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Graphes Exercices

Chaine de Markov : etat stable d’un systeme

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Sur une autoroute, chaque véhicule qui se présente à une barrière de péage utilise l'une des trois files suivantes :

  • la file automatique par carte bancaire (état $A$) ;
  • la file manuelle avec un agent (état $M$) ;
  • la file de télépéage sans arrêt (état $T$).

Une étude statistique modélise le choix d'un même conducteur d'un passage au suivant par une chaîne de Markov. D'un passage à l'autre :

  • un conducteur de la file $A$ reprend $A$ avec la probabilité $0{,}7$, passe à $M$ avec la probabilité $0{,}1$ et à $T$ avec la probabilité $0{,}2$ ;
  • un conducteur de la file $M$ passe à $A$ avec la probabilité $0{,}3$, reprend $M$ avec la probabilité $0{,}5$ et passe à $T$ avec la probabilité $0{,}2$ ;
  • un conducteur de la file $T$ passe à $A$ avec la probabilité $0{,}1$, à $M$ avec la probabilité $0{,}1$ et reprend $T$ avec la probabilité $0{,}8$.
Graphe probabiliste à 3 états A, M et T avec arcs et boucles pondérés par les probabilités de transition entre les files de péage

On classe les états dans l'ordre $A$, $M$, $T$.

  1. Déterminer la matrice de transition $P$ de cette chaîne de Markov et vérifier qu'elle est stochastique.

  2. Au premier passage observé, un conducteur emprunte la file automatique : on prend donc $\pi_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

    1. Calculer $\pi_1$, puis $\pi_2$.
    2. Interpréter chaque composante de $\pi_2$.

  3. On cherche une distribution $\pi = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}$ stable au cours du temps.

    1. Écrire le système traduisant $\pi = \pi \times P$.
    2. Déterminer $\pi$ (valeurs exactes) en tenant compte de la condition de normalisation.
  4. Interpréter le comportement à long terme du système et le comparer à $\pi_2$.

Corrigé

  1. Chaque arc orienté de l'état $i$ vers l'état $j$ fournit le coefficient $P_{i,j}$ (les boucles donnent les coefficients diagonaux). Dans l'ordre $A$, $M$, $T$ :

    $P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}5 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}8 \end{pmatrix}$

    Tous les coefficients sont compris entre $0$ et $1$ et chaque ligne a pour somme $1$ : $0{,}7 + 0{,}1 + 0{,}2 = 1$, $0{,}3 + 0{,}5 + 0{,}2 = 1$ et $0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}8 = 1$. La matrice $P$ est donc bien stochastique.

    1. La distribution après un passage est $\pi_1 = \pi_0 \times P$, c'est-à-dire la première ligne de $P$ :

      $\pi_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}1 & 0{,}2 \end{pmatrix}$

      On calcule ensuite $\pi_2 = \pi_1 \times P$ en effectuant le produit ligne par colonne :

      • file $A$ : $0{,}7 \times 0{,}7 + 0{,}1 \times 0{,}3 + 0{,}2 \times 0{,}1 = 0{,}49 + 0{,}03 + 0{,}02 = 0{,}54$ ;
      • file $M$ : $0{,}7 \times 0{,}1 + 0{,}1 \times 0{,}5 + 0{,}2 \times 0{,}1 = 0{,}07 + 0{,}05 + 0{,}02 = 0{,}14$ ;
      • file $T$ : $0{,}7 \times 0{,}2 + 0{,}1 \times 0{,}2 + 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}14 + 0{,}02 + 0{,}16 = 0{,}32$.

      D'où $\pi_2$ = $\mathbf{\begin{pmatrix} 0{,}54 & 0{,}14 & 0{,}32 \end{pmatrix}}$. La somme $0{,}54 + 0{,}14 + 0{,}32 = 1$ confirme le résultat.

    2. Au deuxième passage, le conducteur emprunte la file automatique avec la probabilité $0{,}54$, la file manuelle avec la probabilité $0{,}14$ et la file de télépéage avec la probabilité $0{,}32$.

    1. L'égalité $\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} P$ se traduit, colonne par colonne, par :

      $\left\{ \begin{array}{l} x = 0{,}7\,x + 0{,}3\,y + 0{,}1\,z \\ y = 0{,}1\,x + 0{,}5\,y + 0{,}1\,z \\ z = 0{,}2\,x + 0{,}2\,y + 0{,}8\,z \end{array} \right.$

    2. La troisième équation étant redondante, on l'abandonne et on simplifie les deux premières :

      • $x = 0{,}7\,x + 0{,}3\,y + 0{,}1\,z$ donne $0{,}3\,x = 0{,}3\,y + 0{,}1\,z$, soit $3x = 3y + z$ ;
      • $y = 0{,}1\,x + 0{,}5\,y + 0{,}1\,z$ donne $0{,}5\,y = 0{,}1\,x + 0{,}1\,z$, soit $5y = x + z$.

      De la première relation, $z = 3x - 3y$. On reporte dans $5y = x + z$ :

      $5y = x + (3x - 3y) = 4x - 3y$

      soit $8y = 4x$, donc $x = 2y$. On en déduit $z = 3 \times 2y - 3y = 3y$.

      La condition de normalisation $x + y + z = 1$ donne alors :

      $2y + y + 3y = 6y = 1$

      d'où $y = \dfrac{1}{6}$, puis $x = 2y = \dfrac{1}{3}$ et $z = 3y = \dfrac{1}{2}$. Toutes les composantes sont positives et leur somme vaut $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2 + 1 + 3}{6} = 1$.

      La distribution stable est $\mathbf{\pi}$ = $\mathbf{\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}}$.

  4. La chaîne est régulière (tous les coefficients de $P$ sont strictement positifs), donc la suite $\pi_n$ converge vers la distribution stable $\pi$, quelle que soit la file de départ. À long terme, la répartition des passages se stabilise autour de $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$ pour la file automatique, $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$ pour la file manuelle et $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ pour le télépéage : environ la moitié des passages se font à terme par le télépéage.

    On retrouve déjà cette tendance dès le deuxième passage : la composante de la file $A$ passe de $1$ à $0{,}54$ et celle du télépéage monte à $0{,}32$, $\pi_2$ se rapprochant progressivement de $\pi$.