Retrouver le rapport d’homothétie à partir des aires

[enonce]
Deux pentagones réguliers sont liés par une homothétie de centre $F$.

Le petit pentagone a un côté de $2$ cm et une aire de $7$ cm².
Le grand pentagone a une aire de $63$ cm².

Deux pentagones réguliers : un petit de côté 2 cm et aire 7 cm², un grand d'aire 63 cm²

Déterminer le rapport d'homothétie, puis calculer le côté et le périmètre du grand pentagone.
[/enonce]

[etape]
Calculer $k^2$, le rapport des aires : [[k2]]
[math id="k2" attendu="9"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$k^2 = \dfrac{\text{Aire du grand}}{\text{Aire du petit}} = \dfrac{63}{7} = 9$.[/reponse]
[reponse motif="56"]$56 = 63 - 7$ : le rapport des aires est un quotient, pas une différence.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{7}{63}"]Le rapport est $\dfrac{\text{Aire image}}{\text{Aire originale}}$. Le grand pentagone est l'image, donc on divise $63$ par $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le rapport des aires est $k^2 = \dfrac{\text{Aire de l'image}}{\text{Aire de l'original}}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$k^2 = \dfrac{\text{Aire du grand pentagone}}{\text{Aire du petit pentagone}}$.[/aide]
[aide essai="3"]$k^2 = \dfrac{63}{7} = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$k^2 = \dfrac{63}{7} = 9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire la valeur de $k$ : [[k]]
[math id="k" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$k = \sqrt{k^2} = \sqrt{9} = 3$.
Le grand pentagone est donc 3 fois plus grand que le petit.[/reponse]
[reponse motif="81"]$81 = 9^2$ : on cherche la racine carrée de $9$, pas son carré.[/reponse]
[reponse motif="4,5"]$4{,}5 = 9 \div 2$ : on ne divise pas par $2$, on prend la racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Si $k^2 = 9$, alors $k$ est le nombre positif dont le carré vaut $9$.[/reponse]
[aide essai="2"]$k = \sqrt{k^2}$. Quel nombre, multiplié par lui-même, donne $9$ ?[/aide]
[aide essai="3"]$\sqrt{9} = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$k = \sqrt{9} = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le périmètre du petit pentagone en cm : [[ppetit]]
[math id="ppetit" attendu="10"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un pentagone régulier a $5$ côtés égaux, donc son périmètre est $5 \times 2 = 10$ cm.[/reponse]
[reponse motif="7"]$7$ cm² est l'aire, pas le périmètre. Le périmètre est la somme des longueurs des côtés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Un pentagone régulier a 5 côtés de même longueur. Le périmètre est la somme de ces côtés.[/reponse]
[aide essai="2"]Un pentagone a $5$ côtés. S'il est régulier, tous les côtés ont la même longueur.[/aide]
[aide essai="3"]Périmètre $= 5 \times 2 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Périmètre du petit pentagone $= 5 \times 2 = 10$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le côté du grand pentagone en cm : [[cgrand]]
[math id="cgrand" attendu="6"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le côté du grand pentagone est $k$ fois celui du petit :
$\text{côté} = k \times 2 = 3 \times 2 = 6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="18"]$18 = 9 \times 2$ : attention, les longueurs sont multipliées par $k = 3$, pas par $k^2 = 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les longueurs sont multipliées par $k$ dans une homothétie.[/reponse]
[aide essai="2"]Côté du grand $= k \times$ côté du petit.[/aide]
[aide essai="3"]Côté du grand $= 3 \times 2 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Côté du grand pentagone $= k \times 2 = 3 \times 2 = 6$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le périmètre du grand pentagone en cm : [[pgrand]]
[math id="pgrand" attendu="30"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Périmètre du grand pentagone $= 5 \times 6 = 30$ cm.
On peut vérifier : $k \times \text{périmètre du petit} = 3 \times 10 = 30$ cm.[/reponse]
[reponse motif="90"]$90 = 9 \times 10$ : le périmètre est une longueur, il est multiplié par $k$, pas par $k^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le périmètre du grand pentagone se calcule à partir du côté trouvé à l'étape précédente.[/reponse]
[aide essai="2"]Périmètre $= 5 \times$ côté du grand pentagone.[/aide]
[aide essai="3"]Périmètre $= 5 \times 6 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Périmètre du grand pentagone $= 5 \times 6 = 30$ cm. Vérification : $3 \times 10 = 30$ cm.
[/solution]
[/etape]

Étoiles filantes et homothéties successives

[enonce]
Noémie décore sa chambre en dessinant des étoiles. Elle commence par une grande étoile d'aire $24$ cm².
Elle en crée ensuite deux réductions par homothéties de même centre $H$ :

L'étoile 2 est l'image de l'étoile 1 par l'homothétie de rapport $k_1 = 0{,}5$.
L'étoile 3 est l'image de l'étoile 1 par l'homothétie de rapport $k_2 = \dfrac{1}{3}$.

