Résoudre une inéquation trigonométrique
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Pour résoudre une inéquation du type $ \cos x \leqslant a $, $ \sin x > a $, etc. sur un intervalle donné :
- Étape 1 : repérer la ou les valeurs remarquables qui réalisent l'égalité, c'est-à-dire les solutions de l'équation associée ($ \cos x = a $ ou $ \sin x = a $) sur l'intervalle.
- Étape 2 : tracer le cercle trigonométrique et placer la droite repère : la droite verticale d'abscisse $ a $ pour le cosinus, la droite horizontale d'ordonnée $ a $ pour le sinus.
- Étape 3 : colorier l'arc des points dont l'abscisse (cosinus) ou l'ordonnée (sinus) vérifie l'inégalité, puis lire les angles aux extrémités de cet arc.
- Étape 4 : conclure par un intervalle (ou une réunion d'intervalles). L'intervalle est fermé en une borne si l'inégalité est large ($ \leqslant $, $ \geqslant $), ouvert si elle est stricte ($ <$, $ > $).
Remarque
L'idée clé : sur le cercle trigonométrique, $ \cos x $ se lit en abscisse et $ \sin x $ se lit en ordonnée. Comparer $ \cos x $ à $ a $ revient à comparer une abscisse à $ a $ ; comparer $ \sin x $ à $ a $ revient à comparer une ordonnée à $ a $.
Inéquation en cosinus (inégalité large)
Résoudre sur $ [0\,; 2\pi] $ l'inéquation $ \cos x \leqslant \dfrac{1}{2} $.
Étape 1 : on cherche d'abord où $ \cos x = \dfrac{1}{2} $.
On reconnaît $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} $. Sur $ [0\,; 2\pi] $, les deux solutions de l'équation $ \cos x = \dfrac{1}{2} $ sont $ x = \dfrac{\pi}{3} $ et $ x = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3} $.
Étape 2 : sur le cercle trigonométrique, on trace la droite verticale d'abscisse $ \dfrac{1}{2} $. Elle coupe le cercle aux points d'angles $ \dfrac{\pi}{3} $ et $ \dfrac{5\pi}{3} $.
Étape 3 : les points de cosinus inférieur ou égal à $ \dfrac{1}{2} $ sont ceux situés à gauche de cette droite. En parcourant le cercle dans le sens direct depuis $ 0 $, ils forment l'arc allant de $ \dfrac{\pi}{3} $ à $ \dfrac{5\pi}{3} $.
Étape 4 : l'inégalité est large, les bornes sont incluses.
Inéquation en sinus (inégalité stricte)
Résoudre sur $ [0\,; 2\pi] $ l'inéquation $ \sin x > \dfrac{\sqrt{2}}{2} $.
Étape 1 : on cherche où $ \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $.
On reconnaît $ \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $. Sur $ [0\,; 2\pi] $, les deux solutions de l'équation $ \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ sont $ x = \dfrac{\pi}{4} $ et $ x = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} $.
Étape 2 : sur le cercle trigonométrique, on trace la droite horizontale d'ordonnée $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $. Elle coupe le cercle aux points d'angles $ \dfrac{\pi}{4} $ et $ \dfrac{3\pi}{4} $.
Étape 3 : les points de sinus strictement supérieur à $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ sont ceux situés au-dessus de cette droite. Ils forment l'arc allant de $ \dfrac{\pi}{4} $ à $ \dfrac{3\pi}{4} $.
Étape 4 : l'inégalité est stricte, les bornes sont exclues.
Remarque
Lorsque l'arc solution traverse l'angle $ 0 $ (par exemple $ \cos x \geqslant \dfrac{1}{2} $ sur $ [0\,; 2\pi] $, dont les points sont à droite de la droite $ x = \dfrac{1}{2} $), la solution se présente comme une réunion de deux intervalles : $ \left[ 0\,; \dfrac{\pi}{3} \right] \cup \left[ \dfrac{5\pi}{3}\,; 2\pi \right] $. Sur un intervalle centré comme $ \left] -\pi\,; \pi \right] $, ce même arc s'écrit en un seul morceau $ \left[ -\dfrac{\pi}{3}\,; \dfrac{\pi}{3} \right] $ : penser à toujours adapter l'écriture à l'intervalle imposé.
Attention
Ne pas se contenter de résoudre l'équation associée : les solutions de l'équation ($ \dfrac{\pi}{3} $ et $ \dfrac{5\pi}{3} $ dans l'exemple en cosinus) ne sont que les bornes de l'arc. La réponse est un intervalle entier, pas deux valeurs isolées.
Bien distinguer cosinus et sinus : pour $ \cos x $, on compare une abscisse (droite verticale) ; pour $ \sin x $, on compare une ordonnée (droite horizontale). Confondre les deux fait colorier le mauvais arc.
Enfin, respecter le type des crochets : inégalité large ($ \leqslant $, $ \geqslant $) donne un crochet fermé sur la borne, inégalité stricte ($ <$, $ > $) donne un crochet ouvert.