Dériver une fonction de la forme x ↦ g(ax+b)
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Lorsqu'une fonction s'écrit $ f\left(x\right)=g\left(ax+b\right) $, où $ g $ est une fonction usuelle et $ a $ et $ b $ deux réels, sa dérivée est :
- Étape 1 : identifier la fonction usuelle $ g $ ainsi que les coefficients $ a $ et $ b $ de l'expression $ ax+b $.
- Étape 2 : déterminer la dérivée $ g^{\prime} $ de la fonction usuelle.
- Étape 3 : multiplier par le facteur $ a $.
- Étape 4 : remplacer $ x $ par $ ax+b $ dans $ g^{\prime} $.
Cas d'une puissance
Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$ f\left(x\right)=\left(3x+1\right)^{5} $
Étape 1 : la fonction usuelle est $ g\left(t\right)=t^{5} $, avec $ a=3 $ et $ b=1 $.
Étape 2 : on dérive $ g $ : $ g^{\prime}\left(t\right)=5t^{4} $.
Étape 3 : on multiplie par $ a=3 $.
Étape 4 : on remplace $ t $ par $ 3x+1 $.
Cas de l'inverse
Soit $ f $ la fonction définie sur $ \left]\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty\right[ $ par :
$ f\left(x\right)=\dfrac{1}{2x-3} $
Étape 1 : la fonction usuelle est $ g\left(t\right)=\dfrac{1}{t} $, avec $ a=2 $ et $ b=-3 $.
Étape 2 : on dérive $ g $ : $ g^{\prime}\left(t\right)=-\dfrac{1}{t^{2}} $.
Étape 3 et 4 : on multiplie par $ a=2 $ et on remplace $ t $ par $ 2x-3 $.
Cas de la racine carrée
Soit $ f $ la fonction définie sur $ \left]-\dfrac{1}{4}\,;\,+\infty\right[ $ par :
$ f\left(x\right)=\sqrt{4x+1} $
Étape 1 : la fonction usuelle est $ g\left(t\right)=\sqrt{t} $, avec $ a=4 $ et $ b=1 $.
Étape 2 : on dérive $ g $ : $ g^{\prime}\left(t\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{t}} $.
Étape 3 et 4 : on multiplie par $ a=4 $ et on remplace $ t $ par $ 4x+1 $.
Remarque
Cette méthode est un cas particulier de la dérivation d'une fonction composée : la fonction intérieure $ u\left(x\right)=ax+b $ est affine, et sa dérivée $ u^{\prime}\left(x\right)=a $ est constante. C'est pourquoi le facteur $ a $ apparaît systématiquement.
Attention
L'erreur la plus fréquente est d'oublier le facteur $ a $. Par exemple, $ \left(\left(3x+1\right)^{5}\right)^{\prime} $ ne vaut pas $ 5\left(3x+1\right)^{4} $ mais bien $ 15\left(3x+1\right)^{4} $.
Ne pas oublier non plus de conserver $ ax+b $ à l'intérieur de la dérivée : on ne remplace jamais $ ax+b $ par $ x $.