Trois étoiles de tailles décroissantes obtenues par homothéties de rapports 0.5 et 1/3

Calculer l'aire de chaque étoile, puis l'aire totale occupée par les trois étoiles.
[/enonce]

[etape]
Calculer $k_1^2$ : [[k1c]]
[math id="k1c" attendu="0,25"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$k_1^2 = 0{,}5^2 = 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25$.[/reponse]
[reponse motif="0,5"]On demande $k_1^2$, c'est-à-dire $k_1 \times k_1$, pas $k_1$ lui-même.[/reponse]
[reponse motif="0,25"]Vérifier la saisie : la réponse attendue est bien $0{,}25$.[/reponse]
[reponse motif="1"]$1 = 0{,}5 \times 2$ : il faut calculer $0{,}5 \times 0{,}5$, pas $0{,}5 \times 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$k_1^2$ signifie $k_1 \times k_1$, c'est-à-dire $0{,}5 \times 0{,}5$.[/reponse]
[aide essai="2"]$k_1^2 = k_1 \times k_1 = 0{,}5 \times 0{,}5$.[/aide]
[aide essai="3"]$0{,}5 \times 0{,}5 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$k_1^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer l'aire de l'étoile 2 en cm² : [[a2]]
[math id="a2" attendu="6"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'aire est multipliée par $k_1^2$ :
Aire(étoile 2) $= 0{,}25 \times 24 = 6$ cm².[/reponse]
[reponse motif="12"]$12 = 0{,}5 \times 24$ : attention, les aires sont multipliées par $k^2$, pas par $k$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'aire de l'image est obtenue en multipliant l'aire de l'original par $k_1^2$.[/reponse]
[aide essai="2"]Aire(étoile 2) $= k_1^2 \times$ Aire(étoile 1).[/aide]
[aide essai="3"]Aire(étoile 2) $= 0{,}25 \times 24 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Aire(étoile 2) $= k_1^2 \times 24 = 0{,}25 \times 24 = 6$ cm².
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $k_2^2$ sous forme de fraction irréductible : [[k2c]]
[math id="k2c" attendu="\dfrac{1}{9}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$k_2^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1^2}{3^2} = \dfrac{1}{9}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{3}"]On demande $k_2^2$, pas $k_2$. Il faut mettre $\dfrac{1}{3}$ au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$k_2^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2$ : on met le numérateur et le dénominateur au carré.[/reponse]
[aide essai="2"]$\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 = \dfrac{a^2}{b^2}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$.[/aide]
[/math]
[solution]
$k_2^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer l'aire de l'étoile 3 sous forme de fraction irréductible : [[a3]]
[math id="a3" attendu="\dfrac{8}{3}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Aire(étoile 3) $= k_2^2 \times 24 = \dfrac{1}{9} \times 24 = \dfrac{24}{9} = \dfrac{8}{3}$ cm².[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible. Simplifier par le PGCD du numérateur et du dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="8"]$8 = \dfrac{1}{3} \times 24$ : attention, on multiplie par $k_2^2 = \dfrac{1}{9}$, pas par $k_2 = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Aire(étoile 3) $= k_2^2 \times$ Aire(étoile 1). Penser à simplifier la fraction obtenue.[/reponse]
[aide essai="2"]Aire(étoile 3) $= \dfrac{1}{9} \times 24 = \dfrac{24}{9}$. Simplifier cette fraction.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{24}{9}$ : le PGCD de $24$ et $9$ est $3$, donc $\dfrac{24 \div 3}{9 \div 3} = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Aire(étoile 3) $= \dfrac{1}{9} \times 24 = \dfrac{24}{9} = \dfrac{8}{3}$ cm².
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer l'aire totale des trois étoiles sous forme de fraction irréductible : [[atot]]
[math id="atot" attendu="\dfrac{98}{3}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Aire totale $= 24 + 6 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{72}{3} + \dfrac{18}{3} + \dfrac{8}{3} = \dfrac{98}{3}$ cm².[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="38"]La somme $24 + 6 + 8 = 38$ ne prend pas en compte que l'aire de l'étoile 3 est $\dfrac{8}{3}$ et non $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Additionner les trois aires en mettant au même dénominateur.[/reponse]
[aide essai="2"]Aire totale $= 24 + 6 + \dfrac{8}{3}$. Mettre $24$ et $6$ au dénominateur $3$.[/aide]
[aide essai="3"]$24 = \dfrac{72}{3}$ et $6 = \dfrac{18}{3}$. Additionner les trois fractions.[/aide]
[/math]
[solution]
Aire totale $= 24 + 6 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{72 + 18 + 8}{3} = \dfrac{98}{3}$ cm².
[/solution]
[/etape]

[etape]
Donner un arrondi au dixième de l'aire totale en cm² : [[arrondi]]
[math id="arrondi" attendu="32,7"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\dfrac{98}{3} = 32{,}666\ldots \approx 32{,}7$ cm².[/reponse]
[reponse motif="32,6"]$\dfrac{98}{3} = 32{,}666\ldots$ Le chiffre des centièmes est $6 \geqslant 5$, donc on arrondit au-dessus.[/reponse]
[reponse motif="33"]$33$ est l'arrondi à l'unité. On demande l'arrondi au dixième (un chiffre après la virgule).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Effectuer la division $98 \div 3$, puis arrondir au dixième.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{98}{3} = 32{,}666\ldots$ Quel est l'arrondi au dixième ?[/aide]
[aide essai="3"]$32{,}666\ldots$ : le chiffre des centièmes est $6 \geqslant 5$, donc on arrondit le $6$ des dixièmes à $\ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{98}{3} \approx 32{,}7$ cm².
[/solution]
[/etape]

Aire d’un rectangle agrandi par homothétie

[enonce]
Un rectangle $ABCD$ a pour longueur $AB = 5$ cm et pour largeur $BC = 3$ cm.
On applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$ pour obtenir le rectangle image $A'B'C'D'$.

