Solides et volumes – Glaçons et verres à cocktail – Brevet Amérique du Sud 2025
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Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes.
Remarque
Rappels
- Volume du cylindre = Aire de la base × Hauteur du cylindre
- Aire du disque = $ \pi \times \text{(rayon)}^2 $
- $ 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL} $
Pour un anniversaire, on veut préparer des cocktails de jus de fruits.
Partie 1 : Étude des glaçons
Document : photo du moule à glaçons utilisé et caractéristiques des glaçons.
Chaque glaçon a la forme d'un pavé droit :
- de longueur 5 cm ;
- de largeur 2,5 cm ;
- de hauteur 1,5 cm.
- On possède 12 moules à glaçons de ce type. Combien peut-on faire de glaçons en même temps ?
- Montrer que le volume d'un glaçon est d'environ 19 mL.
- 5 litres d'eau sont-ils suffisants pour remplir ces 12 moules à glaçons ?
Partie 2 : Le service
On souhaite servir le cocktail dans des verres cylindriques.
- Montrer que le verre a un volume total d'environ 295 mL.
Pour verser précisément 25 cL de cocktail, on utilise des verres avec un repère indiquant une contenance de 25 cL.
- On a préparé 30 litres de cocktail. Combien peut-on remplir de verres contenant 25 cL de cocktail ?
- En versant 25 cL de cocktail dans le verre, à quelle hauteur $ h $ du verre, le liquide arrive-t-il ? Arrondir au dixième.
Corrigé
Partie 1 : Étude des glaçons
D'après la photo, chaque moule contient 4 rangées de 5 alvéoles, soit $ 4 \times 5 = 20 $ glaçons.
Avec 12 moules : $ 12 \times 20 = 240 $.
On peut donc faire 240 glaçons en même temps.
Le volume d'un pavé droit est égal au produit de ses trois dimensions :
$ V_{\text{glaçon}} = 5 \times 2{,}5 \times 1{,}5 = 18{,}75 \text{ cm}^3 $
Comme $ 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL} $, on a $ V_{\text{glaçon}} \approx 19 \text{ mL} $.
Le volume d'un glaçon vaut bien environ 19 mL.
On calcule le volume total nécessaire pour remplir les 240 glaçons (en utilisant la valeur exacte 18,75 mL pour ne pas accumuler d'erreurs d'arrondi) :
$ V_{\text{total}} = 240 \times 18{,}75 = 4\,500 \text{ mL} = 4{,}5 \text{ L} $
Comme $ 4{,}5 \text{ L} < 5 \text{ L} $, 5 litres d'eau sont effectivement suffisants pour remplir les 12 moules à glaçons.
Partie 2 : Le service
Le verre est un cylindre de diamètre 5 cm, donc de rayon $ R = 2{,}5 $ cm, et de hauteur $ H = 15 $ cm.
$ V_{\text{verre}} = \pi \times R^2 \times H = \pi \times 2{,}5^2 \times 15 = \pi \times 6{,}25 \times 15 = 93{,}75\pi $
$ V_{\text{verre}} \approx 294{,}52 \text{ cm}^3 \approx 295 \text{ mL} $
Le verre a bien un volume total d'environ 295 mL.
On convertit 30 L en cL : $ 30 \text{ L} = 3\,000 \text{ cL} $.
$ \dfrac{3\,000}{25} = 120 $.
On peut donc remplir 120 verres de 25 cL avec les 30 litres de cocktail.
On cherche la hauteur $ h $ telle que le volume contenu dans le verre vaille 25 cL = 250 mL = 250 cm³.
Le volume de cocktail à hauteur $ h $ s'écrit $ \pi \times R^2 \times h = 6{,}25\pi \times h $.
On résout :
$ 6{,}25\pi \times h = 250 $
$ h = \dfrac{250}{6{,}25\pi} = \dfrac{40}{\pi} $
$ h \approx 12{,}73 $ cm
Le liquide arrive donc à une hauteur d'environ 12,7 cm dans le verre.