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Échantillonnage Exercices

Lire une fonction Python de simulation

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10 minutes
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Objectif travaillé

Une roue de loterie est partagée en secteurs : la probabilité de tomber sur un secteur gagnant est $p = 0{,}2$. On souhaite étudier la fréquence de gains observée sur un échantillon de $n$ parties.
Pour simuler ces parties, on utilise la fonction randint du module random : randint(a, b) renvoie un entier aléatoire compris (au sens large) entre $a$ et $b$. On dispose de la fonction suivante.

from random import randint

def frequence_gains(n):
    succes = 0
    for i in range(n):
        if randint(1, 5) == 1:
            succes = succes + 1
    return succes / n
  1. Expliquer le rôle de la variable succes et celui de la boucle for.

  2. À chaque tour de boucle, la condition randint(1, 5) == 1 est testée.

    1. Combien de valeurs différentes randint(1, 5) peut-il renvoyer ?
    2. Quelle est la probabilité que la condition soit vraie ? Expliquer pourquoi cette modélisation est cohérente avec l'énoncé.
  3. Que représente la valeur renvoyée par frequence_gains(n) ?
  4. On exécute l'instruction print(frequence_gains(10)) et l'on obtient $0.3$. Combien de parties gagnantes ont été simulées lors de cet appel ?
  5. On exécute deux fois de suite print(frequence_gains(1000)). On obtient $0.196$ puis $0.213$. Comment expliquer que les deux résultats soient différents ? De quelle valeur ces résultats sont-ils proches, et pourquoi ?

Corrigé

  1. La variable succes est un compteur : initialisée à $0$, elle augmente de $1$ chaque fois qu'une partie est gagnée. La boucle for i in range(n) répète l'expérience $n$ fois, ce qui simule un échantillon de $n$ parties.
    1. randint(1, 5) renvoie un entier au hasard parmi $1, 2, 3, 4, 5$, soit $5$ valeurs possibles.
    2. Une seule de ces cinq valeurs ($1$) rend la condition vraie, et les cinq valeurs ont la même chance d'apparaître. La probabilité que la condition soit vraie est donc $\dfrac{1}{5}$ = $\mathbf{0{,}2}$. Cette probabilité est égale à $p = 0{,}2$ : choisir « obtenir $1$ parmi $1$ à $5$ » modélise bien un secteur gagnant de probabilité $0{,}2$.
  3. À la fin de la boucle, succes contient le nombre de parties gagnées sur les $n$ simulées. L'instruction return succes / n renvoie donc la fréquence de gains observée sur l'échantillon de taille $n$.
  4. La fréquence renvoyée est $0{,}3 = \dfrac{k}{10}$, où $k$ est le nombre de parties gagnantes. On a $k = 0{,}3 \times 10$, soit $3$ parties gagnantes.
  5. Les deux appels reposent sur le hasard : d'un échantillon à l'autre, le nombre de gains change, donc la fréquence aussi. C'est la fluctuation d'échantillonnage. Comme la taille $n = 1\,000$ est grande, les deux fréquences restent proches de la probabilité $p = 0{,}2$, conformément à la loi des grands nombres.

Pour réviser : Simuler des échantillons en Python