Rectangle ABCD de dimensions 5 cm par 3 cm et son image A'B'C'D' agrandie par homothétie de rapport 2

Calculer les dimensions et l'aire du rectangle image $A'B'C'D'$.
[/enonce]

[etape]
Par quel nombre l'aire est-elle multipliée lors de cette homothétie de rapport $k = 2$ ? [[k2]]
[math id="k2" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les aires sont multipliées par $k^2 = 2^2 = 4$ dans une homothétie de rapport $k$.[/reponse]
[reponse motif="2"]Attention, les longueurs sont multipliées par $k$, mais les aires sont multipliées par $k^2$.[/reponse]
[reponse motif="8"]$8 = 2^3$ correspond au coefficient des volumes, pas des aires. Pour les aires, c'est $k^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Dans une homothétie de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$.[/reponse]
[aide essai="2"]Les longueurs sont multipliées par $k$ et les aires par $k^2$.[/aide]
[aide essai="3"]$k^2 = 2^2 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Le coefficient multiplicateur des aires est $k^2 = 2^2 = 4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $A'B'$ en cm : [[ab]]
[math id="ab" attendu="10"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$A'B' = k \times AB = 2 \times 5 = 10$ cm.[/reponse]
[reponse motif="20"]$20 = 4 \times 5$ : attention, les longueurs sont multipliées par $k$, pas par $k^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les longueurs sont multipliées par $k$ dans une homothétie.[/reponse]
[aide essai="2"]$A'B' = k \times AB$.[/aide]
[aide essai="3"]$A'B' = 2 \times 5 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$A'B' = k \times AB = 2 \times 5 = 10$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la largeur $B'C'$ en cm : [[bcp]]
[math id="bcp" attendu="6"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$B'C' = k \times BC = 2 \times 3 = 6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="12"]$12 = 4 \times 3$ : on utilise $k$ pour les longueurs, pas $k^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Même raisonnement que pour $A'B'$ : multiplier $BC$ par $k$.[/reponse]
[aide essai="2"]$B'C' = k \times BC$.[/aide]
[aide essai="3"]$B'C' = 2 \times 3 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$B'C' = k \times BC = 2 \times 3 = 6$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer l'aire du rectangle initial $ABCD$ en cm² : [[a1]]
[math id="a1" attendu="15"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Aire de $ABCD = AB \times BC = 5 \times 3 = 15$ cm².[/reponse]
[reponse motif="16"]Le périmètre du rectangle est $2 \times (5 + 3) = 16$ cm. Ici on demande l'aire, pas le périmètre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur.[/reponse]
[aide essai="2"]Aire $=$ longueur $\times$ largeur.[/aide]
[aide essai="3"]Aire $= 5 \times 3 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Aire de $ABCD = 5 \times 3 = 15$ cm².
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer l'aire du rectangle image $A'B'C'D'$ en cm² : [[a2]]
[math id="a2" attendu="60"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On peut calculer de deux manières :
$\text{Aire}(A'B'C'D') = k^2 \times \text{Aire}(ABCD) = 4 \times 15 = 60$ cm²
Ou directement : $A'B' \times B'C' = 10 \times 6 = 60$ cm².[/reponse]
[reponse motif="30"]$30 = 2 \times 15$ : attention, l'aire est multipliée par $k^2 = 4$, pas par $k = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser le coefficient multiplicateur des aires calculé à la première étape, ou bien multiplier les nouvelles dimensions.[/reponse]
[aide essai="2"]Aire$(A'B'C'D') = k^2 \times$ Aire$(ABCD)$, ou bien Aire $= A'B' \times B'C'$.[/aide]
[aide essai="3"]Aire$(A'B'C'D') = 4 \times 15 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Aire$(A'B'C'D') = k^2 \times 15 = 4 \times 15 = 60$ cm². On vérifie : $10 \times 6 = 60$ cm².
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Transformations et homothéties

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : reconnaissance des transformations, calcul de longueurs et d'aires, lien avec le théorème de Thalès et propriétés de conservation. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Dans la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(B'C')$ sont parallèles. Le point $A$ est le centre d'une homothétie qui transforme le triangle $ABC$ en triangle $AB'C'$. On donne $AB = 4$ cm et $AB' = 10$ cm.

Configuration de Thalès en triangles emboîtés : triangle ABC petit et triangle AB'C' grand, avec A comme sommet commun et les bases parallèles

Quel est le rapport $k$ de cette homothétie ?
[qcm]
[option]$k = 6$[/option]
[option]$k = 0{,}4$[/option]
[option correct="true"]$k = 2{,}5$[/option]
[option]$k = -2{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le rapport est $k = \dfrac{AB'}{AB} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$.
Les points $B$ et $B'$ sont du même côté de $A$ (configuration de triangles emboîtés), donc $k > 0$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 6$"]Non.
L'erreur est de soustraire au lieu de diviser : $10 - 4 = 6$.
Le rapport d'une homothétie est un quotient : $k = \dfrac{AB'}{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 0{,}4$"]Non.
L'erreur est d'inverser le rapport : $\dfrac{AB}{AB'} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$.
C'est le triangle $ABC$ qui est transformé en $AB'C'$, donc $k = \dfrac{AB'}{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$k = -2{,}5$"]Non.
La valeur absolue $2{,}5$ est correcte, mais le signe est faux.
Dans une configuration de triangles emboîtés, les points sont du même côté du centre, donc $k > 0$. Un rapport négatif correspondrait à une configuration « papillon ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$k = \dfrac{AB'}{AB} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$. Le rapport est positif car les points sont du même côté de $A$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On applique successivement deux homothéties de même centre $O$ : la première de rapport $k_1 = 2$, puis la seconde de rapport $k_2 = 3$.

