime}(x) = xe^x $

Or, $ f_1(x) = xe^x $, donc $ F_1^{\prime}(x) = f_1(x) $.

Ainsi, $ F_1(x) = (x - 1)e^x $ est bien une primitive de $ f_1(x) = xe^x $.

b) Utilisons la primitive trouvée pour calculer $ I_1 $ :

$ I_1 = \int_{0}^{1} xe^x \, dx $

Comme $ F_1(x) = (x - 1)e^x $ est une primitive de $ xe^x $, nous utilisons le théorème fondamental du calcul intégral :

$ I_1 = [ (x - 1)e^x ]_{0}^{1} $

Calculons cette expression aux bornes 0 et 1 :

$ I_1 = (1 - 1)e^1 - (0 - 1)e^0 $
$ I_1 = (0 \times e) - ( - 1 \times 1) $
$ I_1 = 0 - ( - 1) $
$ I_1 = 1 $
Établissons la relation $ I_{n+1} = e - (n + 1)I_n $ en utilisant l'intégration par parties.

Pour cela, considérons les fonctions définies par $ u(x) = x^{n+1} $ et $ v^{\prime}(x) = e^x $. Alors, $ u^{\prime}(x) = (n+1)x^n $ et $ v(x) = e^x $.

L'intégration par parties nous donne :

$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $

Appliquons ceci à notre intégrale :

$ I_{n+1} = \int_{0}^{1} x^{n+1} e^x \, dx $

En utilisant les fonctions choisies :

$ I_{n+1} = [ x^{n+1} e^x ]_0^1 - \int_{0}^{1} (n+1)x^n e^x \, dx $
$ I_{n+1} = 1^{n+1} e^1 - 0^{n+1} e^0 - (n+1) \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx $
$ I_{n+1} = e - 0 - (n+1)I_n $
$ I_{n+1} = e - (n+1)I_n $
Calculons $ I_2 $ en utilisant la relation trouvée :

$ I_2 = e - 2I_1 $

Nous savons que $ I_1 = 1 $, donc :

$ I_2 = e - 2 \times 1 $
$ I_2 = e - 2 $
La fonction mystere renvoie une liste comprenant les $ n $ premiers termes d'une suite dont le premier terme est égal à 1 et qui vérifie la relation de récurrence $ u_{n+1} = e - (n + 1) u_n $.

D'après les questions précédentes, on voit que cette suite n'est autre que la suite $ (I_n) $.

L'appel mystere(5) renvoie donc la liste des valeurs $ [I_1, I_2, I_3, I_4, I_5] $ (le terme $ I_1 $ est donné lors de l'initialisation et les 4 termes suivants sont calculés dans la boucle for).

Partie II

1. Toutes les fonctions $ f_n $ sont positives sur l'intervalle $ [0; 1] $.
  Les intégrales $ I_n $ représentent donc l'aire (en unité d'aire) située entre la courbe $ C_n $ et l'axe des abscisses pour $ x $ compris entre 0 et 1.
2. Ces aires semblent tendre vers 0 lorsque $ n $ tend vers $ +\infty $.
  Par conséquent, on peut conjecturer que la suite $ (I_n) $ converge vers 0.
Sachant que pour $ x $ dans l'intervalle $ [0, 1] $, $ e^x \leq e $ (car la fonction exponentielle est croissante), nous avons :

$ x^n e^x \leq x^n e $

En intégrant les deux membres sur $ [0, 1] $ :

$ \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx \leq \int_{0}^{1} x^n e \, dx $

Cela donne :

$ I_n \leq e \int_{0}^{1} x^n \, dx $

Puisque l'intégrale d'une fonction positive est positive, nous avons aussi :

$ 0 \leq I_n $

Ainsi, nous obtenons :

$ 0 \leq I_n \leq e \int_{0}^{1} x^n \, dx $
Calculons $ \int_{0}^{1} x^n \, dx $ :

$ \int_{0}^{1} x^n \, dx = \left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{n+1} $

Donc :

$ e \int_{0}^{1} x^n \, dx = e \times \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{e}{n+1} $

Ainsi :

$ 0 \leq I_n \leq \dfrac{e}{n+1} $

Lorsque $ n $ tend vers l'infini, $ \dfrac{e}{n+1} $ tend vers 0.

Par le théorème des gendarmes, nous avons donc :

$ \lim_{n \to +\infty} I_n = 0 $

La suite $ (I_n) $ converge donc vers 0.

Exponentielle et intégrale

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par

$ f(x) = \left(1 - x^2\right) e^x. $

On note $ \mathscr C $ la courbe représentative de la fonction $ f $ dans un repère orthonormal $ (O ; \vec{i}, \vec{j}) $ d'unité 1 centimètre.

Calculer les limites de $ f(x) $ lorsque $ x $ tend vers $ - \infty $ et lorsque $ x $ tend vers $ + \infty $ .
1. Calculer la dérivée $ f^\prime $ de la fonction $ f $.
2. Étudier le signe de $ f^\prime(x) $.
3. Construire le tableau de variations de $ f $
Déterminer les points d'intersections de la courbe $ \mathscr C $ et de l'axe des ordonnées.
A l'aide des questions précédentes, tracer la courbe $ \mathscr C $ dans le repère orthonormal $ (O ; \vec{i}, \vec{j}) $ d'unité 1 centimètre.
Soient $ a $, $ b $ et $ c $ trois réels et $ F $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ F(x) =(ax^2+bx+c)e^x $.
1. Calculer $ F^\prime(x) $.
2. Montrer qu'il existe des valeurs de $ a $, $ b $ et $ c $ telles que $ F^\prime=f $
En déduire la valeur exacte de l'intégrale $ \mathcal{A} = \int_0^1 f(x)\:\text{d}x $.
Interpréter graphiquement l'intégrale $ \mathcal{A} $.

