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Python au lycée (4) : Les fonctions Exercices

Fonction Python : moyenne et écart-type

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

On dispose d'une série de valeurs rangées dans une liste Python, par exemple les notes d'un élève : $ L = [12, 15, 9, 14, 10] $.
On rappelle que la moyenne $ \bar{x} $ d'une série de $ n $ valeurs $ x_1, x_2, \dots, x_n $ est :

$ \bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} $

La variance $ V $ mesure la dispersion autour de la moyenne, et l'écart-type $ \sigma $ est la racine carrée de la variance :

$ V = \dfrac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n} \qquad \sigma = \sqrt{V} $
  1. Calculer « à la main » la moyenne de la série $ L = [12, 15, 9, 14, 10] $.
  2. Écrire une fonction Python moyenne(L) qui prend en argument une liste de valeurs et renvoie leur moyenne.
  3. Calculer « à la main » la variance puis l'écart-type de la série $ L $. On donnera l'écart-type arrondi à $ 0{,}01 $ près.
  4. Écrire une fonction Python ecart_type(L) qui renvoie l'écart-type de la liste $ L $.
  5. Utiliser les deux fonctions pour vérifier les résultats des questions 1. et 3.

Corrigé

  1. La série compte $ n = 5 $ valeurs. On additionne puis on divise par $ 5 $ :
    $ \bar{x} = \dfrac{12 + 15 + 9 + 14 + 10}{5} = \dfrac{60}{5} = \mathbf{12} $.

  2. On parcourt la liste pour cumuler la somme, puis on divise par le nombre d'éléments. La fonction len(L) renvoie le nombre de valeurs de la liste :

    def moyenne(L):
    somme = 0
    for x in L:
        somme = somme + x
    return somme / len(L)
  3. On utilise la moyenne $ \bar{x} = 12 $ trouvée à la question 1. On calcule les carrés des écarts à la moyenne :
    $ V = \dfrac{(12-12)^2 + (15-12)^2 + (9-12)^2 + (14-12)^2 + (10-12)^2}{5} $.
    $ V = \dfrac{0 + 9 + 9 + 4 + 4}{5} = \dfrac{26}{5} = 5{,}2 $.
    L'écart-type est la racine carrée de la variance :
    $ \sigma = \sqrt{5{,}2} \approx \mathbf{2{,}28} $.

  4. On réutilise la fonction moyenne pour obtenir $ \bar{x} $, puis on cumule les carrés des écarts. On importe la fonction sqrt (racine carrée) du module math :

    from math import sqrt

def ecart_type(L):
    m = moyenne(L)
    somme = 0
    for x in L:
        somme = somme + (x - m)**2
    variance = somme / len(L)
    return sqrt(variance)

  5. On exécute les deux fonctions avec la liste de l'énoncé :

    >>> L = [12, 15, 9, 14, 10]
>>> moyenne(L)
12.0
>>> ecart_type(L)
2.280350850198276

    On retrouve bien une moyenne de $ 12 $ et un écart-type $ \sigma \approx \mathbf{2{,}28} $, ce qui confirme les calculs des questions 1. et 3.

Remarque

La fonction ecart_type appelle la fonction moyenne : on peut réutiliser une fonction déjà écrite à l'intérieur d'une autre, ce qui évite de réécrire le même calcul.