Trois triangles emboîtés : un petit triangle bleu, un triangle moyen vert (image par k1 égal 2) et un grand triangle rouge (image par k2 égal 3)

Quel rapport unique donnerait le même résultat que ces deux homothéties successives ?
[qcm]
[option]$k = 5$[/option]
[option correct="true"]$k = 6$[/option]
[option]$k = 9$[/option]
[option]$k = \dfrac{3}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Quand on compose deux homothéties de même centre, les rapports se multiplient :
$k = k_1 \times k_2 = 2 \times 3 = 6$.
Les longueurs sont d'abord doublées, puis triplées, donc multipliées par $6$ au total.[/reponse]
[reponse motif="$k = 5$"]Non.
L'erreur est d'additionner les rapports au lieu de les multiplier : $2 + 3 = 5$.
Les rapports se composent par multiplication, pas par addition.[/reponse]
[reponse motif="$k = 9$"]Non.
L'erreur est de calculer $k_2^2 = 3^2 = 9$ au lieu de $k_1 \times k_2$.
Deux homothéties successives de même centre se composent en multipliant leurs rapports.[/reponse]
[reponse motif="$k = \dfrac{3}{2}$"]Non.
L'erreur est de diviser les rapports au lieu de les multiplier : $\dfrac{3}{2}$.
La composition de deux homothéties de même centre donne un rapport $k_1 \times k_2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le rapport composé est $k_1 \times k_2 = 2 \times 3 = 6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un triangle a une aire de $18$ cm². Son image par une homothétie a une aire de $2$ cm².

Grand triangle bleu d'aire 18 cm² et petit triangle rouge d'aire 2 cm², image par homothétie

Quelle est la valeur de $|k|$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{9}$[/option]
[option]$9$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule d'abord $k^2$ :
$k^2 = \dfrac{\text{aire image}}{\text{aire originale}} = \dfrac{2}{18} = \dfrac{1}{9}$
Puis $|k| = \sqrt{\dfrac{1}{9}} = \dfrac{1}{3}$.
C'est bien une réduction puisque $|k| < 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{9}$"]Non.
$\dfrac{1}{9}$ est la valeur de $k^2$, pas de $|k|$.
Il faut prendre la racine carrée de $k^2$ pour obtenir $|k|$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
L'erreur est d'inverser le rapport des aires : $\dfrac{18}{2} = 9$.
L'image a une aire de $2$ cm², l'original a une aire de $18$ cm², donc $k^2 = \dfrac{2}{18}$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
L'erreur est d'inverser le rapport : $3$ au lieu de $\dfrac{1}{3}$.
L'image est plus petite que l'original, donc $|k| < 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$k^2 = \dfrac{2}{18} = \dfrac{1}{9}$, donc $|k| = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Après une homothétie, l'aire d'une figure a été multipliée par $4$.

Petit losange bleu et grand losange rouge, avec une indication que l'aire a été multipliée par 4

Par combien les longueurs ont-elles été multipliées ?
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option]$16$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si l'aire est multipliée par $4$, alors $k^2 = 4$, donc $|k| = \sqrt{4} = 2$.
Les longueurs sont multipliées par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Attention, $4$ est le coefficient des aires ($k^2$), pas celui des longueurs ($|k|$).
Pour trouver le coefficient des longueurs, il faut prendre la racine carrée : $|k| = \sqrt{k^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
L'erreur est d'élever encore au carré : $4^2 = 16$.
C'est l'opération inverse qu'il faut faire : $|k| = \sqrt{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
L'erreur est de confondre avec le coefficient des volumes.
Les volumes seraient multipliés par $|k|^3 = 2^3 = 8$, mais ici on cherche $|k|$ lui-même.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$k^2 = 4$, donc $|k| = \sqrt{4} = 2$. Les longueurs sont multipliées par $2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans la figure « papillon » ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(B'C')$ sont parallèles. Le point $A$ est le centre de l'homothétie. On donne $AB = 3$ cm et $AB' = 6$ cm.

Configuration papillon : le point A est entre les triangles ABC et A'B'C', les droites BC et B'C' sont parallèles

Quel est le rapport $k$ de cette homothétie ?
[qcm]
[option]$k = 2$[/option]
[option correct="true"]$k = -2$[/option]
[option]$k = -\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$k = \dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le rapport des distances est $\dfrac{AB'}{AB} = \dfrac{6}{3} = 2$.
Dans une configuration papillon, les points sont de part et d'autre du centre $A$, donc le rapport est négatif : $k = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 2$"]Non.
La valeur absolue $2$ est correcte, mais le signe est faux.
Dans une configuration papillon, $B$ et $B'$ sont de part et d'autre de $A$, ce qui impose un rapport négatif.[/reponse]
[reponse motif="$k = -\dfrac{1}{2}$"]Non.
Le signe négatif est correct (configuration papillon), mais la valeur absolue est inversée.
$B'$ est plus éloigné de $A$ que $B$, donc $|k| = \dfrac{AB'}{AB} = \dfrac{6}{3} = 2 > 1$.[/reponse]
[reponse motif="$k = \dfrac{1}{2}$"]Non.
L'erreur est d'inverser le rapport et d'oublier le signe négatif.
$B'$ est deux fois plus loin de $A$ que $B$, et les points sont de part et d'autre du centre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$k = -\dfrac{AB'}{AB} = -\dfrac{6}{3} = -2$. Le signe est négatif car c'est une configuration papillon.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le carré $A'B'C'D'$ est l'image du carré $ABCD$ par une homothétie. On sait que le périmètre du carré image est $24$ cm et que le côté du carré original mesure $2$ cm.