Corrigé

On a pour tout réel $x$ :

$ f(x) = (1-x^2)e^x $
En $+\infty$ :
$\lim\limits_{x\to+\infty} (1-x^2) = -\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} e^x = +\infty$.
Par produit, $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$.
En $-\infty$ :
$f(x) = e^x - x^2e^x$.
$\lim\limits_{x\to-\infty} e^x = 0$ et par croissance comparée, $\lim\limits_{x\to-\infty} x^2e^x = 0$.
Par somme, $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = 0$.
1. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables.
  $f=uv$ avec $u(x) = 1-x^2 \implies u'(x) = -2x$ et $v(x) = e^x \implies v'(x) = e^x$.
  
  $ f'(x) = -2xe^x + (1-x^2)e^x = (-x^2 - 2x + 1) e^x. $
2. Pour tout réel $x$, $e^x > 0$. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $-x^2 - 2x + 1$.
  C'est un trinôme du second degré. Ses racines sont :
  
  $ \Delta = (-2)^2 - 4 \times (-1) \times 1 = 4 + 4 = 8 = (2\sqrt{2})^2 $
  
  $ x_1 = \dfrac{2 - 2\sqrt{2}}{-2} = -1 + \sqrt{2} \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{2 + 2\sqrt{2}}{-2} = -1 - \sqrt{2} $
  
  Comme le coefficient de $x^2$ est négatif, $f'(x)$ est positive entre les racines et négative à l'extérieur.
3. Tableau de variations de $f$ :
L'intersection avec l'axe des ordonnées correspond à $x = 0$.
$f(0) = (1-0^2)e^0 = 1 \times 1 = 1$.
Le point d'intersection est $(0 ; 1)$.
$\ $
Soit $F(x) = (ax^2+bx+c)e^x$.
1. $F'(x) = (2ax+b)e^x + (ax^2+bx+c)e^x = (ax^2 + (2a+b)x + b+c) e^x$.
2. On veut $F'(x) = f(x) = (-x^2 + 1)e^x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
  On identifie les coefficients :
  $a = -1$, $2a+b = 0 \implies b = 2$ et $b+c = 1 \implies 2+c = 1 \implies c = -1$.
  D'où $F(x) = (-x^2+2x-1)e^x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
$\mathcal{A} = \int_0^1 f(x)\text{d}x = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0)$.
$F(1) = (-1+2-1)e^1 = 0$.
$F(0) = (-0+0-1)e^0 = -1$.
$\mathcal{A} = 0 - (-1) = 1$.
$\mathcal{A}$ est l'aire de la portion de plan délimitée par la courbe $\mathscr C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$, exprimée en unités d'aire. Comme l'unité est 1 cm, l'unité d'aire est $1 \times 1 = 1 \text{ cm}^2$. Donc $\mathcal{A} = 1 \text{ cm}^2$.

Fonctions – Bac S Nouvelle Calédonie 2016

On considère les fonctions $ f $ et $ g $ définies sur l'intervalle $ [0~;~16] $ par

$ f(x) = \ln(x+1) $

$ g(x) = \ln(x+1)+1 - \cos(x) $

Dans un repère du plan $ (O~;~\vec{i},\vec{j}) $, on note $ \mathscr{C}_f $ et $ \mathscr{C}_g $ les courbes représentatives des fonctions $ f $ et $ g $.

Ces courbes sont données ci-dessous.

Courbes representatives de f et g sur [0;16] avec les deux surfaces colorees

Comparer les aires des deux surfaces colorées sur ce graphique.

Corrigé

Pour comparer les aires des deux surfaces colorées, nous devons étudier la différence entre les deux fonctions $ f $ et $ g $.

On considère la fonction $ h $ définie sur $ [0~;~16] $ par $ h(x) = g(x) - f(x) $.

En remplaçant les expressions de $ f $ et $ g $, on obtient :

$ h(x) = \ln(x+1) + 1 - \cos(x) - \ln(x+1) = 1 - \cos(x) $

On sait que pour tout réel $ x $, $ -1 \le \cos(x) \le 1 $, donc $ 1 - \cos(x) \ge 0 $.

Ainsi, $ h(x) \ge 0 $ sur $ [0~;~16] $, ce qui signifie que $ g(x) \ge f(x) $ sur cet intervalle.

La courbe $ \mathscr{C}_g $ est donc toujours au-dessus de $ \mathscr{C}_f $ (ou les deux courbes sont confondues lorsque $ \cos(x) = 1 $).

Les points d'intersection des deux courbes correspondent aux valeurs de $ x $ pour lesquelles $ h(x) = 0 $, soit $ \cos(x) = 1 $.

Dans l'intervalle $ [0~;~16] $, ces valeurs sont $ x = 0 $, $ x = 2\pi $ et $ x = 4\pi $.

Calcul de la première aire $ S_1 $ :

La première surface colorée est délimitée par les deux courbes entre $ x = 0 $ et $ x = 2\pi $.

Son aire $ S_1 $ est donnée par l'intégrale :

$ S_1 = \int_{0}^{2\pi} (g(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos(x)) \, \mathrm{d}x $

Une primitive de la fonction $ x \mapsto 1 - \cos(x) $ est $ x \mapsto x - \sin(x) $.

On a donc :

$ S_1 = \left[ x - \sin(x) \right]_{0}^{2\pi} = (2\pi - \sin(2\pi)) - (0 - \sin(0)) = 2\pi - 0 = 2\pi $
Calcul de la deuxième aire $ S_2 $ :

La deuxième surface colorée est délimitée par les deux courbes entre $ x = 2\pi $ et $ x = 4\pi $.

