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Scratch et algorithmes Exercices

Simulation de la somme de deux dés avec Scratch

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

On lance deux dés équilibrés à six faces et on s'intéresse à la somme des deux faces obtenues. Le programme Scratch ci-dessous simule $ 1\,000 $ lancers de cette expérience et compte le nombre de fois où la somme obtenue est supérieure ou égale à $ 9 $.

Programme Scratch simulant 1000 lancers de deux dés et comptant les sommes supérieures ou égales à 9
  1. Justifier le rôle de chacune des variables de1, de2, somme et compteur.
  2. Expliquer pourquoi la condition « somme $ > 8 $ » revient à tester « somme $ \geqslant 9 $ » lorsque la somme est un nombre entier.
  3. Que représente la valeur affichée par le lutin à la fin du programme ?

  4. On souhaite calculer la probabilité théorique d'obtenir une somme supérieure ou égale à $ 9 $.

    1. Combien y a-t-il d'issues équiprobables au total lorsqu'on lance les deux dés ?
    2. Lister tous les couples $ (\text{de1}\,;\,\text{de2}) $ pour lesquels $ \text{de1} + \text{de2} \geqslant 9 $. En déduire le nombre d'issues favorables.
    3. Calculer la probabilité théorique de l'événement « la somme est supérieure ou égale à $ 9 $ ». Donner la valeur exacte sous forme de fraction simplifiée, puis une valeur approchée à $ 0{,}01 $ près.
  5. À l'exécution, le programme a affiché $ 0{,}284 $. Ce résultat est-il cohérent avec la probabilité théorique calculée à la question précédente ? Expliquer brièvement.
  6. Décrire la modification à apporter au programme pour estimer la probabilité que la somme des deux dés soit égale à $ 7 $.

Corrigé

  1. Les variables ont les rôles suivants :

    • de1 et de2 stockent le résultat de chaque dé, simulé par un tirage entier aléatoire entre $ 1 $ et $ 6 $ ;
    • somme stocke la somme des deux dés du lancer en cours ;
    • compteur stocke le nombre de lancers, parmi les $ 1\,000 $, pour lesquels la somme a été supérieure ou égale à $ 9 $. Il est initialisé à $ 0 $ avant la boucle, puis augmenté de $ 1 $ à chaque lancer favorable.
  2. La somme de deux entiers compris entre $ 1 $ et $ 6 $ est un entier compris entre $ 2 $ et $ 12 $. Pour un entier, « strictement supérieur à $ 8 $ » signifie « supérieur ou égal à $ 9 $ ». Les deux conditions sont donc équivalentes ici. Scratch ne dispose pas du bloc $ \geqslant $ : on utilise $ > 8 $ pour tester $ \geqslant 9 $.
  3. À la fin du programme, la variable compteur contient le nombre de lancers favorables parmi $ 1\,000 $. Le quotient $ \dfrac{\text{compteur}}{1\,000} $ représente la fréquence de l'événement « somme $ \geqslant 9 $ » sur les $ 1\,000 $ lancers simulés.
    1. Chaque dé peut prendre $ 6 $ valeurs et les deux lancers sont indépendants. Le nombre total d'issues équiprobables est :
      $ 6 \times 6 = 36 $

    2. On liste les couples $ (\text{de1}\,;\,\text{de2}) $ tels que $ \text{de1} + \text{de2} \geqslant 9 $, par valeur de la somme :

      • somme $ 9 $ : $ (3\,;\,6) $, $ (4\,;\,5) $, $ (5\,;\,4) $, $ (6\,;\,3) $ — soit $ 4 $ couples ;
      • somme $ 10 $ : $ (4\,;\,6) $, $ (5\,;\,5) $, $ (6\,;\,4) $ — soit $ 3 $ couples ;
      • somme $ 11 $ : $ (5\,;\,6) $, $ (6\,;\,5) $ — soit $ 2 $ couples ;
      • somme $ 12 $ : $ (6\,;\,6) $ — soit $ 1 $ couple.

      Le nombre total d'issues favorables est :
      $ 4 + 3 + 2 + 1 = 10 $

    3. La probabilité théorique est :
      $ p = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18} $

      Une valeur approchée :
      $ \dfrac{5}{18} \approx 0{,}28 $

      La probabilité d'obtenir une somme supérieure ou égale à $ 9 $ est égale à $\mathbf{\dfrac{5}{18} \approx 0{,}28}$.

  5. La fréquence affichée $ 0{,}284 $ est très proche de la probabilité théorique $ \dfrac{5}{18} \approx 0{,}278 $. C'est cohérent avec la loi des grands nombres : sur un grand nombre de simulations, la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique. L'écart entre les deux valeurs est dû au caractère aléatoire de la simulation.
  6. Pour estimer la probabilité que la somme soit égale à $ 7 $, il suffit de remplacer la condition $ \text{somme} > 8 $ par $ \text{somme} = 7 $. Tout le reste du programme reste identique : le compteur stockera alors le nombre de lancers de somme égale à $ 7 $ parmi les $ 1\,000 $ effectués.