Petit carré bleu de côté 2 cm et grand carré rouge de périmètre 24 cm, reliés par une flèche d'homothétie

Quelle est la valeur de $|k|$ ?
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option]$6$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le côté du carré image est $\dfrac{24}{4} = 6$ cm (un carré a 4 côtés égaux).
Le rapport est $|k| = \dfrac{\text{côté image}}{\text{côté original}} = \dfrac{6}{2} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
L'erreur est de diviser le périmètre par le côté original : $\dfrac{24}{2} = 12$.
Il faut d'abord retrouver le côté de l'image ($\dfrac{24}{4}$), puis diviser par le côté original.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ cm est le côté du carré image ($\dfrac{24}{4} = 6$), pas le rapport $|k|$.
Il reste une étape : diviser le côté de l'image par le côté de l'original pour obtenir $|k|$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
L'erreur est de confondre $|k|$ et $k^2$.
Ici $|k| = 3$ et $k^2 = 9$. Le coefficient $9$ s'applique aux aires, pas aux longueurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Côté image $= \dfrac{24}{4} = 6$ cm. Rapport $|k| = \dfrac{6}{2} = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Aires et propriétés des homothéties

[enonce]
Ce QCM porte sur les aires, volumes et propriétés de conservation des homothéties. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Un triangle a une aire de $12$ cm². On le transforme par une homothétie de rapport $k = 3$.

Petit triangle bleu et grand triangle rouge, avec une flèche indiquant le rapport k égal 3

Quelle est l'aire du triangle image ?
[qcm]
[option]$36$ cm²[/option]
[option correct="true"]$108$ cm²[/option]
[option]$324$ cm²[/option]
[option]$15$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les aires sont multipliées par $k^2$, pas par $k$.
$k^2 = 3^2 = 9$, donc l'aire de l'image est $12 \times 9 = 108$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm²"]Non.
L'erreur classique est de multiplier l'aire par $k = 3$ au lieu de $k^2 = 9$.
Le coefficient $k$ s'applique aux longueurs, mais pour les aires il faut utiliser $k^2$.[/reponse]
[reponse motif="$324$ cm²"]Non.
L'erreur est d'utiliser $k^3 = 27$ au lieu de $k^2 = 9$.
Le coefficient $k^3$ s'applique aux volumes, pas aux aires. Pour les aires, c'est $k^2$.[/reponse]
[reponse motif="$15$ cm²"]Non.
L'erreur est d'ajouter $k$ à l'aire : $12 + 3 = 15$.
Les aires sont multipliées par un coefficient, pas augmentées d'un nombre. Ce coefficient est $k^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'aire est multipliée par $k^2 = 9$ : $12 \times 9 = 108$ cm².[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ a un angle $\widehat{BAC} = 60^{\circ}$. Le triangle $A'B'C'$ est son image par une homothétie de rapport $k = 2$.

Triangle ABC avec un angle de 60 degrés en A, et son image agrandie A'B'C' par homothétie de rapport 2

Combien mesure l'angle $\widehat{B'A'C'}$ ?
[qcm]
[option]$120^{\circ}$[/option]
[option]$30^{\circ}$[/option]
[option correct="true"]$60^{\circ}$[/option]
[option]$240^{\circ}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'homothétie conserve les mesures d'angles.
L'angle $\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} = 60^{\circ}$, quel que soit le rapport $k$.[/reponse]
[reponse motif="$120^{\circ}$"]Non.
L'erreur est de multiplier l'angle par $k = 2$ : $60 \times 2 = 120$.
L'homothétie ne modifie pas les angles. Le coefficient $k$ s'applique aux longueurs, pas aux mesures d'angles.[/reponse]
[reponse motif="$30^{\circ}$"]Non.
L'erreur est de diviser l'angle par $k = 2$ : $60 \div 2 = 30$.
L'homothétie conserve les mesures d'angles : l'angle image est identique à l'angle original.[/reponse]
[reponse motif="$240^{\circ}$"]Non.
L'erreur est d'appliquer $k^2 = 4$ à l'angle : $60 \times 4 = 240$.
Le coefficient $k^2$ s'applique aux aires, pas aux angles. L'homothétie conserve les angles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'homothétie conserve les mesures d'angles. $\widehat{B'A'C'} = 60^{\circ}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un carré a une aire de $16$ cm². Après une homothétie, l'aire du carré image vaut $144$ cm².