De la même manière, son aire $ S_2 $ est donnée par :

$ S_2 = \int_{2\pi}^{4\pi} (g(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x = \int_{2\pi}^{4\pi} (1 - \cos(x)) \, \mathrm{d}x $

On a donc :

$ S_2 = \left[ x - \sin(x) \right]_{2\pi}^{4\pi} = (4\pi - \sin(4\pi)) - (2\pi - \sin(2\pi)) = 4\pi - 2\pi = 2\pi $

On conclut que les deux aires sont égales à $ 2\pi $ unités d'aire.

Encadrement et intégrales

Soit la fonction $ f $ définie sur $ [0;1] $ par $ f(x)=\dfrac{1}{1+x^2} $.

Étudier les variations de la fonction $ f $ et tracer sa courbe représentative $ C_f $ dans un repère orthonormé $ (O;I,J) $.
On définit les fonctions $ g $ et $ h $ sur $ [0;1] $ par $ g(x)=1 - \dfrac{x}{2} $ et $ h(x)=1 - \dfrac{x^2}{2} $.
1. Montrer que pour tout $ x \in [0;1] $ : $ g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x) $.
2. Tracer les courbes représentatives de $ g $ et $ h $ sur le graphique précédent.
On pose $ I=\int_0^1 f(t)dt $.
1. Donner une interprétation géométrique de $ I $.
2. A l'aide de la question 2., donner une valeur approchée de $ I $ à $ 10^{ - 1} $ près.

Corrigé

$ f $ est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pour aucune valeur de $ x $.

$ f $ est donc définie et dérivable sur $ [0;1] $. Comme $ f $ est de la forme $ \dfrac{1}{u} $ où $ u $ est la fonction définie par $ u(x)=1+x^2 $ :

$ f^{\prime}(x)=\dfrac{ - u ^{\prime}(x)}{(u(x))^2}=\dfrac{ - 2x}{(1+x^2)^2} $.

Le dénominateur est strictement positif et le numérateur est négatif ou nul car $ x \in [0;1] $.

Donc $ f ^{\prime}(x) \leqslant 0 $ et $ f $ est décroissante sur $ [0;1] $.

On peut s'aider d'un tableau de valeurs à la calculatrice pour obtenir la courbe ci-dessous :
1. Pour montrer que $ g(x) \leqslant f(x) $ on va montrer que $ f(x) - g(x) \geqslant 0 $ pour tout $ x \in [0;1] $.
  
  À retenir
  
  Une méthode classique pour prouver que $ A \geqslant B $ consiste à étudier le signe de $ A - B $ afin de montrer que $ A - B $ est positif ou nul.
  
  $ f(x) - g(x)= \dfrac{1}{1+x^2} - \left(1 - \dfrac{x}{2}\right) $
  
  $ \phantom{h(x) - f(x)}= \dfrac{2}{2(1+x^2)} - \dfrac{2+2x^2}{2(1+x^2)}+\dfrac{x(1+x^2) }{2(1+x^2)} $
  
  $ \phantom{h(x) - f(x)}=\dfrac{x^3 - 2x^2+x}{2(1+x^2)}=\dfrac{x(x^2 - 2x+1)}{2(1+x^2)} $
  
  $ \phantom{h(x) - f(x)}=\dfrac{x(x - 1)^2}{2(1+x^2)} \geqslant 0 $
  
  Donc $ f(x) \geqslant g(x) $
  
  De même, pour tout $ x \in [0;1] $ :
  
  $ h(x) - f(x)= \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right) - \dfrac{1}{1+x^2} $
  
  $ \phantom{h(x) - f(x)}= \dfrac{2+2x^2}{2(1+x^2)} - \dfrac{x^2(1+x^2) }{2(1+x^2)} - \dfrac{2}{2(1+x^2)} $
  
  $ \phantom{h(x) - f(x)}=\dfrac{x^2 - x^4}{2(1+x^2)}=\dfrac{x^2(1 - x^2)}{2(1+x^2)} $
  
  $ \phantom{h(x) - f(x)}=\dfrac{x^2(1 - x)(1+x)}{2(1+x^2)} \geqslant 0 $
  
  Donc $ h(x) \geqslant f(x) $
  
  Finalement, pour tout $ x \in [0;1] $ : $ g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x) $.
2. $ f(0)=g(0)=h(0)=1 $ et $ f(1)=g(1)=h(1)=\dfrac{1}{2} $ donc les trois courbes passent par les points $ A(0;1) $ et $ B\left(1;\dfrac{1}{2}\right) $.
  
  La fonction $ g $ est la restriction à l'intervalle $ [0;1] $ d'une fonction affine. Sa représentation graphique est donc le segment $ [AB] $.
  
  La fonction $ h $ est la restriction à l'intervalle $ [0;1] $ d'une fonction polynôme du second degré. Sa représentation graphique est un arc de parabole (de sommet $ A $) :
1. L'intégrale $ I $ correspond à l'aire ( en unité d'aire ) de la surface délimitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la courbe $ C_f $ et la droite d'équation $ x=1 $ :
2. D'après la question 2. : $ g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x) $ pour tout $ x \in [0;1] $.
  
  D'après le théorème de comparaison des intégrales on obtient donc :
  
  $ \int_0^1g(x)dx \leqslant \int_0^1 f(x)dx \leqslant \int_0^1 h(x) dx $
  
  Or :
  
  $ \int_0^1g(x)dx = \int_0^1\left(1 - \dfrac{x}{2}\right) dx $
  
  $ \phantom{\int_0^1g(x)dx} = \left[x - \dfrac{x^2}{4}\right]_0^1=\dfrac{3}{4} $
  
  Et :
  
  $ \int_0^1h(x)dx = \int_0^1\left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right) dx $
  
  $ \phantom{\int_0^1g(x)dx} = \left[x - \dfrac{x^3}{6}\right]_0^1=\dfrac{5}{6} $
  
  Par conséquent $ \dfrac{3}{4} \leqslant I \leqslant \dfrac{5}{6} $
  
  Comme $ \dfrac{3}{4} =0,75 $ et $ \dfrac{5}{6} \approx 0,833 $, une valeur approchée de $ I $ au dixième est $ 0,8. $
  
  Remarque : On peut démontrer que cette intégrale est égale à $ \dfrac{\pi}{4} $ soit environ $ 0,785 $.

