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Probabilités Exercices

Probabilités – Billes et dés colorés – Brevet Nouvelle-Calédonie 2025

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

Dans un jeu, les candidats doivent tirer une bille dans une boite et noter sa couleur, puis ils doivent ensuite lancer un dé de la couleur de la bille tirée et noter le résultat obtenu.

Les issues de cette expérience sont donc des couples du type (couleur ; nombre).

Le matériel est le suivant :

  • La boite contient des billes indiscernables au toucher : 15 rouges, 10 vertes et 5 bleues.
  • Le dé rouge a 10 faces numérotées de 0 à 9. Le dé vert a 6 faces numérotées de 1 à 6.
  • Le dé bleu a 4 faces numérotées de 1 à 4.

Pour gagner au jeu il faut obtenir 1 au lancé de dé.

  1. Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue dans la boîte ?
  2. Amandine a tiré une bille verte et Alexis a tiré une bille rouge. Qui a le plus de chance de gagner à ce jeu ? Justifier.
  3. Donner l'ensemble des issues possibles de ce jeu. On notera « R » pour rouge, « V » pour vert et « B » pour bleu. Par exemple : l'issue (R ; 3) correspond à : « la bille tirée est rouge et le résultat du lancer de dé est 3 ».

Corrigé

  1. La boîte contient $ 15 + 10 + 5 = 30 $ billes indiscernables au toucher : il y a donc équiprobabilité entre les 30 tirages possibles.

    Parmi ces 30 billes, 5 sont bleues. La probabilité de tirer une bille bleue est donc :

    $ P(\text{bille bleue}) = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6} $

  2. Une fois la bille tirée, le dé associé à la couleur est lancé. Chaque face a la même probabilité d'apparaître.

    Cas d'Amandine (bille verte) : elle lance le dé vert qui a 6 faces.

    $ P(\text{obtenir 1 au dé vert}) = \dfrac{1}{6} $

    Cas d'Alexis (bille rouge) : il lance le dé rouge qui a 10 faces.

    $ P(\text{obtenir 1 au dé rouge}) = \dfrac{1}{10} $

    On compare ces deux fractions au même dénominateur 30 :

    $ \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{30} $ et $ \dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{30} $.

    Comme $ \dfrac{5}{30} > \dfrac{3}{30} $, on a $ \dfrac{1}{6} > \dfrac{1}{10} $.

    Amandine a donc plus de chances de gagner que Alexis.

  3. On liste toutes les issues possibles selon la couleur de la bille tirée.

    Bille rouge (dé à 10 faces, de 0 à 9) :

    $ (R\,;\,0)\,;\,(R\,;\,1)\,;\,(R\,;\,2)\,;\,(R\,;\,3)\,;\,(R\,;\,4)\,;\,(R\,;\,5)\,;\,(R\,;\,6)\,;\,(R\,;\,7)\,;\,(R\,;\,8)\,;\,(R\,;\,9) $

    Bille verte (dé à 6 faces, de 1 à 6) :

    $ (V\,;\,1)\,;\,(V\,;\,2)\,;\,(V\,;\,3)\,;\,(V\,;\,4)\,;\,(V\,;\,5)\,;\,(V\,;\,6) $

    Bille bleue (dé à 4 faces, de 1 à 4) :

    $ (B\,;\,1)\,;\,(B\,;\,2)\,;\,(B\,;\,3)\,;\,(B\,;\,4) $

    Au total, le jeu admet $ 10 + 6 + 4 = 20 $ issues possibles.

Remarque

Attention : ces 20 issues ne sont pas équiprobables. La probabilité d'obtenir, par exemple, l'issue $ (R\,;\,0) $ est $ \dfrac{15}{30} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{20} $, alors que celle d'obtenir $ (B\,;\,1) $ est $ \dfrac{5}{30} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{24} $.