Petit carré bleu et grand carré rouge, le petit a une aire de 16 cm² et le grand de 144 cm²

Quelle est la valeur de $|k|$ ?
[qcm]
[option]$9$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$12$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On sait que les aires sont multipliées par $k^2$.
$k^2 = \dfrac{144}{16} = 9$, donc $|k| = \sqrt{9} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ est la valeur de $k^2$, pas de $|k|$.
Il faut prendre la racine carrée : $|k| = \sqrt{k^2} = \sqrt{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
L'erreur est de prendre $\sqrt{\text{aire image}} = \sqrt{144} = 12$ sans tenir compte de l'aire d'origine.
Le rapport se calcule avec le quotient des aires : $k^2 = \dfrac{144}{16}$, puis $|k| = \sqrt{k^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
L'erreur est d'inverser le rapport : $\dfrac{1}{3}$ au lieu de $3$.
Le carré image est plus grand que l'original, donc $|k| > 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$k^2 = \dfrac{144}{16} = 9$, donc $|k| = \sqrt{9} = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un cube a une arête de $3$ cm. On le transforme par une homothétie de rapport $k = 2$.

Petit cube bleu avec arête 3 cm et grand cube rouge, image par homothétie de rapport 2

Quel est le volume du cube image ?
[qcm]
[option]$54$ cm³[/option]
[option]$108$ cm³[/option]
[option correct="true"]$216$ cm³[/option]
[option]$6$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'arête du cube image est $3 \times 2 = 6$ cm.
Le volume du cube image est $6^3 = 216$ cm³.
On retrouve bien $k^3 \times V = 8 \times 27 = 216$ cm³ (les volumes sont multipliés par $|k|^3$).[/reponse]
[reponse motif="$54$ cm³"]Non.
L'erreur est de multiplier le volume par $k = 2$ au lieu de $k^3 = 8$ : $27 \times 2 = 54$.
Pour les volumes, le coefficient multiplicateur est $|k|^3$, pas $|k|$.[/reponse]
[reponse motif="$108$ cm³"]Non.
L'erreur est de multiplier le volume par $k^2 = 4$ au lieu de $k^3 = 8$ : $27 \times 4 = 108$.
Le coefficient $k^2$ s'applique aux aires. Pour les volumes, c'est $|k|^3$.[/reponse]
[reponse motif="$6$ cm³"]Non.
$6$ cm correspond à l'arête du cube image ($3 \times 2$), pas à son volume.
Le volume d'un cube d'arête $a$ est $a^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le volume est multiplié par $|k|^3 = 2^3 = 8$ : $27 \times 8 = 216$ cm³.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un rectangle a un périmètre de $20$ cm et une aire de $24$ cm². On le transforme par une homothétie de rapport $k = 3$.

Petit rectangle bleu avec indications de périmètre et d'aire, et grand rectangle rouge image par homothétie

Quelle est l'aire du rectangle image ?
[qcm]
[option]$72$ cm²[/option]
[option]$60$ cm²[/option]
[option correct="true"]$216$ cm²[/option]
[option]$180$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'aire est multipliée par $k^2 = 3^2 = 9$.
Aire image $= 24 \times 9 = 216$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$72$ cm²"]Non.
L'erreur est de multiplier l'aire par $k = 3$ au lieu de $k^2 = 9$ : $24 \times 3 = 72$.
Le coefficient des longueurs est $|k|$, mais celui des aires est $k^2$.[/reponse]
[reponse motif="$60$ cm²"]Non.
L'erreur est de confondre périmètre et aire : $20 \times 3 = 60$ correspond au périmètre image, pas à l'aire.
Pour l'aire, on multiplie par $k^2 = 9$.[/reponse]
[reponse motif="$180$ cm²"]Non.
L'erreur est d'appliquer le coefficient des aires ($k^2 = 9$) au périmètre : $20 \times 9 = 180$.
C'est l'aire de $24$ cm² qu'il faut multiplier par $k^2 = 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'aire est multipliée par $k^2 = 9$ : $24 \times 9 = 216$ cm².[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère deux droites parallèles $(d_1)$ et $(d_2)$. On leur applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$.

Deux droites parallèles d1 et d2, et un point O situé en dehors des deux droites

Que peut-on dire des droites images $(d_1')$ et $(d_2')$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$(d_1')$ et $(d_2')$ sont parallèles[/option]
[option]$(d_1')$ et $(d_2')$ sont perpendiculaires[/option]
[option]$(d_1')$ et $(d_2')$ sont sécantes[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître $k$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'homothétie conserve le parallélisme : l'image de deux droites parallèles est toujours deux droites parallèles.
De plus, chaque droite image est parallèle à la droite d'origine.[/reponse]
[reponse motif="$(d_1')$ et $(d_2')$ sont perpendiculaires"]Non.
L'homothétie ne modifie pas les angles entre les droites.
Si deux droites sont parallèles (angle de 0°), leurs images restent parallèles.[/reponse]
[reponse motif="$(d_1')$ et $(d_2')$ sont sécantes"]Non.
L'homothétie conserve le parallélisme.
Si deux droites sont parallèles, leurs images le sont aussi, elles ne se coupent pas.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître $k$"]Non.
La conservation du parallélisme est vraie quel que soit le rapport $k$.
C'est une propriété fondamentale de l'homothétie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'homothétie conserve le parallélisme : les images de deux droites parallèles sont toujours parallèles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Homothéties — Cas avancés et lien avec Thalès

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les homothéties, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère la configuration de Thalès ci-dessous, avec les droites $(BC)$ et $(B'C')$ parallèles.

Configuration de Thalès en triangles emboîtés avec centre A

Affirmation : Cette configuration de Thalès en « triangles emboîtés » correspond à une homothétie de rapport positif.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Dans la configuration « triangles emboîtés », les points $B$ et $B'$ sont du même côté par rapport au centre $A$.
Le rapport $k = \dfrac{AB'}{AB}$ est donc positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans la configuration « triangles emboîtés », les points image ($B'$, $C'$) sont du même côté que les points d'origine ($B$, $C$) par rapport au centre $A$.
Le rapport est positif car $k = \dfrac{AB'}{AB} > 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Dans la configuration « triangles emboîtés », les points sont du même côté du centre, donc le rapport est positif.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On agrandit un cube de côté 2 cm par une homothétie de rapport $k = 3$.