Intégrales – Bac S Centres étrangers 2013

On considère la fonction $ g $ définie pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[0 ; 1\right] $ par : $ g\left(x\right)=1+e^{ - x} $.

On admet que, pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[0 ; 1\right] $, $ g\left(x\right) > 0 $.

On note $ \mathscr C $ la courbe représentative de la fonction $ g $ dans un repère orthogonal, et $ \mathscr D $ le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe $ \mathscr C $, d'autre part entre les droites d'équation $ x=0 $ et $ x=1 $.

La courbe $ \mathscr C $ et le domaine $ \mathscr D $ sont représentés ci-dessous.

Le but de cet exercice est de partager le domaine $ \mathscr D $ en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l' axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soit $ a $ un réel tel que $ 0\leqslant a\leqslant 1 $.

On note $ \mathscr A_{1} $ l'aire du domaine compris entre la courbe $ \mathscr C $, l'axe $ \left(Ox\right) $,les droites d'équation $ x=0 $ et $ x =a $ , puis $ \mathscr A_{2} $ celle du domaine compris entre la courbe $ \mathscr C $, l'axe $ \left(Ox\right) $ et les droites d'équation $ x=a $ et $ x=1 $.

$ \mathscr A_{1} $ et $ \mathscr A_{2} $ sont exprimées en unités d'aire.

1. Démontrer que $ \mathscr A_{1}=a - e^{ - a}+1 $.
2. Exprimer $ \mathscr A_{2} $ en fonction de $ a $.
Soit $ f $ la fonction définie pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[0 ; 1\right] $ par : $ f\left(x\right)=2x - 2e^{ - x}+\dfrac{1}{e} $.
1. Dresser le tableau de variation de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ \left[0 ; 1\right] $. On précisera les valeurs exactes de $ f\left(0\right) $ et $ f\left(1\right) $.
2. Démontrer que la fonction $ f $ s'annule une fois et une seule sur l'intervalle $ \left[0 ; 1\right] $. en un réel $ \alpha $. Donner la valeur de $ \alpha $ arrondie au centième.
En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée de réel $ a $ pour lequel les aires $ \mathscr A_{1} $ et $ \mathscr A_{2} $ sont égales.

Partie B

Dans cette partie, on se propose de partager le domaine $ \mathscr D $ en deux domaines de même aire par la droite d'équation $ y=b $. On admet qu'Il existe un unique réel $ b $ positif solution.

Justifier l'inégalité $ b < 1+\dfrac{1}{e} $. On pourra utiliser un argument graphique.
Déterminer la valeur exacte du réel $ b $

Corrigé

Partie A

On considère la fonction $ g $ définie pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ [0 ; 1] $ par : $ g(x) = 1 + e^{-x} $.
1. Soit $ P(x) $ une primitive de $ g(x) $, alors :
  
  $ \mathscr{A}_1 = \int_0^a g(x) \text{d}x = P(a) - P(0) $
  
  Une primitive de $ g(x) $ est $ P(x) = x - e^{-x} $.
  On en déduit :
  
  $ \mathscr{A}_1 = a - e^{-a} - (0 - e^0) = a - e^{-a} + 1 $
2. L'aire $ \mathscr{A}_2 $ est donnée par :
  
  $ \mathscr{A}_2 = \int_a^1 g(x) \text{d}x = P(1) - P(a) = 1 - e^{-1} - (a - e^{-a}) = 1 - e^{-1} - a + e^{-a} $
On considère la fonction $ f $ définie pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ [0 ; 1] $ par : $ f(x) = 2x - 2e^{-x} + \dfrac{1}{e} $.
1. Calcul des valeurs aux bornes :
2. $ f(0) = 2(0) - 2e^0 + \dfrac{1}{e} = -2 + \dfrac{1}{e} $
3. $ f(1) = 2(1) - 2e^{-1} + \dfrac{1}{e} = 2 - \dfrac{2}{e} + \dfrac{1}{e} = 2 - \dfrac{1}{e} $
  
  La fonction $ x \mapsto 2x $ et $ x \mapsto -2e^{-x} $ sont continues sur $ \mathbb{R} $, donc $ f $ est continue sur $ [0 ; 1] $.
  $ f $ est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est :
  
  $ f'(x) = 2 + 2e^{-x} $
  
  Comme $ e^{-x} > 0 $ pour tout réel $ x $, $ f'(x) > 0 $ sur $ [0 ; 1] $.
  La fonction $ f $ est donc strictement croissante sur $ [0 ; 1] $.
  
  Tableau de variations de $ f $ :
4. Sur l'intervalle $ [0 ; 1] $ :
5. $ f $ est continue et strictement croissante.
6. $ f(0) = -2 + \dfrac{1}{e} \approx -1,63 < 0 $
7. $ f(1) = 2 - \dfrac{1}{e} \approx 1,63 > 0 $
  
  D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ f(x) = 0 $ possède une unique solution $ \alpha $ dans $ [0 ; 1] $.
  À l'aide d'une calculatrice, on trouve $ \alpha \approx 0,45 $ arrondi au centième.
Les aires $ \mathscr{A}_1 $ et $ \mathscr{A}_2 $ sont égales si et seulement si $ \mathscr{A}_1 = \mathscr{A}_2 $ :

$ a - e^{-a} + 1 = 1 - e^{-1} - a + e^{-a} $

$ 2a - 2e^{-a} + e^{-1} = 0 $

On reconnaît l'équation $ f(a) = 0 $.
D'après la question précédente, cette équation admet une unique solution sur $ [0 ; 1] $.
On en déduit que $ a = \alpha \approx 0,45 $.

