Théorème de Thalès et cercles
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Dans la figure ci-dessous, les points $ A, O, D $ sont alignés ainsi que les points $ B, O, C $.
$ B $ appartient au cercle de diamètre $ [AO] $ et $ C $ appartient au cercle de diamètre $ [DO] $.
On donne :
$ AO=8 $cm
$ OD=5 $cm
$ DC=3 $cm.
- Montrer que le triangle $ ABO $ est rectangle en $ B $ et que le triangle $ OCD $ est rectangle en $ C $.
- Justifier que les droites $ (AB) $ et $ (CD) $ sont parallèles.
- Calculer la longueur $ AB $.
Corrigé
On utilise la propriété suivante :
Rappel
Si $ [BC] $ est un diamètre d'un cercle et $ A $ un point de ce cercle (distinct de $ B $ et de $ C $), alors le triangle $ ABC $ est rectangle en $ A $.
Le côté $ [AO] $ est un diamètre du cercle circonscrit au triangle $ ABO $, donc le triangle $ ABO $ est rectangle en $ B $.
De même, le côté $ [DO] $ est un diamètre du cercle circonscrit au triangle $ OCD $, donc le triangle $ OCD $ est rectangle en $ C $.
- D'après la question précédente, les droites $ (AB) $ et $ (CD) $ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $ (BC) $ ; elles sont donc parallèles entre elles.
Les droites $ (AB) $ et $ (CD) $ sont parallèles et les points $ A, O, D $ sont alignés de même que les points $ B, O, C $ ; les triangles $ ABO $ et $ OCD $ forment alors une configuration de Thalès.
On a donc, d'après le théorème de Thalès :
$ \dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AO}{OD} $
$ \dfrac{AB}{3}=\dfrac{8}{5} $
Par conséquent :
$ AB=\dfrac{3 \times 8}{5}=4{,}8. $
Le côté $ AB $ mesure $ 4{,}8 $cm.
Pour réviser : Déterminer si deux droites sont parallèles (Thalès)