Affirmation : Le volume du cube image est multiplié par 9.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les volumes sont multipliés par $|k|^3$, pas par $k^2$.
Ici $|k|^3 = 3^3 = 27$. Le volume initial est $2^3 = 8$ cm$^3$ et le volume image est $6^3 = 216$ cm$^3$.
On vérifie : $216 = 8 \times 27$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, il ne faut pas confondre le coefficient des aires ($k^2$) et celui des volumes ($|k|^3$).
Les volumes sont multipliés par $|k|^3 = 3^3 = 27$, et non par $k^2 = 9$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les volumes sont multipliés par $|k|^3 = 27$, et non par $k^2 = 9$.

Cube de côté 2 cm et son image de côté 6 cm par homothétie de rapport 3

[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère un segment $[AB]$ de milieu $M$. On applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$. On note $A'$, $B'$ et $M'$ les images respectives de $A$, $B$ et $M$.

Affirmation : $M'$ est le milieu du segment $[A'B']$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'homothétie conserve les rapports de distances sur une droite.
Puisque $M$ est le milieu de $[AB]$ (soit $AM = MB$), son image $M'$ est le milieu de $[A'B']$ (soit $A'M' = M'B'$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'homothétie conserve l'alignement et les rapports de distances.
Si $AM = MB$ dans la figure d'origine, alors $A'M' = M'B'$ dans l'image : le milieu reste le milieu.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'homothétie conserve les rapports de distances : le milieu d'un segment est transformé en le milieu du segment image.

Segment AB de milieu M et son image A'B' de milieu M' par homothétie de rapport 2

[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si le rapport d'une homothétie est $k = -3$, alors les aires des figures images sont multipliées par $-9$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les aires sont multipliées par $k^2 = (-3)^2 = 9$.
Puisque $k^2$ est toujours positif (c'est un carré), le coefficient des aires ne peut jamais être négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de croire que le signe négatif se retrouve dans le calcul des aires.
Les aires sont multipliées par $k^2 = (-3)^2 = 9$ et non par $-9$. Une aire est toujours positive.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les aires sont multipliées par $k^2 = (-3)^2 = 9$. Le coefficient est toujours positif car c'est un carré.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans une configuration de Thalès dite « papillon », le rapport de l'homothétie est négatif.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans la configuration « papillon », le centre $O$ est situé entre les points d'origine et leurs images.
Les points image sont de l'autre côté de $O$, ce qui correspond à un rapport négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans la configuration « papillon », le centre $O$ sépare les points d'origine et leurs images : $P$ et $P'$ sont de part et d'autre de $O$.
C'est exactement la définition d'un rapport négatif : l'image est de l'autre côté du centre.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Dans la configuration « papillon », les points image sont de l'autre côté du centre, ce qui correspond à un rapport négatif.

Configuration papillon avec centre O entre les segments PQ et P'Q'

[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si l'aire d'une figure image est 4 fois celle de la figure d'origine, alors le rapport de l'homothétie est forcément $k = 2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les aires sont multipliées par $k^2$, donc $k^2 = 4$, ce qui donne $k = 2$ ou $k = -2$.
Le rapport n'est pas forcément $k = 2$ : il peut aussi valoir $k = -2$ (même agrandissement, mais avec retournement).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'oublier que le rapport peut aussi être négatif.
Les aires sont multipliées par $k^2$, donc $k^2 = 4$, ce qui donne $k = 2$ ou $k = -2$. Le mot « forcément » rend l'affirmation fausse car on ne peut pas exclure $k = -2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Si l'aire est multipliée par 4, alors $k^2 = 4$, donc $k = 2$ ou $k = -2$. Le rapport n'est pas forcément positif.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Longueurs et aires dans les homothéties

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les longueurs et les aires dans les homothéties, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère un segment $[AB]$ avec $AB = 5$ cm. On applique l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 3$.

Affirmation : $A'B' = 15$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Les longueurs sont multipliées par $|k| = 3$.
Donc $A'B' = 3 \times 5 = 15$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans une homothétie de rapport $k$, toutes les longueurs sont multipliées par $|k|$.
Ici $A'B' = |3| \times 5 = 15$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les longueurs sont multipliées par $|k| = 3$, donc $A'B' = 3 \times 5 = 15$ cm.

Segment AB de 5 cm et son image A'B' de 15 cm par homothétie de rapport 3

[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère un carré $ABCD$ de côté 4 cm et son image $A'B'C'D'$ par une homothétie de rapport $k = 2$.

Affirmation : L'aire du carré image $A'B'C'D'$ est de 32 cm$^2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le côté de l'image est $4 \times 2 = 8$ cm, donc l'aire est $8^2 = 64$ cm$^2$.
L'erreur serait de multiplier l'aire d'origine ($16$ cm$^2$) par $k = 2$ au lieu de $k^2 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, les aires ne sont pas multipliées par $k$ mais par $k^2$.
Le côté de l'image vaut $4 \times 2 = 8$ cm, donc l'aire vaut $8^2 = 64$ cm$^2$ (et non $16 \times 2 = 32$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'aire est multipliée par $k^2 = 4$, pas par $k = 2$. L'aire de l'image vaut $16 \times 4 = 64$ cm$^2$.

