Ensembles de nombres : appartenance et inclusion

$ \pi \; \notin \; \mathbb{Q} $

$ \pi $ est un nombre irrationnel (il ne peut pas s'écrire comme quotient de deux entiers). Donc il n'appartient pas à l'ensemble $ \mathbb{Q} $ des nombres rationnels.

$ \mathbb{Z} \; \subset \; \mathbb{Q} $

Tous les nombres entiers relatifs sont des nombres rationnels. L'ensemble $ \mathbb{Z} $ est donc inclus dans l'ensemble $ \mathbb{Q} $. On met le signe $ \subset $ et non $ \in $ car $ \mathbb{Z} $ est un ensemble et non un nombre.

$ \mathbb{R} \; \cancel{\subset} \; \mathbb{Z} $

Tous les nombres réels ne sont pas des entiers relatifs (par exemple $ \dfrac{1}{2} $, $ \dfrac{1}{3} $, $ \pi $,$ \ldots $ ne sont pas entiers). Donc l'ensemble $ \mathbb{R} $ n'est pas inclus dans $ \mathbb{Z} $.

$ - \dfrac{6}{12} \; \in \; \mathbb{D} $

$ - \dfrac{6}{12}= - \dfrac{1}{2}= - 0,5 $ est un nombre décimal. Il appartient donc à l'ensemble $ \mathbb{D} $ des nombres décimaux.

$ - \dfrac{12}{6} \; \in \; \mathbb{Z} $

$ - \dfrac{12}{6}= - 2 $ est un nombre entier relatif. Il appartient donc à l'ensemble $ \mathbb{Z} $ des nombres entiers relatifs.

$ \left\{\sqrt{3}\right\} \; \subset \; \mathbb{R} $

À cause des accolades, $ \left\{\sqrt{3}\right\} $ représente un ensemble. C'est un ensemble qui contient uniquement le nombre réel $ \sqrt{3} $. Cet ensemble est donc inclus dans $ \mathbb{R} $ (« inclus » et non « appartient » car il s'agit d'un ensemble).

$ \left\{ - 1~;~0~;~1\right\} \; \cancel{\subset} \quad \mathbb{N} $

L'ensemble $ \left\{ - 1~;~0~;~1\right\} $ contient le nombre $ - 1 $ qui n'est pas un entier naturel. Il n'est donc pas inclus dans l'ensemble $ \mathbb{N}. $

$ \mathbb{R}^\star \; \subset \; \mathbb{R} $

L'ensemble $ \mathbb{R}^\star $ est l'ensemble de tous les nombres réels à l'exception de 0. Cet ensemble est donc inclus dans $ \mathbb{R}. $