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Échantillonnage Exercices

Fluctuation et loi des grands nombres

Durée estimée
15 minutes
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Objectif travaillé

Un horticulteur sait que ses graines de tournesol germent avec une probabilité $p = 0{,}8$. Pour chaque graine semée, l'expérience a deux issues : « la graine germe » (succès) ou « la graine ne germe pas » (échec). Il étudie la germination sur des échantillons de graines prélevés au hasard.

  1. L'horticulteur sème quatre échantillons de $25$ graines chacun. Le nombre de graines qui germent dans chaque échantillon est le suivant.

    1. Calculer la fréquence de germination observée dans chacun des quatre échantillons.
    2. Ces quatre échantillons ont la même taille. Comment expliquer que les fréquences obtenues ne soient pas toutes identiques ?

  2. Pour un échantillon de taille $n$, on considère qu'un écart entre la fréquence observée $f$ et la probabilité $p$ est courant lorsqu'il ne dépasse pas $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

    1. Calculer ce seuil pour les échantillons de la question 1.
    2. Pour chacun des quatre échantillons, indiquer si l'écart entre la fréquence observée et $p = 0{,}8$ est courant ou, au contraire, inhabituel.

  3. L'horticulteur sème ensuite un grand échantillon de $400$ graines : $332$ d'entre elles germent.

    1. Calculer la fréquence de germination observée et le seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ pour cet échantillon.
    2. Comparer l'écart obtenu à celui d'un échantillon de $25$ graines. Quel résultat du cours cela illustre-t-il ?

  4. L'horticulteur simule des échantillons à l'aide de la fonction Python suivante.

    from random import randint

def frequence_germination(n):
    succes = 0
    for i in range(n):
        if randint(1, 10) <= 8:
            succes = succes + 1
    return succes / n

    Expliquer pourquoi la condition randint(1, 10) <= 8 modélise correctement la germination d'une graine, puis indiquer ce que représente la valeur renvoyée par frequence_germination(n).

Corrigé

La fréquence de succès dans un échantillon de taille $n$ est $f = \dfrac{k}{n}$, où $k$ est le nombre de graines germées.

    1. On divise le nombre de graines germées par la taille $25$ de chaque échantillon :

      $f_A = \dfrac{21}{25} = 0{,}84 \quad ; \quad f_B = \dfrac{14}{25} = 0{,}56$
      $f_C = \dfrac{23}{25} = 0{,}92 \quad ; \quad f_D = \dfrac{19}{25} = 0{,}76$

      Les fréquences observées sont $0{,}84$ ; $0{,}56$ ; $0{,}92$ et $0{,}76$.

    2. La germination de chaque graine dépend du hasard : d'un échantillon à l'autre, le nombre de graines qui germent change, donc la fréquence observée aussi. C'est le phénomène de fluctuation d'échantillonnage.

    1. Les échantillons ont pour taille $n = 25$, donc le seuil vaut :

      $\dfrac{1}{\sqrt{25}} = \dfrac{1}{5}$ = $\mathbf{0{,}2}$

    2. On compare l'écart $|f - 0{,}8|$ au seuil $0{,}2$ pour chaque échantillon :

      1. Échantillon A : $|0{,}84 - 0{,}8| = 0{,}04 \leqslant 0{,}2$, l'écart est courant.
      2. Échantillon B : $|0{,}56 - 0{,}8| = 0{,}24 > 0{,}2$, l'écart est inhabituel.
      3. Échantillon C : $|0{,}92 - 0{,}8| = 0{,}12 \leqslant 0{,}2$, l'écart est courant.
      4. Échantillon D : $|0{,}76 - 0{,}8| = 0{,}04 \leqslant 0{,}2$, l'écart est courant.

      Trois des quatre échantillons présentent un écart courant. L'échantillon B fait exception : un tel écart reste possible, mais il est rare, conformément à la formule « sauf exception » de la loi des grands nombres.

    1. Ici $n = 400$ et $k = 332$ graines germées. La fréquence observée est :

      $f = \dfrac{332}{400} = 0{,}83$

      Le seuil vaut :

      $\dfrac{1}{\sqrt{400}} = \dfrac{1}{20}$ = $\mathbf{0{,}05}$
    2. Pour cet échantillon, l'écart est $|0{,}83 - 0{,}8| = 0{,}03$, inférieur au seuil $0{,}05$. Avec $25$ graines, le seuil était de $0{,}2$, soit quatre fois plus grand. En augmentant la taille de l'échantillon, le seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ diminue et la fréquence observée se rapproche de la probabilité $p = 0{,}8$ : c'est la loi des grands nombres.
  4. La fonction randint(1, 10) renvoie un entier au hasard parmi $1, 2, \dots, 10$, soit $10$ valeurs équiprobables. Parmi elles, $8$ vérifient la condition $\leqslant 8$ (les valeurs $1$ à $8$). La probabilité que la condition soit vraie est donc $\dfrac{8}{10} = 0{,}8$, ce qui est bien la probabilité $p$ de germination : la condition modélise correctement le succès. À la fin de la boucle, la variable succes contient le nombre de graines germées sur les $n$ simulées, et return succes / n renvoie la fréquence de germination observée sur l'échantillon de taille $n$.

Pour réviser : Simuler des échantillons en Python