Carré de côté 4 cm et son image de côté 8 cm par homothétie de rapport 2

[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère un cercle de centre $C$ et de rayon 6 cm, et son image par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 0{,}5$.

Affirmation : Le rayon du cercle image est de 3 cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le rayon est une longueur, il est donc multiplié par $|k| = 0{,}5$.
On obtient $6 \times 0{,}5 = 3$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le rayon d'un cercle est une longueur comme les autres.
Dans une homothétie de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $|k|$, donc le rayon image vaut $6 \times 0{,}5 = 3$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le rayon est multiplié par $|k| = 0{,}5$, donc le rayon image vaut $6 \times 0{,}5 = 3$ cm.

Cercle de rayon 6 cm et son image de rayon 3 cm par homothétie de rapport 0.5

[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si les longueurs d'une figure sont multipliées par 3 dans une homothétie, alors son aire est aussi multipliée par 3.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les longueurs sont multipliées par $|k| = 3$, mais les aires sont multipliées par $k^2 = 9$.
L'aire d'une figure dépend du produit de deux longueurs, d'où le carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre le coefficient des longueurs et celui des aires.
Les aires sont multipliées par $k^2$, pas par $k$. Ici, $k^2 = 3^2 = 9$ : l'aire est multipliée par 9.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les aires sont multipliées par $k^2 = 9$, pas par $k = 3$. L'aire dépend du produit de deux dimensions.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'image d'un segment de 8 cm par une homothétie de rapport $k = -2$ a une longueur de 16 cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les longueurs sont multipliées par $|k| = |-2| = 2$.
Donc l'image mesure $8 \times 2 = 16$ cm. Le signe négatif n'affecte que la position de l'image, pas sa taille.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : c'est la valeur absolue $|k|$ qui intervient dans le calcul des longueurs.
$|k| = |-2| = 2$, donc la longueur de l'image est $8 \times 2 = 16$ cm. Une longueur est toujours positive.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les longueurs sont multipliées par $|k| = 2$, donc $8 \times 2 = 16$ cm. Le signe négatif ne change pas la taille.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si le rapport d'une homothétie est $k = 0{,}5$, alors les aires sont divisées par 2.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les aires sont multipliées par $k^2 = (0{,}5)^2 = 0{,}25$, ce qui revient à diviser par 4.
Par exemple, une aire de 20 cm$^2$ donne une image d'aire $20 \times 0{,}25 = 5$ cm$^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre le coefficient des longueurs et celui des aires.
Les longueurs sont bien divisées par 2, mais les aires sont multipliées par $k^2 = 0{,}25$, donc divisées par 4.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les aires sont multipliées par $k^2 = 0{,}25$ (divisées par 4), et non par $k = 0{,}5$ (divisées par 2).
[/solution]
[/etape]

Aire d’une affiche réduite par homothétie

Une imprimerie réduit une affiche publicitaire rectangulaire par une homothétie de rapport $k = 0{,}5$.
L'affiche originale mesure 120 cm de large et 80 cm de haut.

Calculer les dimensions de l'affiche réduite.
Calculer l'aire de l'affiche originale en cm².
Calculer l'aire de l'affiche réduite de deux manières différentes :
1. En utilisant les dimensions trouvées à la question 1.
2. En utilisant la propriété des homothéties sur les aires.

Corrigé

On multiplie chaque longueur par $|k| = 0{,}5$.

Largeur de l'affiche réduite :

$120 \times 0{,}5 = $ 60 cm

Hauteur de l'affiche réduite :

$80 \times 0{,}5 = $ 40 cm
L'aire de l'affiche originale vaut :

$120 \times 80 = $ $9\,600$ cm²
1. En utilisant les dimensions de l'affiche réduite :
  
  $60 \times 40 = $ $2\,400$ cm²
2. On calcule le coefficient multiplicateur des aires :
  $k^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$
  L'aire de l'affiche réduite vaut :
  
  $9\,600 \times 0{,}25 = $ $2\,400$ cm²

Pour réviser : Calculer une aire après un agrandissement ou une réduction

Agrandir un fanion par homothétie

Un club sportif souhaite agrandir un fanion triangulaire pour le suspendre dans le gymnase. Le fanion agrandi est obtenu par une homothétie de rapport $k = 3$.

Le fanion original est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 cm et 4 cm.

Calculer les longueurs des côtés de l'angle droit du fanion agrandi.
Calculer l'hypoténuse du fanion original, puis celle du fanion agrandi.
Calculer l'aire du fanion original, puis en déduire l'aire du fanion agrandi.

Corrigé

On multiplie chaque longueur par $|k| = 3$.

Premier côté :

$3 \times 3 = $ 9 cm

Deuxième côté :

$4 \times 3 = $ 12 cm
On calcule l'hypoténuse du fanion original avec le théorème de Pythagore :
$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = $ 5 cm

L'hypoténuse du fanion agrandi vaut :

$5 \times 3 = $ 15 cm
L'aire du fanion original vaut :

$\dfrac{3 \times 4}{2} = $ 6 cm²

Les aires sont multipliées par $k^2 = 3^2 = 9$, donc l'aire du fanion agrandi vaut :

$6 \times 9 = $ 54 cm²

Pour réviser : Calculer des longueurs dans une homothétie