Étudier la parité d’une fonction
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Pour déterminer si une fonction $ f $ est paire, impaire ou ni l'une ni l'autre, on procède toujours dans le même ordre :
- Étape 1 — Vérifier l'ensemble de définition : s'assurer que $ D_f $ est symétrique par rapport à $ 0 $ (c'est-à-dire que si $ x \in D_f $, alors $ -x \in D_f $). Si ce n'est pas le cas, la fonction n'est ni paire ni impaire et l'étude s'arrête là.
- Étape 2 — Calculer $ f\left(-x\right) $ : remplacer $ x $ par $ -x $ dans l'expression de $ f $, puis simplifier.
- Étape 3 — Comparer : confronter $ f\left(-x\right) $ à $ f\left(x\right) $ et à $ -f\left(x\right) $.
- Étape 4 — Conclure : si $ f\left(-x\right) = f\left(x\right) $ pour tout $ x $, alors $ f $ est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; si $ f\left(-x\right) = -f\left(x\right) $ pour tout $ x $, alors $ f $ est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine) ; sinon, $ f $ n'est ni paire ni impaire.
Remarque
Géométriquement, les deux cas se reconnaissent sur la courbe. À gauche, une fonction paire : à chaque point $ M $ correspond un point $ M' $ symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. À droite, une fonction impaire : $ M $ et $ M' $ sont symétriques par rapport à l'origine $ O $.
Ces symétries sont définies dans le cours sur les fonctions.
Une fonction paire
Étudier la parité de la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R}^* $ par $ f\left(x\right) = \dfrac{1 + x^2}{x^2} $.
Etape 1 : $ D_f = \mathbb{R}^* = \left] - \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty\right[ $ est symétrique par rapport à $ 0 $.
Etape 2 : pour tout $ x \in \mathbb{R}^* $ :
Etapes 3 et 4 : on reconnaît $ f\left(-x\right) = f\left(x\right) $. La fonction $ f $ est donc paire.
Une fonction impaire
Étudier la parité de la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right) = \dfrac{2x}{1 + x^2} $.
Etape 1 : $ D_f = \mathbb{R} $ est symétrique par rapport à $ 0 $.
Etape 2 : pour tout $ x \in \mathbb{R} $ :
Etapes 3 et 4 : on obtient $ f\left(-x\right) = -f\left(x\right) $. La fonction $ f $ est donc impaire.
Ni paire ni impaire
Étudier la parité de la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right) = \dfrac{1 + x}{1 + x^2} $.
Etape 1 : $ D_f = \mathbb{R} $ est symétrique par rapport à $ 0 $.
Etape 2 : pour tout $ x \in \mathbb{R} $ : $ f\left(-x\right) = \dfrac{1 - x}{1 + x^2} $.
Etape 3 : un seul contre-exemple suffit. Pour $ x = 1 $ :
Etape 4 : comme $ f\left(-1\right) \neq f\left(1\right) $ et $ f\left(-1\right) \neq -f\left(1\right) $, la fonction $ f $ n'est ni paire ni impaire.
Remarque
La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires : c'est même le cas le plus fréquent. Une seule fonction est à la fois paire et impaire : la fonction nulle, qui vérifie $ f\left(x\right) = 0 $ pour tout $ x $.
Attention
Avant tout calcul, vérifier que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à $ 0 $. S'il ne l'est pas, inutile de calculer $ f\left(-x\right) $ : la fonction ne peut être ni paire ni impaire.
Ne jamais conclure qu'une fonction est paire à partir d'un seul exemple chiffré : l'égalité $ f\left(-x\right) = f\left(x\right) $ doit être vraie pour tout $ x $. En revanche, un seul contre-exemple suffit pour prouver qu'une fonction n'est pas paire (ou pas impaire).