Vrai/Faux : Simulation et seuil 1/√n

On lit la fonction Python suivante, où $n$ désigne la taille de l'échantillon et le succès est « obtenir un $6$ ».

from random import randint

def simulation(n):
    succes = 0
    for i in range(n):
        if randint(1, 6) == 6:
            succes = succes + 1
    return succes

Affirmation : L'appel simulation(300) renvoie la fréquence des $6$ obtenus sur les $300$ lancers.

On souhaite simuler une expérience à deux issues, « succès » et « échec », équiprobables. On propose la fonction ci-dessous.

from random import randint

def frequence(n):
    succes = 0
    for i in range(n):
        if randint(0, 1) == 1:
            succes = succes + 1
    return succes / n

Affirmation : Cette fonction simule bien un échantillon où chaque issue a la même probabilité, puis renvoie la fréquence des succès.

Un échantillon de taille $n = 100$ est prélevé d'une expérience à deux issues de probabilité de succès $p = 0{,}5$. On y observe la fréquence $f = 0{,}43$.

Affirmation : Pour cet échantillon, l'écart entre $f$ et $p$ est inférieur ou égal au seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

Toujours avec $n = 100$ et $p = 0{,}5$, on considère cette fois un autre échantillon où la fréquence observée est $f = 0{,}63$.

Affirmation : Pour cet échantillon, l'écart entre $f$ et $p$ est encore inférieur ou égal au seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

On simule $N$ échantillons de taille $n$ d'une même expérience à deux issues, et on calcule la proportion des échantillons pour lesquels $|f - p| \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

Affirmation : Pour rapprocher chaque fréquence observée $f$ de la probabilité $p$, il faut augmenter le nombre $N$ d'échantillons simulés.

On simule un grand nombre $N$ d'échantillons de taille $n$ et on relève la proportion des cas où $|f - p| \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

Affirmation : Cette proportion est en général élevée : pour la plupart des échantillons, l'écart entre $f$ et $p$ ne dépasse pas le seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.