Différence de deux puissances

Deux solutions évidentes sont $(1~;~1)$ et $(2~;~3)$. Il s'agit donc de rechercher des solutions pour $m > 2$ et $n > 3$.

Pour $n > 3$, on a $2^n \equiv 0 \pmod 8$, ce qui implique que $3^m - 1 \equiv 0 \pmod 8$. On remarque que $3^2 \equiv 1 \pmod 8$ d'où l'on déduit que les puissances paires de 3 sont congrues à 1 modulo 8 et que les puissances impaires sont congrues à 3 modulo 8. Il en résulte que $m$ doit être un nombre pair.

Soit $m = 2k$ ($k \in \mathbb{N}$ et $k > 1$ si $m > 2$). On peut écrire :

Puisque $k \neq 0$, les deux facteurs $3^k + 1$ et $3^k - 1$ doivent être des puissances de 2, c'est-à-dire :
$3^k + 1 = 2^p$ et $3^k - 1 = 2^q$ (avec $p > q$ et $p + q = n$).

De

on tire, en soustrayant membre à membre, $2 = 2^p - 2^q \Rightarrow 1 = 2^{p-1} - 2^{q-1}$ avec $p-1 > q-1$.

En remarquant que si $k > 1$, alors $q > 1$ ($k > 1 \Rightarrow 3^k > 3 \Rightarrow 3^k - 1 > 2 \Rightarrow 2^q > 2 \Rightarrow q > 1$), on en déduit que $2^{p-1}$ et $2^{q-1}$ sont des nombres pairs et donc que l'équation $1 = 2^{p-1} - 2^{q-1}$ est impossible pour $k > 1$, c'est-à-dire pour $m > 2$.

Les deux seules solutions pour $m$ et $n$ tels que $3^m - 2^n = 1$ sont donc $(1~;~1)$ et $(2~;~3)$.