Résoudre graphiquement f(x) = k et f(x) = g(x)
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Pour résoudre graphiquement une équation, on repère des points particuliers sur le graphique et on lit leurs abscisses.
Cas d'une équation $f(x) = k$ (avec $k$ un nombre)
- Tracer la droite horizontale d'équation $y = k$.
- Repérer les points d'intersection de cette droite avec la courbe de $f$.
- Lire les abscisses de ces points : ce sont les solutions de l'équation.
Cas d'une équation $f(x) = g(x)$
- Repérer les points d'intersection des deux courbes de $f$ et de $g$.
- Lire les abscisses de ces points : ce sont les solutions de l'équation.
Cas d'une inéquation $f(x) < k$
On cherche les abscisses des points de la courbe situés en dessous de la droite $y = k$. Pour $f(x) > k$, on prend ceux situés au-dessus.
Résoudre f(x) = 4 puis f(x) < 4
La fonction $f$ définie par $f(x) = x^2$ est représentée ci-dessous.
On souhaite résoudre l'équation $f(x) = 4$.
Étape 1 : On trace la droite horizontale d'équation $y = 4$.
Étape 2 : Cette droite coupe la courbe en deux points.
Étape 3 : On lit les abscisses de ces deux points : $ - 2$ et $2$.
Les solutions de l'équation $f(x) = 4$ sont donc $\mathbf{-2}$ et $\mathbf{2}$.
Pour l'inéquation $f(x) < 4$, on cherche les abscisses des points de la courbe situés sous la droite $y = 4$ : ce sont les nombres compris entre $ - 2$ et $2$.
L'ensemble des solutions de $f(x) < 4$ est donc l'intervalle $\left] \mathbf{-2} \,;\, \mathbf{2} \right[$.
Résoudre f(x) = g(x)
Les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = x^2$ et $g(x) = x + 2$ sont représentées ci-dessous.
On souhaite résoudre l'équation $f(x) = g(x)$.
Étape 1 : On repère les points où les deux courbes se croisent.
Étape 2 : Ici, les courbes se coupent en deux points.
Étape 3 : On lit les abscisses de ces points d'intersection : $ - 1$ et $2$.
Les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$ sont donc $\mathbf{-1}$ et $\mathbf{2}$.
Remarque
Une lecture graphique donne des valeurs approchées : elle permet de repérer le nombre de solutions et leur ordre de grandeur, mais pas une valeur exacte si le point d'intersection ne tombe pas sur une graduation. Pour obtenir des solutions exactes, on résout l'équation par le calcul.
Attention
Une équation $f(x) = k$ peut avoir plusieurs solutions, une seule, ou aucune selon le nombre de points d'intersection : si la droite $y = k$ ne coupe pas la courbe, l'équation n'a pas de solution.
Ne pas confondre l'abscisse et l'ordonnée du point d'intersection : la solution de l'équation est bien l'abscisse (lue sur l'axe horizontal), pas l'ordonnée.