Partie B

La droite d'équation $ y=b $ forme un rectangle d'aire égale à $ b \times 1 = b $ avec l'axe des abscisses et les droites $ x=0 $ et $ x=1 $.
Graphiquement, on remarque que la droite d'équation $ y = g(1) = 1 + e^{-1} $ partage le domaine $ \mathscr{D} $ en deux domaines $ D_1 $ (rectangle inférieur) et $ D_2 $ (partie supérieure sous la courbe).
Comme l'aire de $ D_1 $ est supérieure à celle de $ D_2 $, pour avoir des aires égales, la droite $ y=b $ doit se situer en dessous de $ y = 1 + e^{-1} $.
D'où $ b < 1 + e^{-1} $.
L'aire totale du domaine $ \mathscr{D} $ est :

$ \mathscr{A}_{\mathscr{D}} = \int_0^1 g(x) \text{d}x = P(1) - P(0) = (1 - e^{-1}) - (0 - e^0) = 1 - e^{-1} + 1 = 2 - e^{-1} $

On cherche $ b $ tel que l'aire du rectangle (qui est égale à $ b $) soit égale à la moitié de l'aire de $ \mathscr{D} $ :

$ b = \dfrac{2 - e^{-1}}{2} = 1 - \dfrac{1}{2e} $

Fonctions Calculs d’aire – Bac S Pondichéry 2011

Partie I

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $ \left(\mathscr C_{1}\right) $ et $ \left(\mathscr C_{2}\right) $ représentatives de deux fonctions $ f_{1} $ et $ f_{2} $ définies sur l'intervalle $ \left]0;+\infty \right[ $.

Courbes C1 et C2 dans un repère orthonormal

On sait que :

l'axe des ordonnées est asymptote aux courbes $ \left(\mathscr C_{1}\right) $ et $ \left(\mathscr C_{2}\right) $
l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $ \left(\mathscr C_{2}\right) $
la fonction $ f_{2} $ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $ \left]0; +\infty \right[ $
la fonction $ f_{1} $ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $ \left]0; +\infty \right[ $
la limite quand $ x $ tend vers $ +\infty $ de $ f_{1}\left(x\right) $ est $ + \infty $.

Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée.

La limite quand $ x $ tend vers $ 0 $ de $ f_{2}\left(x\right) $ est :

1°) $ 0 $

2°) $ + \infty $

3°) On ne peut pas conclure
La limite quand $ x $ tend vers $ + \infty $ de $ f_{2}\left(x\right) $ est :

1°) $ 0 $

2°) $ 0,2 $

3°) On ne peut pas conclure
En $ +\infty $, $ \left(\mathscr C_{1}\right) $ admet une asymptote oblique :

1°) Oui

2°) Non

3°) On ne peut pas conclure
Le tableau de signes de $ f_{2}\left(x\right) - f_{1}\left(x\right) $ est :

1°)

2°)

3°)

Partie II

On considère la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ \left]0; +\infty \right[ $ par

$ f\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1 - \dfrac{1}{x}. $

Déterminer les limites de la fonction $ f $ aux bornes de son ensemble de définition.
Étudier les variations de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ \left]0; +\infty \right[ $.
En déduire le signe de $ f\left(x\right) $ lorsque $ x $ décrit l'intervalle $ \left]0; +\infty \right[ $.
Montrer que la fonction $ F $ définie sur l'intervalle $ \left]0; +\infty \right[ $ par $ F\left(x\right)=x \ln x - \ln x $ est une primitive de la fonction $ f $ sur cet intervalle.
Démontrer que la fonction $ F $ est strictement croissante sur l'intervalle $ \left]1; +\infty \right[ $.
Montrer que l'équation $ F\left(x\right)=1 - \dfrac{1}{\text{e}} $ admet une unique solution dans l'intervalle $ \left]1;+\infty \right[ $ qu'on note $ \alpha $.
Donner un encadrement de $ \alpha $ d'amplitude $ 10^{ - 1} $.

Partie III

Soit $ g $ et $ h $ les fonctions définies sur l'intervalle $ \left]0; +\infty \right[ $ par :

$ g\left(x\right)=\dfrac{1}{x}\ \text{et} \ h\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1. $

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $ \left(\mathscr C_{g}\right) $ et $ \left(\mathscr C_{h}\right) $ représentatives des fonctions $ g $ et $ h $.

Courbes Cg et Ch avec domaines grisé et hachuré

$ A $ est le point d'intersection de la courbe $ \left(\mathscr C_{h}\right) $ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point $ A $.
$ P $ est le point d'intersection des courbes $ \left(\mathscr C_{g}\right) $ et $ \left(\mathscr C_{h}\right) $. Justifier que les coordonnées du point $ P $ sont $ \left(1 ; 1\right) $.
On note $ \mathscr A $ l'aire du domaine délimité par les courbes $ \left(\mathscr C_{g}\right) $, $ \left(\mathscr C_{h}\right) $ et les droites d'équations respectives $ x=\dfrac{1}{\text{e}} $ et $ x=1 $ (domaine grisé sur le graphique).
1. Exprimer l'aire $ \mathscr A $ à l'aide de la fonction $ f $ définie dans la partie II.
2. Montrer que $ \mathscr A=1 - \dfrac{1}{\text{e}} $.
Soit $ t $ un nombre réel de l'intervalle $ \left]1; +\infty \right[ $. On note $ \mathscr B_{t} $ l'aire du domaine délimité par les droites d'équations respectives $ x=1, x=t $ et les courbes $ \left(\mathscr C_{g}\right) $ et $ \left(\mathscr C_{h}\right) $ (domaine hachuré sur le graphique).

