Agrandir ou réduire une figure
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Créer un compte1. Connaître l'effet du coefficient k
Longueurs, aires et volumes
Dans un agrandissement ou une réduction de coefficient $k$ (avec $k > 0$) :
- Longueurs : on multiplie chaque longueur par $k$.
- Aires : on multiplie chaque aire par $k^2$.
- Volumes : on multiplie chaque volume par $k^3$.
Les angles sont conservés. Si $k > 1$, la figure est agrandie ; si $0 < k < 1$, elle est réduite.
Exemple
Un rectangle mesure $6$ cm sur $4$ cm. On l'agrandit avec un coefficient $k = 2{,}5$. Quelles sont les dimensions et l'aire du rectangle agrandi ?
Longueurs : $6 \times 2{,}5 = 15$ cm et $4 \times 2{,}5 = 10$ cm.
Aire : l'aire de départ est $6 \times 4 = 24$ cm². L'aire agrandie est multipliée par $k^2$ :
$24 \times 2{,}5^2 = 24 \times 6{,}25 = 150$ cm².
On retrouve bien $15 \times 10 = 150$ cm².
2. Calculer le coefficient
Trouver k à partir de deux longueurs
Le coefficient $k$ est le quotient d'une longueur de la figure d'arrivée par la longueur correspondante de la figure de départ :
Exemple
Un segment de $8$ cm devient un segment de $2$ cm après une réduction. Calculer le coefficient $k$.
$k = \dfrac{2}{8} = 0{,}25$
Comme $0{,}25 < 1$, il s'agit bien d'une réduction.
Exemple
Le volume d'un solide est multiplié par $8$ lors d'un agrandissement. Par combien sont multipliées ses longueurs ?
Le volume est multiplié par $k^3$. On cherche le nombre dont le cube vaut $8$.
Comme $2^3 = 8$, on a $k = 2$ : les longueurs sont multipliées par $2$.
Attention
Le piège le plus fréquent est de multiplier l'aire par $k$ au lieu de $k^2$ (ou le volume par $k$ au lieu de $k^3$). Le coefficient $k$ ne s'applique directement qu'aux longueurs.