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Divisibilité et nombres premiers Exercices

Critères de divisibilité et chiffre manquant

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

  1. Pour chacun des nombres suivants, indiquer s'il est divisible par $ 2 $, par $ 3 $, par $ 5 $ et par $ 9 $.

    1. $ 414 $
    2. $ 1\,275 $
    3. $ 6\,048 $
    4. $ 9\,075 $

  2. On considère le nombre $ 5\,73\square $, où $ \square $ désigne un chiffre à déterminer.

    1. Trouver tous les chiffres possibles pour que ce nombre soit divisible par $ 3 $.
    2. Trouver tous les chiffres possibles pour que ce nombre soit divisible par $ 9 $.
    3. Trouver tous les chiffres possibles pour que ce nombre soit à la fois divisible par $ 2 $ et par $ 5 $.

Corrigé

    1. $ 414 $ : le chiffre des unités est $ 4 $ (pair) donc divisible par $ 2 $. Somme des chiffres : $ 4 + 1 + 4 = 9 $, divisible par $ 3 $ et par $ 9 $. Le chiffre des unités n'est ni $ 0 $ ni $ 5 $, donc non divisible par $ 5 $.

      $ 414 $ est divisible par $ 2 $, $ 3 $ et $ 9 $, mais pas par $ 5 $.

    2. $ 1\,275 $ : chiffre des unités $ 5 $ (impair) donc non divisible par $ 2 $. Somme : $ 1 + 2 + 7 + 5 = 15 $, divisible par $ 3 $ mais pas par $ 9 $. Chiffre des unités $ 5 $, donc divisible par $ 5 $.

      $ 1\,275 $ est divisible par $ 3 $ et $ 5 $, mais pas par $ 2 $ ni par $ 9 $.

    3. $ 6\,048 $ : chiffre des unités $ 8 $ (pair), divisible par $ 2 $. Somme : $ 6 + 0 + 4 + 8 = 18 $, divisible par $ 3 $ et par $ 9 $. Chiffre des unités ni $ 0 $ ni $ 5 $, donc non divisible par $ 5 $.

      $ 6\,048 $ est divisible par $ 2 $, $ 3 $ et $ 9 $, mais pas par $ 5 $.

    4. $ 9\,075 $ : chiffre des unités $ 5 $ (impair) donc non divisible par $ 2 $. Somme : $ 9 + 0 + 7 + 5 = 21 $, divisible par $ 3 $ mais pas par $ 9 $. Chiffre des unités $ 5 $, donc divisible par $ 5 $.

      $ 9\,075 $ est divisible par $ 3 $ et $ 5 $, mais pas par $ 2 $ ni par $ 9 $.

  2. Le nombre $ 5\,73\square $ a pour somme des chiffres $ 5 + 7 + 3 + \square = 15 + \square $.

    1. Pour qu'il soit divisible par $ 3 $, il faut que $ 15 + \square $ soit divisible par $ 3 $. Comme $ 15 $ est déjà divisible par $ 3 $, il faut que $ \square $ le soit aussi.

      Les chiffres possibles sont $ 0 $, $ 3 $, $ 6 $ et $ 9 $.

      Quatre nombres conviennent : $ 5\,730 $, $ 5\,733 $, $ 5\,736 $ et $ 5\,739 $.

    2. Pour qu'il soit divisible par $ 9 $, il faut que $ 15 + \square $ soit divisible par $ 9 $. Comme $ \square $ est un chiffre entre $ 0 $ et $ 9 $, on a $ 15 \leqslant 15 + \square \leqslant 24 $. Le seul multiple de $ 9 $ dans cet intervalle est $ 18 $.

      On obtient $ \square = 18 - 15 = 3 $.

      Un seul nombre convient : $ 5\,733 $.

    3. Pour être divisible par $ 5 $, le chiffre des unités doit être $ 0 $ ou $ 5 $. Pour être divisible par $ 2 $, il doit être pair. Le seul chiffre qui satisfait les deux conditions est $ 0 $.

      Un seul nombre convient : $ 5\,730 $.