On souhaite déterminer une valeur de $ t $ telle que $ A=\mathscr B_{t} $.
1. Montrer que $ \mathscr B_{t}=t \ln \left(t\right) - \ln \left(t\right) $.
2. Conclure.

Corrigé

Partie I

La réponse correcte est $ +\infty $.

En effet, l'énoncé indique que l'axe des ordonnées est asymptote de $ \left(\mathscr C_{2}\right) $ donc $ \lim\limits_{x\rightarrow 0} f_{2}\left(x\right)=+ - \infty $.

Comme $ f_{2} $ est strictement décroissante sur $ \left]0;+\infty \right[ $, on a nécessairement $ \lim\limits_{x\rightarrow 0} f_{2}\left(x\right)=+\infty $.
La réponse correcte est 0.

L'axe des abscisses est asymptote à la courbe $ \left(\mathscr C_{2}\right) $.
La réponse correcte est : « on ne peut pas conclure ».

Aucune indication n'est fournie par l'énoncé qui justifie ou démentit le résultat.
Le troisième tableau est le seul possible. En effet :

$ f_{2}\left(1\right) - f_{1}\left(1\right)=1 - 1=0 $

Par ailleurs, on montre facilement que $ f_{2} - f_{1} $ est décroissante sur $ \left]0;+\infty \right[ $.

Partie II

$ \lim\limits_{x\rightarrow 0^+ } \ln\left(x\right)= - \infty $

et $ \lim\limits_{x\rightarrow 0^+ }\dfrac{1}{x}=+\infty $ donc $ \lim\limits_{x\rightarrow 0^+ } - \dfrac{1}{x}= - \infty $

Par conséquent, par somme, $ \lim\limits_{x\rightarrow 0^+ } f\left(x\right)= - \infty $

$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \ln\left(x\right)=+\infty $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{1}{x}=0 $

Et par somme $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=+\infty $
$ f^{\prime}\left(x\right)= \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} $

Sur l'intervalle $ \left]0;+\infty \right[ $, $ \dfrac{1}{x} > 0 $ donc $ f^{\prime}\left(x\right) > 0 $ et par conséquent $ f $ est strictement croissante.
Comme $ f\left(1\right)=\ln\left(1\right)+1 - \dfrac{1}{1}=0 $ et comme $ f $ est strictement croissante, $ f $ est strictement négative sur $ \left]0;1\right[ $ et strictement positive sur $ \left]1;+\infty \right[ $.

Le tableau de signe de $ f $ est :
On calcule la dérivée $ F^{\prime}\left(x\right) $ :

$ F^{\prime}\left(x\right)=\ln\left(x\right)+x\times \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x}=\ln\left(x\right)+1 - \dfrac{1}{x}=f\left(x\right) $

Donc $ F $ est une primitive de $ f $ sur $ \left]0;+\infty \right[ $.
La dérivée de $ F $ est $ f $ et est strictement positive sur $ \left]1;+\infty \right[ $ d'après 3.. Donc $ F $ est strictement croissante sur cet intervalle.
$ F\left(1\right)=0 $

$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }F\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x\ln\left(x\right) - \ln\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x\left(\ln\left(x\right) - \dfrac{\ln\left(x\right)}{x}\right) $

Or $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\ln\left(x\right)}{x}=0 $ (Croissance comparée)

donc (par différence et produit) $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }F\left(x\right)=+\infty $

Sur l'intervalle $ \left]1;+\infty \right[ $, $ F $ est continue car dérivable, strictement croissante et $ 1 - \dfrac{1}{e} $ est compris entre $ F\left(1\right)=0 $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }F\left(x\right)=+\infty $.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ F\left(x\right)=1 - \dfrac{1}{e} $ admet une unique solution sur l'intervalle $ \left]1;+\infty \right[ $.
Posons $ G\left(x\right)=F\left(x\right) - \left(1 - \dfrac{1}{e}\right) $.
A la calculatrice, on trouve : $ G\left(1,9\right)\approx - 0,05 $ et $ G\left(2\right)\approx 0,06 $ donc $ 1,9 < \alpha < 2 $.

Partie III

L'abscisse du point $ A $ est solution de l'équation : $ h\left(x\right)=0 $. Donc :

$ \ln\left(x_{A}\right)+1=0 $

$ \ln\left(x_{A}\right)= - 1 $

$ x_{A}=e^{ - 1}=\dfrac{1}{e} $

Donc $ A\left(\dfrac{1}{e};0\right) $.
L'abscisse du point $ P $ vérifie l'équation :

$ \dfrac{1}{x}=\ln\left(x\right)+1 $

$ \ln\left(x\right)+1 - \dfrac{1}{x}=0 $

$ f\left(x\right)=0 $

Donc d'après lapartie II, $ x_{P}=1 $ et $ y_{P}=g\left(x_{P}\right)=g\left(1\right)=1 $

Donc $ P\left(1;1\right) $
1. Sur l'intervalle $ \left[\dfrac{1}{e} ; 1\right] $, $ g\geqslant h $. L'aire $ \mathscr A $ est donc :
  
  $ \mathscr A=\int_{1/e}^{1}g\left(x\right) - h\left(x\right)dx = \int_{1/e}^{1} - f\left(x\right)dx = - \int_{1/e}^{1}f\left(x\right)dx $
2. $ \mathscr A= - \left[F\left(x\right)\right]_{1/e}^{1} = - F\left(1\right)+F\left(\dfrac{1}{e}\right) = 1\ln 1 - \ln 1+\dfrac{1}{e} \ln \dfrac{1}{e} - \ln \dfrac{1}{e} = 1 - \dfrac{1}{e} $
  
  car $ \ln 1 = 0 $ et $ \ln \dfrac{1}{e} = - \ln e = - 1 $
1. Sur l'intervalle $ \left[1 ; +\infty \right] $, $ g\leqslant h $. Par conséquent :
  
  $ \mathscr B_{t}=\int_{1}^{t}h\left(x\right) - g\left(x\right)dx = \int_{1}^{t}f\left(x\right)dx = F\left(t\right) - F\left(1\right) = F\left(t\right) = t \ln t - \ln t $
2. $ \mathscr A=\mathscr B_{t} \Leftrightarrow F\left(t\right) = 1 - \dfrac{1}{e} $
  
  D'après la question 6 de la partie précédente, cette équation admet $ t=\alpha $ comme unique solution.

