Probabilités – Urnes A et B – Brevet Métropole 2025
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On dispose d'une urne A contenant 6 boules numérotées : 7 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30
et d'une urne B contenant 9 boules numérotées : 2 ; 5 ; 6 ; 8 ; 17 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25.
Les boules sont indiscernables au toucher.
- On tire une boule dans l'urne A, quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
- On tire une boule dans l'urne B, justifier que la probabilité d'obtenir un nombre premier est de $ \dfrac{1}{3} $.
- Quelle urne contient le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6 ?
- On tire une boule au hasard dans l'une des urnes. Démontrer que la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est la même quelle que soit l'urne choisie.
- En repartant avec la composition initiale des urnes A et B on décide d'ajouter une boule numérotée 50 dans chacune d'entre elles. Dans ces conditions, la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 20 est-elle toujours égale quelle que soit l'urne choisie ?
Corrigé
L'urne A contient 6 boules au total. Les nombres pairs parmi $ \{7\,;\,10\,;\,12\,;\,15\,;\,24\,;\,30\} $ sont 10, 12, 24 et 30, soit 4 boules.
La probabilité d'obtenir un nombre pair est donc :
$ p_1 = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} $L'urne B contient 9 boules au total. Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Parmi $ \{2\,;\,5\,;\,6\,;\,8\,;\,17\,;\,18\,;\,21\,;\,22\,;\,25\} $, les nombres premiers sont 2, 5 et 17, soit 3 boules.
La probabilité d'obtenir un nombre premier est donc :
$ p_2 = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} $On dénombre les multiples de 6 dans chaque urne.
Dans l'urne A : 12, 24 et 30 sont des multiples de 6, soit 3 boules.
Dans l'urne B : 6 et 18 sont des multiples de 6, soit 2 boules.
L'urne A contient donc le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6.
On compte dans chaque urne le nombre de boules portant un numéro supérieur ou égal à 20.
Dans l'urne A (6 boules) : 24 et 30 conviennent, soit 2 boules.
$ p_A = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} $Dans l'urne B (9 boules) : 21, 22 et 25 conviennent, soit 3 boules.
$ p_B = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} $On a $ p_A = p_B = \dfrac{1}{3} $ : la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est bien la même dans les deux urnes.
On ajoute la boule 50 dans chaque urne.
L'urne A contient maintenant 7 boules. Les boules de numéro $ \geqslant 20 $ sont 24, 30 et 50, soit 3 boules :
$ p'_A = \dfrac{3}{7} $L'urne B contient maintenant 10 boules. Les boules de numéro $ \geqslant 20 $ sont 21, 22, 25 et 50, soit 4 boules :
$ p'_B = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} $On compare ces deux fractions en les ramenant au même dénominateur 35 :
$ p'_A = \dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{35} $ et $ p'_B = \dfrac{2}{5} = \dfrac{14}{35} $.
Comme $ \dfrac{15}{35} \neq \dfrac{14}{35} $, on a $ p'_A \neq p'_B $.
Les probabilités ne sont donc plus égales : il vaut mieux choisir l'urne A pour avoir un nombre supérieur ou égal à 20.