Sujet 0 – Suites et algorithmes
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Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 3u_n + 1$ pour tout entier naturel $n$.
On considère la fonction calcul écrite en Python qui renvoie la valeur de $u_n$ :
def calcul(n):
u = 0
for i in range(n):
u = 3 * u + 1
return uOn considère par ailleurs la fonction liste écrite en Python :
def liste(n):
l = []
for i in range(n):
l.append(calcul(i))
return l- Affirmation 1 : « L'appel liste(6) renvoie la liste [0, 1, 4, 13, 42, 121]. »
- Affirmation 2 : « Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{1}{2} \times 3^n - \dfrac{1}{2}$. »
- Affirmation 3 : « Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n$ est une puissance de 3. »
Corrigé
On examine chaque affirmation séparément.
Affirmation 1 : fausse.
On calcule les premiers termes de la suite $(u_n)$ :
- $u_0 = 0$
- $u_1 = 3u_0 + 1 = 1$
- $u_2 = 3u_1 + 1 = 4$
- $u_3 = 3u_2 + 1 = 13$
- $u_4 = 3u_3 + 1 = 40$
- $u_5 = 3u_4 + 1 = 121$
L'appel liste(6) exécute la boucle pour $i = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ et renvoie donc $[u_0, u_1, u_2, u_3, u_4, u_5] = [0, 1, 4, 13, 40, 121]$.
Le quatrième terme de l'index 4 est bien $40$ et non $42$.
L'affirmation est donc fausse.Affirmation 2 : vraie.
On démontre par récurrence la propriété $P_n$ : « $u_n = \dfrac{1}{2} \times 3^n - \dfrac{1}{2}$ ».
Initialisation : pour $n = 0$, $u_0 = 0$ et $\dfrac{1}{2} \times 3^0 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0$. Ainsi $P_0$ est vraie.
Hérédité : supposons $P_n$ vraie pour un entier naturel $n$ : $u_n = \dfrac{1}{2} \times 3^n - \dfrac{1}{2}$.
Alors :
$u_{n+1} = 3u_n + 1 = 3 \left(\dfrac{1}{2} \times 3^n - \dfrac{1}{2}\right) + 1$
$u_{n+1} = \dfrac{3}{2} \times 3^n - \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{1}{2} \times 3^{n+1} - \dfrac{1}{2}$
Donc $P_{n+1}$ est vraie.Conclusion : pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{1}{2} \times 3^n - \dfrac{1}{2}$. L'affirmation est vraie.
Affirmation 3 : vraie.
D'après l'affirmation 2, pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1} - u_n = \left(\dfrac{1}{2} \times 3^{n+1} - \dfrac{1}{2}\right) - \left(\dfrac{1}{2} \times 3^n - \dfrac{1}{2}\right)$
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{2} \times 3^{n+1} - \dfrac{1}{2} \times 3^n = \dfrac{1}{2} \times 3^n \times (3 - 1) = 3^n$
$u_{n+1} - u_n = 3^n$ est bien une puissance de 3.
L'affirmation est donc vraie.