Intégrales Encadrements – Bac S Amérique du Nord 2008

Partie A

Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :

Soient $ u $ et $ v $ deux fonctions continues sur un intervalle $ \left[a, b\right] $ avec $ a < b $.

Si $ u > 0 $ sur $ \left[a, b\right] $ alors $ \int_{a}^{b} u\left(x\right)\text{d}x \geqslant 0 $.
Pour tous réels $ \alpha $ et $ \beta $, $ \int_{a}^{b} \left[\alpha u\left(x\right)+\beta v\left(x\right)\right] \text{d}x=\alpha \int_{a}^{b} u\left(x\right) \text{d}x+\beta \int_{a}^{b} v\left(x\right) \text{d}x. $

Démontrer que si $ f $ et $ g $ sont deux fonctions continues sur un intervalle $ \left[a, b\right] $ avec $ a < b$ et si, pour tout $ x $ de $ \left[a, b\right] $, $ f\left(x\right) \leqslant g\left(x\right) $ alors $ \int_{a}^{b} f\left(x\right) \text{d}x \leqslant \int_{a}^{b} g\left(x\right) \text{d}x $.

Partie B

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \left[0, +\infty \right[ $ par : $ f\left(x\right)=x+\ln\left(1+e^{ - x}\right) $. Sa courbe représentative $ C $ ainsi que la droite $ D $ d'équation $ y=x $ sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

$Repère orthonormal sur [0;5]×[0;5]. Droite D d'équation y=x (en bleu). Courbe C représentative de f(x)=x+ln(1+e^{-x}) (en rouge) située au-dessus de D, partant de (0; ln 2 ≈ 0,69) et se rapprochant asymptotiquement de D quand x croît.$

Montrer que $ f $ est croissante et positive sur $ \left[0 , +\infty \right[ $.
1. Montrer que la courbe $ C $ admet pour asymptote la droite $ D $.
2. Étudier la position de $ C $ par rapport à $ D $.
Soit $ I $ l'intégrale définie par : $ I= \int_{0}^{1} \ln\left(1+e^{ - x}\right) \text{d}x= \int_{0}^{1} \left[f\left(x\right) - x\right] \text{d}x $. On ne cherchera pas à calculer $ I $.
1. Donner une intérprétation géométrique de $ I $.
2. Montrer que pour tout réel $ t \geqslant 0 $, on a $ \ln\left(1+t\right) \leqslant t $.
  
  (On pourra étudier les variations de la fonction $ g $ définie sur $ \left[0,+\infty \right[ $ par $ g\left(t\right)=\ln\left(1+t\right) - t $)
  
  On admettra que pour tout réel $ t \geqslant 0 $, on a $ \dfrac{t}{t+1} \leqslant \ln\left(1+t\right) $.
3. En déduire que pour tout $ x $ de $ \left[0 , +\infty \right[ $, on a : $ \dfrac{e^{ - x}}{e^{ - x}+1} \leqslant \ln\left(1+e^{ - x}\right) \leqslant e^{ - x} $.
4. Montrer que $ \ln\left(\dfrac{2}{1+e^{ - 1}}\right) \leqslant I \leqslant 1 - e^{ - 1} $.
5. En déduire un encadrement de $ I $ d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux.
On désigne par $ M $ et $ N $ les points de même abscisse $ x $ appartenant respectivement à $ C $ et $ D $.

On juge que $ M $ et $ N $ sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance $ MN $ est inférieure à 0,5 mm.

Déterminer l'ensemble des valeurs de $ x $ pour lesquelles $ M $ et $ N $ sont indiscernables.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Corrigé

Partie A

Restitution organisée de connaissances

Démontrons que si $ f $ et $ g $ sont deux fonctions continues sur un intervalle $ [a, b] $ avec $ a < b $ et si, pour tout $ x $ de $ [a, b] $, $ f(x) \leqslant g(x) $ alors $ \int_{a}^{b} f(x) \text{d}x \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \text{d}x $.

Posons $ h(x) = g(x) - f(x) $.

Comme $ f(x) \leqslant g(x) $ pour tout $ x \in [a, b] $, on a $ h(x) \geqslant 0 $.

D'après le résultat (1), on peut écrire :

$ \int_{a}^{b} h(x) \text{d}x = \int_{a}^{b} [g(x) - f(x)] \text{d}x \geqslant 0 $

D'après le résultat (2), sur la linéarité de l'intégrale, on peut écrire :

$ \int_{a}^{b} [g(x) - f(x)] \text{d}x = \int_{a}^{b} g(x) \text{d}x - \int_{a}^{b} f(x) \text{d}x \geqslant 0 $

D'où :

$ \int_{a}^{b} f(x) \text{d}x \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \text{d}x $

Partie B

La fonction $ f $ est définie sur $ [0, +\infty [ $ par $ f(x) = x + \ln(1+e^{-x}) $.

Sur $ [0, +\infty [ $, on a $ e^{-x} > 0 \implies 1+e^{-x} > 1$, d'où $ \ln(1+e^{-x}) > \ln(1) > 0 $.

