Dérivée de fonctions composées g(ax+b)

Pour une fonction de la forme $ x\mapsto g\left(ax+b\right) $, la dérivée est $ x\mapsto a\times g^{\prime}\left(ax+b\right) $ : il ne faut jamais oublier le facteur $ a $.

1. Avec $ g\left(t\right)=t^{4} $, on a $ g^{\prime}\left(t\right)=4t^{3} $, et ici $ a=3 $.

   $ f^{\prime}\left(x\right)=3\times 4\left(3x-1\right)^{3} $

   $\mathbf{f^{\prime}\left(x\right)=12\left(3x-1\right)^{3}}$

2. Avec $ g\left(t\right)=t^{3} $, on a $ g^{\prime}\left(t\right)=3t^{2} $, et ici $ a=-2 $.

   $ g^{\prime}\left(x\right)=\left(-2\right)\times 3\left(5-2x\right)^{2} $

   $\mathbf{g^{\prime}\left(x\right)=-6\left(5-2x\right)^{2}}$

3. Avec $ g\left(t\right)=\dfrac{1}{t} $, on a $ g^{\prime}\left(t\right)=-\dfrac{1}{t^{2}} $, et ici $ a=4 $.

   $ h^{\prime}\left(x\right)=4\times \left(-\dfrac{1}{\left(4x+3\right)^{2}}\right) $

   $\mathbf{h^{\prime}\left(x\right)=-\dfrac{4}{\left(4x+3\right)^{2}}}$

4. Avec $ g\left(t\right)=\sqrt{t} $, on a $ g^{\prime}\left(t\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{t}} $, et ici $ a=6 $.

   $ k^{\prime}\left(x\right)=6\times \dfrac{1}{2\sqrt{6x-5}}=\dfrac{6}{2\sqrt{6x-5}} $

   $\mathbf{k^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{3}{\sqrt{6x-5}}}$

5. On écrit $ p\left(x\right)=\left(2-x\right)^{-2} $. Avec $ g\left(t\right)=t^{-2} $, on a $ g^{\prime}\left(t\right)=-2t^{-3} $, et ici $ a=-1 $.

   $ p^{\prime}\left(x\right)=\left(-1\right)\times \left(-2\right)\left(2-x\right)^{-3}=2\left(2-x\right)^{-3} $

   $\mathbf{p^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{2}{\left(2-x\right)^{3}}}$

Pour réviser : Dériver une fonction polynôme