Comme $ x \geqslant 0 $, on en déduit que $ f(x) > 0 $. $ f $ est donc positive sur $ [0, +\infty [ $.

Calculons la dérivée de $ f $ :

$ f'(x) = 1 + \dfrac{-e^{-x}}{1+e^{-x}} = \dfrac{1+e^{-x}-e^{-x}}{1+e^{-x}} = \dfrac{1}{1+e^{-x}} $

$ f'(x) $ est strictement positive sur $ [0, +\infty [ $ car $ 1+e^{-x} > 0 $.

Par conséquent, $ f $ est croissante sur $ [0, +\infty [ $.
1. Étudions la limite de $ f(x) - x $ quand $ x \to +\infty $ :
  
  $ \lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(1+e^{-x}) $
  
  Comme $ \lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 $, on a $ \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(1+e^{-x}) = \ln(1) = 0 $.
  
  La courbe $ C $ admet donc pour asymptote la droite $ D $ d'équation $ y = x $ au voisinage de $ +\infty $.
2. Pour tout réel $ x \in [0, +\infty [ $, on a $ f(x) - x = \ln(1+e^{-x}) $.
  
  Comme $ 1+e^{-x} > 1 $ pour tout $ x $, on a $ \ln(1+e^{-x}) > 0 $.
  
  On en conclut que la courbe $ C $ est située au-dessus de la droite $ D $ sur l'intervalle $ [0, +\infty [ $.
$ I = \int_{0}^{1} \ln(1+e^{-x}) \text{d}x = \int_{0}^{1} [f(x) - x] \text{d}x $.
1. D'après la question précédente, $ f(x) - x \geqslant 0 $.
  
  $ I $ représente donc l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe $ C $, la droite $ D $ et les droites d'équations $ x=0 $ et $ x=1 $.
2. Soit $ g $ la fonction définie sur $ [0, +\infty [ $ par $ g(t) = \ln(1+t) - t $.
  
  $ g $ est dérivable sur $ [0, +\infty [ $ et $ g'(t) = \dfrac{1}{1+t} - 1 = \dfrac{1-(1+t)}{1+t} = \dfrac{-t}{1+t} $.
  
  Pour $ t > 0 $, $ g'(t) < 0 $, donc $ g $ est strictement décroissante sur $ [0, +\infty [ $.
  
  Comme $ g(0) = \ln(1) - 0 = 0 $, on en déduit que pour tout $ t \geqslant 0 $, $ g(t) \leqslant 0 $, soit :
  
  $ \ln(1+t) \leqslant t $
3. Pour tout $ x \in [0, +\infty [ $, on a $ 0 < e^{-x} \leqslant 1 $.
  
  En utilisant l'inégalité précédente et celle admise dans l'énoncé avec $ t = e^{-x} $, on obtient :
  
  $ \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \leqslant \ln(1+e^{-x}) \leqslant e^{-x} $
4. En intégrant l'encadrement précédent sur l'intervalle $ [0, 1] $ (les fonctions étant continues et $ 0 < 1 $), d'après la PARTIE A, on a :
  
  $ \int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \text{d}x \leqslant \int_{0}^{1} \ln(1+e^{-x}) \text{d}x \leqslant \int_{0}^{1} e^{-x} \text{d}x $
  
  Calculons les intégrales aux bornes :
5. Pour $ \int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \text{d}x $, on reconnaît la forme $ -\dfrac{u'}{u} $ avec $ u(x) = e^{-x}+1 $.
  
  Une primitive est $ P(x) = -\ln(e^{-x}+1) $.
  
  $ \int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \text{d}x = [-\ln(e^{-x}+1)]_0^1 = -\ln(e^{-1}+1) + \ln(2) = \ln\left(\dfrac{2}{1+e^{-1}}\right) $
6. Pour $ \int_{0}^{1} e^{-x} \text{d}x $, une primitive est $ Q(x) = -e^{-x} $.
  
  $ \int_{0}^{1} e^{-x} \text{d}x = [-e^{-x}]_0^1 = -e^{-1} - (-1) = 1 - e^{-1} $
  
  On en déduit l'encadrement :
  
  $ \ln\left(\dfrac{2}{1+e^{-1}}\right) \leqslant I \leqslant 1 - e^{-1} $
7. À l'aide d'une calculatrice, on trouve :
  
  $ \ln\left(\dfrac{2}{1+e^{-1}}\right) \approx 0,38 $ et $ 1 - e^{-1} \approx 0,63 $.
  
  Un encadrement de $ I $ d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux est par exemple :
  
  $ 0,3 \leqslant I \leqslant 0,7 $
La distance $ MN $ est égale à $ f(x) - x = \ln(1+e^{-x}) $.

L'unité graphique est 2 cm, donc 0,5 mm correspond à $ 0,05 / 2 = 0,025 $ unité.

On cherche $ x $ tel que $ \ln(1+e^{-x}) \leqslant 0,025 $.

Résolvons l'équation $ \ln(1+e^{-x}) = 0,025 $ :

$ 1+e^{-x} = e^{0,025} \iff e^{-x} = e^{0,025} - 1 \iff -x = \ln(e^{0,025} - 1) \iff x = -\ln(e^{0,025} - 1) = \ln\left(\dfrac{1}{e^{0,025} - 1}\right) $.

Comme la fonction $ x \mapsto \ln(1+e^{-x}) $ est strictement décroissante sur $ [0, +\infty [ $, l'ensemble des valeurs de $ x $ est :

$ x \geqslant \ln\left(\dfrac{1}{e^{0,025} - 1}\right) $

À la calculatrice, $ \ln\left(\dfrac{1}{e^{0,025} - 1}\right) \approx 3,676 $.

Les points $ M $ et $ N $ sont donc indiscernables pour $ x \geqslant 3,68 $ environ.